Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,
где функции P(x,y)
і Q(x,y)
являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением
(ОДР).
Схема решения однородного дифференциального уравнения
1.
Сначала нужно применить подстановку y=z*x
, где z=z(x)
– новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2.
Производная произведения равна y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z
или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3.
Далее подставляем новую функцию у
и ее производную y"
(или dy
) в ДУ с разделяющимися переменными
относительно x
та z
.
4.
Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x
, поэтому z= y/х
, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
.
5.
Если задано начальное условие y(x 0)=y 0
, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.
Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Пример 1.
Решение:
Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0
порядка
И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y
. При упрощении получают параметр "t"
в определенном степени k
, его и называют порядком уравнения. В нашем случае "t"
сократится, что равносильно 0-м
степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x
.
При этом не забываем выразить производную "y"
через производную новой переменной. По правилу части находим 
Уравнения в дифференциалах
примет вид
Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части ДУ
Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм 
По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему 
Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных 
Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений
. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.
Пример 2.
Найти интеграл дифференциального уравнения
Решение:
Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x 2
, как общий множитель
Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x
, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили
После этого ДУ записываем в дифференциалах
Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными
и интегрированием решаем его.
Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем в форме
Константа "C"
принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.
Пример 3.
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной.
Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной
Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x
.
Находим производную от y
С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде
Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными
Интегрированием обеих частей равенства
приходим к решению в виде логарифмов 
Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения
которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид
Здесь С
- постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.
В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.
Тип урока : традиционный.
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.
Задачи :
Познавательные :
Развивающие :
Воспитательные :
- Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.
Ход урока
I. Организационный этап (3 мин.)
II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)
Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.
1 уровень . Решите уравнения:
- 3(х+4)=12,
- 2(х-15)=2х-30
- 5(2-х)=-3х-2(х+5)
- x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3
2 уровень
. Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение: 
ответы: 
б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.
Тема: Однородные уравнения
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения
Задачи :
Познавательные :
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие :
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)
1. Лекционный момент.
Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.
Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.
Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида
называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение
Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.
2. Примеры однородных уравнений:
Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.
3. Задание на определение однородных уравнений:
Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:
После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:
4. Решить самостоятельно:
Ответ: 
б) 2sin x – 3 cos x =0
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.
V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова
стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)
ответы: 
VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
| 1 вариант | 2 вариант |
| Решить уравнения: | |
| а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
б) cos 2 -3sin 2 =0 |
б) |
Ответы к заданиям:
1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в) 
2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)
VII . Домашнее задание
№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.
2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Указание: в правой части использовать основное тригонометрическое тождество 2(sin 2 x + cos 2 x)
Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,
Использованная литература:
- П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
- А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
- Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
- Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
- М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
- Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
- А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
Интегрируем:
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. (по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x (x>0) входят в общее решение.
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x+u=1/u+u. Упрощаем:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
Интегрируем:
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
Интегрируем:
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Обратная замена
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Замечание
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ 
.
Дифференциальные уравнения 
можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения 
при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения 
. При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими 
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как 
, или 
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ 
и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, 
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является 
.
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения 
, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение 
после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.
На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это
В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.
У нас это.
Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.
Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.
Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.
У нас две неизвестные и. Здесь сходится.
Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.
Сумма степеней равна.
Сумма степеней равна (при и при).
Сумма степеней равна.
Как видишь, все сходится!!!
Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.
Определи, какие из уравнений - однородные:
Однородные уравнения - уравнения под номерами:
Рассмотрим отдельно уравнение.
Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим
А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.
Как решать однородные уравнения?
Пример 2.
Разделим уравнение на.
У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на
Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:
Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:
Произведя обратную замену, получаем ответ
Ответ:
Пример 3.
Разделим уравнение на (по условию).
Ответ:
Пример 4.
Найдите, если.
Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Произведя обратную замену, получим ответ:
Ответ:
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).
Рассмотрим такие уравнения на примерах.
Пример 5.
Решите уравнение.
Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда
В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:
Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:
Ответ:
Пример 6.
Решите уравнение.
Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:
Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.
Сделаем замену и решим квадратное уравнение:
Сделаем обратную замену и найдем и:
Ответ:
Решение однородных показательных уравнений.
Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7.
Решите уравнение
Представим как:
Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:
Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):
По теореме Виета:
Ответ: .
Пример 8.
Решите уравнение
Представим как:
Разделим уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:
Ответ:
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.
Решите задачу:
Найдите, если.
Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:
То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.
Ответ:
Уравнения вида
называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:
И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:
Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:
Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите уравнение.
Решение:
Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:
Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .
Реши сам:
- Найдите, если.
- Найдите, если.
- Решите уравнение.
Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:
Решения:
Ответ: .
А здесь надо не делить, а умножать:
Ответ:
Если тригонометрические уравнения ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.
Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:
А это невозможно.
Ответ: .
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.
Алгоритм: