Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик
В этом пункте мы рассмотрим прежде всего такое функциональное преобразование с. в., которое заключается в выборе максимальной (минимальной) из двух величин.
Задача 1. Закон распределения минимума двух случайных величин. Дана непрерывная система с. в. (Х и Х 2) с п. р./(*!, х 2). Найти функцию распределения с.в. Y:
Решение. Найдем сначала Р {Y> у} = Р {Xi > у; Х 2 > у}. Область D (у), где Х > у и Х 2 > у показана на рис. 9.6.1. Вероятность попадания точки {Х[, Х 2 } в область D (у) равна
где F (х ь х 2) - функция распределения системы с. в. (Х ь Х 2), F x (jq), F 2 (х 2) - функции распределения с. в. Х и Х 2 соответственно. Следовательно,
Для определения п. р. g (у) нужно найти производную правой части (9.6.1):
Если с. в. Х х, Х 2 независимы и распределены одинаково с п. р. Fi (х) =/ 2 (х) =f(x), то
Пример 1. Рассматривается работа ТУ, состоящего из двух блоков Bi и Б 2 , совместная работа которых безусловно необходима для работы ТУ. Времена работы блоков Б! и Б 2 представляют собой независимые с. в. Х и Х 2 , распределенные по показательным законам с параметрами Х и Х 2 . Требуется найти закон распределения с. в. У- времени работы ТУ.
Решение. Очевидно, что
По формулам (9.6.4) находим:
т. е. минимум двух независимых случайных величин , распределенных по показательным законам с параметрами Х х и Х 2 , распределен тоже по показательному закону с параметром Х х + Х 2 . ?
Задача 2. Закон распределения минимальной из п независимых случайных величин. Дана система п независимых с. в. (Х х, Х 2 , ..., Х п) с п. р.f (x x),f 2 (х 2), ...,f n (х п ). Найти ф. р. и плотность с. в. Y= min {Х х,.... Х п).
Решение. По определению
Пример 2. Рассматривается работа автоматизированной системы (АС), состоящей из п подсистем. Для работы АС необходима работа всех п подсистем; время безотказной работы /-й подсистемы 7} распределено по показательному закону с параметром (/ = 1, 2,п) и не зависит от времени работы других подсистем. Определить закон распределения времени Д я) безотказной работы АС.
Решение. Очевидно, что
По формуле (9.6.6) находим функцию распределения с.в. Д л)
Таким образом, закон распределения с. в. - минимальной из п независимых с. в., распределенных по показательным законам, также является показательным; при этом его параметр i}S n)) равен сумме параметров этих показательных распределений. Из этого следует, что
Можно показать, что закон распределения с. в. Д я) при достаточно большом п будет сходиться к показательному закону, даже если с. в. 7} (/= 1, 2, ..., п) не распределены по показательным законам. Покажем это на примере одинаково равномерно распределенных с. в.:
В этом случае
а это есть ф. р. показательного закона.
Таким образом, можно сделать вывод, широко применяемый в инженерных приложениях: если какое-либо устройство состоит из достаточно большого числа элементов п, работа которых безусловно необходима для работы устройства , то закон распределения времени Ф п) безотказной работы устройства близок к показательному с параметром , определяемым по формуле
где М [ Tj - среднее время безотказной работы /-го элемента.
Поток отказов такого устройства будет близок к пуассоновскому с параметром )S n ?
Задача 3. Закон распределения максимальной из двух случайных величин. Дана непрерывная система с. в. (Х ь Х 2) с плотностью/(лс ь х 2). Требуется найти закон распределения с.в.
Решение. По определению,
где F(x x , х 2) - функция распределения системы (Х и Х 2).
Дифференцируя это выражение, как делали раньше, получим:
Если случайные величины Х и Х 2 распределены одинаково, то
Если случайные величины Х ь Х 2 независимы, то
Если случайные величины Х ь Х 2 независимы и распределены одинаково, то
Пример 3. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка двух его блоков Bi и Б2. Время сборки блоков Bi и Б 2 представляет собой систему независимых с. в. Х х и Х 2 , распределенных по показательным законам с параметрами Х х и Х 2 . Y- времени окончания сборки обоих блоков ТУ.
Решение. Очевидно, что Y= max {Х ъ Х 2 }. Плотность распределения с. в. ^определяется по формуле (9.6.12)
Этот закон не является показательным. ?
Задача 4. Закон распределения максимальной из п независимых случайных величин. Дана непрерывная система с. в. {Х х, Х 2 , ..., Х п) с плотностью f{x x , х 2 ,
Найти закон распределения случайной величины
Решение. По определению
где F(x 1, х 2 ,..., х п) - функция распределения системы (Х х, Х 2 , ..., X п). Дифференцируя, найдем плотность распределения:
где Fj (Xj ) - ф. р. с. в. Xjfj(xj ) - ее плотность.
Если с. в. Х ь ..., Х п независимы и распределены одинаково (Fi(y) = F(y);f (у) =f(y ) (/"= 1,п )), то
Если случайные величины Х и ..., Х п независимы, то
Пример 4. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка всех п его блоков: Б ь Бг, ..., Б„. Времена сборки блоков Б ь..., Б л представляют собой систему п независимых с. в. (Х ь..., Х п), распределенных по показательным законам с параметрами А.1,..., А, п.
Требуется найти плотность с. в. У- времени окончания сборки всех п блоков ТУ.
Решение. Очевидно, что у = max {Х
,..., Х п).
По формуле (9.6.16) имеем
Задача 5. Закон распределения порядковых статистик. Рассмотрим непрерывную систему одинаково распределенных, независимых с. в. (X v Х 2 , ..., X п) с ф. р. F(x) и п. р./(х). Расположим значения, принятые случайными величинами X v Х 2 , ...,Х п, в порядке их возрастания и обозначим:
Х (1) - случайная величина, принявшая наименьшее из значений: (X (1) = min {X v Х 2 , ...,Х п });
Х(2) - вторая по величине принятого значения из случайных величин X v Х 2 , ...,Х п;
Х (т) - т-я по величине принятого значения из случайных величин Х х, Х 2 , ..., Х п;
Х(П) - наибольшая по принятому значению из случайных величин Х, Х 2 , х„ (Х (п) = шах {Х и Х 2 , ..., Х п }).
Очевидно,
Случайные величины X(i), Х @),..., Х(„) называются порядковыми статистиками.
Формулы (9.6.8) и (9.6.17) дают законы распределения крайних членов X(i), и Х(„) системы (*).
Найдем функцию распределения F^ m) (х) с. в. Х^ т у Событие {Х^ х} состоит в том, что т с. в. из системы п с. в. (Х { , Х 2 ,..., Х п) будут меньше х и (п - т) с. в. будут больше х. Так как с. в. X t (/" = 1, 2,..., п) независимы и одинаково распределены, то Р {X t х} = F (х) Р {Xj > х} = 1 - F (х). Нам нужно найти вероятность того, что в п независимых опытах событие {Xj х} появится ровно т раз. Применяя биномиальное распределение, получим
Составить закон распределения количества бракованных деталей, выпускаемых в течение смены на обоих станках, и вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
192. Вероятность того, что часы нуждаются в дополнительной регулировке, равна 0,2. Составить закон распределение количества часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, среди трех случайно отобранных. По полученному закону распределения найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Результат проверить по соответствующим формулам математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
193. Из имеющихся шести билетов лотереи, из которых четыре невыигрышных, наудачу вынимают по одному билету до тех пор, пока не встретится выигрышный билет. Составить закон распределения случайной величины X – числа вынутых билетов, если каждый вынутый билет обратно не возвращается. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
194. Студент может сдавать экзамен не более четырех раз. Составить закон распределения случайной величины X – числа попыток сдать экзамен, если вероятность его сдачи – 0,75 и в дальнейшем возрастает на 0,1 при каждой следующей попытке. Найти дисперсию этой случайной величины.
195. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
| X | – 6 | Y | – 3 | – 1 | ||||
| P | 0,3 | 0,45 | 0,25 | 0,75 | 0,25 |
Составить закон распределения случайной величины X–Y и проверить свойство дисперсии D(X –Y) = D(X) + D(Y).
196. Среди пяти однотипных часов, имеющихся в мастерской, только в одних смещен маятник. Мастер проверяет наудачу взятые часы. Просмотр заканчивается, как только обнаружатся часы со смещенным маятником (проверенные часы снова не просматриваются). Составить закон распределения числа просмотренных мастером часов и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
197. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:
| X | Y | – 2 | ||||||
| P | 0,1 | 0,3 | ? | 0,4 | 0,6 |
Составить закон распределения случайной величины X 2 + 2Y и проверить свойство математического ожидания: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).
198. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения x 1 = 1 и x 2 = 2, имеет математическое ожидание, равное 7/6. Найти вероятности, с которыми случайная величина X принимает свои значения. Составить закон распределения случайной величины 2 X 2 и найти ее дисперсию.
199. Две независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:
Найти P(X= 3) и P(Y= 4). Составить закон распределения случайной величины X – 2Y и проверить свойства математического ожидания и дисперсии: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).
В задачах 201–210 заданы случайные величины, распределенные по нормальному закону
201. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(0< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.
202. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(35< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.
203. Случайная величина ξ распределена нормально. Найти Р(1< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.
204. <σ).
205. Для случайной величины ξ, распределенной по нормальному закону, найти Р(|ξ–а|<2σ).
206. Для случайной величины ξ, распределенной по нормальному закону, найти Р(|ξ–а|<4σ).
207. Независимые случайные величины ξ и η распределены нормально,
Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Записать плотность вероятностей и функцию распределения их суммы. Найти Р(ξ+η<5) и Р(–1< ξ+η<3).
208. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены по нормальному закону и Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0.04; Мζ= 1; Dζ= 0.09. Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти Р(ξ+η+ζ<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).
209. Независимые случайные величины ξ, η, ζ распределены нормально и Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0.64. Записать для их суммы плотность вероятностей и функцию распределения. Найти Р(ξ+η+ζ<0) и
Р(–3< ξ+η+ζ<0).
210. Станок автомат изготовляет валики, контролируя их диаметры ξ. Считая, что ξ распределена нормально и а= 10 мм,σ= 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
В задачах 211–220 выборка X объемом n =100 задана таблицей:
| x i | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| n i | 20+(a+b) | 30–(a+b) |
где результаты измерений x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – частоты, с которыми встречаются значения x i .
1) построить полигон относительных частот w i =n i /n;
2) вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D B и среднее квадратическое отклонение σ B ;
3) вычислить теоретические частоты . Построить график на одном рисунке с полигоном;
4) с помощью критерия χ 2 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.
211. a = 4; b = 3; 212 . a = 3; b = 2; 213. a = 5; b = 1; 214. a = 1; b = 4;
215. a = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. a = 4; b = 1; 218. a = 2; b = 5; 219. a = 1; b = 2; 220. a = 5; b = 4.
В задачах 221–230 двумерная выборка результатов совместных измерений признаков X и Y объемом n = 100 задана корреляционной таблицей:
| X Y | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 | y 5 | n xi |
| x 1 | – | – | – | |||
| x 2 | – | – | ||||
| x 3 | – | 8+a | 12+b | – | – | 20+(a+b) |
| x 4 | – | – | 16–a | 14–b | – | 30–(a+b) |
| x 5 | – | – | – | |||
| x 6 | – | – | ||||
| x 7 | – | – | – | |||
| n yi | 19+a | 42+b–a | 31–b | n = 100 |
где x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y i = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.
1) Найти и σ y . Значения и σ x взять из предыдущей задачи.
2) Вычислить коэффициент корреляции r B . Сделать вывод о характере связи между признаками X и Y.
3) Построить уравнение прямой линии регрессии Y на X в виде .
4) На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки (xi, yi) и построить прямую .
221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;
224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;
227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2
230. a = 5; b = 4
В задачах 231–240 найти максимальное значение функции 
при условиях 
.
Значения взять из таблицы
| Параметры | Варианты | |||||||||
| A 1 | ||||||||||
| A 2 | ||||||||||
| A 3 | ||||||||||
| B 1 | ||||||||||
| B 2 | ||||||||||
| B 3 | ||||||||||
| T 1 | ||||||||||
| T 2 | ||||||||||
| T 3 | ||||||||||
| C 1 | ||||||||||
| C 2 |
требуется:
1) решить задачу линейного программирования графическим методом;
2) решить задачу табличным симплексным методом;
3) показать соответствие опорных решений и вершин области допустимых решений;
В задачах 241–250 некоторый однородный груз, сосредоточенный у трёх поставщиков A i (), необходимо доставить пяти потребителям B j (). Запасы груза у поставщиков a i и потребности потребителей b j , а также стоимости перевозки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю C ij заданы в таблице.
| Поставщики | Потребители | Запасы | ||||
| B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | B 5 | ||
| A 1 | С 11 | С 12 | С 13 | С 14 | С 15 | a 1 |
| A 2 | С 21 | С 22 | С 23 | С 24 | С 25 | a 2 |
| A 3 | С 31 | С 32 | С 33 | С 34 | С 35 | a 3 |
| Потребности | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | b 5 |
Требуется определить оптимальный план перевозок, позволяющий вывезти все грузы от поставщиков и удовлетворяющий потребности всех потребителей таким образом, чтобы этот план имел минимальную стоимость. Первый опорный план найти методом «северо-западного» угла. Оптимальный план найти методом потенциалов. Вычислить стоимость перевозок для каждого плана.
| Параметры | Варианты | |||||||||
| a 1 | ||||||||||
| a 2 | ||||||||||
| a 3 | ||||||||||
| b 1 | ||||||||||
| b 2 | ||||||||||
| b 3 | ||||||||||
| b 4 | ||||||||||
| b 5 | ||||||||||
| С 11 | ||||||||||
| С 12 | ||||||||||
| С 13 | ||||||||||
| С 14 | ||||||||||
| С 15 | ||||||||||
| С 21 | ||||||||||
| С 22 | ||||||||||
| С 23 | ||||||||||
| С 24 | ||||||||||
| С 25 | ||||||||||
| С 31 | ||||||||||
| С 32 | ||||||||||
| С 33 | ||||||||||
| С 34 | ||||||||||
| С 35 |
В задачах 251-260 отрасли и осуществляют капитальные вложения в четыре объекта. С учетом особенностей вклада и местных условий прибыль отрасли в зависимости от объема финансирования выражается элементами платежной матрицы . Для упрощения задачи принять, что убыток отрасли равен прибыли отрасли . Найти оптимальные стратегии отраслей. Требуется:
1) свести исходные данные в таблицу и найти решение матричной игры в чистых стратегиях, если оно существует (в противном случае см. следующий п. 2);
2) упростить платежную матрицу;
3) составить пару взаимно двойственных задач, эквивалентную данной матричной игре;
4) найти оптимальное решение прямой задачи (для отрасли В) симплекс-методом;
5) используя соответствие переменных, выписать оптимальное решение двойственной задачи (для отрасли А);
6) дать геометрическую интерпретацию этого решения (для отрасли А);
7) используя соотношение между оптимальными решениями пары двойственных задач, оптимальными стратегиями и ценой игры, найти решение игры в смешанных стратегиях;
вариант 1 вариант 2 вариант 3
1. Аналитическая геометрия и векторная алгебра ……………….. 4
2. Системы линейных уравнений и комплексные числа ………….. 5
3. Построение графиков функций, вычисление пределов
и выявление точек разрыва функций.…………….……………. 6
4. Производные функций, наибольшее и наименьшее значения
на отрезке..…………………………………………………….… 9
5. Исследование функций и построение графиков,
функции многих переменных, метод наименьших квадратов..… 11
6. Неопределенный, определенный и несобственный интеграл ….. 12
7. Решение дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений …………….……….…….….…… 14
8. Кратные и криволинейные интегралы …………………………… 15
9. Исследование числовых и степенных рядов, приближенные
решения дифференциальных уравнений ………………...……… 17
10. Теория вероятностей ……………….……………………...……… 18
Петр Алексеевич Буров
Анатолий Николаевич Муравьев
Сборник заданий
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07
Две случайные величины $X$ и $Y$ называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не изменяется от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина. То есть, для любых $x$ и $y$ события $X=x$ и $Y=y$ являются независимыми. Поскольку события $X=x$ и $Y=y$ независимые, то по теореме произведения вероятностей независимых событий $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.
Пример 1 . Пусть случайная величина $X$ выражает денежный выигрыш по билетам одной лотереи «Русское лото», а случайная величина $Y$ выражает денежный выигрыш по билетам другой лотереи «Золотой ключ». Очевидно, что случайные величины $X,\ Y$ будут независимыми, так как выигрыш по билетам одной лотереи не зависит от закона распределения выигрышей по билетам другой лотереи. В том случае, когда случайные величины $X,\ Y$ выражали бы выигрыш по одной и той же лотереи, то, очевидно, данные случайные величины были бы зависимыми.
Пример 2 . Двое рабочих трудятся в разных цехах и изготавливают различные изделия, несвязанные между собой технологиями изготовления и используемым сырьем. Закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, имеет следующий вид:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ x & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end{array}$
Число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену, подчиняется следующими закону распределения.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий \ y & 0 & 1 \\
\hline
Вероятность & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end{array}$
Найдем закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену.
Пусть случайная величина $X$ - число бракованных изделий, изготовленных первым рабочим за смену, а $Y$ - число бракованных изделий, изготовленных вторым рабочим за смену. По условию, случайные величины $X,\ Y$ независимы.
Число бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену, есть случайная величина $X+Y$. Ее возможные значения равны $0,\ 1$ и $2$. Найдем вероятности, с которыми случайная величина $X+Y$ принимает свои значения.
$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,7=0,56.$
$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ или\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7=0,38.$
$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right)=0,2\cdot 0,3=0,06.$
Тогда закон распределения числа бракованных изделий, изготовленных двумя рабочими за смену:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Число \ бракованных \ изделий & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Вероятность & 0,56 & 0,38 & 0,06 \\
\hline
\end{array}$
В предыдущем примере мы выполняли операцию над случайными величинами $X,\ Y$, а именно находили их сумму $X+Y$. Дадим теперь более строгое определение операций (сложение, разность, умножение) над случайными величинами и приведем примеры решений.
Определение 1 . Произведением $kX$ случайной величины $X$ на постоянную величину $k$ называется случайная величина, которая принимает значения $kx_i$ с теми же вероятностями $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.
Определение 2 . Суммой (разностью или произведением) случайных величин $X$ и $Y$ называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ или $x_i\cdot y_i$), где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$:
$$p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$
Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.
Пример 3 . Независимые случайные величины $X,\ Y$ заданы своими законами распределения вероятностей.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$
Составим закон распределения случайной величины $Z=2X+Y$. Суммой случайных величин $X$ и $Y$, то есть $X+Y$, называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида $x_i+y_j$, где $i=1,\ 2,\dots ,\ n$, с вероятностями $p_{ij}$ того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, а $Y$ значение $y_j$: $p_{ij}=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right]$. Так как случайные величины $X,\ Y$ независимые, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий: $p_{ij}=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\right)=p_i\cdot p_j$.
Итак, имеет законы распределения случайных величины $2X$ и $Y$ соответственно.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end{array}$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end{array}$
Для удобства нахождения всех значений суммы $Z=2X+Y$ и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения суммы $Z=2X+Y$, а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин $2X$ и $Y$.
В результате получим распределение $Z=2X+Y$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end{array}$