Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.
Изучаем понятие "интеграл"
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?
С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа "Интеграл"
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Процесс решения интегралов в науке под названием "математика" называется интегрированием. С помощью интегрирования можно находить некоторые физические величины: площадь, объем, массу тел и многое другое.
Интегралы бывают неопределенными и определенными. Рассмотрим вид определенного интеграла и попытаемся понять его физический смысл. Представляется он в таком виде: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Отличительная черта написание определенного интеграла от неопределенного в том, что есть пределы интегрирования a и b. Сейчас узнаем для чего они нужны, и что всё-таки значит определенный интеграл. В геометрическом смысле такой интеграл равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), линиями a и b, и осью Ох.
Из рис.1 видно, что определенный интеграл - это и есть та самая площадь, что закрашена серым цветом. Давайте, проверим это на простейшем примере. Найдем площадь фигуры на изображении представленном ниже с помощью интегрирования, а затем вычислим её обычным способом умножения длины на ширину.
Из рис.2 видно, что $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Теперь подставим их в определение интеграла, получаем, что $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2=(3 \cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text{ед}^2 $$ Сделаем проверку обычным способом. В нашем случае длина = 3, ширина фигуры = 1. $$ S = \text{длина} \cdot \text{ширина} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ед}^2 $$ Как видим, всё отлично совпало.
Появляется вопрос: как решать интегралы неопределенные и какой у них смысл? Решение таких интегралов - это нахождение первообразных функций. Этот процесс противоположный нахождению производной. Для того, чтобы найти первообразную можно использовать нашу помощь в решении задач по математике или же необходимо самостоятельно безошибочно вызубрить свойства интегралов и таблицу интегрирования простейших элементарных функций. Нахождение выглядит так $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text{где} F(x) $ - первообразная $ f(x), C = const $.
Для решения интеграла нужно интегрировать функцию $ f(x) $ по переменной. Если функция табличная, то записывается ответ в подходящем виде. Если же нет, то процесс сводится к получению табличной функции из функции $ f(x) $ путем хитрых математических преобразований. Для этого есть различные методы и свойства, которые рассмотрим далее.
Итак, теперь составим алгоритм как решать интегралы для чайников?
Алгоритм вычисления интегралов
- Узнаем определенный интеграл или нет.
- Если неопределенный, то нужно найти первообразную функцию $ F(x) $ от подынтегральной $ f(x) $ с помощью математических преобразований приводящих к табличному виду функцию $ f(x) $.
- Если определенный, то нужно выполнить шаг 2, а затем подставить пределы $ а $ и $ b $ в первообразную функцию $ F(x) $. По какой формуле это сделать узнаете в статье "Формула Ньютона Лейбница".
Примеры решений
Итак, вы узнали как решать интегралы для чайников, примеры решения интегралов разобрали по полочкам. Узнали физический и геометрический их смысл. О методах решения будет изложено в других статьях.
Найти неопределённый интеграл (множество первообразных или "антипроизводных") означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленное множество первообразных F (x ) + С для функции f (x ) учитывает константу интегрирования C . По скорости перемещения материальной точки (производной) может быть восстановлен закон движения этой точки (первообразная); по ускорению движения точки - её скорость и закон движения. Как видно, интегрирование - широкое поле для деятельности Шерлоков Холмсов от физики. Да и в экономике многие понятия представляются через функции и их производные и поэтому, например, можно по производительности труда в определённый момент времени (производной) восстановить объём продукции, выпущенный в соответствующее время.
Чтобы найти неопределённый интеграл, требуется довольно небольшое количество основных формул интегрирования. Но процесс его нахождения значительно труднее, чем одно лишь применение этих формул. Вся сложность относится не к интегрированию, а к приведению интегрируемого выражения к такому виду, который даёт возможность найти неопределённый интеграл по упомянутым выше основным формулам. Это означает, что для начала практики интегрирования нужно активизировать полученные в средней школе навыки преобразования выражений.
Учиться находить интегралы будем, пользуясь свойствами и таблицей неопределённых интегралов из урока об основных понятиях этой темы (откроется в новом окне).
Существует несколько методов нахождения интеграла, из которых метод замены переменной и метод интегрирования по частям - обязательный джентльменский набор каждого, кто успешно сдал высшую математику. Однако начинать осваивать интегрирование полезнее и приятнее с применением метода разложения, основанном на следующих двух теоремах о свойствах неопределённого интеграла, которые для удобства повторим здесь.
Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.
Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.
(2)
Кроме того, в интегрировании может пригодиться следующее правило: если выражение подынтегральной функции содержит постоянный множитель, то выражение первообразной домножается на число, обратное постоянному множителю, то есть
(3)
Поскольку этот урок - вводный в решение задач интегрирования, важно отметить две вещи, которые либо уже на самом начальном этапе, либо несколько позже могут вас удивить. Удивление связано с тем фактом, что интегрирование - операция обратная дифференцированию и неопределённый интеграл можно справедливо называть "антипроизводной".
Первая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании. В таблице интегралов существуют формулы, которые не имеют аналогов среди формул таблицы производной . Это следующие формулы:
Однако можно убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.
Вторая вещь, которой не следует удивляться при интегрировании . Хотя производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, неопределённые интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями . Примерами таких интегралов могут быть следующие:
Для выработки техники интегрирования пригодятся следующие навыки: сокращение дробей, деление многочлена в числителе дроби на одночлен в знаменателе (для получения суммы неопределённых интегралов), преобразование корней в степени, умножение одночлена на многочлен, возведение в степень. Эти навыки нужны для преобразований подынтегрального выражения, в результате которых должна получиться сумма интегралов, присутствующих в таблице интегралов.
Находим неопределённые интегралы вместе
Пример 1. Найти неопределённый интеграл
.
Решение. Видим в знаменателе подынтегрального выражения многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 (с арктангенсом в результате). Выносим из знаменателя множитель-двойку (есть такое свойство интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, выше оно было упомянуто как теорема 3). Результат всего этого:
Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значит, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Окончательно получаем ответ:
.
Пример 2. Найти неопределённый интеграл
Решение. Вновь применяем теорему 3 - свойство интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Применяем формулу 7 из таблицы интегралов (переменная в степени) к подынтегральной функции:
.
Сокращаем получившиеся дроби и перед нами конечный ответ:
Пример 3. Найти неопределённый интеграл
Решение. Применяя сначала теорему 4, а затем теорему 3 о свойствах, найдём данный интеграл как сумму трёх интегралов:
Все три полученные интеграла – табличные. Используем формулу (7) из таблицы интегралов при n = 1/2, n = 2 и n = 1/5, и тогда
объединяет все три произвольные постоянные, которые были введены при нахождении трёх интегралов. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную (константу) интегрирования.
Пример 4. Найти неопределённый интеграл
Решение. Когда в знаменателе подынтегральной дроби - одночлен, можем почленно разделить числитель на знаменатель. Исходный интеграл превратился в сумму двух интегралов:
.
Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и вот уже окончательный ответ:
Продолжаем находить неопределённые интегралы вместе
Пример 7. Найти неопределённый интеграл
Решение. Если мы преобразуем подынтегральную функцию, возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, то исходный интеграл станет суммой трёх интегралов.
Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Определение: ФункцияF(x) называетсяпервообразной функцией функцииf(x) на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F 1 (x) =F 2 (x) +C.
Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функцииf(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:
1.
2.
3.
4.
Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.
|
Интеграл |
Значение |
Интеграл |
Значение |
||
|
|
| ||||
|
|
lnsinx+ C |
| |||
|
|
|
| |||
|
|
|
| |||
|
|
|
| |||
|
|
ln |
| |||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.
Рассмотрим применение этого метода на примере:
Требуется найти
значение интеграла
.
На основе известной формулы дифференцирования
можно сделать вывод, что искомый интеграл
равен
,
где С – некоторое постоянное число.
Однако, с другой стороны
.
Таким образом, окончательно можно
сделать вывод:
Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.
Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема:
Если
требуется найти интеграл
,
но сложно отыскать первообразную, то с
помощью заменыx=(t)
иdx=(t)dtполучается:
Доказательство : Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f (x ) dx = f [ (t )] (t ) dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример.
Найти
неопределенный интеграл
.
Сделаем замену t = sinx , dt = cosxdt .
Пример.
Замена
Получаем:
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv)=uv+vu
где uиv– некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) =udv+vdu
Проинтегрировав,
получаем:
,
а в соответствии с приведенными выше
свойствами неопределенного интеграла:
или
;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
Пример.
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Пример.
Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I.
III.
II.
IV.
m,n– натуральные числа (m2,n2) иb 2 – 4ac<0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t=ax+b.
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида IIIможет быть представлен в виде:
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида IIIк двум табличным интегралам.
Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.
Пример.
Вообще говоря, если у трехчлена ax 2 +bx+cвыражениеb 2 – 4ac>0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример .
Пример.
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IVтипа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N= 1.
Тогда интеграл вида
можно путем выделения в знаменателе
полного квадрата представить в виде
.
Сделаем следующее преобразование:
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим:
Для исходного интеграла получаем:
Полученная формула называетсярекуррентной.
Если применить ееn-1
раз, то получится табличный интеграл
.
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IVв общем случае.
В
полученном равенстве первый интеграл
с помощью подстановки t
=
u
2
+
s
приводится к табличному
,
а ко второму интегралу применяется
рассмотренная выше рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степеньюn , а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.
Пример :
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема:
Если
- правильная рациональная дробь,
знаменательP(x)
которой представлен в виде произведения
линейных и квадратичных множителей
(отметим, что любой многочлен с
действительными коэффициентами может
быть представлен в таком виде:P
(x
)
= (x
-
a
)
…(x
-
b
)
(x
2
+
px
+
q
)
…(x
2
+
rx
+
s
)
), то эта дробь может быть разложена
на элементарные по следующей схеме:
где A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i – некоторые постоянные величины.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величинA i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i применяют так называемыйметод неопределенных коэффициентов , суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
Пример.
Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:
6
x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6
6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3
9x 3 + 8x 2 – 76x - 7
9x 3 – 12x 2 – 51x +18
20x 2 – 25x – 25
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:
3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3
3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2
Таким образом 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3)(3x 2 + 5x– 2) = (x– 3)(x+ 2)(3x– 1). Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемыйметод произвольных значений . Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:
Окончательно получаем:
=
Пример.
Найдем неопределенные коэффициенты:
Тогда значение заданного интеграла:
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.
Интеграл
вида
.
Здесь R– обозначение некоторой рациональной функции от переменныхsinxиcosx.
Интегралы этого вида
вычисляются с помощью подстановки
.
Эта подстановка позволяет преобразовать
тригонометрическую функцию в рациональную.
,
Тогда
Таким образом:
Описанное выше преобразование называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой.
Пример.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример.
Интеграл
вида
если
функция R cosx .
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx .
Функция
может содержатьcosxтолько
в четных степенях, а, следовательно,
может быть преобразована в рациональную
функцию относительноsinx.
Пример.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл
вида
если
функция R является нечетной относительно sinx .
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx .
Пример.
Интеграл
вида
функция R четная относительно sinx и cosx .
Для преобразования функции Rв рациональную используется подстановка
t = tgx.
Пример.
Интеграл произведения синусов и косинусов
различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:
Пример.
Пример.
Иногда
при интегрировании тригонометрических
функций удобно использовать общеизвестные
тригонометрические формулы для понижения
порядка функций.
Пример.
Пример.
Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.
Пример.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.
Интеграл
вида
где
n
- натуральное
число.
С помощью подстановки
функция рационализируется.
Пример.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример.
Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
x m (a + bx n ) p dx
где m , n , иp – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
,
где- общий знаменательm
иn
.
