Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно. Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму вычисления и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», имеется виду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.
Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.
Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.
Понимание раздела «Тригонометрия» в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.
В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:
Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да просто вы именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.
Этих значений прост, он также приведён в теории, полученной вами во втором письме после подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».
Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с использованием угла х для соответствующих уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.
Итак, рассмотрим следующие задачи:
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Решением уравнения cos x = a являются два корня:
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.
Значит
Выразим x :
Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.
Вычисляем:
При n = – 2 х 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 х 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
При n = – 1 х 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 х 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
При n = 0 х 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 х 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5
При n = 1 х 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 х 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5
При n = 2 х 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 х 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5
Получили, что наибольший отрицательный корень равен –1,5
Ответ: –1,5
Решите самостоятельно:
Решите уравнение:
Решением уравнения sin x = a являются два корня:
Либо (он объединяет оба указанные выше):
Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от – 90 о до 90 о синус которого равен a.
Значит
Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):
Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n = 0,1,2 …
При n = 0 х = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
При n = 1 х = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
При n = 2 х = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12
Проверим при n = –1 х = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2
Значит наименьший положительный корень равен 4.
Ответ: 4
Решите самостоятельно:
Решите уравнение:
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Чтобы успешно решать тригонометрические уравнения удобно пользоваться методом сведения к ранее решенным задачам. Давайте разберемся, в чем суть этого метода?
В любой предлагаемой задаче вам необходимо увидеть уже решенную ранее задачу, а затем с помощью последовательных равносильных преобразований попытаться свести данную вам задачу к более простой.
Так, при решении тригонометрических уравнений обычно составляют некоторую конечную последовательность равносильных уравнений, последним звеном которой является уравнение с очевидным решением. Только важно помнить, что если навыки решения простейших тригонометрических уравнений не сформированы, то решение более сложных уравнений будет затруднено и малоэффективно.
Кроме того, решая тригонометрические уравнения, никогда не стоит забывать о возможности существования нескольких способов решения.
Пример 1. Найти количество корней уравнения cos x = -1/2 на промежутке .
Решение:
I способ. Изобразим графики функций y = cos x и y = -1/2 и найдем количество их общих точек на промежутке (рис. 1).
Так как графики функций имеют две общие точки на промежутке , то уравнение содержит два корня на данном промежутке.
II способ.
С помощью тригонометрического круга (рис. 2) выясним количество точек, принадлежащих промежутку , в которых cos x = -1/2. По рисунку видно, что уравнение имеет два корня.
III способ. Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, решим уравнение cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – целое число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку принадлежат корни 2π/3 и -2π/3 + 2π, k – целое число. Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.
Ответ: 2 .
В дальнейшем тригонометрические уравнения будут решаться одним из предложенных способов, что во многих случаях не исключает применения и остальных способов.
Пример 2. Найти количество решений уравнения tg (x + π/4) = 1 на промежутке [-2π; 2π].
Решение:
Воспользовавшись формулой корней тригонометрического уравнения, получим:
x + π/4 = arctg 1 + πk, k – целое число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – целое число (k € Z);
x = πk, k – целое число (k € Z);
Промежутку [-2π; 2π] принадлежат числа -2π; -π; 0; π; 2π. Итак, уравнение имеет пять корней на заданном промежутке.
Ответ: 5.
Пример 3. Найти количество корней уравнения cos 2 x + sin x · cos x = 1 на промежутке [-π; π].
Решение:
Так как 1 = sin 2 x + cos 2 x (основное тригонометрическое тождество), то исходное уравнение принимает вид:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x · cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Произведение равно нулю, а значит хотя бы один из множителей должен быть равен нулю, поэтому:
sin x = 0 или sin x – cos x = 0.
Так как значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями второго уравнения (синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю), то разделим обе части второго уравнения на cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Во втором уравнении воспользуемся тем, что tg x = sin x / cos x, тогда:
sin x = 0 или tg x = 1. С помощью формул имеем:
x = πk или x = π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Из первой серии корней промежутку [-π; π] принадлежат числа -π; 0; π. Из второй серии: (π/4 – π) и π/4.
Таким образом, пять корней исходного уравнения принадлежат промежутку [-π; π].
Ответ: 5.
Пример 4. Найти сумму корней уравнения tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на промежутке [-π; 1,1π].
Решение:
Перепишем уравнение в следующем виде:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и сделаем замену.
Пусть tg x + сtgx = a. Обе части равенства возведем в квадрат:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Раскроем скобки:
tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2 .
Так как tg x · сtgx = 1, то tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2 , а значит
tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.
Теперь исходное уравнение имеет вид:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. С помощью теоремы Виета получаем, что a = -1 или a = -2.
Сделаем обратную замену, имеем:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Решим полученные уравнения.
tg x + 1/tgx = -1 или tg x + 1/tgx = -2.
По свойству двух взаимно обратных чисел определяем, что первое уравнение не имеет корней, а из второго уравнения имеем:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 1,1π] принадлежат корни: -π/4; -π/4 + π. Их сумма:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Ответ: π/2.
Пример 5. Найти среднее арифметическое корней уравнения sin 3x + sin x = sin 2x на промежутке [-π; 0,5π].
Решение:
Воспользуемся формулой sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) · cos ((α – β)/2), тогда
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) · cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x · cos x и уравнение принимает вид
2sin 2x · cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Вынесем общий множитель sin 2x за скобки
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Решим полученное уравнение:
sin 2x = 0 или 2cos x – 1 = 0;
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Таким образом, имеем корни
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-π; 0,5π] принадлежат корни -π; -π/2; 0; π/2 (из первой серии корней); π/3 (из второй серии); -π/3 (из третьей серии). Их среднее арифметическое равно:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Ответ: -π/6.
Пример 6. Найти количество корней уравнения sin x + cos x = 0 на промежутке [-1,25π; 2π].
Решение:
Данное уравнение является однородным уравнением первой степени. Разделим обе его части на cosx (значение переменной, при которых cos x = 0, не являются корнями данного уравнения, так как синус и косинус одного и того же числа не могут одновременно быть равными нулю). Исходное уравнение имеет вид:
x = -π/4 + πk, k – целое число (k € Z).
Промежутку [-1,25π; 2π] принадлежат корни -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Таким образом, заданному промежутку принадлежат три корня уравнения.
Ответ: 3.
Научитесь делать самое главное – четко представлять план решения задачи, и тогда любое тригонометрическое уравнение будет вам по плечу.
Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических уравнений любого уровня сложности в конечном итоге сводится к решению простейших тригонометрических уравнений. И в этом наилучшим помощником снова оказывается тригонометрический круг.
Вспомним определения косинуса и синуса.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .
Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов (или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)
Используем эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решим уравнение
Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна .
Отметим на оси ординат точку с ординатой :
Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие ординату . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:
Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой (или ). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, (или ) могут принимать любые целые значения.
То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:
,
,
- множество целых чисел (1)
Аналогично, вторая серия решений имеет вид:
, где
,
. (2)
Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на .
Эти две серии решений можно объединить в одну запись:
Если мы в этой записи возьмем (то есть четное ), то мы получим первую серию решений.
Если мы в этой записи возьмем (то есть нечетное ), то мы получим вторую серию решений.
2. Теперь давайте решим уравнение
Так как - это абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на угол , отметим на оси точку с абсциссой :
Проведем вертикальную линию параллельно оси до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие абсциссу . Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан. Вспомним, что при движении по часовой стрелки мы получаем отрицательный угол поворота:
Запишем две серии решений:
,
,
(Мы попадаем в нужную точку, пройдя из основной полный круг, то есть .
Объедим эти две серии в одну запись:
3. Решим уравнение
Линия тангенсов проходит через точку с координатами (1,0) единичной окружности параллельно оси OY
Отметим на ней точку, с ординатой равной 1 (мы ищем, тангенс каких углов равен 1):
Соединим эту точку с началом координат прямой линией и отметим точки пересечения прямой с единичной окружностью. Точки пересечения прямой и окружности соответствуют углам поворота на и :
Так как точки, соответствующие углам поворота, которые удовлетворяют нашему уравнению, лежат на расстоянии радиан друг от друга, то мы можем записать решение таким образом:
4. Решим уравнение
Линия котангенсов проходит через точку с координатами единичной окружности параллельно оси .
Отметим на линии котангенсов точку с абсциссой -1:
Соединим эту точку с началом координат прямой и продолжим ее до пересечения с окружностью. Эта прямая пересечет окружность в точках, соответствующих углам поворота на и радиан:
Поскольку эти точки отстоят друг от друга на расстояние, равное , то общее решение этого уравнения мы можем записать так:
В приведенных примерах, иллюстрирующих решение простейших тригонометрических уравнений были использованы табличные значения тригонометрических функций.
Однако, если в правой части уравнения стоит не табличное значение, то мы в общее решение уравнения подставляем значение :
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:
Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:
Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:
Отметим на окружности точки, абсцисса которых равна 0:
5.
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна 1:
Отметим на окружности единственную точку, абсцисса которой равна -1:
И чуть более сложные примеры:
1.
Синус равен единице, если аргумент равен
Аргумент у нашего синуса равен , поэтому получим:
Разделим обе части равенства на 3:
Ответ:
2.
Косинус равен нулю, если аргумент косинуса равен
Аргумент у нашего косинуса равен , поэтому получим:
Выразим , для этого сначала перенесем вправо с противоположным знаком:
Упростим правую часть:
Разделим обе части на -2:
Заметим, что перед слагаемым знак не меняется, поскольку k может принимать любые целые значения.
Ответ:
И в заключение посмотрите видеоурок "Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью тригонометрической окружности"
На этом разговор о решении простейших тригонометрических уравнений мы закончим. Следующий раз мы с вами поговорим о том, как решать .
Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И тому подобное...
Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.
Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.
Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)
Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
Здесь а обозначает любое число. Любое.
Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:
cos(3x+π /3) = 1/2
и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.
Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.
Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)
Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.
Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)
Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.
Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:
cosx = 0,5
Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.
Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!
Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:
Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.
Косинус какого угла равен 0,5?
х = π /3
cos60° = cos(π /3 ) = 0,5
Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.
Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.
Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)
Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:
х = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)
π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.
2π - это один полный оборот в радианах.
n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:
n ∈ Z
n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.
Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)
Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.
Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.
Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!
Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:
Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:
х 2 = - π /3
Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Это правильный ответ.
Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)
Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:
Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.
Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:
Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:
х = π /6
Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.
Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:
π - х
Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:
π - π /6 = 5π /6
Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.
В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)
Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:
Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.
Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.
Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:
Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:
х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:
х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.
Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.
С синусом та же песня. Например:
Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:
И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!
Вот и готова первая пачка корней:
х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:
π - х
Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:
х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)
Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.
Применим знания на практике?)
Решить тригонометрические уравнения:
Сначала попроще, прямо по этому уроку.
Теперь посложнее.
Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)
А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)
Ну и совсем простые):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)
Ответы, разумеется, в беспорядке):
х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
- arcsin0,3 + 2
Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.