Для оценки точности измерений, то есть для определения степени близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины, чаще всего определяют среднюю квадратическую ошибку. Эта величина определяется по результатам измерений по формуле, предложенной Гауссом:
Величина m является также случайной величиной, зависит от числа измерений и сама определяется с ошибкой:
Для определения допустимости полученной ошибки вычисляют предельную ошибку Δ пр , больше которой ошибки относятся уже к грубым.
Величину предельной ошибки определяют по формуле:
Δ пр =km , где k = 2 (вероятность 0.95) или 3 (вероятность 0.997).
Точность геодезических измерений характеризуется абсолютными и относительными ошибками. Абсолютными являются истинные, средние квадратические и предельные. Относительной ошибкой ε называется отношение соответствующей абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Ее выражают в виде дроби, где в числителе 1.
Если измеренную величину обозначить Х ср , то
где ε m и ε пр - соответственно относительная средняя квадратическая и предельная ошибки.
Вычисление среднеквадратической ошибки по формуле Гаусса возможно только тогда, когда известны истинные ошибки измерений, однако в большинстве случаев они не известны. Поэтому на практике задача решается через уклонения результатов измерений от их арифметического среднего v (вероятнейшие ошибки), которые вычисляются по результатам многократных измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле Бесселя:
где v - вероятнейшие ошибки: v i = X i - X ср.
Средняя квадратическая ошибка функций
Измеренных величин
В тех случаях, когда используются косвенные методы измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и от действий (функций), с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m f имеет большое практическое значение. Пусть имеем в общем виде функцию от многих независимых величин:
Z = f(l 1 , l 2 , ….l n).
С учетом ошибок измерений величин l можно записать:
Z+ ΔZ = f(l 1 +Δl 1 , l 2 +Δl 2 ,…. l n +Δl n).
Поскольку Δl 1 ,Δl 2 ,…Δl n , то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. При разложении в ряд возникают частные производные, поскольку в уравнении имеются несколько переменных аргументов. Не вдаваясь в детализацию вывода, запишем итоговую формулу для определения квадрата средней квадратической ошибки функции нескольких переменных:
Таким образом, квадрат среднеквадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднеквадратическую ошибку соответствующего аргумента.
В частности для функции в виде суммы (разности) аргументов вида:
Z = X ± Y ± T ± U ± ... ±V,
будем иметь:
Для функции вида Z = kX
, соответственно 
или .
Средняя ошибка и среднеквадратическая ошибка. Чем меньше значения этих критериев, тем больше надежность прогнозной модели.
линейного коэффициента корреляции определяется по формуле
Среднеквадратическая ошибка (стандартное отклонение) для оценки S и доверительный интервал предсказания
Фактически задача сводится к оценке средней эластичности в течение более или менее длительного периода времени. Проанализируем оценки эластичности видовых цен (совместная эластичность) разного уровня, т.е. видовой структуры, на элеваторное зерно, зерно на бирже и на муку. Полученные оценки сведены в табл. 14.5 вместе с их стандартными среднеквадратическими ошибками - погрешностями оценки, или пределами доверительных интервалов показателей эластичности.
Для проверки существенности коэффициентов корреляции рассчитываем среднеквадратические ошибки коэффициентов корреляции г
Степень тесноты множественной статистической связи и среднеквадратическая ошибка прогноза (аппроксимации) одной переменной по совокупности других. Интуитивно и из смысла рассмотренных выше характеристик степени тесноты статистической связи ясно, что чем теснее эта связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой, тем точнее можно восстановить (спрогнозировать, аппроксимировать) неизвестное значение одной переменной по заданной величине другой.
Таким образом, мы снова (как и в п. В.5 и 1.1.1) пришли к функции регрессии f (X) = Е (т] = X), на этот раз как к функции от р переменных (1>, с(2),. .., х(р наиболее точно (в смысле среднеквадратической ошибки) воспроизводящей условное значение исследуемого результирующего показателя т] (X) по заданной величине X объясняющих переменных.
Среднеквадратическая ошибка комбинированного прогноза соответственно равна
Если для описания разброса переменной применяют термин среднеквадратичное отклонение , то для описания подобного статистического параметра применяют термин среднеквадратическая ошибка.
Хорошо известно, что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния (текущего, прошлого и будущего) динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на статистический портрет оцениваемой динамической системы . Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка , чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка.
Таким образом, использование формул (1.13)-(1.16) приводит к противоречию при определении параметра сглаживания с уменьшением а уменьшается среднеквадратическая ошибка, но при этом возрастает ошибка в начальных условиях , что в свою очередь влияет на точность прогноза.
Этот факт и дает возможность использовать соотношения (1.81) для построения прогнозных значений анализируемого временного ряда на 1 тактов времени вперед. Теоретическую базу такого подхода к прогнозированию обеспечивает известный результат, в соответствии с которым наилучшим (в смысле среднеквадратической ошибки) линейным прогнозом в момент времени t с упреждением 1 является условное математическое ожидание случайной величины xt+i, вычисленное при условии, что все значения хт до момента времени t. Этот результат является частным случаем общей теории прогнозирования (см. ).
При любом разделении полного полинома заданной степени на частные полиномы критерий минимума среднеквадратической ошибки, определяемой на обучающей последовательности (первый критерий), позволяет однозначно определить оптимальные оценки всех коэффициентов, если число точек в обучающей последовательности больше числа членов каждого из частных полиномов по крайней мере на единицу.
При заданной степени полного полинома имеется много вариантов разбиения его на частные полиномы. Полный перебор всех комбинаций по критерию среднеквадратической ошибки, измеряемой на отдельной проверочной последовательности данных, позволяет найти единственное наилучшее разделение.
Следовательно, так же как и в случае парной зависимости, вариация (случайный разброс) результирующего показателя т] складывается из контролируемой нами (по значению предикторной переменной X) вариации функции регрессии / (X) и из не поддающегося нашему контролю случайного разброса значений г (X) (при фиксированном X) относительно функции регрессии / (X). Именно этот неконтролируемый разброс (характеризуемый величиной о (Х)) и определяет одновременно и среднеквадратическую ошибку прогноза (или аппроксимации) величины результирующего показателя г по значениям пре-дикторных переменных X, и степень тесноты связи , существующей между величиной г, с одной стороны, и значениями
X. Тейл предложил в этом случае использовать стандартную среднеквадратическую ошибку
Эта корреляция не слишком-то снижает неопределенность. Действительно, среднеквадратическая ошибка прогноза снижается всего на 1%. Таким образом, хотя и были обнаружены некоторые слабые признаки автокорреляции индекса NASDAQ, они почти не приносят пользы на практике. Все остальные корреляции случайны и статистически недостоверны. Учитывая, как много корреляций мы проанализировали, чтобы обнаружить только одну мало-мальски статистически значимую, можно с большой долей вероятности утверждать, что и эта единственная корреляция - скорее всего, случайный результат, подобный выпадению нескольких орлов подряд, когда подбрасывается монетка.
Vidutinė kvadratinė paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. mean square error vok. mittlerer quadratischer Fehler, m rus. среднеквадратичная ошибка, f pranc. écart quadratique moyen, m; erreur quadratique moyenne, f … Automatikos terminų žodynas
приведённая среднеквадратичная ошибка - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN normalized mean square errorNMSE … Справочник технического переводчика
Среднеквадратичная фазовая ошибка - 1. Среднеквадратичная величина фазовой ошибки во всех отсчетах Употребляется в документе: РД 45.301 2002 Средства измерений электросвязи сетей подвижной связи стандарта GSM 900/1800. Технические требования … Телекоммуникационный словарь
стандартная ошибка - 2.56. стандартная ошибка; среднеквадратичная ошибка Стандартное отклонение оценки Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения …
АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИЙ - STATISTICAL ANALYSISМенеджеры в бизнесе часто используют статистические методы при принятии решений или анализе решаемых проблем. В данном разделе рассматриваются некоторые основные статистические методыАрифметическое среднее. Арифметическое… … Энциклопедия банковского дела и финансов
ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения - Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Радионавигационная система - комплекс из нескольких однотипных или разнотипных радионавигационных устройств, взаимодействующих между собой (по радиоканалам или в рамках единой структурной схемы) и обеспечивающих при совместной работе определение местоположения… … Большая советская энциклопедия
Стандартный квантовый предел - Квантовая механика … Википедия
ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА - (см. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ СЧЁТЧИК). Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ КАМЕРА … Физическая энциклопедия
ИНФРАКРАСНАЯ АСТРОНОМИЯ - область наблюдательной астрофизики, объединяющая методы и результаты исследований излучения астр, объектов в ИК диапазоне (0,7 мкм 1 мм). Иногда как часть И. а. выделяют субмиллиметровую астрономию (0,1 1 мм). Первым шагом в истории И. а. было… … Физическая энциклопедия
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
- задача об оценке значений случайного процесса Х(t)на нек ром интервале а
Если задающее воздействие приложенное к линейной системе (рис. 7.2), - случайная стационарная функция, то управляемая величина и ошибка воспроизведения системы являются также случайными стационарными функциями. Ясно, что в этих условиях о точности системы можно судить не по мгновенным, а лишь по некоторым средним значениям ошибки. При статистическом методе анализа и синтезе динамическая точность системы определяется среднеквадратическим значением ее ошибки, т. е. квадратным корнем из среднего значения квадрата ошибки:
Рис. 7.2. Структурная схема САУ.
Рис. 7.3. К понятию о среднеквадратической ошибке.
которым пользуются как критерием, определяющим точность или качество работы системы при наличии стационарных случайных воздействий (связь между и ее иллюстрируется рис. 7.3).
Если известна корреляционная функция или спектральная плотность ошибки, то в соответствии с выражением (7.11) дисперсия ошибки может быть вычислена по формуле
Оптимальной передаточной функцией при использовании критерия СКО является такая передаточная функция системы, при которой среднеквадратическая ошибка имеет минимум.
Отметим достоинства и недостатки оценки точности системы с помощью СКО. При принятии СКО в качестве критерия точности анализ и синтез системы получается сравнительно простой. С помощью СКО (или дисперсии) возможно оценить сверху вероятность появления любой ошибки. Так, например, при нормальном законе распределения ошибок вероятность того, что ошибка (отклонение от среднего значения) превысит весьма мала (меньше 0,003). Согласно критерию СКО нежелательность ошибки возрастает с ее величиной.
Имеется большой класс систем, для которых критерий СКО эффективен. Однако критерий СКО, как и всякий другой критерий, не является универсальным. Он обеспечивает малое значение лишь средней, а не мгновенной ошибки, поэтому в тех системах, где недопустимы большие, хотя и кратковременные ошибки, желательно применение другого критерия. Этот недостаток критерия СКО особо проявляется при расчете САУ с обратной связью. Выражения для корреляционной функции, спектральной плотности и среднеквадратического значения ошибки справедливы только для больших промежутков времени. Поэтому ошибки системы, связанные со сравнительно кратковременными переходными процессами в ней, практически не влияют на среднеквадратическое значение ошибки, т. е. ошибки, усредненной за бесконечно большой промежуток времени. На практике же часто встречаются системы, работающие на ограниченном участке времени, когда нельзя пренебречь ошибками, связанными с переходным процессом. Как правило, если параметры системы выбраны из условия получения минимума СКО при работе на большом промежутке времени, то замкнутая система имеет слабозатухающий переходный процесс. Поэтому на практике задачу о рациональном выборе передаточной функции системы