: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №655
Приморского района Санкт-Петербурга
«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»
2014г.
Ли Нина Юрьевна
8в класс
Аннотация…………………………………………………………………………………….3
Введение …………………………………………………………………………………….. 4
Историческая справка………………………………………………………………………..4
Неравенство Коши……………………………………………………………………………5
Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7
Выводы исследования………………………………………………………………………..10
Список литературы……………………………………………………………………………11
Ли Нина
г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс
«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».
руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики
Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.
ВВЕДЕНИЕ
«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».
Э. Беккенбах
Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.
Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.
Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.
Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.
Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.
Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.
Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:
- сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
- познакомится с неравенством Коши;
- Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.
В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (
Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.
Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.
Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.
Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.
Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:
Равенство достигается при a = b.
Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.
Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:
(а – в)² ≥ 0;
Применим формулу «квадрат разности»:
а² - 2ав + в² ≥0;
Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :
а² + 2ав + в² ≥4ав;
Применим формулу «квадрат суммы»:
(а + в)² ≥4ав;
Разделим обе части неравенства на 4 :
Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:
Получили искомое выражение.
Рассмотрим геометрическое доказательство:
Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.
Доказать:
Доказательство:
- АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
- В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
- ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.
Очевидно, что , равенство достигается при
a = b , то есть ABCD – квадрат.
заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим
Или ,
то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Метод синтеза.
Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.
Решим задачу, используя метод синтеза
Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство
Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел
Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны
Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:
Метод использования тождеств .
Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.
Рассмотрим решение задачи этим методом.
Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .
Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат
При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:
- сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
- знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
- применение полученных знаний для доказательства неравенств;
- знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.
В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.
- Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.
- Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.
На семинаре координаторов олимпиады "Кенгуру" Вячеслав Андреевич Ясинский прочёл лекцию о том, как можно доказывать олимпиадные симметричные неравенства с помощью собственного метода разностей переменных.
Действительно, на математических олимпиадах часто встречаются задания на доказательство неравенств, как, например, такое, с Международной олимпиады по математике 2001 года: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ (для положительных a,b,c).
Обычно чтобы доказать олимпиадное неравенство, его нужно привести к одному из базовых: Коши, Коши-Буняковского, Йенсена, неравенству между средними и т.д. Причём часто приходится пробовать различные варианты базового неравенства до достижения успеха.
Однако часто у олимпиадных неравенств (как у приведённого выше) есть одна особенность. При перестановке переменных (например, замене a на b, b на c и c на a) они не изменятся.
Если функция нескольких переменных не меняется при любой их перестановке, то она называется симметрической. Для симметрической функции f
от трёх переменных выполняется равенство:
f
(x
,y
,z
)= f
(x
,z
,y
)= f
(y
,x
,z
)= f
(y
,z
,x
)= f
(z
,x
,y
)= f
(z
,y
,x
)
Если же функция не меняется только при циклической перестановке переменных, она называется циклической.
f
(x,y,z)= f
(y,z,x)= f
(z,x,y)
Для неравенств, которые строятся на основе симметрических функций, Вячеслав Андреевич разработал универсальный метод доказательства.
Метод состоит из следующих шагов.
1. Преобразовать неравенство так, чтобы слева оказался симметрический многочлен (обозначим его D), а справа 0.
2. Выразить симметрический многочлен D от переменных a, b, c через базовые симметрические многочлены.
Базовых симметрических многочленов от трёх переменных существует три. Это:
p = a+b+c - сумма;
q = ab+bc+ac - сумма попарных произведений;
r = abc - произведение.
Любой симметрический многочлен можно выразить через базовые.
3. Поскольку многочлен D симметрический, можно, не нарушая общности, считать, что переменные a, b, c упорядочены так: $a\geq b\geq c$
4. Вводим два неотрицательных числа х и у, таки, что x = a-b, y = b-c.
5. Снова преобразовываем многочлен D, выражая p, q и r через c и x, y. Учитываем, что
b = y+c
a = (x+y)+c
Тогда
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
Обратите внимание, что скобки в выражениях, содержащих x и y, мы не раскрываем.
6. Теперь рассматриваем многочлен D как многочен от с с коэффициентами, выражающимися через х и у. Учитывая неотрицательность коэффициентов оказывается несложно показать, что знак неравенства будет сохраняться для всех допустимых значений с.
Поясним этот метод на примерах.
Пример 1
. Доказать неравенство:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
Доказательство
Так как неравенство симметрическое (не меняется при любой перестановке переменных a, b, c), то представим его как
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
Выразим многочлен в левой части через базовые симметрические:
$p^2 - 3q\geq 0$
Так как многочлен симметрический, можно считать, не ограничивая общности, что $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.
p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c+9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
После приведения подобных получаем неравенство вообще не содержащее переменную с
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
Вот теперь можно раскрыть скобки
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - что является верным как для нотрицательных x, y, так и для любых.
Таким образом, неравенство доказано.
Пример 2
(с Британской математической олимпиады 1999 года)
Доказать, что $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (для положительных чисел, если a+b+c = 1)
Доказательство
Прежде чем начать сводить всё в левую часть, обратим внимание, что степени частей неравенства у нас не сбалансированы. Если в примере 1 обе части неравенства были многосленами второй степени, то тут многочлен второй степени сравнивается с суммой многочленов нулевой и третьей. Использлуем то, что сумма a+b+c по условию равна 1 и домножим левую часть на единицу, а двойку из правой части - на единицу в кубе.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Теперь перенесём всё влево и представим левую часть как симметричный многочkен от a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
Выразим левую чаcть через базовые симметрические многочлены:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
Выразим левую часть через x, y и c, представив её как многочлен относительно с.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2
+14(x+2y) 2 c
+7(x+2y)(x+y)y+63c 3
+42(x+2y)c 2
+21(x+y)yс
-2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c
-54(x+2y)c 2
-54c 3
-9(x+y)yc
-9(x+2y)c 2
-9c 3
Главное - аккуратно и внимательно выполнять преобразования. Как сказал Вячеслав Андреевич, если он выполняет преобразования и его кто-то отвлекает, он выбрасывает листок с формулами и начинает заново.
Для удобства сведения подобных в заключительном многочлене они выделены разными цветами.
Все слагаемые с c 3 уничтожатся: 63c 3 -54c 3 -9c 3
= 0
Это же произойдёт и со второй степенью с: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2
= 0
Преобразуем слагаемые с первой степенью с: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc = -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )c - это выражение никогда не будет положительным.
И свободные члены: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - и это выражение тоже.
Таким образом, исходное неравенство будет выполняться всегда, а в равенство оно превратится только при условии равенства a=b=c.
На своей лекции Вячеслав Андреевич разобрал ещё много интересных примеров. Попробуйте и вы применить этот метод для доказательства олимпиадных неравенств. Возможно, он поможет добыть несокольо ценных баллов.
Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1
. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ
.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. 1 способ
.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
2 способ
.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
для квадратичной функции что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
что означает её положительность при любом действительном х
.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 2
. Доказать, что для любых x и y
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пример 3
. Доказать, что
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пример 4
. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство.
2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода. Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказать, что для a, b ϵ R.
Доказательство. Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Предположим, что. Но,что явно доказывает, что наше предположение неверно. Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Ч.Т.Д.
Пример 5
. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство.
Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В
и С,
так как будем иметь следующее отношения: ,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
,
что является обоснованием исходного неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В
и С
, для которых выполняется неравенство , что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
, что невозможно ни при каких действительных А,В
и С
. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена, если и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
и. Пример 6
. Доказать, что
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пусть, a=2, 2>0
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
=>
Пример 7
. Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
D= => P(x)>0
и верно при любых действительных значениях х
и у.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 8
. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Пусть
, Это означает, что для любых действительных у
и неравенство выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
выполняется при любых действительных х
и у.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9
. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для, . Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
. Получаем исследуемое неравенство
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Использование свойств функций.
Пример 10
. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая: Если а=b,то верно
причем равенство достигается только при а=b=0. 2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Если а=b,то верно
2)Если , на R => ()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
()* ()>0, что доказывает неравенство
Пример 11
. Докажем, что для любых
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Доказательство. на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
на R. Если, то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел. Пример 12
. Доказать, что для любого nϵN
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Проверим истинность утверждения при
- (верно) 2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Проверим истинность утверждения при
2) Предположим верность утверждения при (k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1. Сравним и: , Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Имеем: Вывод: утверждение верно для любого nϵN.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического , где Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пусть n=2, тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3, тогда
Пример 13
. Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых; справедливо соотношение Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим
Пример 14.
Пример 14.
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.
Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.
Пример 16 .
Доказательство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
Получим требуемое неравенство.
Пример 17 . Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли, что и требовалось. 
Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
На семинаре координаторов олимпиады "Кенгуру" Вячеслав Андреевич Ясинский прочёл лекцию о том, как можно доказывать олимпиадные симметричные неравенства с помощью собственного метода разностей переменных.
Действительно, на математических олимпиадах часто встречаются задания на доказательство неравенств, как, например, такое, с Международной олимпиады по математике 2001 года: $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ (для положительных a,b,c).
Обычно чтобы доказать олимпиадное неравенство, его нужно привести к одному из базовых: Коши, Коши-Буняковского, Йенсена, неравенству между средними и т.д. Причём часто приходится пробовать различные варианты базового неравенства до достижения успеха.
Однако часто у олимпиадных неравенств (как у приведённого выше) есть одна особенность. При перестановке переменных (например, замене a на b, b на c и c на a) они не изменятся.
Если функция нескольких переменных не меняется при любой их перестановке, то она называется симметрической. Для симметрической функции f
от трёх переменных выполняется равенство:
f
(x
,y
,z
)= f
(x
,z
,y
)= f
(y
,x
,z
)= f
(y
,z
,x
)= f
(z
,x
,y
)= f
(z
,y
,x
)
Если же функция не меняется только при циклической перестановке переменных, она называется циклической.
f
(x,y,z)= f
(y,z,x)= f
(z,x,y)
Для неравенств, которые строятся на основе симметрических функций, Вячеслав Андреевич разработал универсальный метод доказательства.
Метод состоит из следующих шагов.
1. Преобразовать неравенство так, чтобы слева оказался симметрический многочлен (обозначим его D), а справа 0.
2. Выразить симметрический многочлен D от переменных a, b, c через базовые симметрические многочлены.
Базовых симметрических многочленов от трёх переменных существует три. Это:
p = a+b+c - сумма;
q = ab+bc+ac - сумма попарных произведений;
r = abc - произведение.
Любой симметрический многочлен можно выразить через базовые.
3. Поскольку многочлен D симметрический, можно, не нарушая общности, считать, что переменные a, b, c упорядочены так: $a\geq b\geq c$
4. Вводим два неотрицательных числа х и у, таки, что x = a-b, y = b-c.
5. Снова преобразовываем многочлен D, выражая p, q и r через c и x, y. Учитываем, что
b = y+c
a = (x+y)+c
Тогда
p = a+b+c = (x+2y)+3c
q = ab+bc+ac = 3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y
r = abc = (x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3
Обратите внимание, что скобки в выражениях, содержащих x и y, мы не раскрываем.
6. Теперь рассматриваем многочлен D как многочен от с с коэффициентами, выражающимися через х и у. Учитывая неотрицательность коэффициентов оказывается несложно показать, что знак неравенства будет сохраняться для всех допустимых значений с.
Поясним этот метод на примерах.
Пример 1
. Доказать неравенство:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
Доказательство
Так как неравенство симметрическое (не меняется при любой перестановке переменных a, b, c), то представим его как
$(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ac)\geq 0$
Выразим многочлен в левой части через базовые симметрические:
$p^2 - 3q\geq 0$
Так как многочлен симметрический, можно считать, не ограничивая общности, что $a\geq b\geq c$ и $x = a-b\geq 0$, $y = b-c\geq 0$.
p 2 -3q = ((x+2y)+3c) 2 -3(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y) = (x+2y) 2 +6(x+2y)c+9c 2 -9c 2 -6(x+2y)c-3(x+y)y
После приведения подобных получаем неравенство вообще не содержащее переменную с
$(x+2y)^2-3(x+y)y\geq 0$
Вот теперь можно раскрыть скобки
$x^2+4xy+4y^2-3xy-3y^2\geq 0$
$x^2+xy+y^2\geq 0$ - что является верным как для нотрицательных x, y, так и для любых.
Таким образом, неравенство доказано.
Пример 2
(с Британской математической олимпиады 1999 года)
Доказать, что $7(ab+bc+ac)\leq 2+9abc$ (для положительных чисел, если a+b+c = 1)
Доказательство
Прежде чем начать сводить всё в левую часть, обратим внимание, что степени частей неравенства у нас не сбалансированы. Если в примере 1 обе части неравенства были многосленами второй степени, то тут многочлен второй степени сравнивается с суммой многочленов нулевой и третьей. Использлуем то, что сумма a+b+c по условию равна 1 и домножим левую часть на единицу, а двойку из правой части - на единицу в кубе.
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^3+9abc$
Теперь перенесём всё влево и представим левую часть как симметричный многочkен от a, b, c:
$7(ab+bc+ac)(a+b+c)- 2(a+b+c)^3-9abc\leq 0$
Выразим левую чаcть через базовые симметрические многочлены:
$7qp- 2p^3-9r\leq 0$
Выразим левую часть через x, y и c, представив её как многочлен относительно с.
7qp- 2p 3 -9r = 7(3c 2 +2(x+2y)c+(x+y)y)((x+2y)+3c)-2((x+2y)+3c) 3 -9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 7 (3(x+2y)c 2 +2(x+2y) 2 c+(x+2y)(x+y)y+9c 3 +6(x+2y)c 2 +3(x+y)yс) - 2 ((x+2y) 3 +9(x+2y) 2 c+27(x+2y)c 2 +27c 3) - 9((x+y)yc + (x+2y)c 2 +c 3) = 21(x+2y)c 2
+14(x+2y) 2 c
+7(x+2y)(x+y)y+63c 3
+42(x+2y)c 2
+21(x+y)yс
-2(x+2y) 3 -18(x+2y) 2 c
-54(x+2y)c 2
-54c 3
-9(x+y)yc
-9(x+2y)c 2
-9c 3
Главное - аккуратно и внимательно выполнять преобразования. Как сказал Вячеслав Андреевич, если он выполняет преобразования и его кто-то отвлекает, он выбрасывает листок с формулами и начинает заново.
Для удобства сведения подобных в заключительном многочлене они выделены разными цветами.
Все слагаемые с c 3 уничтожатся: 63c 3 -54c 3 -9c 3
= 0
Это же произойдёт и со второй степенью с: 21(x+2y)c 2 +42(x+2y)c 2 -54(x+2y)c 2 -9(x+2y)c 2
= 0
Преобразуем слагаемые с первой степенью с: 14(x+2y) 2 c+21(x+y)yс-18(x+2y) 2 c-9(x+y)yc = -4(x+2y) 2 c+12(x+y)yс = (12 (x+y)y - 4 (x+2y) 2 )c = (12xy+12y 2 - 4x 2 -16xy-16 y 2 )c = (- 4x 2 -4xy-4 y 2 )c = -4 (x 2 +xy+ y 2 )c - это выражение никогда не будет положительным.
И свободные члены: 7(x+2y)(x+y)y-2(x+2y) 3 = 7(x+2y)(xy+y 2) - 2(x+2y)(x 2 +4xy+4y 2) = (x+2y) (7xy+7y 2 -2x 2 -8xy-8y 2) = - (x+2y)(2x 2 +xy+y 2) - и это выражение тоже.
Таким образом, исходное неравенство будет выполняться всегда, а в равенство оно превратится только при условии равенства a=b=c.
На своей лекции Вячеслав Андреевич разобрал ещё много интересных примеров. Попробуйте и вы применить этот метод для доказательства олимпиадных неравенств. Возможно, он поможет добыть несокольо ценных баллов.
Редкая олимпиада обходится без задач, в которых требуется доказать некоторое неравенство. Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:
1) если a – b > 0, то a > b; если a – b
2) если a > b, то b a;
3) если a
4) если a
5) если a 0, то ac
6) если a bc; a / c > b / c ;
7) если a 1
8) если 0
Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:
1) а 2 > 0;
2) aх 2 + bx + c > 0, при а > 0, b 2 – 4ac
3) x + 1 / x > 2, при х > 0, и x + 1 / x –2, при х
4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;
5) если a > b > 0, то 1 / a
6) если a > b > 0 и х > 0, то a x > b x , в частности, для натурального n > 2
a 2 > b 2 и n √ a > n √b ;
7) если a > b > 0 и х
8) если х > 0, то sin x
Многие задачи олимпиадного уровня, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:
- неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел (неравенство Коши):
- неравенство Бернулли:
(1 + α) n ≥ 1 + nα, где α > -1, n – натуральное число;
- неравенство Коши – Буняковского:
(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2);
К наиболее «популярным» методам доказательства неравенств можно отнести:
- доказательство неравенств на основе определения;
- метод выделения квадратов;
- метод последовательных оценок;
- метод математической индукции;
- использование специальных и классических неравенств;
- использование элементов математического анализа;
- использование геометрических соображений;
- идея усиления и др.
Задачи с решениями
1. Доказать неравенство:
а) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 · (a + b + c);
б) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;
в) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 при x > 0, y > 0.
а) Имеем
a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 – 2a – 2b – 2c = (a – 1) 2 + (b – 1) 2 + (c – 1) 2 > 0,
что очевидно.
б) Доказываемое неравенство после умножения обеих частей на 2 принимает вид
2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,
или
(a 2 – 2ab + b 2) + (a 2 – 2a + 1) + (b 2 – 2b +1) > 0,
или
(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,
что очевидно. Равенство имеет место лишь при a = b = 1.
в) Имеем
x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y = x 5 – x 4 y – (x 4 y – y 5) = x 4 (x – y) – y 4 (x – y) =
= (x – y) (x 4 – y 4) = (x – y) (x – y) (x + y) (x 2 + y 2) = (x – y) 2 (x + y) (x 2 + y 2) > 0.
2. Доказать неравенство:
| а) | a | + | b | > | 2 при a > 0, b > 0; | |
| b | a |
| б) | Р | + | Р | + | Р | > 9, где a, b, c – стороны и P – периметр треугольника; | |
| a | b | c |
|
в) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, где a > 0, b > 0, c > 0. |
а) Имеем:
| a | + | b | – 2 = | a 2 + b 2 – 2ab | = | (a – b) 2 | > 0. | |
| b | a | ab | ab |
б ) Доказательство данного неравенства элементарно следует из следующей оценки:
| b + c | + | a + c | + | a + b | = |
| a | b | c |
| = | b | + | c | + | a | + | c | + | a | + | b | = |
| a | a | b | b | c | c |
| = ( | b | + | a | ) + ( | c | + | a | ) + ( | c | + | b | ) > 6, |
| a | b | a | c | b | c |
Равенство достигается для равностороннего треугольника.
в) Имеем:
|
ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) = |
| = abc ( | a | + | b | – 2 + | b | + | c | – 2 + | a | + | c | – 2 ) = |
| c | c | a | a | b | b |
| = abc (( | a | + | b | – 2) + ( | a | + | c | – 2) + ( | b | + | c | – 2) ) > 0, |
| b | a | c | a | c | b |
так как сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.
3. Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a 8 + b 8 > 1 / 128 .
Из условия, что a + b = 1, следует, что
a 2 + 2ab + b 2 = 1.
Сложим это равенство с очевидным неравенством
a 2 – 2ab + b 2 > 0.
Получим:
2a 2 + 2b 2 > 1, или 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.
4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,
получим:
8a 4 + 8b 4 > 1, откуда 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.
Сложив это неравенство с очевидным неравенством
64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,
получим:
128a 8 + 128 b 8 > 1 или a 8 + b 8 > 1 / 128 .
4. Что больше е е · π π или е 2 π ?
Рассмотрим функцию f(x) = x – π · ln x . Поскольку f’(x) = 1 – π / х , и слева от точки х = π f’(x) 0, а справа - f’(x) > 0, то f(x) имеет наименьшее значение в точке х = π . Таким образом f(е) > f(π) , то есть
е – π · ln е = е – π > π – π · ln π
или
е + π · ln π > 2π .
Отсюда получаем, что
е е + π · ln π > е 2 π ,
е е · е π · ln π > е 2 π ,
е е · π π > е 2 π .
5. Доказать, что
| lg (n + 1) > | lg 1 + lg 2 + . . . + lg n | . |
| n |
Используя свойства логарифмов, нетрудно свести данное неравенство к равносильному неравенству:
(n + 1) n > n!,
где n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n (n-факториал). Кроме того имеет место система очевидных неравенств:
n + 1 > 1,
n + 1 > 2,
n + 1 > 3,
. . . . .
n + 1 > n,
после почленного умножения которых, непосредственно получаем, что (n + 1) n > n!.
6. Доказать, что 2013 2015 · 2015 2013
Имеем:
2013 2015 · 2015 2013 = 2013 2 · 2013 2013 · 2015 2013 =
2013 2 · (2014 – 1) 2013 · (2014 + 1) 2013
Очевидно, так же можно получить общее утверждение: для любого натурального n выполняется неравенство
(n – 1) n +1 (n + 1) n –1
7. Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | 2n – 1 | . | |
| 1! | 2! | 3! | n! | n |
Оценим левую часть неравенства:
| 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 1! | 2! | 3! | n! |
| = 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | |
| 1 · 2 | 1 · 2 · 3 | 1 · 2 · 3 · 4 | 1 · 2 · 3 · . . . · n |
| 1 + | 1 | + | 1 | + | 1 | + . . . + | 1 | = |
| 1 · 2 | 2 · 3 | 3 · 4 | (n – 1) · n |
| = 1 + (1 – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + ( | 1 | – | 1 | ) + . . . + ( | 1 | – | 1 | ) = 2 – | 1 | , |
| 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | n – 1 | n | n |
что и требовалось доказать.
8. Пусть а 1 2 , а 2 2 , а 3 2 , . . . , а n 2 – квадраты n различных натуральных чисел. Докажите, что
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > | 1 | . |
| а 1 2 | а 2 2 | а 3 2 | а n 2 | 2 |
Пусть наибольшее из этих чисел равно m. Тогда
| (1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) > |
| а 1 2 | а 2 2 | а 3 2 | а n 2 |
| > ( 1 – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) (1 | – | 1 | ) . . . (1 | – | 1 | ) , |
| 2 2 | 3 2 | 4 2 | m 2 |
так как в правую часть добавлены множители, меньшие 1. Вычислим правую часть, разложив каждую скобку на множители:
| = | 2 · 3 2 · 4 2 · . . . · (m – 1) 2 · (m + 1) | = | m + 1 | = | 1 | + | 1 | > | 1 | . |
| 2 2 · 3 2 · 4 2 · . . . · m 2
Раскрыв в левой части скобки, получим сумму 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2 . . . a n . Сумма чисел во второй скобке не превосходит (a 1 + . . . + a n) 2 , сумма в третьей скобке не превосходит (a 1 + . . . + a n) 3 , и так далее. Значит, все произведение не превосходит 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1 / 2 n = 2 – 1 / 2 n Способ 2. Методом математической индукции докажем, что для всех натуральных n верно неравенство: (1 + a 1) . . . (1 + a n) При n = 1 имеем: 1 + a 1 1 . Пусть при n = k имеет место: (1 + a 1 ) . . . (1 + a k ) 1 + . . . + a k ). Рассмотрим случай n = k +1: (1 + a 1 ) . . . (1 + a k )(1 + a k +1 ) (1 + 2(a 1 + . . . + a k ))(1 + a k +1 ) ≤ 1 + 2(a 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 · 1 / 2) = 1 + 2(a 1 + . . . + a k + a k +1 ). В силу принципа математической индукции неравенство доказано. 10. Доказать неравенство Бернулли: (1 + α) n ≥ 1 + nα, где α > -1, n – натуральное число. Воспользуемся методом математической индукции. При n = 1 получаем истинное неравенство: 1 + α ≥ 1 + α.Предположим, что имеет место неравенство: (1 + α) n ≥ 1 + nα. Покажем, что тогда имеет место и (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.Действительно, поскольку α > –1 влечет α + 1 > 0, то умножая обе части неравенства (1 + α) n ≥ 1 + nα на (a + 1), получим (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)или (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2Поскольку nα 2 ≥ 0, следовательно, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.Таким образом, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо. Задачи без решений1. Доказать неравенство для положительных значений переменных a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Доказать, что при любом a имеет место неравенство 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 . 3. Доказать, что многочлен x 12 – x 9 + x 4 – x + 1 при всех значениях x положителен. 4. Для 0 e доказать неравенство (e + x) e – x > (e – x) e + x . 5. Пусть a, b ,c – положительные числа. Докажите, что
|