Неопределенным интегралом функции y f x называется. Калькулятор онлайн.Вычислить неопределенный интеграл (первообразную)

При-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма

1. Определение и основные свойства параллелограмма

Нач-нем с того, что вспом-ним опре-де-ле-ние па-рал-ле-ло-грам-ма.

Опре-де-ле-ние. Па-рал-ле-ло-грамм - че-ты-рех-уголь-ник, у ко-то-ро-го каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грамм

Вспом-ним ос-нов-ные свой-ства па-рал-ле-ло-грам-ма :

Для того, чтобы иметь воз-мож-ность поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть уве-рен-ным, что фи-гу-ра, о ко-то-рой идет речь, - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого необ-хо-ди-мо знать такие факты, как при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма. Пер-вые два из них мы се-год-ня и рас-смот-рим.

2. Первый признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 2. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 2), она раз-би-ла его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках:

по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства ука-зан-ных тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. Имеем, что:

До-ка-за-но.

3. Второй признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 3. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 3), она раз-би-ва-ет его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках, ис-хо-дя из фор-му-ли-ров-ки тео-ре-мы:

по тре-тье-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что и по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. По-лу-ча-ем:

па-рал-ле-ло-грамм по опре-де-ле-нию. Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

До-ка-за-но.

4. Пример на применение первого признака параллелограмма

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние при-зна-ков па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1. В вы-пук-лом че-ты-рех-уголь-ни-ке Найти: а) углы че-ты-рех-уголь-ни-ка; б) сто-ро-ну .

Ре-ше-ние. Изоб-ра-зим Рис. 4.

па-рал-ле-ло-грамм по пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.

А. по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о про-ти-во-по-лож-ных углах, по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о сумме углов, при-ле-жа-щих к одной сто-роне.

Б. по свой-ству ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-ных сто-рон.

ре-тий при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

5. Повторение: определение и свойства параллелограмма

На-пом-ним, что па-рал-ле-ло-грамм - это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны. То есть, если - па-рал-ле-ло-грамм, то (см. Рис. 1).

Па-рал-ле-ло-грамм об-ла-да-ет целым рядом свойств: про-ти-во-по-лож-ные углы равны (), про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны (). Кроме того, диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, сумма углов, при-ле-жа-щих к любой сто-роне па-рал-ле-ло-грам-ма, равна и т.д.

Но для того, чтобы поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть аб-со-лют-но уве-рен-ны-ми в том, что рас-смат-ри-ва-е-мый че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого и су-ще-ству-ют при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма: то есть те факты, из ко-то-рых можно сде-лать од-но-знач-ный вывод, что че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом. На преды-ду-щем уроке мы уже рас-смот-ре-ли два при-зна-ка. Сей-час рас-смот-рим тре-тий.

6. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Если в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то дан-ный че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом.

Дано:

Че-ты-рёх-уголь-ник; ; .

До-ка-зать:

Па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Для того чтобы до-ка-зать дан-ный факт, необ-хо-ди-мо до-ка-зать па-рал-лель-ность сто-рон па-рал-ле-ло-грам-ма. А па-рал-лель-ность пря-мых чаще всего до-ка-зы-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-крест ле-жа-щих углов при этих пря-мых. Таким об-ра-зом, на-пра-ши-ва-ет-ся сле-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство тре-уголь-ни-ков .

До-ка-жем ра-вен-ство этих тре-уголь-ни-ков. Дей-стви-тель-но, из усло-вия сле-ду-ет: . Кроме того, по-сколь-ку углы - вер-ти-каль-ные, то они равны. То есть:

(пер-вый при-знак ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков - по двум сто-ро-нам и углу между ними).

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: (так как равны внут-рен-ние на-крест ле-жа-щие углы при этих пря-мых и се-ку-щей ). Кроме того, из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что . Зна-чит, мы по-лу-чи-ли, что в че-ты-рёх-уголь-ни-ке две сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны. По пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1

Дано:

- па-рал-ле-ло-грамм; . - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на (см. Рис. 2).

До-ка-зать: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Зна-чит, в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. По тре-тье-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма из этого сле-ду-ет, что - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

Если про-ве-сти ана-лиз тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можно за-ме-тить, что этот при-знак со-от-вет-ству-ет свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. То есть, то, что диа-го-на-ли де-лят-ся по-по-лам, яв-ля-ет-ся не про-сто свой-ством па-рал-ле-ло-грам-ма, а его от-ли-чи-тель-ным, ха-рак-те-ри-сти-че-ским свой-ством, по ко-то-ро-му его можно вы-де-лить из мно-же-ства че-ты-рёх-уголь-ни-ков.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x) для всех x (a; b) выполняется равенство F (x) = f(x). 2

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a; b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a; b). Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f 3

Докажем две вспомогательные теоремы: Если функция g(x) постоянна на (a; b), то g (x) = 0. Если g (x) = 0 при всех x (a; b), то g(x) = C на (a; b). 4

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a; b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a; b), то G = F + C, где C – число. 5

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a; b) называется неопределенным интегралом и обозначается интегралом f(x)dx. dx Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием 6

Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула: f((t)) (t) dt = f(x) dx, где x = (t). 8

Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) = u v + v u Отсюда следует (uv) dx = (u v + v u)dx = = u v dx + v u dx или uv dx = uv – u v dx. 10

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: интегрирования по частям u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x) 11

Определенным интегралом от функции по промежутку называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: 13

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним интегрирования пределом интегрирования На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой 14

15

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом 17

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. 18

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке , функция z =g(x) имеет на непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

Метод интегрирования по частям

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой , а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox .

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится .

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение. ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Решение.

Пример 3.33. Найти .

Решение. = .

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Интеграл ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение. Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Пример 3.39 . Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
=. вводится так sqrt(tan(x/2)).

А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Интеграл (от лат. integer - целый)

одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x ) одного действительного переменного - функция F (x ), производная которой при каждом значении х равна f (x ). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F (x ) функции f (x ), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F (x ) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f (x ). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x ) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл . Определённый И. функции f (x ) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность

где F (x ) есть первообразная функции f (x ); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f (x ) непрерывна, то приведённое определение в случае a равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a , b ] точками

в каждом отрезке (i = 1, 2,... , n ) берут произвольную точку ξ i (x i- 1 ≤ ξ i ≤ x i ) и образуют сумму

Сумма S n зависит от выбора точек x i и ξ i . Однако в случае непрерывной функции f (x ) суммы S n , получающиеся при различном выборе точек x i и ξ i , стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x i - x i- 1 стремится к нулю при n → ∞. Этот предел и является определённым интегралом

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F (x ). Обратно, первообразная F (x ) может быть записана в виде

где а - произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана . О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

предел сумм S n при max (x i - x i- 1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x ) на [a, b ] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x ) ограничена на [а, b ], множество помещающихся на [a , b ] точек разрыва функции f (x ) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а , b ] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F (x ) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x ) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x ), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера - Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

представляет функцию f (x ), порождающую коэффициенты a n и b n по формулам

Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьес ом (1894). Пусть f (x ) - непрерывная функция действительного переменного х , определённая на отрезке [a , b ], и U (x ) - определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a , b ] и составляют сумму

f (ξ 1) [U (x 1) - U (x 0)] + f (ξ 2) [U (x 2) - U (x 1)] +...+ f (ξ n ) [U (x n ) - U (x n- 1)], (8)

где ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n - произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x n -1 , x n ]. Пусть δ - наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой δ стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f (x ) относительно функции U (x ) и обозначают символом

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U (x ), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U 1 (x ) и U 2 (x ):

U (x ) = U 1 (x ) - U 2 (x ),

Если интегрирующая функция U (х ) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U" (x ), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U (x ) = х + С , интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х - пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть μ - конечная мера, заданная на В. Для В -измеримой функции у = f (x ), х ∈Х , принимающей конечное или счётное число значений y 1 , y 2 , ..., y n , ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A 1 , ..., А n , ..., сумма которых есть X , интеграл функции f (x ) по мере μ, обозначаемый

определяется как сумма ряда

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А - измеримое множество и φ А (х ) = 1 для х , принадлежащих А , и φ А (х ) = 0 для х, не принадлежащих А . Тогда интеграл от f (x ) по множеству А определяют, полагая

При фиксированных μ и А И. в зависимости от f может рассматриваться как Линейный функционал ; при фиксированном f И., как функция множества А , есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f | оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f (x ), неограниченной в точке х = с , определил интеграл

когда a c b, как предел выражения

при ε 1 → 0 и ε 2 → 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

при а → - ∞ и b → + ∞. Если при этом не требуется интегрируемости |f (x )|, т. е. f (x ) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. - Hdlb. - N. Y., 1969.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Интеграл" в других словарях:

- (обозначение т). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. Интеграл функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и осью абсцисс. ИНТЕГРИРОВАНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь

- (integral) Функция, первая производная (first derivative) которой равна другой функции. Если f(х) является первой производной от g(x), то, следовательно, g(x) является интегралом f(х) и, таким образом, h(x)=g(x)+k, где k – произвольно выбранная… … Экономический словарь

интеграл - а, м. intégrale f. <лат. integer целый. Математическое понятие о целой величине как сумме своих бесконечно малых частей. Нахождение интеграла. БАС 1. Найти интеграл уравнения. 1766. Котельников Геодет 175. // Сл. 18. Алферинька недурно… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Муж., мат., лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать, вычислять, находить интеграл; интеграция жен.… … Толковый словарь Даля

- (вово лат., от лат. integer ценный). В математике количество, дифференциал которого равен данной величине. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. интеграл (лат. integer целый) лет. 1) неопределенный и. от… … Словарь иностранных слов русского языка

1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной. Интегрирование по частям.

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x) .

(-cos x )` = sin x

(1 -cos x)` = sin x

Функция f(x) непрерывная функция на отрезке .

Теорема. Если функция F1 (x) b F2 (x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство .

F1 `(x) = f(x) (1)

F2 `(x) = f(x) , то F1 `(x) - F2 `(x) = Const .

φ(x ) = F1 - F2

φ` (x ) = F1 ` - F2 ` = 0

Т.е. обозначим:

F1 (x) - F2 (x) = φ(x ) (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

F1 `(x) - F2 ` (x ) = f(x) - f(x) = 0 или φ` (x ) = ` = 0 при любом значении x на отрезке . Но из равенства φ` (x ) = 0 следует, что φ(x ) есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x ), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке . Какова ни была точка x на отрезке , мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ (x ) - φ (a ) = φ` (x ) (x-a) , где a< x< x .

Так как φ` (x ) = 0, то φ (x ) - φ (a ) = 0 или φ (x ) = φ (a ) (3)

Таким образом, функция φ(x ) в любой точке x отрезка сохраняет значения φ(a ), а это значит, что функция φ(x ) является постоянной на отрезке . Обозначая постоянную φ(a ) через С, из равенств (2), (3) получ аем:

F1 (x) - F2 (x) = С

Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x) , то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению,

∫ f (x) dx = F (x) + С , если F (x) = f (x) .

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией , f (x) dx - подынтегральным выражением , знак ∫ - знаком интеграла.

Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f (x) , то и

(∫ f (x) dx)` = (F (x) + C)` = f (x) (4)

Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d (∫ f (x) dx) = f (x) dx (5)

Это получается на основании формулы (4)

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

∫ dF (x) = F (x) + C

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx) )

Таблица неопределённых интегралов.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Линейные свойства.

Интегрирование - есть линейная операция.

1. ∫ dx = ∫ f1 (x) dx + ∫ f2 (x) dx

∫ a f (x) dx = a ∫ f (x) dx

∫ f (x) dx = F (x) + C

2. ∫ f (x+c) dx = F (x+c) + C

3. Подстановка. 1-ый способ вычисления неопределённых интегралов.

x = φ (t), тогда ∫ f (φ (t)) φ` (t) dt = F (x) + C = ∫ f (x) dx

x = φ (t) dx dt = φ`

Интегрирование по частям.

Пусть u и v - две дифференцируемые функции от x . Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:

d(uv) = udv + vdu

Отсюда, интегрируя, получаем:

uv = ∫ udv + ∫vdu

или ∫ udv = uv - ∫vdu

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание функции v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла ∫ v du составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла ∫ u dv .

Пример. ∫ x sin x dx = ∫ - x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

Т.к. u = v , dv = sin x dx и du = dx , v = - cos x.