где подпредельная функция монотонно возрастает, то
или

или

Из предыдущего видно, что гармонический ряд есть ряд расходящийся, т.е. сумма первых n его членов неограниченно растет с ростом количества взятых членов. Однако в отличие от других расходящихся рядов скорость роста суммы с увеличением числа членов замедляется. Гармонический ряд называют слабо расходящимся по сравнению с ростом n. Докажем следующую теорему, характеризующую гармонический ряд в этом отношении.

Теорема. При любом n имеет место приближенное равенство
где 0 < g n < 1. Доказательство. Пусть дана площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной равнобочной гиперболой, отнесенной к асимптотам, уравнение которой y = 1/x двумя ее ординатами aA и bB, уравнения которых x = 1 и x = n, и осью абсцисс. Пользуясь "формулами прямоугольников", вычислим эту площадь с недостатком (рис.2) и с избытком (рис.1). Разделив основание на n равных частей, найдем, что площадь aABb равна
или

g n = ж и 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 ц ш - ln(n) > 0.

Если взять правые ординаты (соответствующие точкам делений 2, 3, ... n) за высоты прямоугольников, то получим площадь ступенчатой линии, меньшую площади криволинейной трапеции aABb (рис. 2). Поэтом можно сказать, что

1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n < ln(n).

Добавим к обеим частям неравенства 1- 1/n

1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 < ln(n) + 1 - 1 n .

или

g n = ж и 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n- 1 ц ш - ln(n) < 1- 1 n

Таким образом сумму первых n- 1 членов гармонического ряда можно приближенно выразить через ln(n) следующим равенством
С ростом количества членов гармонического ряда величина g n возрастает. Но 0 < g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Этот предел называют "эйлеровой постоянною". При помощи подсчетов H n- 1 и ln(n) удалось найти значение этого числа с большой точностью и получить C = 0.57721566490...

План:

Введение

• 1 Сумма первых n членов ряда
  • 1.1 Некоторые значения частичных сумм
  • 1.2 Формула Эйлера
  • 1.3 Теоретико-числовые свойства частичных сумм
• 2 Сходимость ряда
  • 2.1 Доказательство Орема
  • 2.2 Альтернативное доказательство расходимости
• 3 Частичные суммы
• 4 Связанные ряды
  • 4.1 Ряд Дирихле
  • 4.2 Знакопеременный ряд
  • 4.3 Случайный гармонический ряд
  • 4.4 «Истончённый» гармонический ряд
Примечания

Введение

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

.

Ряд назван гармоническим , так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

1. Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

1.1. Некоторые значения частичных сумм

1.2. Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда :

,

где - постоянная Эйлера - Маскерони, а ln - натуральный логарифм.

При значение , следовательно, для больших n:

- формула Эйлера для суммы первых n членов гармонического ряда.

1.3. Теоретико-числовые свойства частичных сумм

2. Сходимость ряда

при

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:

,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

.

2.1. Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

2.2. Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на :

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

3. Частичные суммы

n -ая частичная сумма гармонического ряда,

называется n -ым гармоническим числом .

Разница между n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме H 1 = 1 , не является целым .

4. Связанные ряды

4.1. Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1 .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

4.2. Знакопеременный ряд

Первые 14 частичных сумм знакочередующегося гармонического ряда (чёрные отрезки), показывающие сходимость к натуральному логарифму от 2 (красная линия).

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью . Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула - частный случай Ряд Меркатора (англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:

Это известно как ряд Лейбница.

4.3. Случайный гармонический ряд

Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел свойства случайного ряда

где s n независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что эта сумма с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10 −42 . Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.

4.4. «Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ. )

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называетсячисловым рядом . Числа называютсячленами ряда , а выражение
 общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда
.

при
,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся , если
, где числоназываетсясуммой ряда , и пишут
. Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд
.

Для того, чтобы вычислить n -ю частичную сумму представим общий член
рядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что
, а
.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна
.

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если
, то

2. Если
, то
, т.е. ряд расходится.

3. Если
, то ряд имеет види тогда
, т.е. ряд расходится.

4. Если
, то ряд имеет види тогда
, если частичная сумма имеет четное число членов и
, если нечётное число, т.е.
не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается
, т.е.
.

Так как для сходящихся рядов
, то
,

т.е. будет б.м.в. при
. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q , то сходится ряд , где
, а его сумма равнаA S + B Q .

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема . Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при
, т.е.
.

Действительно, имеем

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим .

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как
.

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, если
и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

Так как
и ограничена, то
, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда
.

Начиная с
, имеем
.

Так как ряд сходится
, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения . Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие

, то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
.

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится при
и расходится при
.

Ряды для чайников. Примеры решений

Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.

1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)

Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.

Понятие числового ряда

В общем виде числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа .

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.

Cлагаемые – это ЧИСЛА , которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю) , то такой ряд называют положительным числовым рядом .

Пример 1

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности ,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример 2

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Пример 3

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать , то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример 4

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть .
В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Пример 5

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится . Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует , как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)

Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод : ряд расходится

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Пример 6

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Знакомьтесь:

Данный ряд называется гармоническим рядом . Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится .

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости .

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .

Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :

Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Гармонический ряд – числовой ряд

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

, , ,

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма членов гармонического ряда больше, чем . Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

А .

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности , т.е. .

Число в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку , следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича , то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на , 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на , -й относительно -го на , и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

.

Выражение в скобках есть частичная сумма гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то составит всего лишь 3,8 длины кирпича.