Для измерения разности температур (ΔТ).служит метастатический термометр, известный под названием термометра Бекмана. Его особенностью является наличие в верхней части термометра дополнительного резервуара, в который при желании может быть переведена часть ртути из основного резервуара. Это дает возможность использовать один и тот же термометр для проведения измерений в разных интервалах температур. Шкала такого термометра охватывает интервал температур в 5-6º и разделена на деления, соответствующие 0,01º. Разумеется, при различных наполнениях ртутью основного резервуара термометра 1º шкалы его будет отвечать различным интервалам температуры. Таким образом, следует помнить, что шкала такого термометра имеет лишь условный характер, и для перевода разности температур, отмеченной по термометру, к действительному значению разности температур необходимо ввести поправку на так называемое «значение градуса». Эта поправка обычно дается в паспорте термометра для различных интервалов температур (т.е. для различных наполнений ртутью резервуара).
Настройка метастатического термометра, шкала которого охватывает 5º , на нужный диапазон температур производится следующим образом. Предположим, требуется применить термометр в интервале температур 20 - 25º, т.е. нуль шкалы термометра должен соответствовать 20º С. Держа термометр в руках в наклонном положении (главный резервуар должен быть выше дополнительного) и слегка постукивая по нему пальцем (для преодоления трения ртути о стенки капилляра), добиваются того, чтобы ртуть начала перетекать из главного резервуара в дополнительный. Затем, повернув термометр главным резервуаром вверх и слегка встряхивая его, заставляют ртуть, находившуюся ранее в дополнительном резервуаре, соединиться с ртутью, выступающей из капилляра; затем осторожно, не встряхивая термометра, переводят его в нормальное положение (главным резервуаром вниз) и переносят в ванну (стакан с водой, имеющий температуру на 6º выше заданной, т.е. в нашем случае 26º С). Эта операция должна быть проделана так осторожно, чтобы столбик ртути в дополнительном резервуаре не разрывался. Выждав некоторое время, необходимое для выравнивания температур термометра и ванны, резко встряхивают термометр и заставляют ртуть, находящуюся в дополнительном резервуаре, упасть на дно. После этого термометр вынимают из ванны и дают охладиться, - держа в вертикальном положении, чтобы избежать возможности соединения ртути, находящейся в главном резервуаре, с ртутью, оставленной в дополнительном резервуаре. Какой именно температуре соответствует теперь метка «0» термометра, определяется сравнением его с проверенным термометром. В нашей работе используется довольно точный (точность до 0,01º) электронный термометр на сопротивлении.
В ходе калориметрического опыта, проводимого в изотермическом калориметре, происходит теплообмен с окружающей средой, следствием чего являются тепловые потери в окружающую среду. Определить действительное значение ΔТ по данным, полученным в результате калориметрического опыта можно двумя способами: аналитическим и графическим.
В нашей работе принят графический метод определения ΔТ, как более простой, по надежности не уступающий аналитическому.
Температура калориметрической системы во время опыта изменяется как за счет теплоты процесса, так и вследствие теплообмена со средой (оболочкой) и нагревания при перемешивании. Таким образом, измеренное измерение температуры ΔT изм отличается от истинного Т; отвечающего теплоте изучаемого процесса.
Характер теплообмена определяют по временному ходу температуры в течение каждого опыта. Поправку на теплообмен вводят либо аналитически,
либо с помощью описываемого ниже графического метода Ланге-Мищенко. Если продолжительность опыта не превышает двадцати минут, то второй способ предпочтителен.
Весь опыт делят на 3 периода (рисунок 4) : предварительный, продолжающийся не менее 5 минут, главный с продолжительностью, зависящей от скорости реакции и скорости перемешивания, и заключительный, продолжающийся также не менее 5 минут.
Рисунок 4 Графическое определение T
Для опытов следует пользоваться дистиллированной водой, отмеряя ее мерным цилиндром. Количество воды определяется размером калориметра. Воду вливают во внутренний стакан калориметра (необходимо, чтобы температура воды в калориметре отличалась от температуры комнаты не более, чем на 1,0°С. Затем, производят измерение температуры калориметра через равные промежутки времени (30 сек). Время отмечается по секундомеру.
Первые 11 отсчетов температуры составляют так называемый «начальный» период опыта. Его назначение - измерить «ход» температуры калориметра, т.е. изменение его температуры со временем до начала теплового процесса в калориметре. Этот «ход» должен быть постоянен, т.е. разность между последовательными отсчетами не должна различаться более, чем 0,001 - 0,002°. Предварительный период начинается с момента, когда изменение температуры становится постоянным и не превышает ±0,050 - 0,040 °С/мин (в противном случае следует изменить перепад температур оболочки и реактора). Измерения при постоянном ходе температуры производят десять раз, а через следующие 30 сек. проводят реакцию (например, смешивают жидкости) или включают нагреватель.
С этого момента начинается главный период, в котором, как и в начальном периоде, продолжают проводить отсчеты температуры калориметра через каждые 30 сек. Главный период обычно длится 3-4 мин. Главный период опыта следует считать законченным, когда изменение температуры со временем становится постоянным. После этого производят еще 10 - 20 отсчетов температуры, составляющих так называемый «конечный» период опыта.
Положим, что изучаемый процесс является экзотермическим: температура быстро повышается, а затем постепенно вновь устанавливается равномерный ход температуры. Переход к нему определяет начало заключительного периода. В заключительном периоде отсчеты температуры продолжают еще 5 мин. Если по окончании изучаемого процесса температура оболочки все еще выше температуры реактора, то в заключительном периоде температура продолжает повышаться (с меньшей скоростью, чем в предварительном). Если температура реактора превысит температуру оболочки, то в заключительном периоде температура падает.
График строят в масштабе: 1-2 мм соответствует 0,01°С (см. рисунок 4 ). По оси температур можно сделать разрыв. На рисунке 1 измерение начато в момент, отвечающий точке b. Если бы тепловой эффект в реакторе не возникал, то температура продолжала бы расти по направлению прямой ab.
В точке d начался заключительный период - температура падает линейно. Допускают, что в первой половине главного периода наклон прямой отвечает закону теплопередачи в предварительном периоде, а во второй половине - закону заключительного периода. Поэтому продолжают прямые ab и de до пересечения в точках с и с" с вертикалью, проведенной через середину главного периода. Тем самым к T прибавляют величину, потерянную за счёт охлаждения при теплообмене (точка с лежит выше точки d), и вычитают эту величину, приобретенную за счет нагревания при перемешивании и теплообмене (тоска с" выше точки b). Таким образом, находят T = cc".
Аналогично случаям полубесконечного тела и пластины определяется температурное поле в стержне (рис. 18). Используя (21), получим
При, используя подстановку u 2 = t - ф и интеграл
Видно, что в стержне без поверхностной теплоотдачи (при b = 0) температура перед источником падает по закону exp(-vx/a), а позади него постоянна и равна q/(acpv). Теплоотдача уменьшает температуру.
Структура формул для полубесконечного тела (24), пластины (25), плоского слоя (26), и стержня (28) одинакова: в первый сомножитель входит плотность мощности(q, q/s, q/F), далее в показатель входят безразмерная продольная координата (критерий Пекле Ре) vx/(2a), характеризующая асимметричность температурного поля, и функция, зависящая от безразмерного радиус-вектора vR/(2a), vr/(2a) или v|х|/(2а)). Влияние поверхностной теплоотдачи характеризуется безразмерным критерием. Однотипность структуры формул и определяет однотипность температурных полей в различных телах.
Периоды теплонасыщения и выравнивания температур
Период теплонасыщения. Наступление предельного состояния процесса проявляется в том, что связанное с источником тепла подвижное температурное поле не изменяется со временем и только перемещается вместе с источником. Такое предельное состояние процесса наступает не сразу. В момент зажигания тепло дуги вводится в холодный металл, начальная температура которого постоянна во всем объеме изделия. По мере горения дуги тепло постепенно прогревает металл изделия. При этом размеры (длина, ширина, глубина) прилегающей к источнику нагретой зоны увеличиваются. Когда размеры зоны, нагретой выше определенной температуры Т т, перестают увеличиваться, считают, что процесс распространения тепла в этой зоне практически достиг предельного установившегося состояния. В более удаленных от источника тепла зонах предельное состояние наступает позже, чем в зонах, близких к источнику.
При действии неподвижного источника постоянной мощности процесс распространения тепла стремится к предельному стационарному состоянию, при котором температуры во всем поле остаются постоянными. При действии источника постоянной мощности, перемещающегося прямолинейно с постоянной скоростью, процесс распространения тепла стремится к предельному квазистационарному состоянию, при котором температуры остаются постоянными в подвижной системе координат, связанной с источником тепла.
Пусть в начальный момент t=0 тело находится при постоянной температуре, принимаемой за ноль отсчета. В момент t=0 начинает действовать источник постоянной мощности q, неподвижный (v=0) или перемещающийся прямолинейно с постоянной скоростью v. Период процесса распространения тепла от момента t=0 начала действия источника до установления предельного состояния (стационарного или квазистационарного) называется периодом теплонасыщения. В этом периоде температура T(t) любой точки тела, отнесенной к координатной системе, связанной с источником тепла (т. е. подвижной или неподвижной, в зависимости от того, движется или неподвижен источник), возрастает от начальной температуры Т(0)=0 до температуры предельного состояния, наступающей теоретически при бесконечно длительном действии источника, .
Температуру Т(t) данной точки (x,y,z) в периоде теплонасыщения, т.е. при выражают в разобранных нами ранее случаях общие уравнения процесса распространения тепла: (23) -- при точечном источнике на поверхности полубесконечного тела; (25) -- при линейном источнике в пластине с теплоотдачей.
Для удобства расчета целесообразно представить температуру Т(t) в периоде теплонасыщения произведением температуры Т пр той же точки в предельном состоянии на коэффициент теплонасыщения для той же точки
Коэффициент теплонасыщения, очевидно, возрастает от нуля в начальный момент, до единицы в предельном состоянии, . Возрастание этого коэффициента со временем характеризует интенсивность процесса насыщения теплом данной точки тела.
Коэффициенты теплонасыщения для трех основных схем процесса распространения тепла при сварке представлены на рис. 19 в зависимости от безразмерных критериев ф пропорциональных времени t, и критериев с, пропорциональных расстоянию рассматриваемой точки от источника тепла.
Для пространственного процесса распространения тепла точечного источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v по поверхности полубесконечного тела (рис. 13), коэффициент теплонасыщения представлен в зависимости от безразмерных критериев расстояния и времени (рис.19, а)
Для плоского процесса распространения тепла от линейного источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v в пластине толщиной s с теплоотдачей, характеризующейся коэффициентом, коэфициент теплонасыщения представлен в зависимости от безразмерных Критериев расстояния и времени (рис.19, б)
Для линейного процесса распространения тепла от плоского источника постоянной мощности, перемещающегося со скоростью v в стержне с поперечным сечением F и периметром р с теплоотдачей, характеризующейся коэффициентом, коэффициент теплонасыщения представлен в зависимости от безразмерных критериев расстояния и времени (рис. 19, в)
С возрастанием продолжительности t действия сосредоточенного источника температура во всем объеме нагреваемого тела возрастает, стремясь к предельной температуре. Чем ближе расположена к источнику рассматриваемая точка нагреваемого тела, т. е. чем меньше ее расстояние R, r или x; от источника, тем раньше начинает возрастать температура, тем быстрее она возрастает и тем раньше приближается к предельной. Таким образом, в близкой к источнику области, нагреваемой до высоких температур, период теплонасыщения заканчивается раньше, чем в удаленной области низких температур. В пластине плоский поток тепла, распространяющегося от источника, более стеснен, чем пространственный поток в полубесконечном теле, а линейный поток в стержне - более, чем плоский поток в пластине. Чем более стеснен поток тепла, тем медленнее насыщается теплом область, находящаяся на данном расстоянии от источника тепла, т. е. тем ниже коэффициент ш при данных значениях и.
Период выравнивания температуры. По окончании действия сосредоточенного источника введенное. им тепло продолжает распространяться по металлу изделия вследствие теплопроводности. Неравномерное распределение температуры, поддерживавшееся сосредоточенным источником, по прекращении его действия выравнивается, и температура нагретой области стремится к средней температуре тела. Период процесса распространения тепла, начиная от момента t=t k прекращения действия источника, называется периодом выравнивания температуры.
Пусть сосредоточенный источник постоянной мощности q= const неподвижный или перемещающийся прямолинейно с постоянной скоростью v=const начинает действовать в момент t=0 и прекращает действие в момент t=t k (рис.20). Изменение температуры определенной точки нагреваемого тела в периоде теплонасыщения и предельного состояния, вычисленное по уравнению (29), представлено схематически кривыми (1), (2) (рис. 20).
Расчет процесса распространения тепла в периоде выравнивания температуры по окончании действия источника постоянной мощности приведем к уже известному расчету процесса теплонасыщения, применяя фиктивные источники и стоки тепла. Рассчитаем температуру в процессе выравнивания в некоторый момент времени t (рис.20). Пусть источник, в действительности отключенный в момент t k , продолжает фиктивно действовать и дальше. Для моделирования этой ситуации в продолжение к действительному источнику, существовавшему в течение времени t k , введем фиктивный источник той же мощности (рис. 20). Для того, чтобы не изменить теплового состояния тела, введем в момент t k фиктивный сток тепла мощностью (-q), приложенный к тем же участкам тела, что и фиктивный источник (+q) Очевидно, что действия равных по мощности источника и стока, приложенных одновременно к тем же участкам тела, взаимно уничтожаются. Таким образом, введение фиктивного источника и фиктивного стока не изменяет теплового состояния тела, которое в действительности по прекращении в момент t k действия источника более тепла не получает.
Температуру Т в (t) в периоде выравнивания после прекращения в момент t k действия источника постоянной мощности q можно рассматривать как алгебраическую сумму температуры Т (t) от продолжающего действовать источника q и температуры Т (t k --t) от начавшего действовать в момент t k стока тепла (-q) (рис. 20).
Заметим, что обе температуры в правой части уравнения (30), как температуры в периоде теплонасыщения при непрерывном действии источника q, можно выразить по уравнению (29) через температуру предельного состояния Т пр и соответствующие коэффициенты теплонасыщения
Таким образом, расчет температуры в момент t в периоде выравнивания сводится к расчету температур в периоде теплонасыщения.
Для трех основных схем процесса распространения тепла при сварке удобно вести расчет, пользуясь графиками рис. 19. При расчете процесса распространения тепла в периоде выравнивания после прекращения действия подвижного сосредоточенного источника следует иметь в виду, что фиктивные источник и сток движутся так же, как двигался бы и действительный источник, а с ними перемещается и начало подвижной системы координат.
Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание . При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции . Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая и экспоненциальная. Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ (гармоники ряда Фурье). Применение, именно, этого метода предпочтительно, поскольку он определяет закон, по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда.
Целью же аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y=f(t) . Функцию y=f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Это могут быть различные функции.
Системы уравнений вида y=f(t) для оценки параметров полиномов по МНК
(кликабельно)
Графическое представление полиномов n-порядка
1. Если изменение уровней ряда характеризуется равномерным увеличением (уменьшением) уровней , когда абсолютные цепные приросты близки по величине, тенденцию развития характеризует уравнение прямой линии .
2. Если в результате анализа типа тенденции динамики установлена криволинейная зависимость, примерно с постоянным ускорением , то форма тенденции выражается уравнением параболы второго порядка.
3. Если рост уровней ряда динамики происходит в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста более или менее постоянны, выравнивание ряда динамики ведется по показательной функции.
После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения — это метод наименьших квадратов , в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими (выравненными по выбранному уравнению) и эмпирическими уровнями.
Выравнивание по прямой (определение линии тренда) имеет выражение: y t = a 0 + a 1 t
- t -условное обозначение времени;
- а 0 и a 1 -параметры искомой прямой.
Параметры прямой находятся из решения системы уравнений:
Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась Σt = 0 , т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Если до переноса точки отсчета t = 1, 2, 3, 4…, то после переноса:
- если число уровней ряда нечетное t = -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
- если число уровней ряда четное t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7
Таким образом, ∑t в нечетной степени всегда будет равна нулю.
Аналогично находятся параметры параболы 2-го порядка из решения системы уравнений:
Выравнивание по среднему абсолютному приросту или среднему коэффициенту роста:
- Δ- средний абсолютный прирост ;
- К- средний коэффициент роста;
- У 0 -начальный уровень ряда;
- У n -конечный уровень ряда;
- t-порядковый номер уровня, начиная с нуля.
Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Значимость выбранного уравнения регрессии, параметров уравнения и коэффициента корреляции следует оценить, применив критические методы оценки:
F-критерий Фишера, t–критерий Стьюдента, при этом, расчетные значения критериев сравниваются с табличными (критическими) при заданном уровне значимости и числе степеней свободы. F факт > F теор - уравнение регрессии адекватно.
n — число наблюдений (уровней ряда), m — число параметров уравнения (модели) регрессии.
Проверка адекватности уравнения регрессии (качества модели в целом) осуществляется с помощью средней ошибки аппроксимации, величина которой не должна превышать 10-12% (рекомендовано).
Рассмотрим на примере аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой с переносом точки отсчета в середину ряда:
|
Годы |
Объем валовой продукции |
Условное обозн. года |
Расчетные значения |
Выровненный ряд |
|
|
Y i |
t |
t 2 |
Y*t |
Ỹ=209,06+3,91t |
|
|
1990 |
187,8 |
939,00 |
189,51 |
||
|
1991 |
185,7 |
742,94 |
193,42 |
||
|
1992 |
195,8 |
587,29 |
197,33 |
||
|
1993 |
207,9 |
415,80 |
201,24 |
||
|
1994 |
208,3 |
208,32 |
205,15 |
||
|
1995 |
208,6 |
0,00 |
209,06 |
||
|
1996 |
219,7 |
219,70 |
212,97 |
||
|
1997 |
218,5 |
437,00 |
216,88 |
||
|
1998 |
222,2 |
666,60 |
220,79 |
||
|
1999 |
225,1 |
||||
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с тем, что число наблюдений ограничено, что произведены именно те, а не другие опыты, давшие именно те, а не другие результаты. Только при очень большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются, и случайное явление обнаруживает в полной мере присущую ему закономерность. На практике мы почти никогда не имеем дела с таким большим числом наблюдений и вынуждены считаться с тем, что любому статистическому распределению свойственны в большей или меньшей мере черты случайности. Поэтому при обработке статистического материала часто приходится решать вопрос о том, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты статистического материала, но не случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов.
Выравнивание - метод, при помощи которого получают аналитическое и графическое выражение статистической закономерности, лежащей в основе заданного эмпирического ряда статистических данных. Путём выравнивания ломаную линию уровней эмпирического ряда заменяют плавной «выравнивающей» кривой (в частном случае - прямой) и вычисляют уравнение этой кривой. При выравнивании последовательно решают три задачи:
1. выбирают тип уравнения (форму плавной кривой);
2. вычисляют параметры (коэффициенты) этого уравнения;
3. вычисляют (на основании уравнения) или измеряют (по графику кривой) уровни полученного «теоретического» статистического ряда.
Тип уравнения и, соответственно, форму плавной кривой выбирают на основании общих сведений о сущности явления, о закономерностях его структуры и развития, о зависимости между его признаками и т.д. (так называемое «аналитическое выравнивание»). При отсутствии таких предварительных сведений тип уравнения (форму кривой) часто может подсказать графическая форма ломаной.
К выравниванию рядов динамики прибегают, чтобы получить уравнение (и плавную линию), выражающее тенденцию развития процесса во времени (t). Например: y = a + bt, y = a + bt + ct2 и т.п.
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. А способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:
1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями.
Предположим, например, что исследуемая величина есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования воздействий множества независимых элементарных ошибок; тогда из теоретических соображений можно считать, что величина подчиняется нормальному закону:
(1)
и задача выравнивания переходит в задачу о рациональном выборе параметров и в выражении (1).
Бывают случаи, когда заранее известно, что величина распределяется статистически приблизительно равномерно на некотором интервале; тогда можно поставить задачу о рациональном выборе параметров того закона равномерной плотности
которым можно наилучшим образом заменить (выровнять) заданное статистическое распределение.
Следует при этом иметь в виду, что любая аналитическая функция , с помощью которой выравнивается статистическое распределение, должна обладать основными свойствами плотности распределения:
(2)
Предположим, что, исходя из тех или иных соображений, нами выбрана функция , удовлетворяющая условиям (2), с помощью корой мы хотим выровнять данное статистическое распределение; в выражение этой функции входит несколько параметров ; требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция наилучшим образом описывала данный статистический материал. Один из методов, применяемых для решения этой задачи, - это так называемый метод моментов.
Согласно методу моментов, параметры выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения были равны соответствующим статистическим характеристикам. Например, если теоретическая кривая зависит только от двух параметров и , эти параметры выбираются так, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического распределения совпадали с соответствующими статистическими характеристиками и . Если кривая зависит от трех параметров, можно подобрать их так, чтобы совпали первые три момента и т.д. При выравнивании статистических рядов может оказаться полезной специально разработанная система кривых Пирсона, каждая из которых зависит в общем случае от четырех параметров. При выравнивании эти параметры выбираются с тем расчетом, чтобы сохранить первые четыре момента статистического распределения (математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый моменты). Оригинальный набор кривых распределения, построенных по иному принципу, дал Н.А. Бородачев. Принцип, на котором строится система кривых Н.А. Бородачева, заключается в том, что выбор типа теоретической кривой основывается не на внешних формальных признаках, а на анализе физической сущности случайного явления или процесса, приводящего к тому или иному закону распределения.
Следует заметить, что при выравнивании статистических рядов нерационально пользоваться моментами порядка выше четвертого, так как точность вычисления моментов резко падает с увеличением их порядка.
Пример. 1. Приведено статистическое распределение боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. Требуется выровнять это распределение с помощью нормального закона:
.
Нормальный закон зависит от двух параметров: и . Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента – математическое ожидание и дисперсию – статистического распределения.
Вычислим приближенно статистическое среднее ошибки наводки, причем за представителя каждого разряда примем его середину:
Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент, полагая
Пользуясь выражением дисперсии через второй начальный момент, получим:
Выберем параметры и нормального закона так, чтобы выполнялись условия:
то есть примем:
Напишем выражение нормального закона:
Вычислим значения на границах разрядов
Построим на одном графике (рис. 1) гистограмму и выравнивающую ее кривую распределения.
Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого развития. При этом развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющий во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.
На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.
Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:
Для расчета параметров уравнения тренда обычно используют метод наименьших квадратов. Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда.
Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:
где y i - уровни исходного ряда динамики;
t i - номера периодов или моментов времени;
n - число уровней ряда.
Систему можно упростить , перенеся начало отсчета времени t i в середину ряда. Тогда ∑t i будет равна 0 и система приобретет вид:
откуда , .
Построив уравнение регрессии , проводят оценку его надежности. Это делается посредством F -критерия Фишера, методика расчета которого рассмотрена в п. 9.5. Если F факт > F теор , то уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.