Параграф 2 площади параллелограмма треугольника и трапеции. «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

1)Приветствие

2) Мотивация урока Учитель проверяет готовность класса к уроку; мотивирует обучающихся сформулировать тему.

Прочитайте определение на доске (тематическом листе) и вставьте понятие, о котором идет речь:

Величина той части плоскости, которую занимает многоугольник - …(площадь)

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны - ….(параллелограмм)

Фигура, составленная из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, которые их соединяют, называется ….(треугольником)

Фигура, у которой две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется …(трапецией)

Из получившихся слов попробуйте составить тему нашего сегодняшнего урока.

Итак, тема урока….Площади параллелограмма, треугольника, трапеции.

Площади, каких фигур мы умеем находить и как?

Вычислите площади фигур на рис.

Есть ли другие варианты решения?

Что произошло?

Какие были попытки нахождения площади?

Кто пытался найти площадь параллелограмма? Расскажите.

Вывод формулы площади параллелограмма.

Задача.

Как «перекроить» параллелограмм, чтобы получить прямоугольник с такой же площадью?

Параллелограмм перекроили в прямоугольник. Значит, его площадь равна площади прямоугольника.

А чем являются длина и ширинапрямоугольника для параллелограмма?

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

В параллелограмме основанием может быть любая сторона. А для того чтобы применить формулу нахождения площади, высоту необходимо провести к основанию.

Давайте вычислим площадь данного параллелограмма.

Вывод формулы площади треугольника.

Как можно перекроить или достроить треугольник?

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

А если треугольник прямоугольный?

Посмотрите на рис.

Его можно «перекроить» в прямоугольник.

А его площадь мы найдем по формуле

S =a *b . Длина прямоугольника – это половина катета, а ширина –это другой катет.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Вывод формулы площади трапеции.

Посмотрите, как «перекроилась» треапеция – в треугольник. А площадь треугольника мы найдем по формуле:

Основание треугольника –это сумма длин верхнего и нижнего онования, а высота треугольника –это выота трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

1) Найти S пар . , если а =5, h =4.

2) Найти S треуг. , если а =3,5; h =2.

3) Найти S трап. , если а =4,5; b = 2,5; h =3.

Выполняют задания теста (см.приложение)

Взаимопроверка самостоятельной работы.

Решение задач по новой теме:

№ 675(а,г), 676(а,б), 677(а,б)

Для слабых и неуспевающих учеников подготовлена индивидуальная работа по карточкам, которая включает в себя задачи, в которых есть образец записи решения.

Учитель предлагает ответить на вопросы по новой теме.

Ребята, давайте подведем итог!

Что сегодня на уроке вы узнали?

Что вы научились делать?

Что было трудно в решение?

Учитель комментирует домашнее задание.

п.23 № № 675(б,в), 676(в,г), 677(в,г)

Все молодцы!

Урок окончен. До свидания!

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 2
2

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
a · b · sin α

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции
Где S - Площадь трапеции,
- длины основ трапеции,
- длины боковых сторон трапеции,

Площадь параллелограмма

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

где $a$ сторона параллелограмма, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Очевидно, что фигура $FDAE$ -- прямоугольник.

\[\angle BAE={90}^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-{90}^0={180}^0-\angle A-{90}^0={90}^0-\angle A=\angle BAE\]

Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда

Значит по теореме о площади прямоугольника :

Теорема доказана.

Теорема 2

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).

Рисунок 2.

По определению синуса, получим

Следовательно

Значит, по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Теорема 3

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ сторона треугольника, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Рисунок 3.

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Теорема 4

Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его смежных сторон, на синус угла между этими сторонами.

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан треугольник $ABC$, у которого $AB=a$. Проведем высоту $CH=h$. Достроим его до параллелограмма $ABCD$ (рис. 3).

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).

Рисунок 4.

По теореме $3$, получим

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.

Тогда, по теореме $4$, имеем

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Заметим, что результат этой задачи можно применять при нахождении площади любого равностороннего треугольника с данной стороной.

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием , а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма .

Теорема

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем, что S = AD ВН.

Рис. 182

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S = ВС ВН, а так как ВС = AD, то S = AD ВН. Теорема доказана.

Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют его основанием . Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к основанию. Теорема

Доказательство

Пусть S - площадь треугольника АВС (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведём высоту СН. Докажем, что .

Рис. 183

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 183. Треугольники АВС и DCB равны по трём сторонам (ВС - их общая сторона, АВ = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. . Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Доказательство

Пусть S и S 1 - площади треугольников АВС и A 1 B 1 C 1 , у которых ∠A = ∠A 1 (рис. 184, а). Докажем, что .

Рис. 184

Наложим треугольник A 1 B 1 C 1 на треугольник ABC так, чтобы вершина А 1 совместилась с вершиной А, а стороны А 1 В 1 и A 1 С 1 наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б). Треугольники АВС и АВ 1 С имеют общую высоту - CН, поэтому .

Треугольники АВ 1 С и АВ 1 С 1 также имеют общую высоту - В 1 Н 1 , поэтому . Перемножая полученные равенства, находим:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH 1) - высота трапеции ABCD.

Рис. 185

Теорема

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б).

Докажем, что

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S ABD + S BCD .

Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH 1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Теорема доказана.

Задачи

459. Пусть а - основание, h - высота, a S - площадь параллелограмма. Найдите: a) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S = 34 cм 2 , h = 8,5 см; в) а, если S = 162 cм 2 , h = 1/2a; г) h, если h = 3а, S = 27.

460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.

463. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.

464. Пусть а и b - смежные стороны параллелограмма, S - площадь, a h 1 и h 2 - его высоты. Найдите: a) h 2 , если а = 18 см, b = 30 см, h 1 = 6 см, h 2 > h 1 ; б) h 1 , если а =10 см, 6 =15 см, h 2 = 6 см, h 2 > h 1 в) h 1 и h 2 , если S = 54 см 2 , а = 4,5 см, b = 6 см.

465. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.

467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

468. Пусть а - основание, h - высота, a S - площадь треугольника. Найдите: a) S, если а = 7 см, h = 11 см; б) S, если а = 2√3 см, h = 5 см; в) h, если S = 37,8 см 2 , а - 14 см; г) а, если S = 12 см 2 , h = 3√2 см.

469. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.

470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.

471. Д Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.

472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см 2 . Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.

473. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

475. Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см 2 .

478. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

479. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: a) S ADE , если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = Зсм, АЕ = 2 см, S ABC = 10 cм 2 ; б) AD, если АВ = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, S ABC = 10 см 2 , S ADE = 2 см 2 .

480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:

а) АВ = 21 см, CD= 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ∠D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в) ВС ⊥ АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.

482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Ответы к задачам

459. а) 180 см 2 ; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.

460. 156 см 2 .

461. 84 см 2 .

462. 18 см 2 .

463. 56,7 см 2 .

464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см.

465. 12 см 2 .

466. 115,52 см 2 .

467. Площадь квадрата больше.

468. а) 38,5 см 2 ; б) 5√3 см 2 ; в) г) 4√2 см.

470. 5,625 см.

471. а) 22 см 2 ; б) 1,8 дм 2 .

472. 14 см и 24 см.

473. Указание. Воспользоваться теоремой п. 38.

474. Площади треугольников равны.

475. Указание. Сначала разделить сторону ВС на три равные части.

476. а) 224 см 2 ; б) 4,6 дм 2 . Указание. Учесть, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

477. 6 см и 9 см.

479. а) 2 см 2 ; б) 2,4 см. Указание. Воспользоваться второй теоремой п. 53.

480. а) 133 см 2 ; б) 24 см 2 ; в) 72 см 2 .

481. 54 см 2 .

Площадь параллелограмма

Теорема 1

Площадь параллелограмма определяется как произведение длины его стороны, на высоту, проведенную к ней.

где $a$ сторона параллелограмма, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AD=BC=a$. Проведем высоты $DF$ и $AE$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Очевидно, что фигура $FDAE$ -- прямоугольник.

\[\angle BAE={90}^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-{90}^0={180}^0-\angle A-{90}^0={90}^0-\angle A=\angle BAE\]

Следовательно, так как $CD=AB,\ DF=AE=h$, по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогда

Значит по теореме о площади прямоугольника :

Теорема доказана.

Теорема 2

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны параллелограмма, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$, у которого $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Проведем высоту $DF=h$ (рис. 2).

Рисунок 2.

По определению синуса, получим

Следовательно

Значит, по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь треугольника

Теорема 3

Математически это можно записать следующим образом

где $a$ сторона треугольника, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Доказательство.

Рисунок 3.

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Теорема 4

Математически это можно записать следующим образом

где $a,\ b$ стороны треугольника, $\alpha $ -- угол между ними.

Доказательство.

Очевидно, что по $I$ признаку равенства треугольников $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогда

Значит по теореме $1$:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Теорема 5

Площадь трапеции определяется как половина произведения суммы длин его оснований, на его высоту.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCK$, где $AK=a,\ BC=b$. Проведем в ней высоты $BM=h$ и $KP=h$, а также диагональ $BK$ (рис. 4).

Рисунок 4.

По теореме $3$, получим

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь равностороннего треугольника, если длина его стороны равняется $a.$

Решение.

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равняются ${60}^0$.

Тогда, по теореме $4$, имеем

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.