Цель:
- Формирование понятия первообразной.
- Подготовка к восприятию интеграла.
- Формирование вычислительных навыков.
- Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.
Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в “малом”.
Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1 .
Пусть (х)`=3х 2 .
Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо (х 3)`=3х 2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.
В качестве f(х) можно взять
f(х)= х 3 +1
f(х)= х 3 +2
f(х)= х 3 -3 и др.
Т.к.производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х 2
Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞
; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример № 1).
Пример № 2.
Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х -1/2 =1/2х
Пример № 3.
Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2;
п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos 2 3х
Пример № 4.
Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х 2
на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х 2
Лекция 2.
Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.
При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.
Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.
Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0 . Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.
Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.
Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:
f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2 - х 1), т.к.
f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)
Теорема: (Основное свойство первообразной функции)
Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Доказательство:
Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.
Решение:
Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.
F 1 (х) = Sin х-1
F 2 (х) = Sin х
F 3 (х) = Sin х+1
Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).
Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)
Решение:
F(х)=х 2 +С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 1 2 +С
С = 3
F(х) = х 2 +3
Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.
Определение:
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)
на промежутке I
,если для любого х из промежутка I
выполняется равенство:
Или
Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной. Зад
Если
На некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.
Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.
Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
Где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.
В этом утверждении сформулированы
два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f
на промежутке I
ни взять, можно подобрать такое число С
, что для всех х
из промежутка I
будет выполнено равенство Ф(х) =
F(x) + C.
Основная задача интегрирования : записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C
Таблица первообразных некоторых функций
Геометрический смысл первообразной
Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ
Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
При изучении дифференцирования функций, ставилась задача - по данной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи - для данной функции f ( x ) найти такую функцию F ( x ), производная или дифференциал которой равны соответственно f ( x ) или f ( x ) dx .
Определение 1
Функция F ( x ) называется первообразной по отношению к функции f ( x ) на некотором промежутке ( a , b ),
если на этом промежутке функция F ( x ) дифференцируема и удовлетворяет уравнению
F ¢ (x ) = f (x )
или, что то же самое, соотношению
dF (x ) = f (x ) dx .
Так, например, функция – первообразная на
любом промежутке по отношению к функции 
, так как 
. Аналогично из тождества 
следует, что
функция является первообразной
по отношению к функции 
.
Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.
В самом деле, если F ( x ) – первообразная от функции f ( x ) , то
Ф(x ) = F (x ) + C ,
где С – любая постоянная, также первообразная, так как
На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.
Теорема 1 (о первообразных)
Если F ( x ) - какая-нибудь первообразная от функции f ( x ) на интервале ( a , b ), то все ее первообразные имеют вид F ( x ) + С ,где С – произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть F (x ) – одна из первообразных от функции f (x )на интервале (a , b ), а Ф (х ) – любая другая ее первообразная. Покажем, что функция φ (х ) = Ф (х ) – F (x ) постоянна на интервале (a , b ):
φ ¢ (x ) = Ф ¢ (x ) – F ¢ (x ) = f (x ) – f (x ) = 0, φ ¢ (x ) = 0.
Зафиксируем точку х 0 (a , b ), и пусть х – любая точка из интервала(a , b ). Запишем теорему Лагранжа о среднем для функции φ (х ):
φ (х ) - φ (х 0) = φ ¢ (ξ )× (x - x 0) = 0,
так как φ ¢ (ξ ) = φ ¢ (x ) = 0. Отсюда φ (х ) = φ (х 0) = С , т. е.
Ф (х ) - F (x ) = C ,Ф (х ) = F (x ) + C .
Замечание. При доказательстве теоремы показано, что если производная функции φ (х ) равна нулю на интервале (a , b ), то φ (х ) = const . Это утверждение является обратным по отношению к известному факту:
|
Рис. |
Геометрически y = F (x ) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок).
В связи с тем что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возни-кает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.
Известно, что производная от пути по вре мени равна скорости точки: , поэтому, если известен закон изменения скорости V (t ) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .
Для нахождения закона изменения пути S (t ) нужно использоватьначальные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S 0 при t = t 0 . Пустьпри t = t 0 S = S 0 . Тогда
S(t 0) = S 0 = F(t 0) + C. С = S 0 – F(t 0) иS(t) = F(t) + S 0 – F(t 0).
Определение 2
Если F ( x ) – некоторая первообразная от функции f ( x ), то выражение F ( x ) + C , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом и обозначается
,
т. е. неопределенный интеграл от функции f ( x ) есть множество всех её первообразных.
При этом функция f ( x ) называется подынтегральной , а произведение f ( x ) dx – подынтегральным выражением ; F ( x ) – одна из первообразных; х – переменная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием .
П р и м е р1.Найти неопределенные интегралы:
а)
; б) 
Решение
а)
, так как 
.
б)
, так как 
.
Теорема 2 (существование неопределенного интеграла)
Если функция непрерывна на , то существует первообразная, а значит, и интеграл .
Свойстванеопределенныхинтегралов:
1.
, т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции.
2.
, т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению.
Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.
Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.
Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.
Пример №1 .
Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).
Решение:
Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо
(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.
Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.
Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2
Определение.
Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2
Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.
Пример №2.
Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:
Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.
Доказательство.
Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что
F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).
По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,
F(x) - F(x 0) = 0.
Итак, для всех х из промежутка I
т е. функция F сохраняет постоянное значение.
Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):
Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде
F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.
Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:
- какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
- какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство
Доказательство.
- По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
- Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.
Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.
Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.
Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу
Вопросы к конспектам
Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.
Найдите все первообразные для функции
Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку