Великая революция Ньютона в физике Позднее, в 1679 г., Ньютон продолжил свои исследования тел, подверженных действию гравитационных сил, и полностью решил эту проблему. Фактически интуитивные предположение сделанные им в 1666 г., не были полностью разработаны, поскольку он не

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) - закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики . Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила F {\displaystyle F} гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m 1 {\displaystyle m_{1}} и m 2 {\displaystyle m_{2}} , разделёнными расстоянием r {\displaystyle r} , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними - то есть:

F = G ⋅ m 1 ⋅ m 2 r 2 {\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}}

Здесь G {\displaystyle G} - гравитационная постоянная , равная 6,67408(31)·10 −11 м³/(кг·с²) :.

Свойства ньютоновского тяготения

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, которое называется гравитационным полем . Это поле потенциально , и функция гравитационного потенциала для материальной точки с массой M {\displaystyle M} определяется формулой:

В общем случае, когда плотность вещества ρ {\displaystyle \rho } распределена произвольно, удовлетворяет уравнению Пуассона :

Решение этого уравнения записывается в виде:

где r {\displaystyle r} - расстояние между элементом объёма d V {\displaystyle dV} и точкой, в которой определяется потенциал φ {\displaystyle \varphi } , C {\displaystyle C} - произвольная постоянная.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой m {\displaystyle m} , связана с потенциалом формулой:

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера . В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам . Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений .

Точность закона всемирного тяготения Ньютона

Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности . Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали , что приращение δ {\displaystyle \delta } в выражении для зависимости ньютоновского потенциала r − (1 + δ) {\displaystyle r^{-(1+\delta)}} на расстояниях нескольких метров находится в пределах (2 , 1 ± 6 , 2) ∗ 10 − 3 {\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}} . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения .

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено .

Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью 3 ⋅ 10 − 11 {\displaystyle 3\cdot 10^{-11}} .

Связь с геометрией евклидова пространства

Факт равенства с очень высокой точностью 10 − 9 {\displaystyle 10^{-9}} показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу 2 {\displaystyle 2} отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса

Исторический очерк

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур , Гассенди , Кеплер , Борелли , Декарт , Роберваль , Гюйгенс и другие . Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире . Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда , Рена и Гука . Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).

• закон тяготения;
• закон движения (второй закон Ньютона);
• система методов для математического исследования (математический анализ).

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики . До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической . Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.

В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнано, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы . Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества . После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.

В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них - необъяснимое дальнодействие : сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс . В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия .

Дальнейшее развитие

Общая теория относительности

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году , с созданием общей теории относительности Эйнштейна , в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона, в полном согласии с принципом соответствия , оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

В слабых стационарных гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы (гравитационный потенциал). Для доказательства покажем, что скалярный гравитационный потенциал в слабых стационарных гравитационных полях удовлетворяет уравнению Пуассона

См. также

Примечания

1. http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg
2. Д. Д. Иваненко , Г. А. Сарданашвили Гравитация, М.: Едиториал УРСС , 2004, ISBN 5-354-00538-8
3. 10th International conference on General Relativity and Gravitation: Contribut. pap. - Padova, 1983. - Vol. 2, 566 p.
4. Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации». - М.: МГПИ , 1984. - 308 с.
5. Ю. Н. Ерошенко Новости физики в сети Internet (по материалам электронных препринтов) , УФН , 2007, т. 177, № 2, с. 230
6. Турышев С. Г. «Экспериментальные проверки общей теории относительности: недавние успехи и будущие направления исследований» , УФН , 179, с. 3-34, (2009)
7. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Книга 1. Механика. - М. : Наука, 1994. - 138 с.
8. Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М. : Мир , 1984. - С. 66.
9. Спасский Б. И. История физики. - Т. 1. - С. 140-141.
10. Ход их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А. , указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс , при круговом движении центростремительная сила F ∼ {\displaystyle F\sim } (пропорциональна) v 2 R {\displaystyle v^{2} \over R} , где v {\displaystyle v} - скорость тела, R {\displaystyle R} - радиус орбиты. Но v ∼ R T {\displaystyle v\sim {\frac {R}{T}}} , где T {\displaystyle T} - период обращения, то есть v 2 ∼ R 2 T 2 {\displaystyle v^{2}\sim {\frac {R^{2}}{T^{2}}}} . Согласно 3-му закону Кеплера, T 2 ∼ R 3 {\displaystyle T^{2}\sim R^{3}} , поэтому v 2 ∼ 1 R {\displaystyle v^{2}\sim {\frac {1}{R}}} , откуда окончательно имеем: F ∼ 1 R 2 {\displaystyle F\sim {\frac {1}{R^{2}}}} .

Тяготе ние, гравитация, гравитационное взаимодействие, универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Если это взаимодействие относительно слабое и тела движутся медленно (по сравнению со скоростью света), то справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. В общем случае Т. описывается созданной А. Эйнштейном общей теорией относительности. Эта теория описывает Т. как воздействие материи на свойства пространства и времени; в свою очередь, эти свойства пространства-времени влияют на движение тел и др. физические процессы. Таким образом, современная теория Т. резко отличается от теории других видов взаимодействия - электромагнитного, сильного и слабого.

Теория тяготения Ньютона

Первые высказывания о Т. как всеобщем свойстве тел относятся к античности. Так, Плутарх писал: «Луна упала бы на Землю как камень, чуть только уничтожилась бы сила её полёта».

В 16 и 17 вв. в Европе возродились попытки доказательства существования взаимного тяготения тел. Основатель теоретической астрономии И. Кеплер говорил, что «тяжесть есть взаимное стремление всех тел». Итальянский физик Дж. Борелли пытался при помощи Т. объяснить движение спутников Юпитера вокруг планеты. Однако научное доказательство существования всемирного Т. и математическая формулировка описывающего его закона стали возможны только на основе открытых И. Ньютоном законов механики. Окончательная формулировка закона всемирного Т. была сделана Ньютоном в вышедшем в 1687 главном его труде «Математические начала натуральной философии». Ньютона закон тяготения гласит, что две любые материальные частицы с массами m А и m В притягиваются по направлению друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

(под материальными частицами здесь понимаются любые тела при условии, что их линейные размеры много меньше расстояния между ними; см. Материальная точка ). Коэффициент пропорциональности G называется постоянной тяготения Ньютона, или гравитационной постоянной . Численное значение G было определено впервые английским физиком Г. Кавендишем (1798), измерившим в лаборатории силы притяжения между двумя шарами. По современным данным, G = (6,673 ± 0,003)× 10 -8 см 3 /г × сек 2 .

Следует подчеркнуть, что сама форма закона Т. (1) (пропорциональность силы массам и обратная пропорциональность квадрату расстояния) проверена с гораздо большей точностью, чем точность определения коэффициента G. Согласно закону (1), сила Т. зависит только от положения частиц в данный момент времени, то есть гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно. Другой важной особенностью закона тяготения Ньютона является тот факт, что сила Т., с которой данное тело А притягивает другое тело В, пропорциональна массе тела В. Но так как ускорение, которое получает тело В, согласно второму закону механики, обратно пропорционально его массе, то ускорение, испытываемое телом В под влиянием притяжения тела А, не зависит от масса тела В. Это ускорение носит название ускорения свободного падения. (Более подробно значение этого факта обсуждается ниже.)

Для того чтобы вычислить силу Т., действующую на данную частицу со стороны многих др. частиц (или от непрерывного распределения вещества в некоторой области пространства), надо векторно сложить силы, действующие со стороны каждой частицы (проинтегрировать в случае непрерывного распределения вещества). Таким образом, в ньютоновской теории Т. справедлив принцип суперпозиции. Ньютон теоретически доказал, что сила Т. между двумя шарами конечных размеров со сферически симметричным распределением вещества выражается также формулой (1), где m А и m В - полные массы шаров, а r - расстояние между их центрами.

При произвольном распределении вещества сила Т., действующая в данной точке на пробную частицу, может быть выражена как произведение массы этой частицы на вектор g, называемый напряжённостью поля Т. в данной точке. Чем больше величина (модуль) вектора g, тем сильнее поле Т.

Из закона Ньютона следует, что поле Т. - потенциальное поле, то есть его напряжённость g может быть выражена как градиент некоторой скалярной величины j , называемым гравитационным потенциалом:

g = -grad j . (2)

Так, потенциал поля Т. частицы массы m может быть записан в виде:

Если задано произвольное распределение плотности вещества в пространстве, r = r (r ), то теория потенциала позволяет вычислить гравитационный потенциал j этого распределения, а следовательно, и напряжённость гравитационного поля g во всём пространстве. Потенциал j определяется как решение Пуассона уравнения .

D j = 4p G r , (4)

где D - Лапласа оператор .

Гравитационный потенциал какого-либо тела или системы тел может быть записан в виде суммы потенциалов частичек, слагающих тело или систему (принцип суперпозиции), то есть в виде интеграла от выражений (3):

Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел), r - расстояние элемента массы dm от точки, в которой вычисляется потенциал. Выражение (4a) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, например, к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4a).

Ньютоновская теория Т. и ньютоновская механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны многие др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В современной астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движения и строение небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение гравитационного поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрическая разведка) и, следовательно, непосредственно решать важные прикладные задачи. Однако в некоторых случаях, когда поля Т. становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со скоростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона.

Необходимость обобщения закона тяготения Ньютона Теория Ньютона предполагает мгновенное распространение Т. и уже поэтому не может быть согласована со специальной теорией относительности (см. Относительности теория ), утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость ньютоновской теории Т. Так как эта теория не согласуется со специальной теорией относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости порядка скорости света с. Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала j в этой точке (на бесконечности j считается равным нулю). Таком образом, теорию Ньютона можно применять только в том случае, если

|j | << c 2 . (5)

В полях Т. обычных небесных тел это условие выполняется: так, на поверхности Солнца |j |/c 2 » 4× 10 -6 , а на поверхности белых карликов - порядка 10 -3 .

Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц даже в слабом поле Т., удовлетворяющем условию (5), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость, сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для расчёта траектории света в поле Т. Наконец, теория Ньютона неприменима при расчётах переменного поля Т., создаваемого движущимися телами (например, двойными звёздами) на расстояниях r > l = сt , где t - характерное время движения в системе (например, период обращения в системе двойной звезды). Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Т. на любом расстоянии от системы определяется формулой (4a), то есть положением масс в тот же момент времени, в который определяется поле. Это означает, что при движении тел в системе изменения гравитационного поля, связанные с перемещением тел, мгновенно передаются на любое расстояние r. Но, согласно специальной теории относительности, изменение поля, происходящее за время t , не может распространяться со скоростью, большей с.

Обобщение теории Т. на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915-16. Новая теория была названа её творцом общей теорией относительности.

Принцип эквивалентности Самой важной особенностью поля Т., известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой теории, является то, что Т. совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, химического состава и др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её поля Т. с одинаковым ускорением - ускорением свободного падения. Этот факт был установлен опытным путём ещё Г. Галилеем и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы m T , определяющей взаимодействие тела с полем Т. и входящей в закон (1), и инертной массы m И, определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона (см. Ньютона законы механики ). Действительно, уравнение движения тела в поле Т. записывается в виде:

m И а = F = m T g, (6)

где а - ускорение, приобретаемое телом под действием напряжённости гравитационного поля g. Если m И пропорциональна m Т и коэффициент пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы измерения так, что этот коэффициент станет равен единице, m И = m Т; тогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а не зависит от массы и равно напряжённости g поля Т., а = g , в согласии с законом Галилея. (О современном опытном подтверждении этого фундаментального факта см. ниже.)

Таким образом, тела разной массы и природы движутся в заданном поле Т. совершенно одинаково, если их начальные скорости были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением тел в поле Т. и движением тел в отсутствие Т., но относительно ускоренной системы отсчёта. Так, в отсутствие Т. тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, например, из кабины космического корабля, который движется вне полей Т. с постоянным ускорением за счёт работы двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в постоянном однородном поле Т. Силы инерции, действующие в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих в истинном поле Т. в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём) эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и процедуру обратную описанной выше имитации поля Т. ускоренной системой отсчёта, а именно, можно «уничтожить» в данной точке истинное гравитационное поле введением системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно, хорошо известно, что в кабине космического корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Т., наступает состояние невесомости - не проявляются силы тяготения. Эйнштейн предположил, что не только механическое движение, но и вообще все физические процессы в истинном поле Т., с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие Т., с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил название «сильного принципа эквивалентности» в отличие от «слабого принципа эквивалентности», относящегося только к законам механики.

Основная идея теории тяготения Эйнштейна

Рассмотренная выше система отсчёта (космический корабль с работающим двигателем), движущаяся с постоянным ускорением в отсутствие поля Т., имитирует только однородное гравитационное поле, одинаковое по величине и направлению во всём пространстве. Но поля Т., создаваемые отдельными телами, не таковы. Для того чтобы имитировать, например, сферическое поле Т. Земли, нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой связь, обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и тем самым установят отсутствие истинного поля Т. Таким образом, истинное поле Т. не сводится просто к введению ускоренной системы отсчёта в обычном пространстве, или, говоря точнее, в пространстве-времени специальной теории относительности. Однако Эйнштейн показал, что если, исходя из принципа эквивалентности, потребовать, чтобы истинное гравитационное поле было эквивалентно локальным соответствующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчёта, то в любой конечной области пространство-время окажется искривленным - неевклидовым. Это означает, что в трёхмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой (сумма углов треугольника не равна p , отношение длины окружности к радиусу не равно 2p и т.д.), а время в разных точках будет течь по-разному. Таким образом, согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.

Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии русским математиком Н. И. Лобачевским , венгерским математиком Я. Больяй , немецкими математиками К. Гауссом и Б. Риманом .

В отсутствие Т. движение тела по инерции в пространстве-времени специальной теории относительности изображается прямой линией, или, на математическом языке, экстремальной (геодезической) линией. Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу теории Т., заключается в том, что и в поле Т. все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезические линии уже не прямые.

Массы, создающие поле Т., искривляют пространство-время. Тела, которые движутся в искривленном пространстве-времени, и в этом случае движутся по одним и тем же геодезическим линиям независимо от массы или состава тела. Наблюдатель воспринимает это движение как движение по искривленным траекториям в трёхмерном пространстве с переменной скоростью. Но с самого начала в теории Эйнштейна заложено, что искривление траектории, закон изменения скорости - это свойства пространства-времени, свойства геодезических линий в этом пространстве-времени, а следовательно, ускорение любых различных тел должно быть одинаково и, значит, отношение тяжёлой массы к инертной [от которого зависит ускорение тела в заданном поле Т., см. формулу (6)] одинаково для всех тел, и эти массы неотличимы. Таким образом, поле Т., по Эйнштейну, есть отклонение свойств пространства-времени от свойств плоского (не искривлённого) многообразия специальной теории относительности.

Вторая важная идея, лежащая в основе теории Эйнштейна, - утверждение, что Т., то есть искривление пространства-времени, определяется не только массой вещества, слагающего тело, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась обобщением на случай теории Т. принципа эквивалентности массы (m ) и энергии (Е ) специальной теории относительности, выражающейся формулой Е = mс 2 . Согласно этой идее, Т. зависит не только от распределения масс в пространстве, но и от их движения, от давления и натяжений, имеющихся в телах, от электромагнитного поля и всех др. физических полей.

Наконец, в теории тяготения Эйнштейна обобщается вывод специальной теории относительности о конечной скорости распространения всех видов взаимодействия. Согласно Эйнштейну, изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со скоростью с.

Уравнения тяготения Эйнштейна

В специальной теории относительности в инерциальной системе отсчёта квадрат четырёхмерного «расстояния» в пространстве-времени (интервала ds ) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:

ds 2 = (cdt ) 2 - dx 2 - dy 2 - dz 2 (7)

где t - время, х, у, z - прямоугольные декартовы (пространственные) координаты. Эта система координат называется галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах (с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов в правой части). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или, точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении (7) перед (cdt ) 2 стоит знак «+», в отличие от знаков «-» перед квадратами дифференциалов пространственных координат. Таким образом, специальная теория относительности является теорией физических процессов в плоском пространстве-времени (пространстве-времени Минковского; см. Минковского пространство ).

В пространстве-времени Минковского не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в которых интервал записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда квадрат интервала ds 2 будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:

ds 2 = g ik dx i dx k (8)

(i , k = 0, 1, 2, 3), где x 1 , x 2 , x 3 - произвольные пространств, координаты, x 0 = ct - временная координата (здесь и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С физической точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход от инерциальной системы отсчёта к системе, вообще говоря, движущейся с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся и вращающейся, и использование в этой системе не декартовых пространственных координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем, практически они иногда оказываются удобными. Но в специальной теории относительности всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается особенно просто. [В этом случае в формуле (8) g ik = 0 при i ¹ k, g 00 = 1, g ii = -1 при i = 1, 2, 3.]

В общей теории относительности пространство-время не плоское, а искривленное. В искривленном пространстве-времени (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты, и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях такого искривленного пространства-времени ds 2 записывается в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная g ik как функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства пространства-времени. Говорят, что величины g ik определяют метрику пространства-времени , а совокупность всех g ik называют метрическим тензором. С помощью g ik вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени d t по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид:

При наличии поля Т. величина g 00 в разных точках разная, следовательно, темп течения времени зависит от поля Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению с течением времени для наблюдателя вне поля.

Математическим аппаратом, изучающим неевклидову геометрию (см. Риманова геометрия ) в произвольных координатах, является тензорное исчисление . Общая теория относительности использует аппарат тензорного исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах (это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта), как говорят, в ковариантном виде.

Основная задача теории Т.- определение гравитационного поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрического тензора g ik .

Уравнения тяготения Эйнштейна связывают величины g ik с величинами, характеризующими материю, создающую поле: плотностью, потоками импульса и т.п. Эти уравнения записываются в виде:

. (9)

Здесь R ik - так называемый тензор Риччи, выражающийся через g ik , его первые и вторые производные по координатам; R = R ik g ik (величины g ik определяются из уравнений g ik g km = , где - Кронекера символ ); T ik - так называемый тензор энергии-импульса материи, компоненты которого выражаются через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю и её движение (под физической материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное поле, все др. физические поля).

Вскоре после создания общей теории относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения уравнений (9) с сохранением основных принципов новой теории. Это изменение состоит в добавлении к правой части уравнений (9) так называемого «космологического члена»: L g ik . Постоянная L , называется «космологической постоянной», имеет размерность см -2 . Целью этого усложнения теории была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, которая не изменяется со временем (см. Космология ). Космологический член можно рассматривать как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение) вакуума. Однако вскоре (в 20-х гг.) советский математик А. А. Фридман показал, что уравнения Эйнштейна без L -члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной, а американский астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон так называемого красного смещения для галактик, которое было истолковано как подтверждение эволюционной модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статической Вселенной оказалась неверной, и хотя уравнения с L -членом тоже допускают нестационарные решения для модели Вселенной, необходимость в L -члене отпала. После этого Эйнштейн пришёл к выводу, что введение L -члена в уравнения Т. не нужно (то есть что L = 0). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна. Но следует подчеркнуть, что пока нет никаких серьёзных наблюдательных, экспериментальных или теоретических оснований считать L отличным от нуля. Во всяком случае, если L ¹ 0, то, согласно астрофизическим наблюдениям, его абсолютная величина чрезвычайно мала: |L | < 10 -55 см -2 . Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено L = 0.

Внешне уравнения (9) подобны уравнению (4) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева стоят величины, характеризующие поле, а справа - величины, характеризующие материю, создающую поле. Однако уравнения (9) имеют ряд существенных особенностей. Уравнение (4) линейно и поэтому удовлетворяет принципу суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитационный потенциал j для любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т. не зависит от движения масс, поэтому уравнение (4) само не определяет непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона механики Ньютона (6). Иная ситуация в теории Эйнштейна. Уравнения (9) не линейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теории Эйнштейна нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений (T ik ), зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитационное поле g ik . Решение уравнений Эйнштейна приводит к совместному определению и движения материи, создающей поле, и к вычислению самого поля. Существенно при этом, что уравнения поля Т. содержат в себе и уравнения движения масс в поле Т. С физической точки зрения это соответствует тому, что в теории Эйнштейна материя создаёт искривление пространства-времени, а это искривление, в свою очередь, влияет на движение материи, создающей искривление. Разумеется, для решения уравнений Эйнштейна необходимо знать характеристики материи, которые не зависят от гравитационных сил. Так, например, в случае идеального газа надо знать уравнение состояния вещества - связь между давлением и плотностью.

В случае слабых гравитационных полей метрика пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна приближённо переходят в уравнения (4) и (6) теории Ньютона (если рассматриваются движения, медленные по сравнению со скоростью света, и расстояния от источника поля много меньше, чем l = с t , где t - характерное время изменения положения тел в источнике поля). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок к уравнениям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют экспериментально проверить теорию Эйнштейна (см. ниже). Особенно существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитационных полях.

Некоторые выводы теории тяготения Эйнштейна

Ряд выводов теории Эйнштейна качественно отличается от выводов ньютоновской теории Т. Важнейшие из них связаны с возникновением «чёрных дыр» , сингулярностей пространства-времени (мест, где формально, согласно теории, обрывается существование частиц и полей в обычной, известной нам форме) и существованием гравитационных волн .

Чёрные дыры. Согласно теории Эйнштейна, вторая космическая скорость в сферическом поле Т. в пустоте выражается той же формулой, что и в теории Ньютона:

Следовательно, если тело массы т сожмётся до линейных размеров, меньших величины r =2 Gm/c 2 , называемой гравитационным радиусом , то поле Т. становится настолько сильным, что даже свет не может уйти от него на бесконечность, к далёкому наблюдателю; для этого потребовалась бы скорость больше световой. Такие объекты получили название чёрных дыр. Внешний наблюдатель никогда не получит никакой информации из области внутри сферы радиуса r = 2Gm/с 2 . При сжатии вращающегося тела поле Т., согласно теории Эйнштейна, отличается от поля не вращающегося тела, но вывод об образовании чёрной дыры остаётся в силе.

В области размером меньше гравитационного радиуса никакие силы не могут удержать тело от дальнейшего сжатия. Процесс сжатия называется коллапсом гравитационным . При этом растет поле Т. - увеличивается искривлённость пространства-времени. Доказано, что в результате гравитационного коллапса неизбежно возникает сингулярность пространства-времени, связанная, по-видимому, с возникновением его бесконечной искривлённости. (Об ограниченности применимости теории Эйнштейна в таких условиях см. следующий раздел.) Теоретическая астрофизика предсказывает возникновение чёрных дыр в конце эволюции массивных звёзд (см. Релятивистская астрофизика ); возможно существование во Вселенной чёрных дыр и др. происхождения. Чёрные дыры, по-видимому, открыты в составе некоторых двойных звёздных систем.

Гравитационные волны. Теория Эйнштейна предсказывает, что тела, движущиеся с переменным ускорением, будут излучать гравитационные волны. Гравитационные волны являются распространяющимися со скоростью света переменными полями приливных гравитационных сил. Такая волна, падая, например, на пробные частицы, расположенные перпендикулярно направлению её распространения, вызывает периодические изменения расстояния между частицами. Однако даже в случае гигантских систем небесных тел излучение гравитационных волн и уносимая ими энергия ничтожны. Так, мощность излучения за счёт движения планет Солнечной системы составляет около 10 11 эрг/сек, что в 10 22 раз меньше светового излучения Солнца. Столь же слабо гравитационные волны взаимодействуют с обычной материей. Этим объясняется, что гравитационные волны до сих пор не открыты экспериментально.

Квантовые эффекты. Ограничения применимости теории тяготения Эйнштейна

Теория Эйнштейна - не квантовая теория. В этом отношении она подобна классической электродинамике Максвелла. Однако наиболее общие рассуждения показывают, что гравитационное поле должно подчиняться квантовым законам точно так же, как и электромагнитное поле. В противном случае возникли бы противоречия с принципом неопределённости для электронов, фотонов и т.д. Применение квантовой теории к гравитации показывает, что гравитационные волны можно рассматривать как поток квантов - «гравитонов», которые так же реальны, как и кванты электромагнитного поля - фотоны. Гравитоны представляют собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином, равным 2 (в единицах Планка постоянной ).

В подавляющем большинстве мыслимых процессов во Вселенной и в лабораторных условиях квантовые эффекты гравитации чрезвычайно слабы, и можно пользоваться не квантовой теорией Эйнштейна. Однако квантовые эффекты должны стать весьма существенными вблизи сингулярностей поля Т., где искривления пространства-времени очень велики. Теория размерностей указывает, что квантовые эффекты в гравитации становятся определяющими, когда радиус кривизны пространства-времени (расстояние, на котором проявляются существенные отклонения от геометрии Евклида: чем меньше этот радиус, тем больше кривизна) становится равным величине r пл = . Расстояние r пл называется планковской длиной; оно ничтожно мало: r пл = 10 -33 см. В таких условиях теория тяготения Эйнштейна неприменима.

Сингулярные состояния возникают в ходе гравитационного коллапса; сингулярность в прошлом была в расширяющейся Вселенной (см. Космология ). Последовательной квантовой теории Т., применимой и в сингулярных состояниях, пока не существует.

Квантовые эффекты приводят к рождению частиц в поле Т. чёрных дыр. Для чёрных дыр, возникающих из звёзд и имеющих массу, сравнимую с солнечной, эти эффекты пренебрежимо малы. Однако они могут быть важны для чёрных дыр малой массы (меньше 10 15 г ), которые в принципе могли возникать на ранних этапах расширения Вселенной (см. «Чёрная дыра» ).

Экспериментальная проверка теории Эйнштейна

В основе теории тяготения Эйнштейна лежит принцип эквивалентности. Его проверка с возможно большей точностью является важнейшей экспериментальной задачей. Согласно принципу эквивалентности, все тела независимо от их состава и массы, все виды материи должны падать в поле Т. с одним и тем же ускорением. Справедливость этого утверждения, как уже говорилось, была впервые установлена Галилеем. Венгерский физик Л. Этвеш с помощью крутильных весов доказал справедливость принципа эквивалентности с точностью до 10 -8 ; американский физик Р. Дикке с сотрудниками довёл точность до 10 -10 , а советский физик В. Б. Брагинский с сотрудниками - до 10 -12 .

Др. проверкой принципа эквивалентности является вывод об изменении частоты n света при его распространении в гравитационном поле. Теория предсказывает (см. Красное смещение ) изменение частоты D n при распространении между точками с разностью гравитационных потенциалов j 1 - j 2:

(11)

Эксперименты в лаборатории подтвердили эту формулу с точностью по крайней мере до 1% (см. Мёссбауэра эффект ).

Кроме этих экспериментов по проверке основ теории, существует ряд опытных проверок её выводов. Теория предсказывает искривление луча света при прохождении вблизи тяжёлой массы. Аналогичное отклонение следует и из ньютоновской теории Т., однако теория Эйнштейна предсказывает вдвое больший эффект. Многочисленные наблюдения этого эффекта при прохождении света от звёзд вблизи Солнца (во время полных солнечных затмений) подтвердили предсказание теории Эйнштейна (отклонение на 1,75’’ у края солнечного диска) с точностью около 20%. Гораздо большая точность была достигнута с помощью современной техники наблюдения внеземных точечных радиоисточников. Этим методом предсказание теории подтверждено с точностью (на 1974) не меньшей 6%.

Др. эффектом, тесно связанным с предыдущим, является большая длительность времени распространения света в поле Т., чем это дают формулы без учёта эффектов теории Эйнштейна. Для луча, проходящего вблизи Солнца, эта дополнительная задержка составляет около 2× 10 -4 сек. Эксперименты проводились с помощью радиолокации планет Меркурий и Венера во время их прохождения за диском Солнца, а также с помощью ретрансляции радиолокационных сигналов космическими кораблями. Предсказания теории подтверждены (на 1974) с точностью 2%.

Наконец, ещё одним эффектом является предсказываемый теорией Эйнштейна медленный дополнительный (не объясняемый гравитационными возмущениями со стороны др. планет Солнечной системы) поворот эллиптических орбит планет, движущихся вокруг Солнца. Наибольшую величину этот эффект имеет для орбиты Меркурия - 43’’ в столетие. Это предсказание подтверждено экспериментально, согласно современным данным, с точностью до 1%.

Таким образом, все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают правильность как положений, лежащих в основе теории тяготения Эйнштейна, так и её наблюдательных предсказаний.

Следует подчеркнуть, что эксперименты свидетельствуют против попыток построить др. теории Т., отличные от теории Эйнштейна.

В заключение отметим, что косвенным подтверждением теории тяготения Эйнштейна является наблюдаемое расширение Вселенной, теоретически предсказанное на основе общей теории относительности советским математиком А. А. Фридманом в середине 20-х гг. нашего столетия.

Лит.: Эйнштейн А., Собр. научных трудов, т. 1-4, М., 1965-67; Ландау Л., Лифшиц Е., Теория поля, 6 изд., М., 1973; Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Теория тяготения и эволюция звёзд, М., 1971; Брумберг В. А., Релятивистская небесная механика, М., 1972; Брагинский В. Б., Руденко В. Н., Релятивистские гравитационные эксперименты, «Успехи физических наук», 1970, т. 100, в. 3, с. 395.

И. Д. Новиков.

Реферат

Тема: Закон всемирного тяготения

Введение

2 Закон всемирного тяготения

2.1 Открытие Исаака Ньютона

2.2 Движение тел под действием силы тяжести

3 ИСЗ - Искусственные спутники Земли

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Человек, изучая явления, постигает их сущность и открывает законы природы. Так, поднятое над Землей и предоставленное самому себе тело начнет падать. Оно изменяет свою скорость, следовательно, на него действует сила тяжести. Это явление наблюдается повсюду на нашей планете: Земля притягивает к себе все тела, в том числе и нас с вами. Только ли Земля обладает свойством действовать на все тела силой притяжения?

Почти все в Солнечной системе вращается вокруг Солнца. У некоторых планет есть спутники, но и они, совершая свой путь вокруг планеты, вместе с нею движутся вокруг Солнца. Солнце обладает массой, превосходящую массу всего прочего населения Солнечной системы в 750 раз. Благодаря этому Солнце заставляет планеты и все остальное двигаться по орбитам вокруг себя. В космических масштабах масса является главной характеристикой тел, потому что все небесные тела подчиняются закону всемирного тяготения.

Исходя из законов движения планет, установленных И.Кеплером, великий английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727), в ту пору никем еще признанный, открыл закон всемирного тяготения, с помощью которого удалось с большой точностью для того времени рассчитать движение Луны, планет и комет, объяснить приливы и отливы в океане.

Эти законы человек использует не только для более глубокого познания природы (например, для определения масс небесных тел), но и для решения практических задач (космонавтика, астродинамика).

Цель работы: изучить закон всемирного тяготения, показать его практическую значимость, раскрыть понятие взаимодействия тел на примере этого закона.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка используемой литературы.

1 Законы движения планет – законы Кеплера

Чтобы в полной мере оценить весь блеск открытия Закона всемирного тяготения, вернемся к его предыстории. Существует легенда, что гуляя по яблоневому саду в поместье своих родителей, Ньютон увидел луну в дневном небе, и тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения, он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли. Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите – сила тяготения, которая существует между всеми телами.

Итак, когда великие предшественники Ньютона изучали равноускоренное движение тел, падающих на поверхность Земли, они были уверены, что наблюдают явление чисто земной природы - существующее только недалеко от поверхности нашей планеты. Когда другие ученые, изучая движение небесных тел, полагали что в небесных сферах действуют совсем иные законы движения, нежели законы, управляющие движением здесь, на Земле.

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и ранее: о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие. Декарт считал его результатом вихрей в эфире. История науки свидетельствует, что практически все аргументы, касающиеся движения небесных тел, до Ньютона сводились в основном к тому, что небесные тела, будучи совершенными, движутся по круговым орбитам в силу своего совершенства, поскольку окружность - суть идеальная геометрическая фигура.

Таким образом, выражаясь современным языком, считалось, что имеются два типа гравитации, и это представление устойчиво закрепилось в сознании людей того времени. Все считали, что есть земная гравитация, действующая на несовершенной Земле, и есть гравитация небесная, действующая на совершенных небесах. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело, в конечном итоге, к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (~140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды. Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

В начале XVII века на основе системы Коперника немецкий астроном И.Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы, используя результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т.Браге.

Первый закон Кеплера (1609): «Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце».

Вытянутость эллипса зависит от скорости движения планеты; от расстояния, на котором находится планета от центра эллипса. Изменение скорости небесного тела приводит к превращению эллиптической орбиты в гиперболическую, двигаясь по которой можно покинуть пределы Солнечной системы.

На рис. 1 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 1 - Эллиптическая орбита планеты массой

m <

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609): «Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади» (рис.2).

Рисунок 2 - Закон площадей – второй закон Кеплера

Второй закон Кеплера показывает равенство площадей, описываемых радиус–вектором небесного тела за равные промежутки времени. При этом скорость тела меняется в зависимости от расстояния до Земли (особенно хорошо это заметно, если тело движется по сильно вытянутой эллиптической орбите). Чем ближе тела к планете, тем скорость тела больше.

Третий закон Кеплера (1619): «Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит»:

или

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1%.

На рис.3 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a. Третий закон утверждает, что если R=a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок 3 - Круговая и эллиптическая орбиты

При R=a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы

Законы Кеплера, навсегда вошедшие в основу теоретической астрономии, получили объяснение в механике И.Ньютона, в частности в законе всемирного тяготения.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений; причину, определяющую эти общие для всех планет закономерности, Кеплеру найти не удалось. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании.

И только Ньютон сделал частный, но очень важный вывод: между центростремительным ускорением Луны и ускорением свободного падения на Земле должна существовать связь. Эту связь нужно было установить численно и проверить.

Именно этим соображения Ньютона и отличались от догадок других ученых. До Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).

Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, создали науку, которая называется небесной механикой, открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего.

Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника.

Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это было гениальное предвидение.

Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон. Результаты ньютоновских расчетов теперь называют законом всемирного тяготения Ньютона, который мы и рассмотрим в следующей главе.

2 Закон всемирного тяготения

2.1 Открытие Исаака Ньютона

Закон всемирного тяготения был открыт И.Ньютоном в 1682 году. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс (рис.4). У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

Рисунок 4 - Гравитационные силы притяжения между телами,

В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых И.Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Так, зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики.

Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям ( прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется.

Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения: «Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». Как и все физические законы, он облечен в форму математического уравнения

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной

G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 (СИ)

Относительно этого закона нужно сделать несколько важных замечаний.

Во-первых, его действие в явной форме распространяется на все без исключения физические материальные тела во Вселенной. В частности, например вы и книга испытываете равные по величине и противоположные по направлению силы взаимного гравитационного притяжения. Конечно же, эти силы настолько малы, что их не зафиксируют даже самые точные из современных приборов, - но они реально существуют, и их можно рассчитать.

Точно так же вы испытываете взаимное притяжение и с далеким квазаром, удаленным на десятки миллиардов световых лет. Опять же, силы этого притяжения слишком малы, чтобы их инструментально зарегистрировать и измерить.

Второй момент заключается в том, что сила притяжения Земли у ее поверхности в равной мере воздействует на все материальные тела, находящиеся в любой точке земного шара. Прямо сейчас на нас действует сила земного притяжения, рассчитываемая по вышеприведенной формуле, и мы ее реально ощущаем как свой вес. Если мы что-нибудь уроним, оно под действием всё той же силы равноускоренно устремится к земле.

2.2 Движение тел под действием силы тяжести

Действием сил всемирного тяготения в природе объясняются многие явления: движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер - ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести - так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

Если M – масса Земли, RЗ – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где g – ускорение свободного падения;

у поверхности Земли

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, мы стоим у края отвесной скалы, рядом пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит - и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представим, что мы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику - Луне.

Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

где T = 27,3 сут – период обращения Луны вокруг Земли.

Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Поэтому ускорение gЛ определится выражением

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники Земли движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли.

В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1 – такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рисунок 5 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок 5 - Космические скорости

Указаны скорости вблизи поверхности Земли: 1) υ = υ1 – круговая траектория;

2) υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболическая траектория; 5) υ > υ2 – гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

3 Искусственные спутники Земли

12 февраля 1961 года вышла за пределы земного притяжения автоматическая межпланетная станция «Венера-1»

М – масса Земли

m – масса спутника

R – радиус Земли

h – высота спутника над поверхностью Земли

Вывод: Скорость спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли. Скорость не зависит от массы спутника

Заключение

Итак, в данной работе мы рассмотрели тему: Закон всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения был установлен Исааком Ньютоном путем обобщения результатов, полученных известными астрономами ранее. Важную роль сыграли закономерности движения планет, обнаруженные немецким астрономом И.Кеплером в результате обработки астрономических наблюдений информации датского астронома Тихо Браге. Кеплер сформулировал их в виде трех законов.

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Площади, описываемые радиусами-векторами планет за одно и то же время, равны.

3. Отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца равно отношению кубов больших полуосей их орбит.

Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации, или силами всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле. Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила F равна:

Ньютон закон тяготения вывел в своём основном труде «Математические начала натуральной философии», и показал, что:

Наблюдаемые движения планет свидетельствуют о наличии центральной силы;

Обратно, центральная сила притяжения приводит к эллиптическим (или гиперболическим) орбитам.

В результате данный закон звучит следующим образом: между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.

Теория Ньютона, в отличие от гипотез предшественников, имела ряд существенных отличий. Ньютон опубликовал не просто предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:

Закон тяготения;

Закон движения (второй закон Ньютона);

Система методов для математического исследования (математический анализ).

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел, тем самым создавая основы небесной механики. До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

В дальнейшем мы убедились, что законы Кеплера и закон тяготения Ньютона имеют всемирный характер, причем закон всемирного тяготения не только является основным законом небесной механики, но и играет решающую роль в анализе различных космогонических и космологических процессов.

Теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической. Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга. Открытие закона всемирного тяготения выявило способность тела «гравитировать» - притягивать к себе и притягиваться к другим телам.

Со временем оказалось, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел, и он стал рассматриваться как фундаментальный.

Список литературы

1. Громов С.В. Физика. 9 класс / С.В.Громов. - М.: Просвещение, 2002. – 158 с.

2. Касаткина И.Л. Репетитор по физике / И.Л.Касаткина. – М.: Феникс, 2003. – 368 с.

3. Касьянов В.А. Физика. Учебник. 10 класс / В.А.Касьянов. – М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

4. Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений / Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский. - М.: Просвещение, 2009. - 399 с.