Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигуры, изучаемые планиметрией:
3. Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб)
4. Трапеция
5. Окружность
6. Треугольник
7. Многоугольник
1) Точка:
В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.
Точка в Евклидовой геометрии:
Точка - это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.
Прямая - одно из основных понятий геометрии.
Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
3) Параллелограмм:
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Частные случаи:
Квадрат - правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадрат может быть определён как : прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;
ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.
4) Трапеция:
Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
1. Трапеция, у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней .
2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой.
3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции (MN). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Трапецию можно назвать усеченным треугольником, поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).
5) Окружность:
Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
6) Треугольник:
Треугольник - простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
7) Многоугольник:
Многоугольник - это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:
Плоские замкнутые ломаные;
Плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
Части плоскости, ограниченные ломаными.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольника.
Основные свойства прямой и точки:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
6. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180О, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства треугольника:
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) Против большей стороны лежит больший угол.
2) Против большего угла лежит большая сторона.
3) Против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника:
1) Сумма двух любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного с третьим углом.
2) Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями, называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным , если его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90∘.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника:
1) Прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна прямой, содержащей третью сторону треугольника.
2) Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.
3) Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.
Свойства прямоугольника:
1) противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
2) диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
3) сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон;
4) прямогугольниками одного размера можно полностью замостить плоскость;
5)прямоугольник можно двумя способами разделить на два равных между собой прямоугольника;
6) прямоугольник можно разделить на два равных между собой прямогульных треугольника;
7)вокруг прямоугольника можно описать окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольника;
8) в прямогульник (кроме квадрата) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
Свойства параллелограмма:
1) Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.
2) Противоположные стороны параллелограмма равны.
3) Противоположные углы параллелограмма равны.
4) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
5) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
6) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма (d1 и d2) равна сумме квадратов всех его сторон: d21+d22=2(a2+b2)
Свойства квадрата:
1) Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны.
2) Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Свойства ромба:
1. Диагональ ромба делит его на два равных треугольника.
2. Диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам.
3. Противоположные стороны ромба равны между собой, равны и противоположные углы его.
Кроме того, ромб обладает ещё следующими свойствами:
а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
б) диагональ ромба делит угол его пополам.
Свойства окружности:
1) Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
2) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
3) Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
Свойства многоугольника:
1) Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна.
2)Число диагоналей всякого n-угольника равно.
3).Произведение сторон многоугольника на синус угла между ними равна площади многоуголиника.
Это задание составлено в виде игры, в которой ребенку предстоит менять свойства геометрических фигур: форму, цвет или размер. Такое развивающее занятие способствует более эффективному запоминанию геометрических фигур, так как здесь ребенок не только визуально их запоминает, но и с помощью логического мышления меняет их главные свойства, "обрабатывая" фигуры на волшебной фабрике.
Для того, чтобы менять свойства геометрических фигур на нашей волшебной фабрике, сначала ознакомьтесь с инструкцией, скачайте бланки заданий, распечатайте их и подготовьте для игры простой карандаш, ластик и цветные карандаши трех цветов - зеленый, красный и синий. Затем взрослый объясняет ребенку правила игры.
"Сейчас мы с тобой начинаем работать на фабрике. Здесь находятся специальные машины, которые меняют различные характеристики фигур: цвет, форму или размер. Каждая фигура, которая попадает в эту машину, проходит обработку по строгой инструкции и выходит уже измененной."
После этого взрослый показывает пример, как работает машина на этой фабрике, изменяющая цвет фигур:
Затем взрослый объясняет ребенку принцип работы такой машины: "Любая фигура зеленого цвета, попадающая в машину, меняет цвет на красный (от зеленого круга с буквой "З" стрелочка ведет к красному кругу), любая фигура красного цвета - меняется на синий, а синяя фигура меняется на зеленый цвет.
На фабрике есть и другие машины, которые меняют другие свойства геометрических фигур - не цвет (как в рассмотренном примере), а форму или размер. Изменения с фигурами происходят по аналогичному принципу (следим за стрелочками, которые показывают, на какие фигуры должны поменяться заданные).
Также в некоторых бланках встречаются машины, которые меняют не одно свойство фигуры, а сразу два - например, цвет и форму или форму и величину.
Скачать задания - Свойства геометрических фигур - вы можете во вложениях внизу страницы
В этих заданиях нужно поменять только одно свойство фигур - их цвет. Не забудьте раскрасить фигуры слева до того, как дать ребенку задание.
В следующем задании нужно поменять другое свойство геометрических фигур - их форму. Овал меняется на прямоугольник, прямоугольник - на ромб, ромб - на овал. Будьте внимательны! Овалы и прямоугольники в задании разные - горизонтальные и вертикальные. Менять нужно именно такие, какие нарисованы в машине. Обязательно раскрасьте фигуры слева, прежде чем начинать работу.
В данном задании заданная фигура сначала меняет свою форму (в первой машине), а затем и свой цвет (вторая машина).
В следующем задании машины изменяют величину фигур: большие квадратики на маленькие, маленькие треугольники на большие.
На следующих машинах мы меняем сначала форму фигур, а затем их величину.
В этом задании фигуры меняют на первой машине свой цвет, а на второй машине - величину.
Ну и последнее задание самое сложное. Здесь обработка свойств фигур проходит на трех машинах. Первая машина изменяет цвет входящих геометрических фигур, вторая машина изменяет размер некоторых фигур, а третья машина завершает обработку, меняя их форму.
Группы геометрических фигур по их признакам
В этом задании вы найдете группы геометрических фигур, каждая из которых объединяет в себе фигуры по какому-то определенному признаку. Например, по цвету, форме или размеру. Ребенок должен определить по какому именно признаку разбиты фигуры в каждой группе. Подобные занятия развивают логико-математические способности детей.
Скачайте и распечатайте бланки с заданиями, дайте ребенку и объясните ему правила для выполнения упражнения: "Посмотри, здесь нарисованы геометрические фигуры, которые разбиты на несколько групп. В каждой группе фигуры объединяет какое-то одно свойство или признак. Например, в группе присутствуют все фигуры одного цвета (серый, белый или черный), одной формы (треугольник, квадрат или круг) или одного размера (маленькие, средние или большие).
Если ребенку трудно выполнять данное упражнение самостоятельно, то помогите ему встречными вопросами: "Какие геометрические фигуры ты видишь на странице? Чем они отличаются между собой? Что у них общего?"
Очень важно проводить такие занятия систематически, используя подручные материалы. Например, можно использовать пуговицы различной формы (квадратные, круглые, овальные, ромбовидные и другие), разных цветов, с разным количеством дырочек. Принцип выполнения задания тот же, что и в представленных бланках. Взрослый раскладывает на столе пуговицы, разделяя их на группы по определенному признаку. А ребенок должен определить, что общего в этих группах. Занятие будет более эффективным, если ребенок будет не только находить признаки групп, но и сам, по просьбе взрослого, будет объединять предметы в разные группы по заданным признакам.
Скачать бланки заданий - Группы геометрических фигур - вы можете во вложениях внизу страницы.
Свойства объемных геометрических фигур - Лестница превращений
Здесь вы найдете занятие, с помощью которого ребенок научится различать свойства объемных геометрических фигур: цвет, форму и размер. Занятие представлено в двух вариантах сложности: легком (для детей от 4 лет) и усложненном (для детей от 5-6 лет). Легкий вариант задания - в бланке №1, а усложненный - в бланке №2. В бланках №3 и №4 вы можете посмотреть правильные ответы. Подготовьте цветные карандаши, распечатанные бланки с заданиями и объясните ребенку правила выполнения упражнений:
"Посмотри внимательно на картинку. Здесь изображена лестница превращений геометрических фигур. Начиная с самой нижней ступеньки каждая фигура с переходом на следующую ступеньку меняет какое-либо одно свое свойство: цвет (белый, серый или черный), форму (куб, конус или шар) или величину (большую или маленькую). Например, вот этот большой белый шар (взрослый показывает пример превращений щара на бланке №1) на второй ступеньке меняет свой размер и становится маленьким, на третьей ступеньке меняет цвет с белого на черный, на четвертой - опять становится большим, на пятой ступеньке у него меняется форма и он превращается в конус."
Пусть ребенок некоторое время проанализирует превращения белого шара на данном примере, чтобы понять логику превращений фигур в задании. В процессе выполнения задания ребенок должен комментировать и обосновывать свои решения и действия.
Если ребенку понравилось занятие, то можно предложить ему самостоятельно нарисовать еще одну фигуру на нижней ступеньке и нарисовать цветным карандашом путь ее превращений. Аналогично можно нарисовать еще одну такую лестницу, а ребенок уже сам нарисует на ней заданные фигуры и попробует заполнить фигурами все ступеньки, руководствуясь теми же самими правилами, как в распечатанном задании.
Скачать задание на свойства объемных фигур вы можете во вложениях внизу страницы
Бланк №1 - Легкий вариант
Бланк №2 - Усложненный вариант
Бланк №3 - Правильные ответы на легкий вариант
Бланк №4 - Правильные ответы на усложненный вариант
Также вам будут полезны и другие материалы по изучению геометрических фигур:
Веселые и красочные задания для детей "Рисунки из геометрических фигур" являются очень удобным обучающим материалом для детей дошкольного и младшего школьного возраста по изучению и запоминанию основных геометрических форм.
Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках.
Задания ознакомят ребенка с основными фигурами геометрии - кругом, овалом, квадратом, прямоугольником и треугольником. Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.
Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.
Это занятие изрядно позабавит ваших юных математиков. Ведь теперь им придется находить знакомые формы геометрических фигур среди множества картинок.
Наложение фигур друг на друга - это занятие по геометрии для дошкольников и младших школьников. Смысл упражнения состоит в решении примеров на сложение. Только это необычные примеры. Вместо цифр здесь нужно складывать геометрические фигуры.
Здесь вы можете скачать задания в картинках, в которых представлен счет геометрических фигур для занятий по математике.
В этом задании ребенок познакомится с таким понятием, как чертежи геометрических тел. По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии
Здесь мы подготовили для вас объемные геометрические фигуры из бумаги, которые нужно вырезать и склеить. Куб, пирамиды, ромб, конус, цилиндр, шестигранник, распечатать их на картоне (или цветной бумаге, а затем наклеить на картон), а затем дать ребенку для запоминания.
Здесь мы подготовили для вас устный счет в пределах 10 в виде математических заданий в картинках. Данные задания формируют у детей навыки счета и способствуют более эффективному обучению простых математических действий.
И еще можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:
В этой развивающей онлайн игре ребенку предстоит определить, что является лишним среди 4 картинок. При этом необходимо руководствоваться признаками геометрических форм.
§ 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости
1. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
2. Углы, параллельные и перпендикулярные прямые
3. Параллельные и перпендикулярные прямые
Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек. Отрезок, прямая, круг, шар – геометрические фигуры.
Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник – это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.
Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.
Например, объединением двух лучей АВ и МК является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.
Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.
Фигуры F₁ выпуклая, а фигура F₂ - невыпуклая.
Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка, круг.
Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.
Рассмотрим некоторые понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, их определения и свойства, принимая их без доказательства.
Углы
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – его вершиной.
Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и точки на сторонах угла: А,(k,l),АВС.
Угол называется развернутым , если его стороны лежат на одной прямой.
Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называетсяострым . Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называетсятупым.
Плоский угол – это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.
Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными.
О
Углы, которые рассматриваются в планиметрии, не превосходят развернутого.
Два угла называются смежными , если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
Сумма смежных углов равна 180º. Справедливость этого свойства вытекает их определения смежных углов.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Вертикальные углы равны.
Параллельные и перпендикулярные прямые
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются
Если прямая aпараллельна прямойb, то пишутa║b.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, и прежде всего признаки параллельности.
Признаками называют теоремы, в которых устанавливается наличие какого-либо свойства объекта, находящегося в определенной ситуации. В частности, необходимость рассмотрения признаков параллельности прямых вызвана тем, что нередко в практике требуется решить вопрос о взаимном расположении двух прямых, но в то же время нельзя непосредственно воспользоваться определением.
Рассмотрим следующие признаки параллельности прямых :
1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
2. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
Справедливо утверждение, обратное второму признаку параллельности прямых: если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна 180º.
Важное свойство параллельных прямых раскрываются в теореме, носящей имя древнегреческого математикаФалеса : если параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Две прямые называются перпендикулярными , если они пересекаются под прямым углом.
Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишутab.
Основные свойства перпендикулярных прямых нашли отражение в двух теоремах:
1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую, и только одну.
2. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющей концом их точку пересечения. Конец этого отрезка называется основанием перпендикуляра.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой.
Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости
4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.
5. Окружность, круг.
Треугольники
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим несколько свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180º.
Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСDвершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD– противолежащие; отрезки АС и ВD– диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD– выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Пусть АВСD– параллелограмм. Из вершины В на прямую АDопустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок
М
СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СDи АВ.
Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной А₁А₂А₃…Аnназывается фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аnи соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аnназываются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn– ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.
а) б) в)
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º (n– 2).
В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.
Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.
а) б) в)
Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.
Говорят, что многоугольная фигура Fсостоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.
Окружность и круг
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемойцентром .
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр, называетсядиаметром .
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)
Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.
5. Окружность, круг.
- Треугольники
Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.
Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).
В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.
Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Отметим несколько свойств треугольников.
1. Сумма углов треугольника равна 180º.
Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.
2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
- Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.
Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).
Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD вершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD – противолежащие; отрезки АС и ВD – диагонали данного четырехугольника.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Пусть АВСD – параллелограмм. Из вершины В на прямую АD опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок
М 
СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СD и АВ.
Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.
Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:
1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.
Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Из множества прямоугольников выделяют квадраты.
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
- Многоугольники
Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.
Ломаной А₁А₂А₃…Аn называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аn и соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn – ее звеньями.
Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.
А) б) в)
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.
Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).
Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º (n – 2).
В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.
Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.
А) б) в)
Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.
Говорят, что многоугольная фигура F состоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.
- Окружность и круг
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром .
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр, называется диаметром .
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Напомним некоторые свойства окружности и круга.
Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).
Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)
Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.
Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Багдасаева Виктория Владимировна
Цель работы: систематизация и обобщение материала. Некоторые интересные факты и забытые формулы.
Скачать:
Подписи к слайдам:
Слайд 1
Геометрические фигуры и их свойства Работу выполнила Багдасаева Виктория Ученица 10 Б класса
Слайд 2
Цель: систематизация знаний, обобщение материала.
Слайд 3
Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности. Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур. Геометрия
Слайд 4
Точка В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике. Точка - это самая малая геометрическая фигура, которая является основой всех прочих построений (фигур) в любом изображении или чертеже.
Слайд 5
Прямая Прямая - одно из основных понятий геометрии. Геометрическая прямая (прямая линия) - незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку. Свойства: Через две точки можно провести единственную прямую. Две прямые могут пересекаться только в одной точке. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.
Слайд 6
Отрезок Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется отрезком прямой, или отрезком. Свойства измерения отрезка: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равняется сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей внутренней точкой. Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка AB . При этом, если точки A и B совпадают, будем считать, что расстояние между ними равно нулю. Два отрезка называются равными, если равны их длины.
Слайд 7
Ломаная линия Ломаная линия - это несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка является началом второго отрезка, а конец второго отрезка - началом третьего отрезка и т. д., при этом соседние (имеющие одну общую точку) отрезки расположены не на одной прямой. Если конец последнего отрезка не совпадает с началом первого, то такая ломаная линия называется незамкнутой.
Слайд 8
Л уч Луч (полупрямая) – это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от этой точки и включая эту точку. Эта точка называется начальной точкой полупрямой (луча). Обозначается луч двумя точками: начальной точкой и какой-либо точкой на этом луче. Из одной точки можно провести бесчисленное множество лучей. На луче можно отложить еще точку, кроме вершины луча, которая будет принадлежать отрезку, лежащему на этом луче.
Слайд 9
Угол Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки. Угол – это геометрическая фигура, имеющая вершину, стороны и свою градусную меру. Углы измеряются в градусах и радианах. Виды углов Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. Острый угол - градусная мера от 0 до 90 градусов Прямой угол - градусная мера 90 градусов Тупой угол - градусная мера больше 90 градусов
Слайд 10
Параллелограмм Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Свойства параллелограмма: 1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны. 2. В параллелограмме сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. 3. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 4. Диагонали параллелограмма делят его на две равные треугольники. Признаки параллелограмма: 1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. 2. Если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Слайд 11
Основные формулы
Слайд 12
Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Свойства прямоугольника: 1. Противоположные стороны прямоугольника равны. 2. Все углы прямоугольника прямые. 3. Диагонали прямоугольника равны. 4. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали прямоугольника делят его на два равных треугольника. 6. В прямоугольника сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. Признаки прямоугольника: 1. Если в параллелограмме все углы равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником. 3. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. 4. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник является прямоугольником. 5. Если в четырехугольнике все углы равны, то этот четырехугольник является прямоугольником
Слайд 13
Формулы Формулы определения длин сторон прямоугольника: 1. Формула стороны прямоугольника через диагональ и другую сторону: 2 . Формула стороны прямоугольника через площадь и другую сторону: 3. Формула стороны прямоугольника через периметр и другую сторону: 4. Формула стороны прямоугольника через диаметр и угол α: a= dsin α b= dcos α
Слайд 14
Квадрат Квадра́т - правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны. С войства квадрата: Все углы квадрата - прямые, все стороны квадрата - равны. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. Диагонали квадрата делят его углы пополам. Площадь квадрата равна квадрату его стороны
Слайд 15
Формулы
Слайд 16
Единичный квадрат Единичный квадрат - квадрат в прямоугольных координатах, левый нижний угол которого находится в начале координат и имеет длины сторон по единице. Его вершины имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Площадь единичного квадрата равна 1, периметр - 4, диагональ - квадратный к орень из двух.
Слайд 17
Ромб Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны, а диагонали в точке пересечения делятся под прямым углом. Свойства: 1. Противолежащие стороны попарно параллельны. 2. Все стороны равны. 3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов 5. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 6. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 7. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.
Слайд 18
Формулы
Слайд 19
Единичная окружность Единичная окружность - окружность радиуса 1 на евклидовой плоскости.
Слайд 20
Двугранный угол Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскостями называются гранями двугранного угла, а их общая прямая - ребром. Линейный угол: Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней. Линейный угол между этими двумя лучами и будет равен по величине двугранному углу. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре. Теоремы, используемые для решения задач: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.
Слайд 21
Треугольник Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Слайд 22
Формулы
Слайд 23
Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник - это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой. Свойства равнобедренного треугольника: 1. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. 2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой. 3. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. 4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию. 5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые. Признаки равнобедренного треугольника: 1. Два угла треугольника равны 2. Высота совпадает с медианой 3. Высота совпадает с биссектрисой 4. Биссектриса совпадает с медианой 5. Две высоты равны 6. Две медианы равны 7. Две биссектрисы равны
Слайд 24
Равносторонний треугольник Правильный (или равносторонний) треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы также равны и составляют 60 °. Свойства: В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60 ∘. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
Слайд 25
Формулы
Слайд 26
Прямоугольный треугольник Прямоуго́льный треуго́льник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов) Свойства:
Слайд 27
Слайд 28
Трапеция Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две - боковые стороны. Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной. Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Слайд 29
Свойства:
Слайд 30
Слайд 31
Слайд 32
Слайд 33
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Слайд 34
Прямоугольная трапеция Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой хотя бы один из углов прямой Свойства: У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона - наклонная к основаниям У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой
Слайд 35
Основные формулы: a и b - основания трапеции с - боковая сторона прямоугольной трапеции, перпендикулярная основаниям d - боковая сторона трапеции, не являющаяся перпендикулярной основаниям - острый угол при большем основании трапеции m - средняя линия трапеции
Слайд 36
Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, - радиусом окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом. Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.
Слайд 37
Касательная Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойства касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Слайд 38
Х орда Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Свойства хорд: Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM MB = CM MD.
Слайд 39
Свойства окружности: Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая). Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Углы в окружности: Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. Свойства углов, связанных с окружностью: Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 °. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Слайд 40
Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле: Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле: Формулы:
Слайд 41
Круг Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точка О также называется центром круга Свойства: При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя. Круг является выпуклой фигурой. Площадь круга радиуса R вычисляется по формуле: , где ≈3.14159…. Площадь сектора равна, где α - угловая величина дуги в радианах, R - радиус. Периметр круга (длина окружности, ограничивающей круг): . (Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.
Слайд 42
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Слайд 43
Слайд 44
Конус Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (образующими конуса). Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.
Слайд 45
Сечения конуса Если плоскость сечения проходит через вершину конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса. Сечение конуса, проходящее через ось (высоту) называется осевым. Если плоскость параллельная плоскости основания конуса, то она пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.
Слайд 46
Пирамида Пирамида – многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания. Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Слайд 47
Свойства пирамиды: 1) Если все боковые ребра равны, то – около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр – боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы 2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Слайд 48
Виды пирамид Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Для правильной пирамиды справедливо: – боковые ребра правильной пирамиды равны; – в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники; – в любую правильную пирамиду можно вписать сферу; – около любой правильной пирамиды можно описать сферу; – площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Слайд 49
Виды пирамид Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды. Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Слайд 50
Свойства тетраэдра: Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра. Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части. Основные формулы: а – сторона тетраэдра
Слайд 51
Призма Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2 ... An и B1B2 ... Bn , лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A1A2B2B1,...,A1AnBnB1 . Боковые грани – все грани, кроме оснований (являются параллелограммами). Боковые ребра – общие стороны боковых граней (параллельны между собой и равны). Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости. Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.
Слайд 52
Свойства призмы: Основания призмы – это равные многоугольники. Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма. Боковые ребра призмы параллельные и равны. Углы перпендикулярного сечения - это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням и всем боковым рёбрам призмы. Основные формулы: Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания. S пп = S бп+2 S ос Площадь боковой поверхности произвольной призмы: S=P*l , где P - периметр перпендикулярного сечения, l - длина бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы: S=P*h , где P - периметр основания призмы, h - высота призмы. Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту. V = Soh , где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, h - высота призмы.
Слайд 53
Правильная призма Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).
Слайд 54
Правильная четырехугольная призма Свойства: Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата; Верхнее и нижнее основания параллельны; Боковые грани имеют вид прямоугольников; Все боковые грани равны между собой; Боковые грани перпендикулярны основаниям; Боковые ребра параллельны между собой и равны; Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям; Углы перпендикулярного сечения - прямые; Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником; Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям. Основные формулы:
Слайд 55
Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги, указанные в определении, называются основаниями цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, называются образующими цилиндра. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Свойства цилиндра: Основания цилиндра равны Основания лежат в параллельных плоскостях Образующие цилиндра параллельны и равны Основные формулы: S бп =2 π rh S пп = 2πrh+2πr2=2πr(h+r) V= π r 2 h
Слайд 56
Сечения цилиндра Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, - прямоугольник. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, - круг.
Слайд 57
Шар Шар – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у шара.
Слайд 58
Основные формулы Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента. Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле: S = 2π Rh , где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента. Объём шарового сегмента можно найти по формуле: V = πh2(R – 1/3h), где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента. Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента) и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной – центр шара O . Объем шарового сектора находится по формуле: V = 2/3πR2 H .
Слайд 59
Вектор Вектором называется направленный отрезок, где точка A - начало, точка B - конец вектора. Нулевым вектором называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Слайд 60
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначают Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору, обозначается как.