С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить , вычитать , умножить , транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень , умножить матрицу на число , сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы , проводить исключение Гаусса , решить матричное уравнение AX=B , сделать LU разложение матрицы , вычислить ядро (нуль пространство) матрицы , сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта .
Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a /b , где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.
Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы или очищать содержимое ячеек ).
При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.
Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .
Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.
Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.
Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
сумму , разность или произведение матриц . Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.
Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:
Вычисление обратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу . Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления обратной матрицы:
Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы . Теорию вычисления обратной матрицы смотрите .
Вычисление определителя матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы . Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления определителя матрицы:
Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы . Теорию вычисления определителя матрицы смотрите .
Вычисление ранга матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы .
Для вычисления ранга матрицы:
Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы . Теорию вычисления ранга матрицы смотрите .
Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу . Псевдообратная к данной матрице всегда существует.
Для вычисления псевдообратной матрицы:
Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.
Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:
Скелетное разложение матрицы онлайн
Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн
Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.
Для решения матричного уравнения:
Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк.
Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.
Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду
LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU) , где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение, при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.
Для LU(LUP)-разложения:
Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.
Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы.
Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.
Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей)
называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей
называется квадратная матрица вида
Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).
Определим основные операции над матрицами .
Сложение матриц
Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле
. Обозначается C = A+B.
Пример 6
. .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.
Вычитание матриц
Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.Умножение матриц
Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .Определение . Пусть даны две матрицы
и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле 
.
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:
а правило вычисления элемента в произведении:
Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .
Пример 7
. Даны матрицы 
и 
. Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение.
Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.
Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).
Пример 8
. Дана матрица 
. Найти 3A 2 – 2A.
Решение.
.
; 
.
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.
Транскрипт
1 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 ()) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Вычислить определитель, используя элементарные преобразования:
2 Получим нули в первом столбце определителя: = = = Разложим определитель по первому столбцу: 4 7 = = 1 (1) = Получим нули в первом столбце определителя третьего порядка: = = Запишем разложение определителя по третьему столбцу: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. Для основной матрицы системы уравнений найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы: x 1 + x 4x = 0 { 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Основная матрица системы: 1 4 A = (4) 1 1 Найдем обратную матрицу методом присоединенной матрицы. Допишем справа единичную матрицу:
3 () ~ делаем нули в 1 столбце ~ ~ () ~ делим строку на (15) ~ ~ () ~делаем нули во столбце ~ ~ ~ делим строку на (1) ~ 5 () ~ ~ делаем нули в столбце~ () ~ (1) Тогда: 1 A 1 = 1 (Проверка: 1 A 1 A = 1 () (4) =)
4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) = = (0 1 0) 5 1 () 4. Решить систему уравнений, используя правило Крамера: Запишем формулы Крамера: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 { 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Здесь: - определитель системы; 1 определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов; определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов; определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов. В нашем случае имеем: 1 4 = 4 = = = 9 = =
5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Теперь найдем значения неизвестных: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров. Указать базисный минор: 1 () 8 Т.к. матрица содержит ненулевые элементы, то минимальный ранг матрицы равен 1. равен. Т.к. матрица состоит из трех строк, то максимальный ранг матрицы Определим ранг матрицы методом окаймляющих миноров: 1 A = (M 1 =) 8 Найдем минор первого порядка: Найдем минор второго порядка: M = 1 = = Найдем миноры третьего порядка:
6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Значит ранг матрицы A равен. Базисный минор: 1 4 M = уравнений: виду: 6. Исследовать совместность и найти общее решение системы x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x { 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому 1 A = (~ (~ (r(a) = r(a) = } n =) ~ () ~ ~) (~) () система совместна и имеет бесконечное множество решений 0 1) ~
7 { 1 Базисный минор = Базисные неизвестные x 1, x, x. Свободные неизвестные x 4, x 5. Запишем укороченную систему: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Полагаем, что x 4 = C 4, x 5 = C 5. Тогда: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = { x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 { x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 { x = C C 5 { x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Общее решение системы:
8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Даны векторы: Найти: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) а) скалярное произведение векторов a и b ; б) векторное произведение векторов a и b ; с) смешанное произведение векторов a, b и c. а) скалярное произведение векторов a и b ; В декартовой системе координат скалярное произведение векторов: a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } находим по формуле: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z В нашем случае: (a, b) = = = 5 б) векторное произведение векторов a и b ; В декартовой системе координат векторное произведение векторов: a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } определяется формулой: i j k = a x a y a z b x b y b z
9 В нашем случае: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) с) смешанное произведение векторов a, b и c. Смешанное произведение трех векторов: a = {a x ; a y ; a z }, b = {b x ; b y ; b z } и c = {c x ; c y ; c z } в декартовой системе координат находим по формуле: a x a y a z (a, b, c) = b x c x b y c y b z c z В нашем случае: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Дана пирамида с вершинами: Найти: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A (; ; 1), A 4 (4; ; 5) а) длину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; б) косинус угла между ребрами A 1 A и A 1 A 4 ; в) площадь грани A 1 A A ; г) объем пирамиды; д) проекцию вектора A 1 4 на направление вектора A. 1 а) длину ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Длины ребер A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 равны модулям векторов A, 1 A, 1 A. 1 4 Модуль вектора a = {a x, a y, a z } вычисляется по формуле:
10 a = a x + a y + a z A 1 = {1 ; + 1; 1 } = { 1; ; } A 1 = { ; + 1; 1 } = {1; ; 1} A 1 4 = { 4 ; + 1; 5 } = { 6; ; } Подставляя в эту формулу исходные данные, получим: A 1 = (1) + + () = = 19 (ед.) A 1 = (1) = = 11 (ед.) A 1 4 = (6) + + = = 54 (ед.) б) косинус угла между ребрами A 1 A и A 1 A 4 ; Угол между ребрами будем искать, используя формулу скалярного произведения векторов: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z В нашем случае: a = A 1 = { 1; ; } b = A 1 4 = { 6; ; } cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = в) площадь грани A 1 A A ; Площадь грани A 1 A A найдем как половину площади параллелограмма, построенного на векторах A 1 и A. 1 A 1 = { 1; ; } A 1 = {1; ; 1}
11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = {6; 4; 6} S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = ,69 (кв. ед.) г) объем пирамиды; Объем пирамиды A 1 A A A 4 вычислим с помощью смешанного произведения трех векторов, на которых построена пирамида: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = { 1; ; } A 1 = {1; ; 1} A 1 4 = { 6; ; } 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (куб. ед.) 6 6 д) проекцию вектора A 1 4 на направление вектора A. 1 пр A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Даны вершины треугольника:
12 точку A. Найти: A(;), B(4;), C(; 5) а) угол между медианой AD и высотой AH; б) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через а) угол между медианой AD и высотой AH; Найдем уравнение медианы AD. Для определения уравнения медианы AD найдем координаты точки D, которая делит отрезок BC пополам: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Тогда координаты точки D (1; 7). Медиана AD проходит через точки A(;) и D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 Из уравнения медианы AD: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 1 8 Найдем уравнение высоты AH. Для составления уравнения высоты AH, воспользуемся условием перпендикулярности прямых: l 1 l k 1 k = 1 Так как AH BC, то k AH k BC = 1 k AH = 1 Уравнение стороны BC найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки: k BC
13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 Из уравнения стороны BC: x + y 8 = 0 k BC = 1 Так как k BC = 1, то k AH = 1 = 1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0), имеет вид: y y 0 = k(x x 0) Тогда уравнение высоты AH с угловым коэффициентом k AH =, проходящей через точку A(;), имеет вид: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 формулу: Из уравнения высоты AH: x y + = 0 k AH = Для вычисления угла между медианой AD и высотой AH, используем tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 б) уравнение прямой, параллельной стороне BC и проходящей через точку A. Чтобы составить уравнение прямой AN, найдем угловой коэффициент этой прямой. Так как AN BC, то угловые коэффициенты этих прямых равны между собой, т.е. k AN = k BC. Из уравнения прямой BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Тогда k AN = 1. Составим уравнение прямой AN, зная угловой коэффициент k AN = 1 и
14 координаты точки A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0
Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим
1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым
Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы
Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c) () a () b () c ()) () a (
Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302
Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b
Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,
Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы
Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M () и () плоскости
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?
Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y)(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный
Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности
Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,
Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ
1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм
8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина
Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖД ЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВМ Смоленцев Линейная алгебра
Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя:) Если в определителе все элементы какой-либо
Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A (;) и B(;)),),),)7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A (;) и B (;)) (;);) (;),) (;),) (;) Ответ:)
8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301
Векторная алгебра. Контрольная работа Задача. Длина вектора a равна t см, длина вектора b равна t + см, а угол между ними t + a tb. 6. Найдите длину вектора () Решение. По условию, длина вектора a равна
Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6
С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое
8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов
4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,
Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое
3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется
Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x (x 1, x 2, x). Каждый такой набор x n будем называть
Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное
Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения
Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам: Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой
Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на
Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический
Контрольная работа по дисциплине Высшая математика Вариант - Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости. По координатам вершин треугольника АВС: А(); В(-5); С(--) найти: а)
01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать
Установить совместность и решить систему линейных уравнений 5xx x xx 5x 0 x4x x 0 а) по формулам Крамера, б) матричным способом, в) методом Гаусса Совместность Совместность системы можно установить: а)
Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания
Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные
ПРИМЕР 1. Вычислить произведения AB и BA(в обозначениях произведения точка иногда опускается) для следующих матриц: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 РЕШЕНИЕ. Начнем с правила умножения размерностей. Так как
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный
Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Показать, что вектора;;) ;;) ; ;) образуют базис вектора и написать линейную комбинацию вектора Если;;) на эти вектора найти Х из уравнения Показать, что вектора;)
Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда
ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» направление «Экология и природопользование» семестр. Разложить вектор X по векторам P, Q, R. Систему решить) методом Крамера,) матричным методом,
Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрольный
Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике (часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление
Министерство сельского озяйства РФ А Н Манилов Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников направления «Экономика» Санкт Петербург Введение Настоящие указания предназначены