Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к. Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия. Квазилинейные системы - системы (1) при. Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - . Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др. Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр. Для систем Ляпунова где причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо). Для систем, близких к системам Ляпунова, где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра, непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV). Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково: Тогда существует нормализующее преобразование: приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений
и такое, что, если. Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех, для к-рых выполнено резонансное уравнение играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII). Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы . Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в . Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория. Лит.: Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975. В. М. Старжинский.
Смотреть значение Нелинейные Колебания в других словарях
Доход Средний Плюс Колебания
— MEAN-VARIANCE EFFICIENCYМодель формирования оптимального портфеля ценных бумаг инвесторов, основанная на выводе Гарри Марковица (H. Markowitz) о том, что
лицо, вкладывающее
........
Экономический словарь
Капитальный Убыток, Потери Капитала Вследствие Колебания Нормы Прибыли; Потери Капитала Вследствие С
— Сумма, на которую прибыль от продажи основных фондов (capital assets) меньше, чем затраты на их приобретение. До принятия Закона о налоговой реформе 1986 г. (Tax Reform Act of 1986) 2 долл.........
Экономический словарь
Колебания
— MOVEРост или
снижение цен на определенный вид акций или цен на рынке в целом в результате возникновения благоприятных или неблагоприятных условий, а также в результате........
Экономический словарь
Колебания Конъюнктуры Рынка
— изменения экономических параметров во времени, связанные с объективными реалиями рыночной экономики, в том числе и сезонными изменениями.
Экономический словарь
Колебания Курса
Экономический словарь
Колебания Курса (валюты, Ценных Бумаг)
— изменение биржевых цен на валюту, ценные
бумаги под воздействием меняющихся
спроса,
предложения и иных факторов.
Экономический словарь
Колебания Курса Максимальное
— англ. maximum price fluctuation максимальная величина колебания курса контракта в ту или иную сторону в течение биржевой сессии, определяемая правилами биржи.
Экономический словарь
Колебания Рыночной Конъюнктуры
— MARKET SWINGSСм. СВИНГ; ЦИКЛ ДЕЛОВОЙ АКТИВНОСТИ; ЦИКЛ СПЕКУЛЯТИВНЫЙ
Экономический словарь
Колебания Сезонные
— SEASONAL VARIATIONБолее или менее регулярные
колебания деловой активности, вызванные сезонными факторами. Напр.,
объем списания денег со счетов в банках в декабре обычно........
Экономический словарь
Принцип Колебания Курсов
— FLUCTUATING PRINCIPLEПринцип выбора ценных бумаг (облигаций или акций) исходя из амплитуды колебаний их рыночных курсов в течение полного экон. цикла. Диапазон таких колебаний........
Экономический словарь
Сезонные Колебания
— повышение или
понижение уровня экономической активности, масштабов экономической деятельности вследствие смены сезонов.
Экономический словарь
Сезонные Колебания Цен
— цены, изменяющиеся в зависимости от времени года (
цены на сельскохозяйственную продукцию), сезона (цены на одежду и обувь).
Экономический словарь
Торговые Колебания
— Доли, до которых округляются цены в сделках с ценными бумагами.
Экономический словарь
Флуктуации; Колебания; Неустойчивость; Изменение
— (1) Изменение цен или процентных ставок в направлении роста или спада. Термин "флуктуации" может относиться как к незначительному, так и к сильному изменению цены акций,........
Экономический словарь
Maximum Fluctation (пределы Колебания/изменения Цены)
— Максимальное ежедневное колебание цены, допускаемое на некоторых рынках. См.: limit (лимит/предел).
Экономический словарь
Realignment (механизм Совместного Колебания Валютных Курсов/пересмотр Валютных Курсов)
— Процесс девальвации одной или нескольких валют, входящих в Европейскую валютную систему (European Monetary System). Обменный курс каждой из европейских валют определяется курсовым........
Экономический словарь
Колебания Курса
— - изменение биржевых цен на валюту, ценные бумаги под воздействием изменения спроса, предложения и иных факторов.
Юридический словарь
Сезонные Колебания
— - повышение или понижение уровня экономической активности, масштабов экономической деятельности вследствие смены годовых сезонов.
Юридический словарь
Гармонические Колебания
— , периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда........
Научно-технический энциклопедический словарь
Вынужденные Колебания
— возникают в системе под действием периодическоговнешнего воздействия (напр., вынужденные колебания маятника под действиемпериодической силы, вынужденные колебания........
Гармонические Колебания
— характеризуются изменением колеблющейся величиныx (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепипеременного тока и т. д.) во времени t по закону:........
Большой энциклопедический словарь
Затухающие Колебания
— собственные колебания, амплитуда А которых убываетсо временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (- ?t) (? - показательзатухания из-за диссипации энергии благодаря силам вязкого........
Большой энциклопедический словарь
Колебания
— движения (изменения состояния), обладающие той или инойстепенью повторяемости. Наиболее распространены:1) механические колебания:колебания маятника, моста, корабля........
Большой энциклопедический словарь
Колебания Кристаллической Решетки
— колебания атомов или ионов,составляющих кристалл, около положений равновесия (узлов кристаллическойрешетки). Амплитуда тепловых колебаний кристаллической решетки........
Большой энциклопедический словарь
Сверхвысокочастотные Колебания
— (СВЧ) электромагнитные колебания частотой от 3108 до 31011 гц; используются в физиотерапии для локального поверхностного нагрева тканей организма.
Большой медицинский словарь
Ультразвуковые Колебания
— см. Ультразвук.
Большой медицинский словарь
Нелинейные Системы
— колебательные системы, в которых протекают процессы,описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Свойства ихарактеристики нелинейных систем зависят от их состояния.
Большой энциклопедический словарь
Нормальные Колебания
— собственные (свободные) гармонические колебаниялинейных систем с постоянными параметрами, в которых отсутствуют какпотери энергии, так и приток ее извне. Каждое нормальное........
Большой энциклопедический словарь
Плазменные Колебания
— различные типы колебаний, возбуждающиеся ираспространяющиеся в плазме. К ним относятся медленные колебания тяжелыхионов относительно быстро колеблющихся электронов........
Большой энциклопедический словарь
Разрывные Колебания
— релаксационные колебания, при которых колебательныйпроцесс представляет собой последовательность медленных (по сравнению спериодом колебаний) изменений состояния........
Большой энциклопедический словарь
Теория нелинейных колебаний начала активно применяться и развиваться в течение последних 50 лет. Основополагающее значение в указанной гипотезе, в частности в концепции автоматических вибраций, принадлежит российскому ученому. М. Ляпунову и его сторонникам, работы которых смогли доказать необходимость использования нелинейных методов в решении сложных задач.
Замечание 1
Теория нелинейных колебаний (или нелинейного механического перемещения частиц среды) направлена на исследование нестабильных колебательных движений, описываемых в физике в виде дифференциальных уравнений.
Данная сфера в механике предоставляет более точное представление о характеристиках вибрационных движений автоматических систем. В итоге линейные формулы получаются путем упрощения нелинейных. Поэтому рассмотрение подобных колебаний дает возможность сделать только определенные заключения о свойствах кратковременных движений, которые могут быть лишь приближенными. Несмотря на это, теория нелинейных вибраций включает важные сведения о систематических решениях, появляющихся за рамками стабильности стационарного состояния.
Способы проявления нелинейных эффектов
Нелинейные процессы могут формироваться посредством разнообразных методов. Классический и наглядный пример - это нелинейная спираль, в которой возобновляющая сила непосредственно зависит от начального растяжения. В случае параллельной нелинейности (одинаковый итог при растяжении и сжатии) формула движения частиц любого пространства принимает вид:
$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$
Если на систему периодически воздействует внешняя сила, то в классической гипотезе полагают, что и конечный отклик станет цикличным. Резонанс нелинейного явления при малой частоте отклика заключается в его соответствии с плотностью элементов концепции. При постоянном перемещении вынуждающей силы возникает амплитуда соответствующих частот, в котором вероятны разные значения сдвига частиц.
Существуют и другие комплексные решения, такие, как супергармонические и субгармонические вибрации. Если обязывающая сила имеет целостный вид, то другие колебания становятся более высокими. Гипотеза нелинейного резонанса основывается на предположении, что систематическое влияние предполагает создание периодического отклика.
Самоформирующиеся колебания представляют собой иной важный класс нелинейных процессов. Это вибрационные движения, которые формируются в системах без цикличных внешних периодических сил или воздействий.
Парадигма гипотезы нелинейных колебаний
Теория нелинейных движений стала заменой закона электрических вибраций Ван дер Поля. Последняя была генетически взаимосвязана с созданием принципов гипотезы радиотехнического прибора – лампового распределителя. В таком генераторе, функционирующем с определенным «трением» (т.е. будучи неконсервативной концепцией), постепенно появляются незатухающие колебательные перемещения. Это значит, что система включает источник внутренней энергии (или в систему систематически поступает питание извне). Однако в данном аспекте речь не идет о принужденных вибрациях. Ламповое устройство самостоятельно генерирует цикличные самовозбуждающиеся колебания.
Такие процессы возникают и функционируют за счет универсальной конструкции генератора, включающего, кроме колебательного усилитель и контура, связанных с ударной линией обратной связи.
Оставляя нерешенным вопрос о парадигме указанной гипотезы Ван дер Поля, возможно примерно описать концепцию, которая наблюдалась в трудах Мандельштама, Андронова и их последователей в конце 20-х гг.
Замечание 2
В качестве первого и основного элемента в работах ученых выступают «символические обобщения» – математические уравнения, которые определяют и описывают универсальные научные закономерности. В современной физике – это в основном дифференциальные формулы.
Ван дер Поль, в первую очередь, следовал уравнениям, описывающим принцип работы простого лампового распределителя:
$\frac {d^2x}{dt^2} - \mu (1 – 2x^2) \frac {dx}{dt} = x = 0$
Здесь $x$ – общий параметр (в случае генератора – сила и энергия тока), $t$ – определённый период времени, а нелинейный элемент $\frac{x}{dt}$ демонстрирует работу электронной лампы.
Значимую роль в истории теории нелинейных вибраций сыграл так называемый способ припасовывания (позднее названный законом структурно-линейной аппроксимации).
Собственно, в начале 1927 года Мандельштам смог более тщательно проанализировать стабильность колебательных движений, получаемых по указанному принципу. Метод припасовывания и на сегодняшний день широко применяется в гипотезе нелинейных колебаний.
Идеология теории нелинейных процессов
Идеология рассматриваемой гипотезы, прежде всего, характеризует особенности автоколебаний.
Понятия этих явлений были введены Л.В. Андроновым в научных статьях 1928–1929 гг. Фактически с механическими вибрациями имел дело и Ван дер Поль, описывая колебательные движения в ламповом генераторе, но он не так и не смог представить специального термина для них.
В работах Андронова «символическим обобщением» в итоге стало дифференциальное уравнение, по отношению к которому формула Ван дер Поля представляет собой только частный случай. Запись подобной эквивалентности выглядит следующим образом:
$\frac {d^2x}{dt^2} + \frac { 2dx}{dt + \omega^2 x} = f (\frac {x,dx}{dt})$
Идеология появляется вместе с парадигмой, но она распространяется значительно дальше. Идеологические процессы – это выражения и слова, значения которых определяются посредством аналогий, примеров и иллюстраций. Одним из главных признаков использования термина в идеологии является некое размывание его сути. Понятие условно выходит за границы собственной сферы применения.
Министерство образования республики Беларусь
Учреждение образования
Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина
Физический факультет
Кафедра методики преподавания физики и ОТД
КУРСОВАЯРАБОТА
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
Выполнил студент группы ФИ-51
Пашкевич А.Я.
Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент Ворсин Н.Н.
Брест, 2012
Введение
1.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы
2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами
2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой
2.2 Различные типы особенностей0
3. Незатухающие и релаксационные колебания
3.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля
3.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации
3.3 Основные уравнения
3.4 Колебания при большойрасстройке
3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды
3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла
Заключение
Список литературы
Введение
Нет ничего удивительного в том, что физик должен уметь находить решение нелинейных задач, поскольку множество явлений, которые совершаются в мире вокруг него, управляются нелинейными зависимостями. В процессе развития математических наук трудности нелинейного анализа мешали формулировке представлений о нелинейных движениях, которые позволили бы глубже понять такие явления.
Если оглянуться назад на историю достижений науки, поражает тот факт, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем и на линейных понятиях. Если в то же самое время бросить взгляд на окружающий нас мир, буквально на каждом шагу сталкиваешься с явлениями, которые нелинейны по своей природе. Линейные представления дают только поверхностное понимание многого из того, что встречается в природе. Чтобы сделать анализ более реалистичным, необходимо достичь более высокого уровня и большей легкости в понимании и использовании нелинейных представлений.
За последние годы получили развитие компьютерные методы анализа, и во многих случаях полагалось, что полученные решения могут дать лучшее понимание проявлений нелинейности. Вообще говоря, обнаружилось, что простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, чем, например, наблюдение за самой природой, «перемалывающей» решения такой конкретной нелинейной задачи, как погода. Похоже, что наше понимание основывается не на уравнениях или их решениях, а, скорее, на фундаментальных и хорошо усвоенных представлениях. Обычно мы понимаем окружающее, только когда можем описать его посредством понятий, которые настолько просты, что они могут быть хорошо усвоены, и настолько широки, чтобы можно было оперировать ими, не обращаясь к конкретной ситуации. Перечень таких понятий обширен и включает, например, такие термины как резонанс, гистерезис, волны, обратная связь, граничные слои, турбулентность, ударные волны, деформация, погодные фронты, иммунитет, инфляция, депрессия и т. д. Большинство наиболее полезных процессов нелинейны по своему характеру, и наша неспособность описать точным математическим языком такие повседневные явления, как поток воды в водосточном желобе или закручивание дыма от сигареты, частично кроется в том, что мы не желали ранее погрузиться в нелинейную математику и понять ее.
Явление резонанса, как известно, часто встречается в живой материи. Следуя Винеру , Сент-Дьердьи предположил важность резонанса для устройства мышц. Оказывается, что субстанции с сильными резонансными свойствами обычно обладают исключительной способностью запасать как энергию, так и информацию, а такое аккумулирование, несомненно, имеет место в мышце.
Нелинейные колебания, случайные нелинейные колебания и связанные (синхронизированные по фазе) нелинейные колебания составляют самую суть явлений во многих областях науки и техники, например связи и энергетики; ритмические процессы имеют место в биологических и физиологических системах. Биофизик, метеоролог, геофизик, физик-атомщик, сейсмолог - все они имеют дело с нелинейными колебаниями, часто в той или иной форме синхронизированными по фазе. Например, инженер-энергетик занимается проблемой устойчивости синхронных машин, инженер-связист - неустойчивостью временной селекции или синхронизации, физиолог имеет дело с клонусом, невропатолог - с атаксией, метеоролог - с частотой колебаний атмосферного давления, кардиолог - с колебаниями, вызванными работой сердца, биолог - с колебаниями, обусловленными ходом биологических часов.
Основная цель дипломной работы - рассмотреть ряд задач теории нелинейных колебаний, связанных с такими основополагающими понятиями, как захватывание (или синхронизация), слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Будет сделана попытка дать обзор нелинейных задач, представляющих практический интерес, решения которых записаны в доступной форме. Обзор не является исчерпывающим, но он включает примеры задач, которые служат иллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.
Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.
1. Свободные колебания в линейных системах
Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.
Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности, соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем
Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением
По аналогии имеем, что; ; и, причем токявляется аналогом смещения.
Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы
Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения
приводим (1.2) к виду
Поскольку, колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:
где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения
Таким образом, и заданы соотношениями
Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина: а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид
где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока) и скорости в некоторый начальный момент.
Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с. Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению
Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример – это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид
Если затухание отсутствует и , имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика (рисунок 1.54).
Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рисунке.
Рисунок 1.54 - Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (a и b определяются в уравнении)
При постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.
Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.
Если вынуждающая сила имеет вид ,
то субгармонические колебания могут иметь вид 
плюс более высокие гармоники ( –целое число).
Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.
Самовозбуждающиеся колебания – другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил (рисунок 1.55).
Рисунок 1.55 - Примеры самовозбуждающихся колебаний: а – сухое трение между массой и движущимся ремнем;
б – аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло
В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня.
Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых, стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске.
В этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления (уравнение Ван дер Поля):
Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.
При анализе уравнения Ван дер Поля, удобно перейти к безразмерным переменным, нормировав пространственную переменную на , а время – на , так что уравнение принимает вид
,
При решении уравнения его представляют в виде ситемы уравнений первого порядка
Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рисунке 1.56 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (где ).
Рисунок 1.56 - Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости
При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?
При малых , предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е. , где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких порядков.
При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рисунке 1.57 с безразмерным периодом около 1.61 при .
Рисунок 1.57 Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля
Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:
Поскольку система нелинейная, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда она близка к частоте предельного цикла.
При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (см. рисунок). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.
При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление – комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями, вида
Когда частоты и несоизмеримы, т. е. – иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где – частота предельного цикла свободных колебаний (рисунок 1.58).
Рисунок 1.58 - Амплитудные кривые для вынужденного
движения осциллятора Ван дер Поля
Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения состоит из двух пиков при , )
Когда , и несоизмеримы, фазовый портрет решения представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ.
Делается стробоскопическая выборка с интервалом ; положим и обозначим , .
Тогда соотношение сводится к
Пер. с англ. Болдова Б. А. и Гусева Г. Г. Под редакцией В. Е.
Боголюбова. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
Удк 534 (Механические колебания. Акустика). Есть текстовый слой (т.
е. легко копируется текст).
Монография известного японского ученого Т. Хаяси посвящена теории
нелинейных колебательных процессов, происходящих в самых различных
физических системах.
Книга представляет собой переработанное и дополненное издание одной
из более ранних работ автора, знакомой советскому читателю по
русскому переводу (Хаяси Т., Вынужденные колебания в нелинейных
системах, Ил, М. , 1957). Однако после переработки и дополнения
получилась фактически новая книга.
Она отличается от предыдущей не только новыми разделами, но и
значительно усовершенствованной методикой изложения. Книга
представляет интерес как для физиков и инженеров различных
специальностей, имеющих дело с теорией нелинейных колебаний и ее
приложениями, так и для математиков, занимающихся теорией
дифференциальных уравнений.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Часть i. Основные методы анализа нелинейных колебаний.
Глава i.
Аналитические методы.
Введение.
Метод возмущений.
Метод итераций.
Метод усреднения.
Принцип гармонического баланса.
Численные примеры решения уравнения Дуффинга.
Глава ii.
Топологические методы и графические решения.
Введение.
Интегральные кривые и особые точки на плоскости состояний.
Интегральные кривые и особые точки в пространстве состояний.
Метод изоклин.
Метод Льенара.
Дельта-метод.
Метод наклонных прямых.
Глава iii.
Устойчивость нелинейных систем.
Определение устойчивости по Ляпунову.
Критерий Рауса - Гурвица для нелинейных систем.
Критерий устойчивости по Ляпунову.
Устойчивость периодических колебаний.
Уравнение Матье.
Уравнение Хилла.
Улучшенное приближение характеристического показателя для.
уравнения Хилла.
Часть ii, Вынужденные колебания в установившемся режиме.
Глава iy.
Устойчивость периодических колебаний в системах второго
порядка.
Введение.
Условие устойчивости периодических решений.
Улучшенные условия устойчивости.
Дополнительные замечания об условиях устойчивости.
Глава y.
Гармонические колебания.
Гармонические колебания при симметричной нелинейной
характеристике.
Гармонические колебания при несимметричной нелинейной
характеристике.
Глава Yi.
Ультрагармонические колебания.
Ультрагармонические колебания в.
последовательно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Ультрагармонические колебания в параллельно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Глава Yii.
Субгармонические колебания.
Введение.
Связь между нелинейной характеристикой и порядком.
субгармонических колебаний.
характеристике, представленной кубической функцией.
Субгармонические колебания порядка 1/3 при нелинейной.
характеристике, представленной полиномом пятой степени.
Экспериментальное исследование.
характеристике, представленной полиномом третьей степени.
Субгармонические колебания порядка 1/2 при нелинейной.
характеристике, представленной симметричной квадратичной.
функцией.
Экспериментальное исследование.
Часть iii. Переходные процессы вынужденных колебаний.
Глава Yiii.
Гармонические колебания.
Введение.
Периодические решения и их устойчивость.
Анализ гармонических колебаний с помощью интегральных.
кривых.
Анализ гармонических колебаний на фазовой плоскости.
Геометрический анализ интегральных кривых для консервативных
систем.
Геометрический анализ интегральных кривых для диссипативных
систем.
Экспериментальное исследование.
Глава ix.
Субгармонические колебания.
Анализ субгармонических колебаний с помощью интегральных
кривых.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/3 на фазовой
плоскости.
Экспериментальное исследование.
Субгармонические колебания порядка 1/5.
Субгармонические колебания порядка 1/2.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/2 на фазовой.
плоскости.
Исследование на аналоговой вычислительной машине.
Глава x.
Начальные условия, приводящие к различным видам.
периодических колебаний.
Метод анализа.
Симметричные системы.
колебаний порядка 1/3.
Несимметричные системы.
Области притяжения для гармонических и субгармонических.
колебаний порядков 1/2 и 1/3.
Экспериментальные исследования.
Глава Xi.
Введение.
Почти периодические колебания в резонансной цепи с подмагничиванием
постоянным током.
Оглавление.
Экспериментальное исследование.
Почти периодические колебания в параметрически.
возбуждаемой цепи.
Часть iv. Автоколебательные системы при периодическом воздействии
внешней силы.
Глава Xii.
Захватывание частоты.
Введение.
Гармоническое захватывание.
Ультрагармоническое захватывание.
Субгармоническое захватывание.
Области захватывания частоты.
Анализ при помощи аналоговой вычислительной машины.
Автоколебательная система при нелинейной восстанавливающей
силе.
Глава Xiii.
Почти периодические колебания.
Уравнение Ван-дер-Поля с вынуждающим членом.
гармонических колебаний.
Геометрическое рассмотрение интегральных кривых на.
границе гармонического захватывания.
Почти периодические колебания, возникающие из.
ультрагармонических колебаний.
Почти периодические колебания, возникающие из.
субгармонических колебаний.
Автоколебательная система с нелинейной восстанавливающей силой.
Приложение i. Разложения функций Матье.
Приложение ii. Неустойчивые решения уравнения Хилла.
Приложение iii. Неустойчивые решения обобщенного уравнения
Хилла.
Приложение iv. Критерий устойчивости, полученный с помощью
метода.
возмущений.
Приложение v. Замечания, касающиеся интегральных кривых и особых
точек.
Приложение Vi. Электронный синхронный коммутатор.
Задачи.
Литература.
Указатель.
Т. Хаяси.
Нелинейные колебания в физических системах.
Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Н.
Турсукова.
Сдано в производство 9/Х 1967 г. Подписано к печати 25/Ш 1968
г.
Бумага 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 печ. л.
Уч. -изд. л. 24,
0. Изд. № 1/3899.
Цена 1 р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. № 38.
Издательство "Мир", Москва, 1-й Рижский пер. , 2.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета.
по печати при Совете Министров Ссср. Измайловский пр. , 29.
Смотрите также
Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин
- формат файла: pdf
- размер: 5.53 МБ
- добавлен: 25 сентября 2011 г.
Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010 г., 217 с. В монографии рассматриваются асимптотические методы решения задач колебаний балок и пластин. Основное внимание уделено гомотопическому методу возмущений, который основывается на введении искусственного малого параметра. Исследованы линейные колебания конструкций со смешанными граничными условиями, а также нелинейные колебания систем с распределен...
Вибрации в технике. Том 6. Защита от вибрации и ударов
- формат файла: djvu
- размер: 7.28 МБ
- добавлен: 27 октября 2009 г.
Фролов К. В. В шестом томе изложены методы снижения виброактивности источников колебаний и настройки динамических гасителей. Рассмотрены вопросы балансировки вращающихся деталей машин, уравновешивания машин и механизмов, выбора рациональных законов перемещения рабочих органов машин, изоляции оборудования и основания, а также проблемы защиты человека от вибрации. Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых расчетами, пр...
Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел
- формат файла: djvu
- размер: 8.89 МБ
- добавлен: 27 октября 2011 г.
М.:Наука,1976, 432 с. Исследованы нелинейные колебания в пространственном движении, в частности условия возникновения резонансов. Работа актуальна при создании систем амортизации авиационной и космической техники. Ганиев Р. Ф. - акад. РАН, Кононенко В. О. - акад. АН Украины. Амортизатор упругий 39 Виброамортизация 145, 41, 7 Виброизоляция 145, 417 Возбуждение кинематическое 134, 358 Гирорама двухосная 343 Гирорама трехосная 353 Гироскоп астатичес...
Ден-Гартог Д.П. Механические колебания
- формат файла: djvu
- размер: 7.5 МБ
- добавлен: 25 мая 2010 г.
М. Физматгиз. 1960г. 574 с. Кинематика колебаний. Системы с одной степенью свободы. Две степени свободы. Системы с произвольным числом степеней свободы. Многоцилиндровые двигатели. Вращающиеся части машин. Автоколебания. Квазигармонические и нелинейные колебания систем.
Мигулин В.В. Основы теории колебаний
- формат файла: djvu
- размер: 3.88 МБ
- добавлен: 10 января 2010 г.
Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем. Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подроб...
Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний
- формат файла: pdf
- размер: 8.75 МБ
- добавлен: 23 февраля 2010 г.