Теоретический минимумЧасто встречаются случаи, когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее, чем методами
вещественного анализа. Причины могут быть самыми разными. Методы ТФКП могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления.
Иногда формулу Ньютона-Лейбница нельзя использовать, так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях.
Методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости, да и параметр иногда
приходится вводить искусственно.Обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы - по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке
интегрирования функций. Общая идея заключается в следующем. Составляется контурный интеграл. Интеграл по некоторым участкам контура должен
совпадать с искомым определённым интегралом - по крайней мере, с точностью до постоянного множителя. Интегралы по остальным участкам контура
должны вычисляться. Затем применяется основная теорема о вычетах, согласно которой
,
где - это особые точки функции , находящиеся внутри контура интегрирования . Таким образом, контурный интеграл с одной
стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл, а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов (что обычно
серьёзных сложностей не представляет).Основная сложность - выбор контура интегрирования. Его подсказывает, в принципе говоря, подынтегральная функция. Однако без достаточной
практики овладеть данным методом сложно, а потому примеров будет приведено довольно много. Наиболее часто используются контуры, составленные из
элементов, по которым удобно проводить интегрирование (прямые, дуги окружностей).
интегрирования в комплексной плоскостиПример 1. Интегралы Френеля .
Вычислим интегралы,
.
Несложно догадаться, что первым шагом является переход к экспоненциальной форме, предполагающий рассмотрение интеграла .
Нужно только подобрать контур интегрирования. Понятно, что в контур должна войти полуось . Вещественная и
мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы Френеля. Далее, вычисляемый контурный интеграл по структуре
подынтегрального выражения напоминает интеграл Эйлера-Пуассона, значение которого известно. Но чтобы получить этот интеграл, нужно положить
, тогда . А такое представление переменной - это интегрирование по прямой, проходящей через точку
под углом к вещественной оси.
Итак, два элемента контура есть. Чтобы контур замкнулся, будем считать, что выбранные два участка контура имеют конечную длину , и замкнём
контур дугой окружности радиуса . Позже мы устремим этот радиус к бесконечности. В результате получается изображённый на рис. 1 контур.
(1)
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет, поэтому интеграл по всему контуру равен нулю.
.
В пределе этот интеграл равен нулю.
На участке можно записать , тогда.
Подставляем полученные результаты в (1) и переходим к пределу :
Отделяя вещественную и мнимую части, находим, учитывая значение интеграла Эйлера-Пуассона
,
.Пример 2. Выбор контура интегрирования, содержащего внутри особую точку подынтегральной функции .
Вычислим интеграл, похожий на рассмотренный в первом примере: , где.
Вычислять будем интеграл . Контур выберем аналогичный тому, который использовался в первом примере. Только теперь нет цели
свести вычисление к интегралу Эйлера-Пуассона. Здесь заметим, что при заменеподынтегральная функция не изменится.
Это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так, чтобы она составляла с вещественной осью угол .
При записи контурного интеграла(2)
интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю. На участке можно записать:
.
Таким образом, из (2) при переходе к пределу находим
.
Здесь учтено, что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс .
Отсюда находим искомый интеграл:.
Пример 3. Через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования ?
На следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования. Вычислим
интеграл .
Фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси, на которой подынтегральная функция не имеет
особенностей. Остаётся только замкнуть контур интегрирования. Так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки, то
замкнуть контур можно полуокружностью, радиус которой следует устремить к бесконечности. И здесь возникает вопрос о том, как должна
быть выбрана полуокружность: в верхней или нижней полуплоскости (см. рис. 3 а, б). Чтобы понять это, запишем интеграл по полуокружности
в обоих случаях:
а)
б)
Как видно, поведение интеграла в пределе определяется множителем .
В случае "а" , а потому предел будет конечен при условии .
В случае "б" - напротив - , а потому предел будет конечен при условии .
Это наводит на мысль, что способ замыкания контура определяется знаком параметра . Если он положителен, то
контур замыкается через верхнюю полуплоскость, в противном случае - через нижнюю. Рассмотрим эти случаи отдельно.
а)
Интеграл по полуокружности в пределе , как мы видели, обратится в нуль. Внутри контура (см. рис. 3а) находится
особая точка , поэтому
б)
Аналогично находим с помощью интегрирования по контуру, изображённому на рис. 3б,
Замечание . Может показаться странным, что интеграл от комплексной функции получился вещественным. Однако это легко понять, если в исходном
интеграле выделить вещественную и мнимую часть. В мнимой части под интегралом окажется нечётная функция, а интеграл вычисляется в симметричных
пределах. Т.е. мнимая часть обратится в нуль, что и получилось в нашем расчёте.Пример 4. Обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования .
В рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек, либо они были внутри контура интегрирования. Однако
бывает удобно выбрать контур так, что на него попадают особые точки функции. Такие точки приходится обходить. Обход осуществляется
по окружности малого радиуса, который в дальнейшем просто устремляется к нулю. В качестве примера вычислим интеграл.
Может показаться, что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек, так как точка является устранимой особенностью.
Но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции (чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на
замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса): . Здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность
в точке .
Таким образом, требуется другой контур интегрирования (см. рис. 4). Он отличается от рис. 3а только тем, что особая точка обходится по полуокружности,
радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю.
. (3)
Сразу заметим, что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю, а внутри контура
особых точек нет, так что весь интеграл по контуру равен нулю. Далее рассмотрим первое и третье слагаемые в (3):
.
Теперь запишем интеграл по малой полуокружности, учитывая, что на ней . Также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности:
Не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю в пределе .
Собираем слагаемые в (3) - кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого.
Как видно, обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились. Устремляя и , имеем.
Замечание . Совершенно аналогично вычисляется, например, интеграл Дирихле (напомним, он отличается от только что рассмотренного отсутствием
квадратов в числителе и знаменателе).Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
интегрирования в комплексной плоскости (продолжение)Пример 5. Подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек .
Во многих случаях выбор контура осложнён тем, что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек. В этом случае может
оказаться так, что сумма вычетов в действительности будет рядом, сходимость которого ещё придётся доказывать, если суммировать его
не получается (а суммирование рядов - вообще отдельная довольно сложная задача). В качестве примера вычислим интеграл .
Понятно, что часть контура - вещественная ось. На ней у функции особенностей нет. Обсудим, как замкнуть контур. Выбирать полуокружность не следует.
Дело в том, что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей. Поэтому внутрь контура, замкнутого полуокружностью
в пределе бесконечно большого радиуса, попадёт бесконечно много особых точек. Как ещё можно замкнуть контур? Заметим, что .
Отсюда следует, что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок, параллельный вещественной оси. Контур замкнётся двумя
вертикальными отрезками, в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси (см. рис. 5).
На вертикальных участках контура. Гиперболический косинус с ростом аргумента (по модулю) растёт экспоненциально, поэтому
в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю.
Итак, в пределе.
С другой стороны, внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции. Вычеты в них
,
.
Следовательно,
.Пример 6. Подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны .
Существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования. До сих пор подынтегральная
функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла, либо переходила в неё отделением
вещественной или мнимой части. Но не всегда всё оказывается так просто. Вычислим интеграл .
В смысле выбора контура особой проблемы нет. Хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов , мы уже знаем
по опыту предыдущего примера, что нужен прямоугольный контур, так как . Единственное отличие от примера 5 заключается в том,
что на прямую попадает полюс подынтегральной функции , который нужно обойти. Поэтому выбираем изображённый
на рис. 6 контур.
Рассмотрим контурный интеграл . Мы не станем расписывать его на каждом участке контура, ограничившись горизонтальными
участками. Интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому. Запишем интегралы по остальным участкам:
.
В пределе и первые два интеграла дадут , потом они войдут в контурный интеграл в сумме
с искомым, который отличается знаком. В результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет. Это означает, что
подынтегральная функция была выбрана неверно. Рассмотрим другой интеграл: . Контур оставляем прежним.
Для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам. Интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в .
Этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах.
В пределе и первые две скобки обратятся в нуль, снова образовав интегралы от нечётных функций
в симметричных пределах. А вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл. Имеет смысл продолжать вычисление.
Аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при . Остаётся найти интеграл
по полуокружности, где. Как в примере 4, вычисляем интеграл, учитывая малость :
.
Итак, у нас есть всё, чтобы записать в пределе и контурный интеграл:
А с другой стороны, внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции
Определение . Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).
Определение . Точка z 0 называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:
б) существует, конечен и не равен нулю.
Если целые положительные числа), тогда – нули (корни) этого многочлена, которые имеют соответственно порядки (кратности) .
Определение . Пусть f (z ) аналитическая функция в окрестности точки z 0 , за исключением самой точки z 0 . В этом случае точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f (z ).
Различают изолированные особые точки однозначной функции трёх типов :
1) устранимую особую точку – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел:
2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел, не равный нулю:
(2.41)
если , то z 0 – полюс первого порядка (простой полюс);
3) существенно особую точку – изолированную особую точку z 0 , которая не является ни устранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.
Теорема (о связи между нулем и полюсом) . Если точка z 0 – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.
Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).
Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши
.
Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.
Определение . Вычетом аналитической функции f(z) относительно изолированной особой точки z 0 (или в точке z 0) называется комплексное число, равное значению интеграла , где L – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя единственную особую точку z 0 функции f(z).
Вычет f(z) относительно точки z 0 обозначается символом resf(z 0)(Resf(z 0)) или так, что имеем:
. (2.42)
Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:
Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:
Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:
Если причем точка является простым нулем и не является нулем для , то:
. (2.46)
Основная теорема Коши о вычетах . Если функция f(z) аналитическая в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри ,то:
Эта теорема имеет большое значение для приложений.
Одно из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.
Замечание . В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предполагалось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь контура только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рассматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.
Определение .Вычетом функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки называют интеграл:
где L – замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той окрестности точки , в которой функция f(z) является аналитической. Интегрирование по Lсовершается в отрицательном направлении этого контура, т.е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева. Таким образом:
Пример 1
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:
.
Решение
1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):
Особые точки: .
2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).
Точку z = 1 не рассматриваем, так как она не лежит внутри области .
3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):
Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).
4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):
5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):
Ответ
Пример 2
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах.
Интеграл от рациональной функции.
Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функции-- отношения двух многочленов Р(х) и Q(x) (с комплексными коэффициентами):
Он сходится, если знаменатель не имеет вещественных корней и степень числителя по крайней мере на две единицы меньше, чем степень знаменателя.
Как вычислить значение этого интеграла?
Можно, разумеется, взять неопределенный интеграл от рациональной функции и подставить пределы. Но, оказывается, иногда быстрее применить методы, связанные с аналитической природой функции.
Функция комплексного переменного z, равная, аналитична всюду в плоскости переменного z, за исключением конечного числа точек--корней знаменателя. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кусочно-гладкий контур L, образованный отрезком [-R, R] вещественной оси и полуокружностью
где R настолько велико, что вне полученного полукруга уже нет в верхней полуплоскости ни одного корня знаменателя.
Внутри этого полукруга имеется, вообще говоря, некоторое число корней знаменателя, например (рис. 1.3.1).
В силу формулы
мы получаем выражение
Устремим теперь R в. На полуокружности мы имеем в силу условия на степени многочленов Р(z) и Q(z), где А -- некоторая постоянная; поэтому
Отсюда следует, что интеграл
имеет пределом при величину (1.3.1.2). Но так как интеграл (1.3.1.1) сходится, то он должен совпадать с пределом интеграла (1.3.1.3). Итак,
а. Если корни простые, то по формуле
и, следовательно,
б. Замечание. Интеграл их мы привели к сумме вычетов (умноженной на) функции в верхней полуплоскости, рассматривая контур L, составленный из отрезка [-R, R] и полуокружности.
Но таким же образом можно рассуждать и с контуром, составленным из отрезка (проходимого справа налево) и полуокружности в нижней полуплоскости; мы получим
где - корни многочлена Q(z), лежащие в нижней полуплоскости.
Переходя к пределу при, найдем
Полученный результат по форме отличается от результата (1.3.1.4). В действительности они, конечно, совпадают, так что разность этих результатов, т. е. умноженная на сумма вычетов функции во всех корнях Q(z), как в верхней, так и в нижней полуплоскости, равна 0.
Это можно показать и непосредственно. Как мы знаем, эта сумма вычетов совпадает с интегралом
по полной окружности радиуса R, достаточно большого, чтобы она содержала внутри все корни Q(z). Этот интеграл не зависит от R и в то же время допускает оценку
Таким образом, интеграл (8) равен 0. Отсюда
а. Интегралы Фурье. Часто встречаются интегралы вида
Если выполнено условие
то все три интеграла Фурье абсолютно сходятся. Если при функция f(x) вещественна и монотонно стремится к нулю, интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) сходятся при, но, вообще говоря, неабсолютно. Если при этом f(- х)f(x) (т. е. функция f(x) четна), то интеграл (1.3.2.3) равен нулю, если же f(- х) = -f(x) (функция f(x) нечетна), то интеграл (1.3.2.2) равен нулю. Кроме того, имеется очевидная связь
так что в случае вещественной f(х) интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) представляют вещественную и мнимую части интеграла (1.3.2.1).
б. Часто бывают полезны методы контурного интегрирования. Пусть. есть рациональная функция и полином Q(х) имеет степень по крайней мере на единицу выше степени полинома Р(х) и не обращается в 0 при вещественных х. В этом случае интегралы (1.3.2.1) -- (1.3.2.3) сходятся
Пусть -- корни многочлена Q(х), лежащие в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур, состоящий из отрезка [-R, R] вещественной оси и полуокружности.Тогда
Покажем, что при
Если, то ||=||=. Поэтому если степень многочлена Q(z) по крайней мере на две единицы выше степени многочлена P(z), доказательство соотношения (1.3.2.5) можно провести точно так же, как в 1.3.1.
в. Если степень многочлена Q(z) лишь на единицу выше степени многочлена P(z), то рассуждение 1.3.1 не проходит. Для этого случая мы установим следующую лемму.
Лемма. При справедливо неравенство
(c - постоянная).
Доказательство. Так как, то достаточно рассмотреть интеграл
составляющий ровно половину предыдущего. Мы имеем при
поскольку функция при u>0 ограничена. Лемма доказана.
Транскрипт
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики ИП ВАСИЛЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург
2 ББК 6 я7 В 9 УДК 7 (7 Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент, завкафедрой математического анализа Невоструев ЛМ Василего ИП Вычисление интегралов с помощью вычетов: Методические В9 указания Оренбург: ГОУ ОГУ, с Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей и инженерно-технических специальностей На базе основной теоремы теории вычетов, получены алгоритмы вычисления, определенных интегралов от тригонометрических функций и несобственных интегралов двух видов ББК 6 я7 ИП Василего, ГОУ ОГУ,
3 Введение Решение многих задач физики, механики и некоторых разделов математики связано с вычислением определенных или несобственных интегралов В работе рассмотрены способы вычисления таких интегралов с помощью теории вычетов В разделе приводятся основные сведения из теории вычетов В разделе, на примерах разобраны способы вычисления определенных и несобственных интегралов и приведены варианты примеров для самостоятельной работы
4 Основные факты теории вычетов Обязательно по книгам (и (читатель должен ознакомиться с основными понятиями теории функций комплексного переменного: аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и тд Определение Нулем аналитической функции f называется точка, для которой f (Если f не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки, то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке внутри которой не будет других нулей, кроме центра Если (k f f f (, а (k f (, то точка называется нулем порядка k для функции f Если k, то нуль называется простым, при k > k - кратным Определение Точки в которых функция f перестает быть аналитической называются особыми точками функции f Определение Точка называется изолированной особой точкой функции f, если функция f аналитична в некоторой проколотой окрестности (кольце { С < < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, называется главной частью ряда Лорана По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его правильная и главная части Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце: < < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел
5 Тогда f тогда и только тогда, когда главная часть её ряда Лорана с центром в точке отсутствует Определение 6 Изолированная особая точка функции f lm f является устранимой особой точкой функции называется полюсом, если Тогда f, тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана с центром в точке состоит из m (конечного числа членов: f является полюсом функции a a m m a a m m m (((, a, m Число m называют порядком полюса Если m, то полюс называется простым Если для функции f точка есть полюс порядка m, то для функции точка есть нуль порядка m f Определение 7 Изолированная особая точка функции f lm f не существует Точка называется существенно особой точкой, если f тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана с центром в точке содержит бесконечное число членов является существенно особой точкой функции Например, точка - существенно особая точка функции Действительно, e! Заметим, что изолированная особая точка функции f является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности точки: < < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e
6 где интегрирование ведется по γ -замкнутому кусочно-гладкому контуру Жордана, содержащему внутри себя точку и не содержащему других особых точек функции f При этом интегрирование ведётся в положительном направлении относительно области, содержащей точку Если Re s f a - коэффициент при (в ряде Лорана Если, то, то Re s f a лорановском разложении функции Вычет f в точке, где a - коэффициент при в f в окрестности точки находят, в основном, непосредственно по определению, причем за контур γ принимают окружность R достаточно большого радиуса Правила вычисления вычетов в точке Если точка является устранимой особой точкой для функции f, то Re s f Пусть точка - полюс первого порядка (простой полюс для Re s f lm f f Тогда (В частности, если f, где функции и ψ, (, ψ(, ψ (, то окрестности точки Re s f ψ ((Если точка - полюс порядка > m функции f ψ аналитические в, то Re s f! (m lm m (m f Для вычисления интегралов будем использовать основную теорему теории вычетов: Если функция f аналитична в замкнутой области G, ограниченной замкнутой спрямляемой жордановой кривой С, за исключением конечного числа изолированных особых точек a, a, a, находящихся внутри С, то справедлива формула f d Re s f ak c k 6
7 Вычисление интегралов от тригонометрических функций Интегралы вида R(cos,s d, где (u v R, - рациональная функция, а функция g (R(cos, s непрерывна на отрезке [,], сводится к интегралом по единичной окружности от функций комплексного переменного Пусть e Тогда с помощью формул Эйлера: e cos s получим e e e e s, cos или s, cos (Отсюда d e d или При изменении от до d d d переменная пробегает окружность, ~ ~ поэтому R d (где R R, Так как рациональная функция R ~ на окружности, то существует такое r >, что в круге < r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7
8 ~ Rd ; проверяем условие теоремы Для этого находим изолированные особые точки, k функции R ~ принадлежащие множеству C < R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8
9 9 Теперь d d d d Подынтегральная функция (g имеет особые точки, которые являются полюсами второго порядка Функция g((подынтегральная аналитична на окружности и в круге < за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d
10 Функция (~ R имеет особые точки 8 (6, точки, лежат внутри окружности Причем - полюс второго порядка, вычет его найдем по правилу ~ (6 (6 Re lm s R lm 8(6 8(6 8 Точка - простой полюс Вычет Re s R ~ найдем по правилу ~ Re s R(lm 8 (((По формуле (имеем (8((cos Вычислить d a cos a R, > 8 (8(8 8 при условии, что < a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a
11 (d Вычислить (s α s e Решение Сделаем замену (s α d (s α e Тогда d d s, d и s α (Подынтегральная функция аналитична на множестве кроме нуля знаменателя, который является простым полюсом подынтегральной функции По формуле (и правилу получаем, что (s α (Re lm (s s α (((Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d, < a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a > ; a cos a d (a b cos, a > b > d
12 Вычисление несобственных интегралов При вычислении некоторых типов несобственных интегралов будем использовать следующие две леммы Жордана Лемма Пусть функция f(является непрерывной в области D C R, m при некотором R > и lm R M (R, где { } max f, C { C R, m } M (R C R R R Тогда lm f d R C R Лемма Пусть m> и для функции f(выполнены условия: f(непрерывна в области D для некоторого R >; lm M (R R Тогда lm f e d R C R m Интегралы первого типа Интеграл вида R(x, где P(x R (x - рациональная функция, Q(x причем многочлен Q(x не обращается в нуль на действительной оси и его степень, по крайней мере, на две единицы больше степени полинома Р(x, назовем интегралом первого типа В силу условий наложенных выше на R(x, c выполняется неравенство R(x с некоторой константой C> и поэтому x интеграл сходится Выведем формулу для вычисления этого интеграла с помощью вычетов Для этого рассмотрим замкнутый контур K τ, состоящий из полуокружности C τ { C τ, m } и отрезка [ τ, τ] действительной оси (см рисунок у С τ -τ τ х Рисунок Направление обхода контура K τ показано на рисунке Рассмотрим функцию комплексной переменной R(и пусть, - полюсы этой
13 функции, лежащие в верхней полуплоскости Число τ возьмем настолько большим, чтобы все точки, оказались внутри K τ Так как Q (x на действительной оси, то существует область G, содержащая замкнутую верхнюю полуплоскость { C m } и такая, что функция R(аналитична в G за исключением только лишь точек, Область G, контур K τ и функция R(удовлетворяет условиям теоремы, поэтому или τ τ K τ R(d Re sr(k R(x R(d Re sr(C R k k В последнем равенстве перейдем к пределу при τ Заметим, что при этом его правая часть не меняется, а в левой части R d по первой τ лемме Жордана, а интеграл R (x R(x Таким образом, получили формулу τ k k R(x Re s R(, (Таким образом, алгоритм решения несобственных интегралов первого типа таков: показываем, что знаменатель Q(x не обращается в нуль на действительной оси и что его степень по крайней мере на две единицы больше степени многочлена Р(х; P(переходим к функции комплексной переменной R ; Q(находим комплексные корни многочлена Q(, которые являются полюсами функции R(; из найденных полюсов функции R(выбираем только те, которые лежат в верхней полуплоскости, например, ; по правилам (или (вычисляем вычеты Re s R(, k, ; 6 по формуле (вычисляем интеграл Иногда пункты и 6 выполняются одновременно Рассмотрим примеры Вычислить (x k k C R
14 Решение Так как подынтегральная функция (x является четной, то (x Так как (х не обращается в нуль на действительной оси и степень многочлена (х на четыре больше степени числителя (х, то интеграл (x является интегралом первого типа Рассмотрим функция R Корнями многочлена ((являются, - Точки и - полюсы второго порядка функции R(Полюс попал в верхнюю полуплоскость По правилу вычисляем вычет относительно: Re s R(lm (! lm 8 ((lm ((! (По формуле (вычисляем интеграл Вычислить интеграл x (x (x 9 lm ((Решение Очевидно, что интеграл первого типа Функция R аналитична всюду в плоскости, за ((9 исключением точек, Эти точки являются простыми полюсами функции R(Две из них (и лежат в верхней полуплоскости По формуле (имеем По правилу Re s R(lm Re s R(lm (R(x Re s R(Re s R(lm (((9 ((9 (9 (lm ((((((9,
15 Отсюда 6 6 Вычислить интеграл x, a > (x a Решение Так как подынтегральная функция четная, то x (x a Очевидно, что интеграл первого типа Рассмотрим функцию R(Она аналитична всюду в плоскости за исключением точек (a a и a Эти точки являются полюсами третьего порядка функции R(Один из них (a попал в верхнюю полуплоскость По формуле (и правилу имеем (a a Re s R(lm lm a a! a a a (a lm a (a a (a 6a Вычислить интеграл, a >, (a x Решение - интеграл первого типа Функция R(имеет полюс a п (a го порядка в верхней (a (a полуплоскости Пользуясь правилом и формулой (, получаем Re lm a lm s R a (! a (! a a a a! ((((((a (a (((!! Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы: x ; x x ; x
16 ; 7 x ; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6 (x a, a > ; (x x a, a > 6 Интегралы второго типа Интегралы вида R(x s αx, R(x cos αx назовем интегралами P(x второго типа, если R (x - рациональная функция, причем Q(x не имеет Q(x действительных корней и степень Q(x по крайней мере на единицу больше степени Р(x Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся Интегрируя по частям и учитывая, что lm R(x, получим R(xsαx R(xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx Интеграл R (x cos αx сходится абсолютно, так как у функции R (x степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя Отсюда следует сходимость интеграла R(x s αx Аналогично доказываем сходимость интеграла вспомогательную функцию силу теоремы, получим τ τ αx Cτ α R(x cos αx Интегрируя f R(e по контуру K τ (см рисунок в α R(x e R(e d Re s f, где τ настолько велико, что k k все полюсы R(лежат внутри K τ Переходя к пределу при τ и замечая, что α по второй лемме Жордана R e d приходим к равенству C τ
17 R e α d Re s f k k Приравняв действительные и мнимые части, получаем α R(x cos αx Re Re s(R(e k k α R(x s αx m Re s(R(e k k ((/ где, k полюсы функции R(, лежащие в верхней полуплоскости Рассмотрим примеры (x s x x x Вычислить интеграл Решение Ясно, что интеграл второго типа D 8 < x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a > x a Решение Так как под знаком интеграла стоит четная функция, то cos x и R (x, α x a x a Так как степень числителя (меньше степени знаменателя (x a на две единицы и x a для любого действительного х, то интеграл 7
18 второго типа Рассмотрим функцию R(Функция a (a(a R(имеем в верхней полуплоскости простой полюс a По формуле (и правилу имеем a a e e e e Re Re s Re Re a a a a a Для вычисления вычета здесь мы использовали формулу ((a Re s, так как (a, ψ(a и ψ (a Таким же способом a ψ(ψ (a можно было вычислить вычет и в примере Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы (x s x x s x ; ; x x (x 9 x s x ; x x x s x, a > ; x a x x x x s x 6 7 ; x x s x 9 ; x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a > ; cos ax 8, a > ; x x a x cos x x x a >, b > a b; 8
19 Список использованных источников Александров иа, Соболев ВВ Аналитические функции комплексного переменного М: Высшая школа, 98 9 с Бицадзе АВ Основы теории аналитических функций комплексного переменного М: Наука, 969 с Евграфов МА, Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунин МИ, Бежанов КА Сборник задач по теории аналитических функций М: Наука, с Ершова ВВ Импульсные функции Функции комплексной переменной Операционное исчисление Минск: Высшая школа, с Краснов МЛ, Киселев АИ, Макаренко ГИ Функции комплексного переменного Операционное исчисление Теория устойчивости М: Наука, 987 с 6 Маркушевич АИ Краткий курс теории аналитических функций М: Наука, с 7 Привалов ИИ Введение в теорию функций комплексного переменного М: Наука, 977 с 8 Радыгин ВМ, Голубева ОВ Применение функции комплексного переменного в задачах физики и техники - М: Высшая шкала, 98 6 с 9 Свешников АГ, Тихонов АН Теория функций комплексной переменной М: Наука, с Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунин МИ Лекции по теории функций комплексного переменного М: Наука, с Соломенцев ЕД Функции комплексного переменного и их применение М: Высшая школа с Шабат БВ Введение в комплексный анализ М: Наука, с 9
Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической
Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет НИ Ильинкова, ОАКононова, НКФилиппова Приложение теории вычетов к вычислению интегралов Минск УДК 575/55(75) Решение
Интеграл от функции комплексного переменного интеграла от ФКП Предел интегральной суммы Римана σ = = f (t Δ для функции f (по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные
Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида (((... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда
Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной
Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy
ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение
I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического
Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания по выполнению самостоятельной работы Красноярск 2007 Содержание. Общие сведения 3 2. Задания
8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где (a k) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Н Т Стельмашук, В А Шилинец ТЕСТЫ ПО КУРСУ ТФКП Учебно-методическое
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по
Дагестанский государственный университет народного хозяйства КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Мухидинов Магомед Госенгаджиевич Испагиева Асият Далгатовна Неопределенный интеграл УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Махачкала 2017 Мухидинов
Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости
Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11
~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная
М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Задачи по теории функций комплексного переменного Часть На дневном на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Вопросы и задачи к
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика
Теория функций комплексного переменного Лектор Александр Сергеевич Романов 1. Аналитические функции комплексного переменного Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической
УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Теория функций по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: 010600 факультеты: для всех факультетов
Лекция 9 Элементы теории вычетов 9.1 Определение вычета В этом параграфе введём важное для приложений понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке. Немного о самом термине. Считается,
Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной
Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Типовые задачи c решениями. Гамма-функция Пример. Найти произведение = 3. Решение. Прежде всего проведем переиндексацию +, чтобы произведение начиналось с единицы. В результате получим +. 3 Далее разложим
ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ
Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»
Стр. из 9-е занятие. Вычисление действительных интегралов с помощью вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Найти следующие тригонометрические интегралы с помощью вычетов: A π + cos ϕ. A π 3
Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ
Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы
Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу
РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание
Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Основной целью практических (семинарских) занятий по дисциплине «Теория функций комплексного переменного» является умение применять полученные
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАН- СКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИ- ТЕТ Программа была составлена на кафедре Теории функций и функционального анализа Бакинского Государственного Университета
Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 11. Оригинал и изображение. Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть:R C. Функция
С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения
ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Организационно-методические указания по освоению дисциплины Красноярск 2007 1. Общие сведения Программа дисциплины
Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье
3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным
Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента
Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке
Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск
Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического
Лекция 11 Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом 11.1 Интегралы со степенным весом Рассмотрим интеграл вида x α 1 f(x) dx, (11.1) где α нецелое действительное число, а f(x) рациональная
Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные
Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно
Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам
МА ЕВДОКИМОВ ЛА МУРАТОВА ЛВ ЛИМАНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ Том III Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра
Журнал экспериментальной и теоретической физики. 948 т. 8 вып. А.Н. Тихонов А.А. Cамарский. О принципе излучения Сформулирован общий принцип излучения для волнового уравнения в том смысле что решениями
ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные
Стр. из 9 6-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A Разложить функцию ln z + 2 z 3 в ряд Лорана в окрестности точки. Корни и кратности
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики
Функции Дифференцирование функций 1 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов,
Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление
Теория функций комплексного переменного С. Г. Бугаева Физический факультет Новосибирский государственный университет Эти слайды сопровождали лекции и содержат некоторые (далеко не все!!!) определения и