Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.
Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .
Предлагаю решать такие задания следующим образом:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).
В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .
Рассмотрим примеры:
77422. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 –3х+4 на отрезке [–2;0].
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.
Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:
Наибольшее значение функции равно 6.
Ответ: 6
77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.
Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:
Наименьшее значение функции равно –2.
Ответ: –2
77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.
Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:
Наименьшее значение функции равно 0.
Ответ: 0
77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
3х 2 – 4х + 1 = 0
Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.
Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.
Найдём значения функции в точках 1 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 + 4х + 1 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = –1.
Находим значения функции в точках –4, –1, –1/3 и 1:
Получили, что наибольшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77433. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – х 2 – 40х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 – 2х – 40 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.
Находим значения функции в точках 0 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно –109.
Ответ: –109
Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).
77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].
Подставляем точки от –2 до 2: Посмотреть решение
77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму :
1 . Находим ОДЗ функции.
2 . Находим производную функции
3 . Приравниваем производную к нулю
4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5 . Находим точки максимума и минимума функции .
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-" .
В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+" .
6 . Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию 
. График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1 . Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2 . Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">
Ответ: 5.
3 . Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: 
. При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Постановка задачи 2:
Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.
Теоретические основы.
Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):
Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.
Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.
Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
Замечание:
«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».
Алгоритм решения задачи 2.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Пример 4:
Определить наибольшее и наименьшее значение функции 
на отрезке .
Решение:
1) Найти производную функции .
2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.
3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.
4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.
Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .
Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .
В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.
Замечание:
Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.
Частный случай.
Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.
На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.
