Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.
Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
- В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.
S = DC ∙ h
где S - площадь параллелограмма;
a - основание;
h - высота, проведенная к данному основанию.Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.
Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника - высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.
- Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:
S = AD∙AB∙sinα
где AD, AB - смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
α - угол между основаниями AD и AB.
- Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.
S = ½∙AC∙BD∙sinβ
где AC, BD - диагонали параллелограмма;
β - угол между диагоналями.
- Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:
Параллелограмм - фигура, у которой параллельные стороны и противолежащие углы попарно равны. В зависимости от соотношений углов и сторон, параллелограмм может превращаться в ромб, прямоугольник или квадрат.
Геометрия параллелограмма
Четырехугольники бывают разными, поэтому чтобы фигура носила гордое название параллелограмма, должно выполняются одно из следующих условий:
- противолежащие стороны попарно параллельны;
- противолежащие стороны попарно равны;
- диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Если у такого параллелограмма равны стороны, то такая фигура - ромб, если прямые углы - прямоугольник. Если же и стороны равны, и углы прямые, то параллелограмм превращается в квадрат.
У параллелограмма, как и у любого четырехугольника, есть основание и высота. Основанием может быть любая сторона параллелограмма, а высотой - перпендикулярный основанию отрезок, опущенный из любой вершины. Таким образом, если обозначить стороны фигуры как a и b, то вы получите две высоты:
- ha, опущенную на основание a;
- hb, опущенную на сторону b.
Оперируя этими переменными, вы можете найти периметр и площадь параллелограмма.
Параллелограмм в реальности
Такой четырехугольник - лидер по распространенности в человеческой повседневности. Форму параллелограмма имеют грани всех объектов, которые в трехмерной реальности являются призмами. Среди них кирпич, токосъемник, головка молотка, книга или тротуарная плитка. В реальной жизни чаще всего встречается прямоугольник или квадрат, однако и косоугольные параллелограммы находят применение в производстве, металлообработке и машиностроении.
Параллелограммы с непрямыми углами широко распространены в дизайне, искусстве и архитектуре. Вы наверняка видели оригинальные окна в виде параллелограммов, картины от представителей школ кубизма и абстракционизма или строгие геометрические узоры в интерьерах, оформленных в стиле хай-тек.
Площадь параллелограмма
Площадь плоской фигуры - это числовая характеристика ее размера. Для вычисления площади четырехугольника используется следующая формула:
S = a × ha = b × hb
Если вам неизвестна высота четырехугольника, вы можете использовать еще одно выражение:
S = a × b × sin(alfa),
где alfa – угол между сторонами a и b.
Между диагоналями параллелограмма и его сторонами также существует тригонометрическая зависимость, указанная выше на иллюстрации к калькулятору. Программа позволяет вычислять площадь фигуры, зная три параметра на выбор:
- две стороны и угол между ними;
- две стороны и диагональ.
Вы можете воспользоваться и первой формулой, по которой вычислить площадь фигуры легко, зная только две переменные: высоту и основание. Однако алгоритм калькулятора требует ввода трех переменных, поэтому для корректной работы программы необходимо ввести не одну высоту на выбор, а обе. Так как вы вряд ли будете знать этот параметр в реальных расчетах или при решении геометрических задач, для вычислений добавьте вторую сторону по принципу, что ha = b, а hb = a. Такая подстановка сделает из параллелограмма прямоугольник, но при расчете площади фигуры через высоту и основание неважно, под каким углом пересекаются стороны четырехугольника. Рассмотрим пример.
Пример из реальной жизни
Школьная задача
Пусть в задаче по геометрии требуется отыскать площадь параллелограмма, зная, что a = 20, b = 40, а угол между сторонами составляет 30 градусов. Это простая задача, которая решается по стандартной формуле S = a × b × sin(alfa). Вам достаточно только ввести эти параметры в форму калькулятора и получить результат:
Таким образом, площадь четырехугольника составляет 400 условных единиц.
Заключение
Параллелограмм - король четырехугольников, получивший широкое распространение в прикладных сферах и реальной жизни. Наш калькулятор пригодится как учащимся, так и представителям самых разных профессий, ведь параллелограмм и его частные случаи встречаются в жизни буквально за каждым углом.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.
Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так: 
Допустим, дан параллелограмм со сторонами a
= 4 см, b
= 6 см. Угол между ними α
= 30°. Найдем площадь:
Площадь параллелограмма через диагонали
Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D
= 7 см, d
= 5 см. Угол, лежащий между ними α
=30°. Подставим данные в формулу:
Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.
Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.
Задача:
Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F
расположена на середине его стороны ВС
. Давайте найдем площадь трапеции ADFB
, которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению: 
По нашим условиям ah
=92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться 