Понятие о гармонических функциях. Гармоническая функция

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

и в пространстве

Уравнение (33) при переходе к полярным координатам преобразуется к виду

(33*)

Рис 14 Рис 14.1

Если в пространстве перейти к сферическим координатам

то уравнение (34) примет вид

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (33) или (34) в некоторой области D , называются гармоническими в этой области. Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: U = ах + by + с на плоскости и U = ax + by + cz + d в пространстве. Особый интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных - круговой) симметрией.

Решение U=U(r) , обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (34*), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим

Где C 1 и C 2 - произвольные постоянные. Полагая C 1 =1 , C 2 =0 , получим функцию

Которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция U 0 является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат 0 .

Аналогично, полагая U=U(r) и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических или полярных координатах, найдем решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

Выбирая С 1 =-1 и С 2 =0 , будем иметь функцию

Которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция U 0 удовлетворяет уравнению Лапласа (33) всюду на плоскости, кроме начала координат 0, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины q , помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен

Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен

где q 1 - линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длины).

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) D радиуса R с центром (х o ,у o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г , ограничивающей данный круг, то есть

При доказательстве этой теоремы применим интегральную формулу Пуассона для круга, которая будет доказана позже в лекции 10 . Она имеет вид (см. рис. 15)

Если в этой формуле положить ρ=0 , то получится формула (35).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (35) для произвольного круга радиуса r , где (см. рис.15.1):

Рис. 15 Рис. 15.1

Умножив обе части равенства (36) на rdr и проинтегрировав по r в пределах от 0 до R , получим:

или

где D - круг радиуса R . Разделив обе части полученного равенства на R 2 /2 , будем иметь

В правой части формулы (37) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R .

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области D функция U=U(x,y) непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке (х о, у о) , то эта функция гармоническая в D . Из формулы (37) получается:

Следствие. Если функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R и непрерывная в соответствующем замкнутом круге ,то

Число называют нормой функции U=U(x,y) в области D , и неравенство (38) можно переписать в виде

Неравенство (38) доказывается совсем просто, если воспользоваться известным неравенством Коши-Буняковского:

Применим это неравенство к формуле (37):

Что и требовалось доказать.

Гармонические функции, помимио вышеуказанных свойств, обладают и многими другими свойствами. Приведем еще два из них.

Неравенство Харнака. Пусть функция гармоническая в некотором круге D радиуса R c центром (x o , у o) и непрерывная в соответствующем круге Тогда при любом она удовлетворяет неравенству

Гармони́ческая фу́нкция - вещественная функция $U$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа :

$\Delta U = 0,\$

где $\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ - оператор Лапласа , то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд .

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$ , достигает своего максимума и минимума только на границе $\partial D$ . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума , за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать $\forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) < U(m) < \sup_{Q \in D}U(Q)$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\Bbb{R}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна .

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x_0)$ с центром в точке $x_0$ , то её значение в точке $x_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV$

где $\mu (B)$ - объём шара $B(x_0)$ и $\mu(\partial B)$ - площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x_1,...x_k)$ , гармоническая в к-мерном шаре $Q_r$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_0$ , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: ${{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)}$ , где $r=\rho(M_0, M) .$

Теорема Гарнака

Пусть $v_n(z)$ - положительные гармонические функции в некоторой области $D$ . Если ряд $\sum_{1}^\infty v_{n}(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$ , то он равномерно сходится внутри $D$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Гармоническая функция"

Примечания

Литература

Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Отрывок, характеризующий Гармоническая функция

– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.
– Вздор, глупости! Вздор, вздор, вздор! – нахмурившись, закричал князь Николай Андреич, взял дочь за руку, пригнул к себе и не поцеловал, но только пригнув свой лоб к ее лбу, дотронулся до нее и так сжал руку, которую он держал, что она поморщилась и вскрикнула.
Князь Василий встал.
– Ma chere, je vous dirai, que c"est un moment que je n"oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d"esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre… L"avenir est si grand. Dites: peut etre. [Моя милая, я вам скажу, что эту минуту я никогда не забуду, но, моя добрейшая, дайте нам хоть малую надежду возможности тронуть это сердце, столь доброе и великодушное. Скажите: может быть… Будущность так велика. Скажите: может быть.]
– Князь, то, что я сказала, есть всё, что есть в моем сердце. Я благодарю за честь, но никогда не буду женой вашего сына.
– Ну, и кончено, мой милый. Очень рад тебя видеть, очень рад тебя видеть. Поди к себе, княжна, поди, – говорил старый князь. – Очень, очень рад тебя видеть, – повторял он, обнимая князя Василья.
«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.

Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.

Гармоническая функция включает в себя не только вертикальное сложение хоровой ткани, но и характер гармонического развития по горизонтали. К числу ее важнейших компонентов и признаков относятся расположение аккорда, его плотность, количество голосов и т.д. Наиболее типичным принципом вертикального расположения хорового аккорда является принцип «от широкого - к узкому», суть которого в выстраивании широких интервалов внизу с постепенным сжатием их по мере перехода к высоким звукам в соответствии с обертоновым рядом. Расположение аккорда в хоре может быть тесным, широким и смешанным (включающим и тесное, и широкое). Тесное расположение, как правило, производит впечатление компактности и собранности. Обычно оно используется в однородном хоре (чаще - женском и детском, реже - мужском). Широкое расположение менее концентрированно и слитно, но зато более объемно и полно. Оно преимущественно применяется в смешанном и мужском хоре. Не менее часто в смешанных и мужских составах используется и смешанное расположение аккорда (в мужском хоре оно строится на преобладании широких интервалов в нижнем регистре и узких - в верхнем, а в смешанном - в постепенном переходе от широких интервалов в мужских голосах к более узким - в женских). При широком расположении, в отличие от тесного, поле свободного развития мелодического голоса ограничивается, что вызывает необходимость сужения его диапазона.

В гомофонно-гармоническом складе исторически выделились три функции голосов:

В аккордовом складе, в отличие от гомофонного, - только две функции голосов: 1) бас; 2) гармонические голоса.

В целом же звучание хоровой вертикали зависит от множества обстоятельств и условий, среди которых весьма существенными являются: состав хора (однородный, смешанный, неполный), тесситура (низкая, высокая, средняя), плотность звучания, количество голосов, особенности их функциональных связей, динамика, тембровая окраска. Особое влияние на характер звучания аккорда оказывает регистровая напряженность составляющих его звуков. В том случае, если звуки аккорда расположены в сходных регистрах, аккорд будет звучать слитно и уравновешенно. Если же звуки аккорда располагаются в различных по напряженности регистрах, то одни из них могут оказаться более сильными, а другие - более слабыми. Естественно, что это потребует от хормейстера соответствующей динамической и тембровой корректировки. Одним из приемов такой корректировки может быть изменение расположения аккорда, поскольку тесное расположение основывается на сочетании одних, а широкое - других регистров одного и того же голоса. В отличие от однородного хора, в котором более уравновешенным является тесное расположение, в смешанном большую уравновешенность создает широкое расположение. Оно придает звучанию мягкость и глубину, не лишая его при этом плотности и силы.

Тесное или широкое расположение голосов по вертикали оказывает влияние на динамические нюансы. Так, при широком расположении - в силу удаленности голосов друг от друга - не всегда удается создать полноценное насыщенное forte, которое легче достигается при компактном тесном расположении. Зависит динамика и от того, в каком (низком, среднем или высоком) регистре расположен аккорд. Для аккорда, рас 1 положенного в низком регистре, наиболее естественным нюансом будет piano, в среднем регистре - mezzo-forte, в высоком - forte. Самая широкая динамическая амплитуда возможна в среднем регистре. В нижнем регистре легко получить тишайшее pianissimo, достичь же яркого, насыщенного forte очень трудно. Если же пытаться добиться большой звучности искусственным путем, это может привести к интонационным погрешностям. В высоком регистре, напротив, представляет большую трудность пение piano, что нередко вызывает понижение интонации. В целях увеличения насыщенности, плотности хоровой ткани и красочности звучания композиторы часто используют разделение партий на несколько голосов (divizi). В однородных и неполных составах хора такое разделение позволяет получить полнозвучные аккордовые комплексы, компенсирующие отсутствие какого-либо голоса. Используется этот прием и для заполнения широких интервалов между голосами в момент кульминации, дабы создать компактную и напряженную звучность. Divizi часто возникают в расходящихся мелодических ходах с постепенным расслоением хоровой партии до двух-трехголосия. Чаще же всего применение divizi связано с уплотнением гармонической вертикали хорового аккорда путем октавных удвоений (так называемые дублировки), которые создают усиление звучности и дополнительные фонические эффекты (совпадение октавных обертонов нижних голосов с реально звучащими верхними). Вместе с тем divizi следует рассматривать не только как средство расцвечивания многоголосной хоровой палитры, но и как фактор динамизации и развития звучности. В этой связи обратный процесс - слияние divizi в унисон является фактором противоположного выразительно-изобразительного воздействия.

Одним из важных условий удобства партитуры с точки зрения строя и ансамбля является ясность и логичность голосоведения. Чем ближе мелодическая линия каждого голоса к естественному развитию в рамках гармонической вертикали, тем больше предпосылок для достижения хорошего строя и ансамбля.

В хоровой практике зафиксированы следующие наиболее типичные виды голосоведения: прямое, когда голоса движутся в одном направлении; параллельное, когда голоса движутся, в одном направлении, сохраняя между собой одинаковый интервал; косвенное, при котором один из голосов остается на месте; противоположное, когда голоса движутся в противоположном направлении. Характер совместного движения накладывает соответствующий отпечаток на хоровой колорит. Так, прямое и особенно параллельное движение (как разновидность прямого) создает условия для неизменного объема звучности. При этом уравновешивание по звучности верхней и нижней линий происходит более естественно, если композитор или аранжировщик выбрал для них сходные регистры голосов.

Косвенное и противоположное движение обычно связано с изменением общего фактурного и звукового наполнения и объема: ощущение расширения при расходящемся движении и сужения - при сходящемся. В чистом виде на протяжении всей партитуры эти типы движения используются довольно редко. В большинстве случаев они гибко сочетаются и взаимодействуют в зависимости от изменчивости музыкального образа и характера сочинения.

Заметим также, что от характера голосоведения в большой мере зависит выразительно-эмоциональная сторона произведения. Некоторые его типы благодаря ярко выраженной экспрессии приобрели даже значение своего рода знака. Так, параллельное движение голосов при всем своем образно-экспрессивном богатстве воспринимается чаще всего как единый фонический комплекс, лишенный яркой драматической конкретности. Напротив, встречное и противоположное движение мелодий и фактурных пластов, обозначающее столкновение двух полярных тенденций - спада и подъема, ослабления и усиления энергии, - воспринимается как фактор, свидетельствующий о динамическом и драматургическом развитии музыкальной ткани.

Наслоение - прием соединения, в котором порядок расположения голосов по вертикали определяется их естественным высотным соотношением: тенора располагаются над басами, альты - над тенорами, сопрано - над альтами.

Прием перекрещивания характеризуется тем, что при его использовании хоровая партия, более низкая по тесситуре, располагается над вышестоящей (альты - выше сопрано, басы - выше теноров). Такое расположение обычно связано с особенностями голосоведения или со стремлением автора получить максимально слитное звучание аккорда.

Следует отметить, что подлинный ансамбль в хоре возникает в результате взаимодействия гармонических и мелодических функциональных элементов хоровых голосов. Иллюстрацией такого взаимодействия является, например, мелодизация средних голосов хоровой партитуры, придающая гармоническому развитию гибкость и текучесть, или разнообразные проявления гармонического начала в самой мелодике. Уяснение роли и характера взаимодвижения средних голосов, выполняющих роль сердцевины фактуры, ее внутреннего стержня, для дирижера и певцов очень важно. Как справедливо отмечает В.О. Семенюк, «жизнь средних голосов, интонационное выявление их взаимоотношений (проявления "ростков" мелодичности в аккордовых последованиях и т.п.) является наиболее существенной и одной из главных сторон работы над многоголосной фактурой» 1 . Влияние мелодической функции на гармоническую явно просматривается и в фактуре, в частности в тесном или широком расположении голосов.

Солирующая партия звучит рельефнее, если вблизи нее не располагаются другие голоса с развитым голосоведением, мешающие восприятию ведущего голоса. Свободное пространство особенно необходимо в тех случаях, когда мелодия оказывается окруженной голосами, выполняющими гармоническую функцию (с этим исполнители чаще всего встречаются при мелодико-гармоническом и гомофонном складе). Гораздо более выигрышна для тембрового обособления ситуация, когда мелодия расположена над или под сопровождающими голосами (фоном).

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой . Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

Равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N - любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d - кратчайшее расстояние от границы S области D (d - положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в , может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где - окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства