Требуется вычислить
площадь криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми
,
,
и кривой
.
Разобьем отрезок
точкамина
элементарных отрезков, длина
го отрезка
.
Восстановим перпендикуляры из точек
разбиения отрезка до пересечения с
кривой
,
пусть
.
В результате получаем
элементарных трапеций, сумма их площадей,
очевидно, равна сумме заданной
криволинейной трапеции.
Определим на каждом
элементарном интервале наибольшее и
наименьшее значения функции, на первом
интервале это
,
на втором
и так далее. Вычислим суммы
Первая сумма представляет собой площадь всех описанных, вторая – есть площадь всех вписанных в криволинейную трапецию прямоугольников.
Ясно, что первая
сумма дает приближенное значение площади
трапеции "с избытком", вторая – "с
недостатком". Первую сумму называют
верхней суммой Дарбу, вторую –
соответственно нижней суммой Дарбу.
Таким образом, площадь криволинейной
трапеции
удовлетворяет неравенству
.
Выясним, как ведут себя суммы Дарбу с
увеличением числа точек разбиения
отрезка
.
Пусть число точек разбиения увеличилось
на одну, и она находится на середине
интервала
.
Теперь число как
вписанных, так и
описанных прямоугольников увеличилось
на единицу. Рассмотрим, как изменилась
при этом нижняя сумма Дарбу. Вместо
площади
го
вписанного прямоугольника, равной
получаем сумму площадей двух прямоугольников
,
поскольку длина
не может быть меньше
наименьшего
значения функции на
.
С другой стороны,
,
поскольку
не может быть больше
наибольшего значения функции на интервале
.
Итак, добавление новых точек разбиения
отрезка увеличивает значение нижней
суммы Дарбу и уменьшает верхнюю сумму
Дарбу. При этом нижняя сумма Дарбу при
каком угодно увеличении количества
точек разбиения не может превысить
значения любой верхней суммы, так как
сумма площадей описанных прямоугольников
всегда больше суммы площадей вписанных
в криволинейную трапецию прямоугольников.
Таким образом, последовательность нижних сумм Дарбу возрастает с увеличением числа точек разбиения отрезка и ограничена сверху, по известной теореме она имеет предел. Этим пределом является площадь заданной криволинейной трапеции.
Аналогично последовательность верхних сумм Дарбу уменьшается с увеличением числа точек разбиения интервала и ограничена снизу любой нижней суммой Дарбу, значит, она также имеет предел, и он тоже равен площади криволинейной трапеции.
Следовательно,
для вычисления площади криволинейной
трапеции достаточно для
разбиений интервала определить либо
нижнюю, либо верхнюю сумму Дарбу, а затем
вычислить
,
или
.
Однако такое
решение задачи предполагает при любом,
сколь угодно большом числе разбиений
,
нахождение на каждом элементарном
интервале наибольшего или наименьшего
значения функции, что является весьма
трудоемкой задачей.
Более простое решение получается при помощи интегральной суммы Римана, которая представляет собой
где
некоторая точка каждого элементарного
интервала, то есть
.
Следовательно, интегральная сумма
Римана представляет собой сумму площадей
всевозможных прямоугольников, причем
.
Как было показано выше, пределы верхней
и нижней сумм Дарбу одинаковы и равны
площади криволинейной трапеции. Используя
одно из свойств предела функции (правило
двух полицейских), получаем, что при
любом разбиении отрезка
и выборе точек
площадь криволинейной трапеции может
быть вычислена с помощью формулы
.
Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2
Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим
S = = [-0,25=11,25 кв. ед
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.
Решение. Выполним построение фигуры.
Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).
Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
х = 2, у = 3; М(2; 3).
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой, а при изменении х от N до С - прямой
Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = - 4, b = 2.
Для треугольника NМС имеем: y = - x + 5, т. е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:
кв. ед.
кв. ед.
9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции
= = 6кв. ед.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = - x 2 + 4 и у = 0
Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = - x 2 + 4 и осью Ох.
Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)
По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = (= кв. ед.
Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).
Имеем - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - 6х, у = 0 и х = 4.
Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).
Следовательно, её площадь находим по формуле (3)
= =
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4)
Пример 9 .
х 2 + у 2 = r 2 .
Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0
доr; имеем: 1 = = [
Следовательно, 1 =
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х
Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2
Используя для нахождения площади формулу (5), получим
= \-
-fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^
3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24*
Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем
Л
2
S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf
Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я
5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2.
о
Действительно, наше предположение оказалось справедливым.
Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88).
Предварительные рас-рис суждения позволяют
предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я
Г,*я
S - \ sin х dx = [ - cos х]0 =
= -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0.
Этот результат требует разъяснений.
Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем
2л
$2л
sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2.
я
Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим
2л я 2л
J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной.
В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4.
Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох,
параболой у = - хг и прямой у -
=-х+\.
Площадь криволинейной трапеции
Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и
прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений
3 2 У = тх.
(нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ:
.... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х }