Оценка качества регулирования. Статическая ошибка

Оценивают по величинам статической и динамической ошибок. По этим характеристикам автоматические системы бывают статические и астатические.

Статическая ошибка - это разность величин регулируемого параметра в исходном и конечном (после окончания регулирования) состояниях равновесия системы.

Рисунок 6.17 - График регулирования астатической (а) и статической (б) САУ.

В астатической системе статическая ошибка равна нулю, т.е. система после процесса регулирования возвращается в исходное состояние равновесия. В астатических САУ конечное и исходное равновесие совпадает с заданием. Поэтому в этих САУ динамическая ошибка равна максимальному отклонению параметра в процессе регулирования (рис. 6.17а).

В статической системе в установившемся состоянии - через достаточно долгое время после начала регулирования τ, всегда имеется статическая ошибка регулирования (рис.6.17б).

Динамическая ошибка - это максимальное в процессе регулирования отклонение регулируемого параметра от конечного состояния равновесия

Δ дин = (Y вых ма x - Y вых ном).

Время регулирования - это отрезок времени Δτ с момента нанесения на замкнутую САУ возмущающего воздействия, по истечении которого отличие регулируемого параметра от конечного состояния равновесия становится равным и меньше ± 5% от заданной величины. Если заданная величина равна нулю, то ± 5% берут от величины динамической ошибки.

Перерегулирование - это динамическая ошибка, отнесённая к номинальной величине регулируемого параметра в процентах.

Перерегулирование вычисляют по формуле:

σ = (Y вых ма x - Y вых ном)100%/Y вых ном.

Степень затухания - это показатель качества, который характеризует, насколько процентов уменьшается амплитуда колебаний выходного сигнала системы за один период колебаний. Степень затухания Ψ определяется по формуле:

ψ = (Δ дин - Δ 3) 100% / Δ дин ,

где: Δ з - амплитуда колебаний третьего периода. Если Δ з = 0, то Ψ = 100%.

Обобщённый показатель качества . Для определения величины этого показателя вычисляют интеграл (площадь подынтегральной фигуры) изменения в процессе регулирования выходного сигнала системы за период времени регулирования:

t рег

J = ∫ (Δ) 2 dt.

Δ - амплитуду колебаний берут в квадрате, чтобы просуммировать как положительные, так и отрицательные отклонения выходного сигнала. Естественно, чем меньше динамическая, статическая ошибки и время регулирования, тем меньше величина интеграла J и выше качество работы САУ.

Оптимальные процессы регулирования.

На практике часто требования к качеству работы проектируемой САУ задаются не в виде величины отдельных показателей качества, а в виде требования реализации одного из трёх оптимальных процессов регулирования.


Первый из них - апериодический процесс регулирования показан на рис. 6.18а.

Регулируемый параметр после отклонения плавно возвращается к заданной величине. В этом процессе по сравнению с двумя последующими будет минимально время регулирования, но максимальна динамическая ошибка.

Второй - процесс регулирования с 20% перерегулированием условно дан на рис. 6.18б. В этом процессе по сравнению с апериодическим меньше динамическая ошибка, но больше время регулирования. Для этого процесса перерегулирование не должно превышать 20%.

Третий- процесс регулирования с минимальным интегральным показателем качества (рис. 6.18в). В этом процессе регулирования интегральный показатель качества сведён к минимуму, а из трёх рассмотренных оптимальных процессов регулирования будет минимальная динамическая ошибка, но время регулирования - максимальное.

Выбор оптимального процесса из трёх определяется видом технологического процесса объекта управления. Иногда кратковременная большая динамическая ошибка может быть очень опасна. Например, при управлении давлением пара в котле. Для такого объекта апериодический процесс не самый лучший. В некоторых случаях большое время перерегулирования может быть опасным для проведения операции - например, при выпечке хлеба, значительное повышение температуры в печи не может быть длительным.

В § 1.6 отмечалось, что качество работы САР характеризуется ошибкой (1.2). Предел, к которому стремится ошибка с течением времени, называется установившейся ошибкой САР:

В том случае, когда все внешние воздействия (задающее и возмущающие) с течением времени стремятся к постоянным значениям, установившаяся ошибка (1.23) называется статической. Ограничимся случаем, когда статическая ошибка

где - ошибка работы сравнивающего элемента; статическая ошибка воспроизведения задающего воздействия; статическая ошибка, обусловленная возмущением -статическая ошибка, обусловленная возмущением Формула (1.24) справедлива для так называемых линейных систем (см. § 1.14), для которых вереи принцип суперпозиции (наложения).

САР называется статической (или обладающей статизмом) по отношению к данному внешнему воздействию, если составляющая статической ошибки (1.24), обусловленная этим воздействием, отлична от нуля. Например, при САР является статической по задающему воздействию при - по возмущению называется астатической (или обладающей астатизмом) по отношению к какому-либо внешнему воздействию, если составляющая статической ошибки (1.24), обусловленная этим воздействием, равна нулю. Так, при является астатической по задающему воздействию, при - по возмущению

Приведенные определения показывают, что понятия статизма и астатизма связаны с рассмотрением установившегося режима САР и всегда относятся к тому или иному конкретному внешнему воздействию. При этом часто для упрощения все другие внешние воздействия (кроме рассматриваемого) условно полагают равными нулю.

Покажем, например, что система прямого регулирования давления (см. рис. 1.8, а) является статической по отношению к изменению наружного давления В номинальном режиме Пусть теперь наружное давление увеличилось: Рост наружного давления приведет к возрастанию регулируемой величины Р, т. е. к появлению ошибки Для ликвидации этой ошибки регулятор должен поднять регулирующую заслонку, изменив координату регулирующего органа. Но из уравнения (1.8) следует, что только при . Иными словами, в рассматриваемой САР при отклонении давления регулирующий орган может занять новое положение (необходимое для компенсации вредного влияния изменения наружного давления) только при ошибке регулирования, не равной нулю, т. е. при Следовательно, система прямого регулирования давления обладает статизмом по

отношению к изменениям наружного давления. Аналогично доказывается статизм этой системы по отношению к изменениям весового расхода воздуха на входе в резервуар и на выходе из него Точно так же доказывается, что система прямого регулирования скорости (см. рис. 1.9, а) является статической по отношению к изменениям момента нагрузки на валу двигателя и производительности топливного насоса; система прямого регулирования напряжения генератора (см. рис. 1.10, а) имеет отличную от нуля статическую ошибку при изменениях тока нагрузки или скорости вращения якоря генератора; система стабилизации скорости вращения электродвигателя (см. рис. 1.13) обладает статизмом относительно момента нагрузки на выходной оси и т. д.

Общим для всех перечисленных САР является использование в них пропорционального закона регулирования (1.8), который и обусловливает их статизм по отношению к упомянутым выше возмущениям. Физическая сущность возникновения статической ошибки при регулировании по закону (1.8) предельно проста: для компенсации вредного влияния возмущений необходимо изменить положение регулирующего органа, что возможно лишь при В результате каждому значению возмущения соответствует свое значение статической ошибки (зависимость 2 на рис. 1.21).

Рис. 1.21. Зависимость регулируемой величины от возмущающего воздействия в установившемся режиме: 1 - объект без регулятора, 2 - статическая САР, 3 - астатическая САР

Не следует думать, что из-за наличия статической ошибки статические САР не пригодны для практического применения. В правильно рассчитанной системе статическая ошибка может быть сделана весьма малой и уж во всяком случае значительно меньшей, чем в объекте регулирования без регулятора (зависимость 1 на рис. 1.21). Кроме того, вопросы точности работы в установившемся режиме далеко не исчерпывают всей проблематики теории и практики регулирования.

Не менее важны вопросы поведения САР в динамике, в неустановившихся режимах. Достаточно заметить, что так называемые неустойчивые объекты регулирования (см. гл. 5) вообще не могут работать без автоматических регуляторов.

Приведенный анализ причин появления статической ошибки позволяет сделать вывод о том, что для ликвидации статической ошибки следует изменить закон регулирования, отказавшись от пропорциональной зависимости между регулирующим воздействием и ошибкой.

Для получения астатизма требуется, очевидно, такая связь между при которой отклонение могло бы быть не равным нулю при Пример такой зависимости дает интегральный закон регулирования (1.9). Действительно, пусть, например, в системе (см. рис. 1.12, б) изменился ток нагрузки генератора Это приведет к появлению ошибки х в результате чего к двигателю Д будет приложено напряжение определенной полярности, и двигатель будет перемещать движок реостата Этот процесс регулирования закончится тогда, когда двигатель Д остановится, что возможно лишь при т. е. при Следовательно, при изменениях тока нагрузки в определенных пределах система регулирования обеспечивает неизменное значение регулируемой величины и (если нет других возмущений), что и свидетельствует об отсутствии статической ошибки. Точно так же доказывается астатизм этой системы относительно изменения скорости вращения якоря генератора. Однако по отношению к моменту М на валу двигателя Д система (см. рис. 1.12, б) является статической. Объясняется это тем, что момент М должен быть скомпенсирован моментом двигателя для чего напряжение должно быть отлично от нуля, что в свою очередь возможно только при

В том случае, когда САР обладает астатизмом относительно некоторого возмущения зависимость регулируемой величины от этого возмущения характеризуется прямой 3 (см. рис. 1.21). Однако не следует думать, что астатические системы вообще не имеют статической ошибки. Даже в нереальном случае астатизма по всем внешним воздействиям из формулы (1.24) видно, что Тем не менее за счет отсутствия одной или нескольких составляющих в формуле (1.24) статическая ошибка астатических систем меньше, чем статических. Поэтому при повышенных требованиях, предъявляемых к точности, предпочтение обычно отдается астатическим системам. В системах стабилизации стремятся обеспечить (когда это возможно) астатизм по одному из основных возмущений. В системах программного регулирования и особенно в следящих системах астатизм обеспечивается в первую очередь по отношению к задающему воздействию. При этом в теории следящих систем часто говорят об астатизме вообще (без указания внешнего воздействия), подразумевая под ним астатизм относительно задающего воздействия Читателю предоставляется возможность доказать, что следящая система, схема которой показана на рис. 1.17, а, является астатической по задающему воздействию и статической по моменту нагрузки М на выходной оси.

Автоматические системы регулирования принято подразделять на статические и астатические в зависимости от того имеют ли они или не имеют отклонение или ошибку в установившемся состоянии при воздействиях, удовлетворяющих определенным условиям. Система регулирования называется статической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины так же стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Система регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия.

Рис. 1.9 Переходные процессы в статических (1) и астатических (2) АСР.

В статической системе регулирования статическая характеристика всегда изображается наклонной линией (Рис.1.10,а).

Рис. 1.10 Статические характеристики статической и астатической АСР.

Система регулирования называется статической по отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемуся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка так же стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. Система регулирования называется астатической по отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемуся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, ошибка стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. Для астатических систем регулирования статическая характеристика всегда изображается прямой, параллельной оси абсцисс (Рис. 1.10,б). Следует подчеркнуть, что одна и та же система регулирования может быть астатической по отношению, например, какому-либо возмущающему воздействию и статической по отношению к управляющему воздействию и наоборот. Таковой, в частности, является автоматическая система регулирования давления свежего пара при выходе из котла.

Определение: . САУ называется статической , если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся значению, ошибка также стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия. САУ называется астатической , если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся значению, ошибка стремится к нулю независимо от величины воздействия.

2.2. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ .

Математические модели систем управления включают два вида описания состояния: статическое и динамическое.

Виды статических характеристик. Режим работы систем, в котором управляемая и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется статическим (установившимся) и описывается уравнениями зависимости выходного состояния объекта управления от постоянных (независимых от времени) значений управляющих воздействий u и любых других дестабилизирующих факторов f. Уравнения этой зависимости вида y = F(u,f) называются уравнениями статики систем. Соответствующие им графики называются статическими характеристиками.

Рис. 2.2.1. Статическая характеристика САУ.

Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой y = F(u). Если звено имеет второй вход по возмущению f, то статическая характеристика задается семейством кривых y = F(u) при различных значениях f, или y = F(f) при различных u (рис. 2.2.1).

Примером функционального звена системы регулирования уровня воды в баке может быть обычный рычаг с поплавком. Уравнение статики для него имеет вид y = K u. Функцией звена является усиление (или ослабление) входного сигнала в K раз. Коэффициент K = y/u, равный отношению выходной величины к входной, называется коэффициентом усиления звена . Если входная и выходная величины имеют разную природу, его называют коэффициентом передачи . Звенья с линейными статическими характеристиками называются линейными . Статические характеристики реальных звеньев систем, как правило, нелинейные. Для них характерна зависимость коэффициента передачи от величины входного сигнала: K=Dy/Du ≠ const, которая может быть выражена какой-либо математической зависимостью, задаваться таблично или графически. Если все звенья системы линейные, то система имеет линейную статическую характеристику. Если хотя бы одно звено нелинейное, то система нелинейная .

Рис. 2.2.2.

Статическое и астатическое регулирование. Если на управляемый процесс действует возмущение (дестабилизирующий фактор) f, то значение имеет статическая характеристика системы в форме y = F(f) при y 0 = const. Возможны два характерных вида этих характеристик (рис. 2.2.2). В соответствии с тем, какая из двух характеристик свойственна данной системе, различают статическое и астатическое регулирование .

Рассмотрим систему регулирования уровня воды в баке. Возмущающим фактором системы является поток Q воды из бака. Пусть при Q = 0 имеем y = y 0 , сигнал рассогласования по заданному уровню воды e = 0. Звено управления Р системы (регулятор) настраивается так, чтобы вода при этом в бак не поступала. При Q ≠ 0, уровень воды понижается (e ≠ 0), поплавок опускается и открывает заслонку, в бак начинает поступать вода. Новое состояние равновесия достигается при равенстве входящего и выходящего потоков воды. Следовательно, при Q ≠ 0 заслонка должна быть обязательно открыта, что возможно только при каком-то новом уровне воды y 1 , при котором e = К (y 0 -y 1) ≠ 0. Причем, чем больше Q, тем при больших значениях e устанавливается новое равновесное состояние. Статическая характеристика системы имеет характерный наклон (рис. 2.2.2б).

Статические регуляторы работают при обязательном отклонении e регулируемой величины y от требуемого значения у 0 . Это отклонение тем больше, чем больше возмущение f, и называется статической ошибкой регулятора . Чем больше коэффициент передачи К регулятора, тем на большую величину будет открываться заслонка при одних и тех же значениях e, обеспечивая большую величину потока Q, при этом статическая характеристика системы пойдет более полого. Поэтому для уменьшения статической ошибки надо увеличивать коэффициент передачи регулятора. Этот параметр регулирования получил название статизма d и равен тангенсу угла a наклона статической характеристики, построенной в относительных единицах:

d = tg(a) = (Dy/y н) / (Df/f н),

где y н, f н - точка номинального режима системы. При достаточно больших значениях К имеем d » 1/K.

Астатический регулятор применяется, если статическая ошибка регулирования недопустима и регулируемая величина должна поддерживать постоянное требуемое значение независимо от величины возмущающего фактора. Статическая характеристика астатической системы не имеет наклона. Для того чтобы получить астатическое регулирование, необходимо в регулятор включить астатическое звено. Астатическое звено отличается тем, что каждому значению входной величины может соответствовать множество значений выходной величины. Так, для регулирования уровня воды в астатическом режиме может быть применен импульсный двигатель. Если уровень воды понизится, то появившееся значение e > 0 включит импульсный двигатель и он начнет открывать заслонку до тех пор, пока значение e не станет равным нулю (по определенному порогу). При поднятии уровня воды значение e сменит знак, и запустит двигатель в противоположную сторону, опуская заслонку.

Астатические регуляторы не имеют статической ошибки, но они инерционны, сложны конструктивно и более дороги.

Обеспечение требуемой статической точности регулирования является первой основной задачей при расчете элементов системы управления.

Статическая система - это такая система автоматического регулирования, в которой ошибка регулирования стремится к постоянному значению при входном воздействии, стремящемся к некоторому постоянному значению. Иными словами статическая система не может обеспечить постоянства управляемого параметра при переменной нагрузке.

Зависимость между значением управляемого параметра и величиной внешнего воздействия (нагрузкой) на объект управления. По виду зависимости между значением управляемого параметра и нагрузкой системы делят на статические и динамические. Зависимость динамической ошибки (q) от времени (t) для систем в установившемся режиме имеет вид q(t) = x(t) - y(t), где x(t) - сигнал управления, y(t) - выходная характеристика.

При установившихся значениях сигнала управления и выходной характеристики ошибка системы q(уст) = x(уст) - y(уст). В зависимости от значения q(уст) и определяют тип системы.

Точность регулирования

Точность в установившемся режиме

Качество работы любой системы регулирования в конечном счете определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым (заданным) и действительным (фактическим) значениями регулируемой величины. В следящих системах, в частности, совпадает с командой . Величина мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы системы позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Ошибки регулирования можно разделить на статические и динамические, т.е. соответствующие установившемуся (статическому) и переходному (динамическому) режимам. В данном разделе речь пойдет об ошибке установившегося режима.

Теорема о конечном значении оригинала

Для определения величины ошибки в установившемся режиме можно воспользоваться теоремой о конечном значении оригинала:

Согласно этой теореме установившемуся режиму () по Лапласу соответствует , а по Фурье - круговая частота .

Пример 2.8.1. Оценим величину ошибок от управляющего и возмущающих воздействий, приложенных в различных точках схемы рис.2.8.1. На схеме - передаточная функция регулятора; - передаточная функция объекта; - возмущение, приложенное к объекту; - возмущение, приложенное к регулятору.

Любому чувствительному элементу присущи свои ошибки. Ошибку чувствительного элемента можно рассматривать как некоторое возмущающее воздействие, которое отнесем к . Воспользовавшись принципом суперпозиции (наложения), изображение реакции найдем как сумму реакций на все входные сигналы. В результате для изображения ошибки получим

Здесь - изображение ошибки от команды;

Изображение ошибки от помехи на входе регулятора;

Изображение ошибки от помехи на входе объекта.

Передаточные функции для ошибок равны

; ;.

Таким образом, общая ошибка является суммой составляющих ошибки от команды и помех. При этом в случае статического регулятора и объекта с коэффициентами усиления , и постоянных входных воздействиях , и по теореме о конечном значении оригинала (2.8.1) получим

– статическая ошибка от входного сигнала;

- статическая ошибка от погрешности чувствительного элемента (или возмущения на входе регулятора);

- статическая ошибка от возмущающего воздействия на входе объекта регулирования (выходе регулятора).

Чтобы ошибка от команды была маленькой, надо взять . В этом случае ; . То есть помеха на входе системы переходит в ошибку (с противоположным знаком), помеха на входе объекта уменьшается в раз. Очевидно, что нельзя уменьшить за счет выбора коэффициента усиления (методами теории автоматического регулирования). Для уменьшения ошибки надо уменьшить величину возмущающего воздействия. Ошибку можно уменьшить за счет увеличения коэффициента усиления регулятора, т.е. части схемы до точки приложения возмущения.

Коэффициенты ошибок

Метод может применяться как для управляющего, так и для возмущающих воздействий. В конкретном случае необходимо использовать передаточную функцию по соответствующему воздействию. Поэтому ограничимся только случаем управляющего воздействия.

Если функция времени имеет произвольную форму, но достаточно плавную, так что вдали от начальной точки существенное значение имеет только конечное число производных ; ;…; , то ошибку системы можно определить следующим образом. Пусть

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд Тейлора (по возрастающим степеням комплексной величины) в окрестности . Тогда

Степенной ряд сходится при малых значениях, т.е. при достаточно больших значениях времени , что согласно теореме о конечном значении оригинала соответствует установившемуся режиму. Коэффициенты ряда Тейлора можно определить по формуле . (2.8.5)

Переходя от (2.8.4) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки . (2.8.6)

Таким образом, ошибка установившегося режима выражена через входной сигнал и его производные, а также через коэффициенты , которые в связи с этим называются коэффициентами ошибок .

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то производные для (2.8.4) вычислять сложно и коэффициенты ошибок более просто получить делением числителя на знаменатель младшими степенями вперед и сравнением получающегося ряда с выражением в (2.8.3).

Пример 2.8.2 . Найти ошибку установившегося режима от команды для системы рис.2.8.1, у которой .

Имеем передаточную функцию для ошибки .

Делим числитель на знаменатель, начиная с младших степеней переменной :

Теперь сравниваем результат деления с рядом в общем виде. В результате деления нет свободного члена и поэтому . Имеем также ; и т.д.

Пусть . Тогда по (2.7.4) найдем

Пусть , т.е. команда изменяется по линейному закону (с постоянной скоростью). Тогда по (2.8.4) найдем

Порядок астатизма системы

Обобщая предыдущий пример, можно заметить, что в системе с астатизмом порядка первые коэффициентов ошибок равны нулю. Если сигнал является полиномом степени , то первые слагаемых в (2.8.6) обращаются в нуль за счет нулевых коэффициентов ошибок, а следующие – за счет нулевых производных. Если сигнал представляет собой полином степени , то ()-е слагаемое не равно нулю.

В последнем примере имели систему с астатизмом первого порядка. В случае сигнала – полинома нулевой степени (константа) ошибка была равна нулю. В случае сигнала – полинома первой степени ошибка не равна нулю.

Не трудно заметить, что порядок астатизма связан с количеством интегрирующих звеньев в системе. Если бы их было , то младший член числителя передаточной функции по ошибке содержал бы и при делении числителя передаточной функции на знаменатель младший член результата также содержал

Соответственно первые коэффициентов ошибок были бы равны нулю.

Таким образом, для повышения точности желательно увеличивать порядок астатизма, т.е. количество интегрирующих звеньев в системе. Однако это трудно сделать по двум причинам. Во-первых, набор аналоговых интегрирующих звеньев ограничен. Это двигатели (электрические, гидравлические и т.д.). Включать в систему несколько двигателей несуразно. Во-вторых, интегрирующее звено вносит отставание по фазе (- на всех частотах), что приводит к потере устойчивости. Поэтому одновременно приходится вводить корректирующие звенья. Этого можно избежать за счет включения интегрирующего звена параллельно основному тракту прохождения сигнала. В этом случае передаточная функция равна , где регулирования характеризует быстродействие системы. Рис. 1 2. Величина...

  • Регулирование давления в рабочем пространстве дуговой сталеплавильной печи ДСП-25Н

    Курсовая работа >> Промышленность, производство

    Заданном уровне. Так как регулирование режима ДСП осуществляется в основном... CO2/CO позволяет повысить точность регулирования окислительно – восстановительного потенциала рабочего... от входной величины y в установившемся состоянии. Входной величиной является...

  • Регулирование энергетических установок

    Реферат >> Физика

    Следовательно, возможный режим установившейся работы ГТУ. Возможно... Автоматическое регулирование холодильной машины позволяет обеспечить точность поддержания... предупредить аварийные режимы . 4.2 Способы регулирования холодопроизводительности Установление...

  • Линейные автоматические системы регулирования

    Курсовая работа >> Экономика

    В таблицу 5. Таблица 5 – Динамическая характеристика объекта регулирования i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 0 1 2 3 4 5 6 7 9 Y 0 0,1 0,5 0,7 0,82 0,91 0,975 ... регулируемого параметра от заданного в установившемся режиме (точность системы); . Если в числителе...

    • Входной сигнал x(t)=X=const и изображением его является . В соответствии с (1.56) статическую ошибку ε СТ следует вычислять по формуле

    (1.57)

    1). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю: ν=0 . Такая САУ называется статической. Тогда статическая ошибка ε СТ будет равна

    В статической САУ имеется статическая ошибка ε СТ К

    2). Пусть в (1.57) значение порядка ν астатизма САУ равно 1: ν=1 . Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда статическая ошибка ε СТ будет равна

    В астатической САУ 1-го порядка статическая ошибка ε СТ равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной. Можно проверить, что при астатизме САУ выше 1 , статическая ошибка регулирования всегда будет нулевой.

    Расчеты скоростной ошибки εСТ регулирования

    Входной сигнал x(t)=Vt и изображением его является . В соответствии с (1.56) скоростную ошибку ε СК следует вычислять по формуле

    (1.58)

    1). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно нулю: ν=0 . Такая САУ называется статической. Тогда скоростная ошибка ε СК будет равна

    В статической САУ скоростная ошибка ε СК бесконечно большая и, поэтому, такая САУ неработоспособна.

    2). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 1: ν=1 . Такая САУ называется астатической 1-го порядка. Тогда скоростная ошибка ε СК будет равна

    В астатической САУ 1-го порядка имеется скоростная ошибка ε СК , которую можно только уменьшить путем увеличения общего коэффициента усиления К разомкнутой САУ, но обратить в ноль ее нельзя.

    3). Пусть в (1.58) значение порядка ν астатизма САУ равно 2: ν=2 . Такая САУ называется астатической 2-го порядка. Тогда скоростная ошибка ε СК будет равна

    В астатической САУ 2-го порядка скоростная ошибка ε СК равна нулю, т.е САУ является абсолютно точной.

    Выводы по расчетам статической и скоростной ошибок регулирования:

    1. Ошибки регулирования могут быть уменьшены путем увеличения общего коэффициента усиления К и порядка астатизма ν разомкнутой САУ.

    2. При увеличении К ошибки регулирования только уменьшаются. но не обращаются в ноль.

    3. При увеличении ν САУ становится абсолютно точной - ошибка регулирования становится нулевой.

    Вопросы и задания

    1. Перечислите основные прямые показатели, которыми оценивается качество работы САУ.

    2. Приведите вывод выражения установившейся ошибки регулирования.

    3. Приведите расчеты статической ошибки регулирования для статической и астатической САУ.

    4. Приведите расчеты скоростной ошибки регулирования для статической и астатической САУ.

    5. Какие существуют универсальные способы уменьшения ошибок регулирования?

    1.13. Косвенные показатели качества САУ и их связь

    с прямыми показателями качества. Использование

    ЛАЧХ для оценки качества САУ

    Невозможность получения формул для расчета динамических показателей качества (рис.1.42), а также требования задач синтеза САУ, обусловило разработки комплексных показателей качества. Косвенные показатели качества, в большинстве своем, являются частотными, которые определяются из ЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Косвенные показатели качества должны удовлетворять следующим требованиям:

    1. Косвенные показатели должны просто вычисляться или определяться из частотных характеристик разомкнутой САУ.

    2. Погрешность определения значений прямых показателей качества через значения косвенных показателей качества должна быть мала.

    3. Косвенные показатели должны быть приспособлены для эффективного решения задач синтеза САУ.

    4. Косвенные показатели должны давать возможность просто анализировать влияние параметров настроек регуляторов САУ и характеристик любых других звеньев САУ на прямые показатели качества.

    Косвенных показателей качества или их наборов разработано достаточно много. Каждый косвенный показатель качества или их набор вводятся для эффективного решения конкретных типов задач автоматического управления и, поэтому, универсальных косвенных показателей качества не существует в принципе. По сути, косвенные показатели упрощают анализ и синтез САУ, но прямые показатели качества определяются через косвенные всегда неточно.

    Прежде всего рассмотрим набор косвенных показателей качества, полученных из построений Найквиста (см. тему 1.12): частоту среза ω СР и запас по фазе γ . Частота среза ω СР просто определяется из ЛАЧХ (рис.1.41). Запас по фазе γ рассчитывается по выражению ФЧХ φ (ω ) только при одном значении частоты ω СР : γ=φ (ω СР ).

    Основой применения косвенных показателей качества - частоты среза ω СР и запаса по фазе γ - являются графические зависимости (рис.14.1) между косвенными и прямыми показателями качества - перерегулированием σ , временем первой установки t 1 и временем переходного процесса t ПП .

    По правой оси ординат отложены значения перерегулирования σ , в процентах от установившегося значения h ycm (рис.1.42). По левой оси ординат записаны формулы, по которым рассчитываются t 1 и t ПП в зависимости от частоты среза ω СР . Если из частотных характеристик определены значения запаса по фазе γ и частоты среза ω СР , то по графикам можно определить значения перерегулирования σ , времени первой установки t 1 и времени переходного процесса t ПП . Например, пусть заданы значения γ=30 о и ω СР =1,5 с -1 . Тогда, согласно приведенным на рис.1.44 построениям, получим:

    σ=19 %,

    Найденные значения σ, t 1 и t ПП не являются точными. Этот факт, отражен на рис.1.44 как "размытость" графиков.

    По этим значениям σ , t 1 и t ПП можно построить примерный график переходного процесса (рис.1.45). Как принято, косвенные показатели качества выбираются такими, чтобы найденные с их помощью оценки прямых показателей качества имели бы погрешность не более 10 %. Это вполне приемлемо в инженерной практике.

    Графические зависимости между косвенными γ и ω СР и прямыми σ , t 1 и t ПП показателями качества САУ, приведенные на рис.1.44, можно описать в виде следующих зависимостей пропорционального типа

    Важная в практике эксплуатации САУ задача определения влияния типовых законов регулирования (пропорционального, интегрального и дифференциального) на прямые показатели качества чрезвычайно эффективно решается с помощью введенных косвенных показателей γ и ω СР .

    Частотный метод синтеза следящей САУ (см. тему 1.23) основан на использовании косвенного показателя качества – показателя колебательности М . Показателем колебательности М называется величина, численно равная максимуму нормированной АЧХ (рис.1.46). По значению показателя колебательности М можно оценить величину перерегулирования σ (рис.1.47).

    Значение показателя колебательности М может быть найдено графически, без вычислений АЧХ, при использовании только годографа частотной характеристики W раз (p) и, соответственно, ЛАЧХ разомкнутой САУ. Именно такие построения положены в основу расчета среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ при упомянутом выше частотном синтезе следящей САУ.

    Вопросы и задания

    1. Назовите основные косвенные показатели, которыми оценивается качество работы САУ. В чем их преимущество перед прямыми показателями?

    2. Как по величинам запаса по фазе и частоте среза можно оценить прямые показатели качества – перерегулирование, время первой установки и время переходного процесса?

    3. Приведите определение показателя колебательности. Какой прямой показатель качества можно определить через показатель колебательности?

    1.14. Типовые законы регулирования. Влияние

    П-регулятора на показатели качества САУ

    Вводная часть

    Для обеспечения при работе САУ заданных показателей качества в ее структуру вводят корректирующие устройства и регуляторы. Корректирующие устройства имеют передаточную функцию произвольного вида. Регуляторами называются устройства, передаточная функция которых имеет стандартный вид.

    Существуют три базовых простейших регулятора – пропорциональный (П), интегральный (И) и дифференциальный (Д):

    П-регулятор имеет передаточную функцию ;

    И-регулятор имеет передаточную функцию ;

    Д-регулятор имеет передаточную функцию .

    Из трех простейших можно получить еще четыре составных регулятора:

    ПИ-регулятор с передаточной функцией ;

    ПД-регулятор с передаточной функцией ;

    ИД-регулятор с передаточной функцией ;

    ПИД-регулятор с передаточной функцией .

    На практике широко применяются регуляторы ПИ- и ПИД-типов. Регуляторы ПД- и ИД-типов применяются редко из-за их низкой помехоустойчивости (см. тему 1.17).

    Простейшие регуляторы обеспечивают улучшение только некоторых показателей качества САУ, а составные обеспечивают улучшение работы САУ по комплексу показателей качества. В практике проектирования САУ и их эксплуатации крайне важно понимание того, какие показатели качества улучшает каждый из простейших регуляторов.

    Будем рассматривать структурную схему САУ, в которой регулятор и объект управления включены последовательно (рис.1.48а). Все характеристики САУ с регулятором будем помечать индексом СР , а без регулятора (рис.1.48б) – индексом БР .

    Основная часть: влияние П-регулятора на показатели качества САУ

    Передаточную функцию .

    Частотные характеристики:

    - ;

    - ;

    L БР (ω) и ФЧХ φ БР (ω) , форма которых имеет, например, вид, приведенный на рис.15.2. Используя их, определим частоту среза ω ср.БР и запас по фазе γ БР .

    Передаточную функцию .

    Частотные характеристики:

    г). Из расчетов (1.60) следует, что после введения в схему САУ П-регулятора ФЧХ не изменилась, так как , а ЛАЧХ сместилась по вертикали на величину . Учитывая тот факт, что с целью уменьшения ошибок регулирования необходимо повышать общий коэффициент усиления разомкнутой САУ, в данном случае равный , то необходимо применить П-регулятор с k П >1 , и поэтому, будет и ЛАЧХ L СР (ω) сместится вверх на величину относительно L БР (ω) (рис.1.49). Частоты сопряжения ω С1 , ω С1 и ω С3 участков ЛАЧХ L БР (ω) и L СР (ω) не изменились и не изменились наклоны участков.

    г). Используя ЛАЧХ L СР (ω) и ФЧХ φ СР (ω) , определим частоту среза ω ср.СР и запас по фазе γ СР .

    ω ср и γ :

    Частота среза ω ср увеличится;

    Запас по фазе γ уменьшится.

    Прямые показатели качества σ , t 1 и t ПП

    Перерегулирование σ увеличится, возможна даже потеря устойчивости;

    Быстродействие САУ по моменту t 1 первой установки возрастет;

    Об изменении t ПП t ПП уменьшается при увеличении ω ср γ .

    Качественные изменения графика переходного процесса отображены на рис.1.50.

    При использовании П-регулятора порядок астатизма САУ не изменяется, поэтому ни одна из существующих ненулевых ошибок регулирования не обратится в ноль, а может быть только уменьшена за счет того, что коэффициент передачи k П регулятора будет взят большим единицы.

    д). Эксплуатационные качества П-регулятора являются наилучшими из всех простейших регуляторов, так как П-регулятор не обладает повышенной чувствительностью к помехам (не ухудшает соотношение "сигнал-помеха" для проходящего через него сигнала), а его выходной сигнал не подвержен дрейфу.

    Выводы по применению П-регулятора в САУ

    Достоинства П-регулятора:

    1. Повышает быстродействие САУ, оцениваемое временем первой установки.

    2. Эксплуатационные качества являются наилучшими и, поэтому, в любом стандартном регуляторе содержится П-часть.

    Недостатки П-регулятора:

    1. Увеличивает перерегулирование САУ.

    2. Не обращает в ноль ни одну из ошибок регулирования исходной САУ.

    Вопросы и задания

    3. Как изменяются графики ЛАЧХ, ФЧХ при введении в САУ П-регулятора и как изменяются при этом значения косвенных показателей качества САУ – частота среза и запас по фазе?

    4. Как изменяется вид переходного процесса и значения прямых показателей качества при применении П-регулятора?

    5. Назовите достоинства и недостатки П-регулятора.

    1.15. Типовые законы регулирования. Влияние

    И-регулятора на показатели качества САУ

    Вводная часть

    Основная часть: влияние И-регулятора на показатели качества САУ

    а). Для САУ без регулятора имеем следующие характеристики:

    Передаточную функцию .

    Частотные характеристики:

    - ;

    - ;

    Пусть для объекта управления известны ЛАЧХ L БР (ω) и ФЧХ φ БР (ω) , форма которых имеет, например, вид, приведенный на рис.1.51. Используя их, определим частоту среза ω ср.БР и запас по фазе γ БР .

    б). Для САУ с регулятором, имеющим передаточную функцию , имеем следующие характеристики:

    Передаточную функцию .

    Частотные характеристики:

    - ; (1.61)

    в). Из расчетов (1.61) следует, что после введения в схему САУ И-регулятора ФЧХ изменилась на –90 о (рис.1.51). Частоты сопряжения ω С1 , ω С1 и ω С3 участков ЛАЧХ L БР (ω ) и L СР (ω ) не изменились, но наклоны всех участков L СР (ω ) изменились на –1 по сравнению с наклонами L БР (ω ), так как в выражении L СР (ω ) содержится дополнительный член . При условии ωТ И =1 обе ЛАЧХ (L СР (ω ) и L БР (ω )) совпадут, так как и, поэтому, согласно последнего выражения системы (1.61) будет L СР (ω )=L БР (ω ). Совпадение двух графиков L СР (ω ) и L БР (ω ), имеющих разные наклоны участков между одноименными частотами сопряжения, является их пересечением при частоте , которая называется частотой неподвижной точки Н . Выбором постоянной времени Т И И-регулятора можно получать желаемые значения частоты ω Н , которые назовем "большими" и "малыми" значениями. Чтобы САУ не потеряла устойчивость, а также с целью ограничения перерегулирования, целесообразно выбирать большие значения постоянной времени Т И и, соответственно, иметь малую частоту ω Н неподвижной точки Н .

    г). Используя ЛАЧХ L СР (ω ) и ФЧХ φ СР (ω ), определим частоту среза ω ср.СР и запас по фазе γ СР .

    Из построений вытекают следующие изменения косвенных показателей качества ω ср и γ :

    Частота среза ω ср уменьшится;

    Запас по фазе γ уменьшится, главным образом, за счет отрицательного фазового сдвига на –90 о ФЧХ.

    Прямые показатели качества σ , t 1 и t ПП в соответствии с соотношениями (1.59) изменятся следующим образом:

    Перерегулирование σ увеличится, возможна даже потеря устойчивости при значительном уменьшении постоянной времени Т И регулятора;

    Время затухания колебаний, оцениваемое через t ПП , возрастет;

    Об изменении t 1 ничего определенного сказать нельзя, так как t 1 уменьшается при уменьшении γ и увеличивается при уменьшении ω ср .

    Качественные изменения графика переходного процесса отображены на рис.1.52.

    При использовании И-регулятора порядок астатизма САУ увеличивается на единицу. Если исходная САУ была статической, то с введением И-регулятора становится астатической 1-го порядка и, поэтому, статическая ошибка ε СТ обратится в ноль, а при исходной астатической САУ 1-го порядка уже две ошибки регулирования – статическая ε СТ и скоростная ε СК - обратятся в ноль.

    д). И-регулятор имеет серьезный эксплуатационный недостаток – дрейф нуля или самоход. Сущность дрейфа поясним на примере гидравлического сервопривода (рис.1.53), который является интегрирующим звеном, если входом считать перемещение х золотника, а выходом – перемещение у силового поршня.

    Пусть левый конец штока золотника находится в нулевом положении х=0 , так что закрыты оба отверстия І и ІІ (рис 1.53а), которые соединены с левой и правой полостями силового цилиндра. Тогда находящийся в цилиндре поршень неподвижен и Δу=0 . Если в результате повышения температуры шток золотника удлинится (рис.1.53б), то при неподвижном левом конце штока (х=0 ) откроются отверстия І и ІІ . и через отверстие І в левую полость силового цилиндра поступит рабочее вещество, например, масло, с большим давлением р Б , а правая полость через отверстие ІІ соединится с линией малого давления р М . Силовой цилиндр будет перемещаться вправо при том, что управляющий сигнал х по прежнему остается равным нулю. Такое явление называется дрейфом или самоходом интегрирующего звена, каким является гидравлический сервопривод.

    Выводы по применению И-регулятора в САУ

    Достоинства И-регулятора:

    1. Обращает в ноль одну из ошибок регулирования.

    Недостатки И-регулятора:

    1. Повышает перерегулирование, колебательность САУ. Возможна даже потеря устойчивости.

    2. Снижает быстродействие, оцениваемое временем переходного процесса.

    3. Подвержен дрейфу.

    Вопросы и задания

    1. Какие типовые регуляторы используются в САУ? Приведите их передаточные функции.

    3. Как изменяются графики ЛАЧХ, ФЧХ при введении в САУ И-регулятора и как изменяются при этом значения косвенных показателей качества САУ – частота среза и запас по фазе?

    4. Как изменяется вид переходного процесса и значения прямых показателей качества при применении И-регулятора?

    5. Назовите достоинства и недостатки И-регулятора.

    1.16. Типовые законы регулирования. Влияние

    Д-регулятора на показатели качества САУ

    Вводная часть

    Вводная часть та же, что и в теме 1.14.

    Основная часть: влияние Д-регулятора на показатели качества САУ

    а).Для САУ без регулятора имеем следующие характеристики.