При работе с матрицами иногда нужно их транспонировать, то есть, говоря простыми словами, перевернуть. Конечно, можно перебить данные вручную, но Эксель предлагает несколько способов сделать это проще и быстрее. Давайте разберем их подробно.
Транспонирование матрицы – это процесс смены столбцов и строк местами. В программе Excel имеется две возможности проведения транспонирования: используя функцию ТРАНСП и при помощи инструмента специальной вставки. Рассмотрим каждый из этих вариантов более подробно.
Способ 1: оператор ТРАНСП
Функция ТРАНСП относится к категории операторов «Ссылки и массивы» . Особенностью является то, что у неё, как и у других функций, работающих с массивами, результатом выдачи является не содержимое ячейки, а целый массив данных. Синтаксис функции довольно простой и выглядит следующим образом:
ТРАНСП(массив)
То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на массив, в нашем случае матрицу, который следует преобразовать.
Посмотрим, как эту функцию можно применить на примере с реальной матрицей.
- Выделяем незаполненную ячейку на листе, планируемую сделать крайней верхней левой ячейкой преобразованной матрицы. Далее жмем на значок «Вставить функцию» , который расположен вблизи строки формул.
- Производится запуск Мастера функций . Открываем в нем категорию «Ссылки и массивы» или «Полный алфавитный перечень» . После того, как отыскали наименование «ТРАНСП» , производим его выделение и жмем на кнопку «OK» .
- Происходит запуск окна аргументов функции ТРАНСП . Единственному аргументу данного оператора соответствует поле «Массив» . В него нужно внести координаты матрицы, которую следует перевернуть. Для этого устанавливаем курсор в поле и, зажав левую кнопку мыши, выделяем весь диапазон матрицы на листе. После того, как адрес области отобразился в окне аргументов, щелкаем по кнопке «OK» .
- Но, как видим, в ячейке, которая предназначена для вывода результата, отображается некорректное значение в виде ошибки «#ЗНАЧ!» . Это связано с особенностями работы операторов массивов. Чтобы исправить эту ошибку, выделяем диапазон ячеек, в котором число строк должно быть равным количеству столбцов первоначальной матрицы, а число столбцов – количеству строк. Подобное соответствие очень важно для того, чтобы результат отобразился корректно. При этом, ячейка, в которой содержится выражение «#ЗНАЧ!» должна быть верхней левой ячейкой выделяемого массива и именно с неё следует начинать процедуру выделения, зажав левую кнопку мыши. После того, как вы провели выделение, установите курсор в строку формул сразу же после выражения оператора ТРАНСП , которое должно отобразиться в ней. После этого, чтобы произвести вычисление, нужно нажать не на кнопку Enter , как принято в обычных формулах, а набрать комбинацию Ctrl+Shift+Enter .
- После этих действий матрица отобразилась так, как нам надо, то есть, в транспонированном виде. Но существует ещё одна проблема. Дело в том, что теперь новая матрица представляет собой связанный формулой массив, который нельзя изменять. При попытке произвести любое изменение с содержимым матрицы будет выскакивать ошибка. Некоторых пользователей такое положение вещей вполне удовлетворяет, так как они не собираются производить изменения в массиве, а вот другим нужна матрица, с которой полноценно можно работать.
Чтобы решить данную проблему, выделяем весь транспонированный диапазон. Переместившись во вкладку «Главная» щелкаем по пиктограмме «Копировать» , которая расположена на ленте в группе «Буфер обмена» . Вместо указанного действия можно после выделения произвести набор стандартного сочетания клавиш для копирования Ctrl+C .
- Затем, не снимая выделения с транспонированного диапазона, производим клик по нему правой кнопкой мыши. В контекстном меню в группе «Параметры вставки»
щелкаем по иконке «Значения»
, которая имеет вид пиктограммы с изображением чисел.
Вслед за этим формула массива ТРАНСП будет удалена, а в ячейках останутся только одни значения, с которыми можно работать так же, как и с исходной матрицей.
Способ 2: транспонирование матрицы с помощью специальной вставки
Кроме того, матрицу можно транспонировать с помощью одного элемента контекстного меню, который носит название «Специальная вставка» .
После указанных действий на листе останется только преобразованная матрица.
Этими же двумя способами, о которых шла речь выше, можно транспонировать в Excel не только матрицы, но и полноценные таблицы. Процедура при этом будет практически идентичной.
Итак, мы выяснили, что в программе Excel матрицу можно транспонировать, то есть, перевернуть, поменяв столбцы и строчки местами, двумя способами. Первый вариант предполагает использование функции ТРАНСП , а второй – инструменты специальной вставки. По большому счету конечный результат, который получается при использовании обоих этих способов, ничем не отличается. Оба метода работают практически в любой ситуации. Так что при выборе варианта преобразования, на первый план выходят личные предпочтения конкретного пользователя. То есть, какой из данных способов для вас лично удобнее, тот и используйте.
Транспонирование матрицы через данный онлайн калькулятор не займёт у вас много времени, но зато быстро даст результат и поможет лучше разобраться в самом процессе.
Иногда в алгебраических вычислениях возникает потребность поменять местами строки и столбцы матрицы. Такая операция именуется транспонированием матрицы. Строки по порядку становятся столбцами, а сама матрица – транспонированной. В данных вычислениях есть определённые правила, и чтобы в них разобраться и наглядно ознакомиться с процессом, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. Он существенно облегчит вам задачу и поможет лучше усвоить теорию транспонирования матриц. Значительным плюсом данного калькулятора является демонстрация развёрнутой и детального решения. Таким образом, его использование способствует получению более глубоких и осознанных представлений об алгебраических расчётах. K тому же, с его помощью всегда можно проверить, насколько успешно вы справились с задачей, производя транспонирование матриц вручную.
Пользоваться калькулятором очень просто. Чтобы найти транспонированную матрицу онлайн укажите размер матрицы нажатием на иконки «+» или «-» до получения нужных значений числа столбцов и строк. Далее в поля вводятся необходимые цифры. Ниже расположена кнопка «Вычислить» - её нажатие выводит на экран готовое решение с подробной расшифровкой алгоритма.
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).
Пусть дана исходная матрица А:
Тогда согласно определению транспонированная матрица А" имеет вид:
Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы: Транспонированную матрицу часто обозначают
Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:
Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид:
Нетрудно заметить две закономерности операции транспонирования матриц.
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.
Умножение матриц
Умножение матриц - это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы- строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей; иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.
Пусть даны две матрицы: А - размера т х п и В - размера п х к. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк а) размерности п каждый, а матрицу В - как совокупность к векторов-столбцов b Jt содержащих по п координат каждый:
Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (2.7). Длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В , и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.
Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой Су равны скалярным произведениям векторов-строк а ( матрицы А на векторы-столбцы bj матрицы В:
Произведение матриц А и В - матрица С - имеет размер т х к , поскольку длина л векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих векторов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (2.8). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В , и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно поделить произведения размеров матриц-сомножителей: - , тогда остающиеся в отношении числа дают размер произвела к
дсния, т.с. размер матрицы С равен т х к.
В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда, если А и В - прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.
Если матрицы А и В квадратные, размера л х л, имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц ВА, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности (коммутативности) нс соблюдается, т.е. АВ * ВА.
Рассмотрим примеры на умножение матриц.
Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (2.8) получаем в произведении матрицу размера 3x2:
Произведение ВА нс имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.
Здесь мы найдем произведения матриц АВ и ВА:
Как видно из результатов, матрица произведения зависит от порядка матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2x2.
В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы - это частные случаи матриц: вектор-строка длины п представляет собой матрицу с одной строкой и п столбцами, а вектор-столбец высоты п - матрицу с п строками и одним столбцом. Размеры приведенных матриц соответственно 2 х 3 и 3 х I, так что произведение этих матриц определено. Имеем
В произведении получена матрица размера 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.
Путем последовательного умножения матриц находим:
Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:
- 1) (АВ)С = А{ВС);
- 2) СА + В)С = АС + ВС
- 3) А (В + С) = АВ + АС;
- 4) а (АВ) = (аА)В = А(аВ).
Понятие единичной матрицы Е было введено в п. 2.1.1. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа:
- 5 )АЕ=А;
- 6) ЕА = А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, нс меняет исходную матрицу.