Дифференциальное уравнение Бернулли
- это уравнение вида:
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли:
(1)
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Разделим его на y n
.
При y ≠ 0
или n < 0
имеем:
(2)
.
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2)
и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z
,
дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0
,
следует рассмотреть случай y = 0
.
При n > 0
,
y = 0
также является решением уравнения (1)
и должно входить в ответ.
Решение методом Бернулли
Рассматриваемое уравнение (1)
также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u·v
,
где u
и v
- функции от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ = u′ v + u v′
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
;
(3)
.
В качестве v
возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)
.
Уравнение (4)
- это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x)
.
Подставляем частное решение в (3)
. Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4)
, то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v
- уже известная функция от x
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv
.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x независимой переменной, а y - зависимой (то есть если y - это функция от x ), то это так. Но если считать y независимой переменной, а x - зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли.
Итак, считаем что x
является функцией от y
.
Подставим и умножим на :
;
;
(П.1)
.
Это - уравнение Бернулли с n = 2
.
Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1)
, только обозначением переменных (x
вместо y
). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v
,
где u
и v
- функции от y
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (П.1)
:
;
(П.2)
.
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y)
,
удовлетворяющую уравнению:
(П.3)
.
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0
,
поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3)
.
;
.
Подставим в (П.2)
учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)
):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0
имеем:
;
(П.4)
;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Дифференциальное уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли
.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 - с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда
Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим 
, или, что то же самое, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .
Пример 1
. Найти общее решение уравнения y" + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z" + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем 
откуда 
или, что то же самое, 
.
Пример 2
. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2
Разделим на y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
Получаем: -z" + z = -1 или z" - z = 1
Пример 3
. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z"=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz"/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z"=4z/x
Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде
где a (x ) и b (x ) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки
Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид
и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
МЕТОД БЕРНУЛИ.
Рассматриваемое
уравнение можно решить методом Бернулли.
Для этого ищем решение исходного
уравнения в виде произведения двух
функций:
где u,
v
-
функции от x
.
Дифференцируем:
Подставляем
в исходное уравнение (1):
(2)
В
качестве v
возьмем
любое, отличное от нуля, решение
уравнения:
(3)
Уравнение
(3) - это уравнение с разделяющимися
переменными.
После того, как мы нашли его частное
решение v
= v(x)
,
подставляем его в (2). Поскольку оно
удовлетворяет уравнению (3), то выражение
в круглых скобках обращается в нуль.
Получаем:
Это
также уравнение с разделяющимися
переменными. Находим его общее решение,
а вместе с ним и решение исходного
уравнения y
= uv
.
64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
поэтому , гдепока неопределенная функция.
Интегрируя, получаем . Частная производнаянайденной функциидолжна равняться, что даетоткудатак чтоТаким образом,.
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).
Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a , b ) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L n (y ), который отображает функцию y (x ), имеющую производных, в функцию, имеющуюk - n производных.
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида
где n≠0,n≠1.
Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки
в линейное уравнение
На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .
Примеры. Решить уравнения:
1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.
1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:
(при нахождении u С берем равным нулю).
3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:
(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):
(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:
3) Подставляем во (II) =0 и
Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:
Интегрируем:
Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:
Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:
А так как
Сделаем С=-С:
4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:
3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:
Это — уравнение Бернулли,
1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:
В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:
При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.
При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).
3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, подставляем:
вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:
Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:
4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:
Примеры для самопроверки:
1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:
2) Группируем слагаемые с v:
Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:
Интегрируем обе части уравнения:
3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:
Интегрируем обе части получившегося уравнения.