Источник задания: Решение 3754. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий.
Задание 19. На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение.
а) Да, может, например, если взять 19 чисел, равных 10, а 20-е равное 1, то после уменьшения 20-го числа на 1, оно становится равным 0 и получается среднее значение уже не 20 чисел, а 19-ти, то есть имеем:
Первоначальное среднее значение: ;
Среднее значение после изменения: 
.
Как видим, второе среднее значение стало больше исходного.
б) Предположим, что для выполнения этого условия нужно взять единиц, затем взять чисел и одно число , всего 20 чисел. Их среднее арифметическое будет равно
,
а после стирания единиц должны получить
,
то есть имеем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
Таким образом, для выполнения условия данного пункта нужно взять дробное количество чисел, что невозможно в рамках данной задачи.
Ответ: нет.
в) Чтобы получить максимальное среднее оставшихся на доске чисел, изначально нужно записать набор чисел, состоящих из наибольшего числа единиц (которые, затем, будут стерты с доски), а остальные числа должны быть максимальными. Запишем это условие в виде
,
где - число единиц; - 20-е число (оно выбирается так, чтобы обеспечить среднее равным 27). Отсюда имеем:
Из полученного выражения видно, что минимальное значение , при котором получим максимальное значение . Таким образом, имеем последовательность чисел, сумма которых равна
На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.
а) Может ли быть записано число 230?
б) Можно ли обойтись без числа 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?
Решение.
а) Пусть на доске написано число 230 и 99 других различных натуральных чисел. Минимально возможная сумма чисел на доске достигается при условии, что сумма 99 различных натуральных чисел минимальна. А это, в свою очередь, возможно, если 99 различных натуральных числа - арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма этих чисел, по формуле суммы арифметической прогрессии, составит:
Сумма всех чисел на доске S будет равна:
Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.
б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 1,2,3,..13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом, разностью (то есть ряда 15,16,17,..101). Найдем эту сумму:
Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.
в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом, разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске:
Полученная сумма не удовлетворяет условию задачи. Теперь, чтобы увеличить сумму всех чисел, написанных на доске до обозначенной в условии, попробуем заменить числа, кратные 14 на другие числа, следующие за сотней: 70 заменим на 110, 84 - на 104, а 98 - на 108. Полученная сумма S будет равна:
При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.
Приведем другое решение пункта в).
Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:
Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.
А) Нет б) Нет в) 4.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Posted on 14.03.2018
5 (100%) 1 vote
На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120.
а) Может ли на доске быть написано число 230?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, написано на доске?
Как решить? Желательно под всеми буквами.
математика,
образование
ответить
комментировать
в избранное
Sadne-ss
2 минуты назад
а)
Посчитаем вариант, при котором сумма будет самой наименьшей. Естественно, это просто сумма первых ста чисел, т.е 1+2+3…+100
. Можно считать перебирая, а можно через формулу "суммы арифметической прогрессии
".
Теперь рассчитываем сумму. S100=((1+100)/2)*1-00=5050 ;
Нам надо попытаться как-нибудь, заменить любое число в нашем ряду на 230 . Узнаем, какой суммы нам не достаёт до заданной в условии: 5120-5050=70 , ага, а какое самое большое число было в нашем ряду? Правильно, 100 . Получается, самое большое число, на которое мы сможем заменить любое число из нашего ряда, это 170 . А значит, числа 230 в ряду никак быть не может .
Ответ: а) Нет;
б) Возьмём, всё тот же ряд, от 1 до 100 , но уберём оттуда число 14 и попытаемся заменить его другим. Например, попробуем взять самое маленькое число после 100 , а именно 101 и проведём замену. Сумму первых ста чисел мы нашли, а значит, для замены, нам надо вычесть из неё 14 и прибавить новое значение 101 : 5050-14+101=5137 -. К сожалению в условии сказано, что сумма равна 5120 , поэтому увы, нельзя исключать число 14 из нашего списка .
Ответ: б) Нет;
в) Найдём все числа кратные 14 из нашего ряда (от 1 до 100 ). Существует множество способов нахождения кратных значений, но в нашем случае, число не такое большое, их можно перебрать в ручную, получаем ряд, посредством сложения: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Всего 7 чисел кратных 14 . Теперь попробуем заменить их на более большие значения не кратные 14 , поскольку на данный момент, наша сумма составляет 5050 . Заменим наибольшее кратное число на наименьшее из неиспользованных: 98 на 101 ;
Наша сумма станет: (101-98)+5050=5053- ;
Сумма: (102-84)+5053=5071 -;
Место ещё есть, продолжаем. Заменим 70 на 103 ;
Сумма: (103-70)+5071=5104 -;
5104 , по-прежнему меньше 5120 , значит идём дальше. Заменим 56 на 104 ;
Сумма: (104-56)+5104=5152 -;
Получилось больше чем надо , а значит, нужно