Может быть множество но. Операции над множествами

Множество a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a a , b , c

Операции над множествами .

Универсальное множество

Универса́льное мно́жество

Диаграммы Венна. Тождества алгебры множеств и их доказательство.

Диаграмма Венна - схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств, показывают математические, теоретико-множественные или логические отношения между множествами.

Тождества и их доказательства.

Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения:

1. Коммутативность:

2. Ассоциативность

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения

3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения

4. Законы действия с пустым и универсальным множествами

5. Закон идемпотентности

6. Закон де Моргана

7. Закон поглощения

8. Закон склеивания

9. Закон Порецкого

10. Закон двойного дополнения

Доказать следующее тождество .

Докажем это тождество аналитическим способом (используя равносильности алгебры множеств)

Понятие формального языка

Формальный язык - язык, характеризующийся точными правилами построения выражений и их понимания. Он строится в соответствии с четкими правилами, обеспечивая непротиворечивое, точное и компактное отображение свойств и отношений изучаемой предметной области (моделируемых объектов).

Формальный язык – основа создания программного обеспечения.

ФЯ образуется с помощью исходного набора букв а1, а2, …., а100, с помощью букв образуются слава. Слово в формальном языке – упорядоченный набор букв (Ящерица – 30 букв)

Для операции * слов справедлив ассоциативный закон.

Теория полугрупп и полуколец – основа теории ФЯ

Тавтологии

Тавтология – тождественно-истинное высказывание, которое всегда истинно.

Простейшая тавтология - выражение (A или не A ), представляющее закон исключённого третьего, где вместо A может быть подставлено любое выражение,могущее быть ложным или истинным, например свет включен или не включен , дважды два равно или не равно пяти . Тавтологией являются и законы математической логики выраженные через оператор эквивалентности: и т. п.

Понятие высказывательной формы или предиката от одной переменной. Примеры предикатов.

Предикат – высказывание зависящее от какой-то меняющейся переменной величины.

Одноместный предикат – отображение, по которому каждому значению переменой указывается единственное значение 0 или 1 .примеры:

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х), х Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) – Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2. Например: А(х): «х – четное число», В(х): « х кратно 3». А(х) В(х) – «х – четное число и х кратно 3». Т.е. предикат «х делится на 6».

Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х Т, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь», если А(х) принимает значение «истина». Множеством истинности предиката, х Х является дополнение Т" к множеству Т в множестве Х.

Возьмём высказывания: `` Сократ - человек "", `` Платон - человек "". Оба эти высказывания выражают свойство ``быть человеком"". Таким образом, мы можем рассматривать предикат `` быть человеком "" и говорить, что он выполняется для Сократа и Платона.

25 область определения и область истинности предиката

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х Î М, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х), то есть множество истинности предиката Р(х) - это множество 1р = {х| х Î М, Р(х) = 1}.

Р(х): «х 2 + 1> 0, xÎ R»; область определения предиката М = R и область истинности – тоже R, т.к. неравенство верно для всех действительных чисел. Таким образом, для данного предиката М = I p . Такие предикаты называются тождественно истинными.

В(х): «х 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Кванторы. Двухместные предикаты. Определения уравнения, тождества и неравенства.

Ква́нтор - общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают:

· Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

· Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Обозначим предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

1. любое натуральное число кратно 5;

2. каждое натуральное число кратно 5;

3. все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 5;

2. найдётся натуральное число, кратное 5;

3. хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

· Высказывание означает, что область значений переменной включена в область истинности предиката .

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

· Высказывание означает, что область истинности предиката непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов - применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

Двухместный предикат – отображение, по которому каждой паре переменных указывается единственное значение 0 или 1.

Предикат является двухместным предикатом, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание истинно, а высказывание ложно. Если вместо одной из переменных подставить число, то получится одноместный предикат.

Пересечение графов

Пусть G1(V1,E1) и G’2(V2’,E2’) – произвольные графы. Пересечением G1∩G’2 графов G1 и G’2 называется граф с множеством вершин V1∩V’2 с множеством ребер E = E1∩E’2

Свойства

· Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2 X ;

коммутативна :

· Операция пересечения множеств транзитивна (ассоциативность) :

· Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

· Таким образом булеан вместе с операцией пересечения множеств является абелевой группой;

· Операция пересечения множеств идемпотентна:

· Если - пустое множество, то

Остов и коостов графов.

Остов графа - такой его подграф, который является деревом.

Коостов – дополнение остова до графа.

Понятие множества. Операции над множествами. Универсальное множество.

Множество (N- натуральные,Z-целые,Q-рационал, R-действительные) – неопределяемое понятие, это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Простое множество не имеет ни одного элемента. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.

«пустое множество» - множество, не содержащее ни одного элемента, его обозначают

Способы задания: табличный, перечислением элементов, графический, рекуррентный, формулой.

Операции над множествами .

Пересечение множеств – множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам.

Для пересечения множеств справедливы:

· X∩Y=Y∩X - коммутативный закон

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - ассоциативный закон

Объединение множеств – множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Для объединенных множеств справедливы:

· XUY = YUX - коммутативный закон

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - ассоциативный закон,

Универсальное множество

Универса́льное мно́жество - множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно.

Универсальное множество – множество, которое содержит все элементы, из которых может состоять другое множество, т.е. полностью содержать все элементы универсального множества. .

Если при некотором рассмотрении участвуют только подмножества некоторого фиксированного множества, то это самое большое множество будем считать универсальным.

Универсальное множество обладает интересным свойством, которое не имеет аналогии в обычной алгебре, а именно, для любого множества X справедливо соотношение XU(объединение)I = I.

Универсальное множество обычно обозначают графически в виде множества точек прямоугольника, а отдельные множества в виде отдельных областей внутри этого прямоугольника. Изображение множеств в виде областей в прямоугольнике, представляющем универсальное множество, называется диаграммой Эйлера-Венна.

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, ... Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Можно рассмотреть следующие множества:

натуральные числа;
буквы алфавита;
первичные коэффициенты;
треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

пять самых известных ученых мира;
семь красивых девушек в обществе;
три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий "наиболее известных", "самых красивых", "лучших" варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
объекты, члены являются равными по значению терминами;
наборы обычно обозначаются прописными буквами ;
элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» - элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если "b" - элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

заявки;
реестров или табличные;
правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

множество нечетных чисел, меньших 7 - записывается как {меньше 7};
набор чисел больше 30 и меньше 55;
количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок {} и разделены запятыми. Например:

Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = {a, e, i, o, u, y} → форма реестра
Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = {1, 3, 5, 7} → форма реестра
Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = {M, A, T, H, E, I, C, S} → Форма реестра
W - это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = {сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь} → реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P - множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как - {счетное число и больше 12}. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P - множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание {}. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
Очевидно, что их не должно быть <0. Следовательно, это пустое множество.
Набор, содержащий только одну переменную, называется одноэлементным множеством. Не является ни простым, ни составным.

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество - это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

мощность множества всех точек в плоскости;
набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора - это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Например:

A {x: x ∈ N, x <5}. A = {1, 2, 3, 4}. Следовательно, n (A) = 4.
B = набор букв в слове ALGEBRA.

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

Пусть Q = {натуральные числа меньше 25}. Тогда Q - конечное множество и n (P) = 24.
Пусть R = {целые числа между 5 и 45}. Тогда R - конечное множество и n (R) = 38.
Пусть S = {числа, модуль которых равен 9}. Тогда S = {-9, 9} является конечным множеством и n (S) = 2.
Набор всех людей.
Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

количество существующих точек на плоскости;
число всех пунктов в сегменте линии;
множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ - универсальное, а A - подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A". К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A"= {2, 4, 5, 6}

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
эта переменная нулевого множества является универсальным;
количество и его дополнение являются непересекающимися.

Например:

Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А - четное. То, тогда A "{x: x - множество нечетное с такими же цифрами}.
Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A "= количество гласных.
Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ "= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

континуум (в теории множеств) - вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
линейный - любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
континуум (в топологии) - непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
мощность континуума - кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств - это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

Пусть A и B - два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B - непересекающиеся множества.
Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A - B.
Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C - три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = {0,1,2,3}| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, { 2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {1,2,3}, {0,2,3}, {0,1,2,3}.

Теперь мощность выясняет P = {{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2}, {0,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {0,1,2}, {0,1,3}, {1,2,3}, {0,2,3}, {0,1,2,3}}, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N - число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Элемент множества

Мно́жество - один из ключевых объектов математики , в частности, теории множеств . «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие - значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество - это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Теории

Существует два основных подхода к понятию множества - наивная и аксиоматическая теория множеств.

Аксиоматическая теория множеств

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело - Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита , его элементы - маленькими. Если а - элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а∉А(а не принадлежит А).

Некоторые виды множеств

Упорядоченное множество -- множество, на котором задано отношение порядка .
Набор (в частности, упорядоченная пара). В отличие от просто множества записывается внутри круглых скобок: (x 1 , x 2 , x 3 , … ), а элементы могут повторяться.

По иерархии:

Множество множеств Подмножество Надмножество

По ограничению:

Операции над множествами

Литература

Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М .: Просвещение, 1968. - 232 с.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Элемент множества" в других словарях:

элемент множества - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] элемент множества Объект любой природы, который в совокупности с другими аналогичными объектами составляет множество. Часто вместо термина элемент в… …

Элемент множества - объект любой природы, который в совокупности с другими аналогичными объектами составляет множество. Часто вместо термина элемент в этом смысле употребляют «точка множества», «член множества» и др.… …

МНОЖЕСТВА, в математике совокупность определенных объектов. Эти объекты называются элементами множества. Число элементов может быть бесконечным или конечным, или даже равняться нулю (число элементов в пустом множестве обозначается 0). Каждый… … Научно-технический энциклопедический словарь

элемент - Обобщенный термин, под которым в зависимости от соответствующих условий может пониматься поверхность, линия, точка. Примечания 1. Элемент может быть поверхностью (частью поверхности, плоскостью симметрии нескольких поверхностей), линией (профилем … Справочник технического переводчика

Часть чего нибудь. Одна из возможных этимологий этого слова по названию ряда согласных латинских букв L, M, N (el em en). Элемент (философия) Элемент обязательная принадлежность флага, знамени и штандарта. Элемент множества Элементарные… … Википедия

Элемент - первичная (для данного исследования, модели) составная часть сложного целого. См. Элемент множества, Элемент системы … Экономико-математический словарь

Множество один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном… … Википедия

элемент - 02.01.14 элемент (знак символа или символ) : Отдельный штрих или пробел в символе штрихового кода либо одиночная многоугольная или круглая ячейка в матричном символе, формирующие знак символа в… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

А; м. [от лат. elementum стихия, первоначальное вещество] 1. Составная часть чего л.; компонент. Разложить целое на элементы. Из каких элементов состоит культура? Природа э. производства. Составные элементы чего л. // Характерное движение, одна… … Энциклопедический словарь

У этого термина существуют и другие значения, см. Элемент. Элемент (лат. elementum стихия) самостоятельная часть, являющаяся основой чего либо, например системы или множества. Этимология Латинское слово elementum использовали ещё … Википедия

Определение. Множество - это совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Элементы, составляющие множество, обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество - большой латинской буквой. Знак ∈ используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись a∈A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект x не является элементом множества A, пишут x∉A. Например, если A - это множество четных чисел, то 2∈A, а 1∉A. Множества A и B считаются равными (пишут A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Если множество содержит конечное число элементов, его называют конечным; в противном случае множество называется бесконечным. Если множество A конечно, символом |A| будет обозначаться число его элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Очевидно, |∅|=0.

Пример . Пусть A - множество действительных решений квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. Множество A конечно, |A|≤2. Если дискриминант D = p 2 -4q отрицателен, множество A пусто. Множество действительных решений квадратичного неравенства x 2 +px+q≤0 конечно, если D≤0, и бесконечно, если D>0.

Конечное множество может быть задано перечислением всех его элементов,

либо описываются их свойства. Если множество A состоит из элементов x, y, z, пишут A ={x, y, z,}. Например, A = {0, 2, 4, 6, 8} - множество четных десятичных цифр или - множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию х + 2 = 1.

Введем используемое в дальнейшем понятие индексированного семейства множеств. Пусть I - некоторое множество, каждому элементу которого i сопоставлено однозначно определенное множество A i . Элементы множества I называют индексами, а совокупность множеств A i называют индексированным семейством множеств и обозначают через (A i) i ∈ I .

Говорят, что множество B является подмножеством множества A и пишут B⊂A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Например, множество натуральных чисел N является подмножеством множества целых чисел Z, а последнее в свою очередь является подмножеством множества рациональных чисел Q, то есть N⊂Z и Z⊂Q, или, короче, N⊂Z⊂Q. Легко видеть, что если B⊂A и A⊂B, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов, и, значит, A=B, в противном случае . Наряду с обозначением B⊂A используется также A⊃B, имеющее тот же смысл.

Подмножества множества A, отличные от ∅ и A, называются собственными. Пустое множество и множество А называются несобственными подмножествами множества А. Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном , или множеством-степенью , и обозначается через Р(А) или 2 А.

Пример . Пусть A = {a, b, c}. Тогда множество 2 A состоит из следующих элементов:

{∅}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.

Если множество A конечно и содержит n элементов, то это множество имеет 2 n подмножеств, то есть |2 A |=2 | A | .

Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Если некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить U и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество можно изобразить в виде части плоскости, т.е. в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости.

Объединением или суммой множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из элементов множества А, или элементов множества В, или из элеметов обоих этих множеств, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∪B = {1, 2, 3, 4}.

Пересечением или произведением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам, т.е. . Например, если A = {1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то A∩B = {2, 3}.

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в А и одновременно не входят в В, т.е.

Например, если A = {1, 2, 3} и B ={2, 3, 4}, то A\B = {1}.

Если, в частности, А - подмножество U, то разность U \ A обозначается и называется дополнением множества А.

Симметрической разностью (кольцевой суммой) множеств А и В называется множество , т.е. . Например, если A ={1, 2, 3} и B = {2, 3, 4}, то AΔB = {1, 4}.

Законы алгебры множеств:

1. Коммутативный закон : .

2. Ассоциативный закон : .

3. Дистрибутивный закон :

4. Законы идемпотентности : , в частности

5. Законы поглощения :

6. Законы де Моргана (двойственности) :

7. Закон двойного дополнения :

8. Закон включения :

9. Закон равенства :

Пример 1. Проверим первый из законов де Моргана. Покажем сначала, что. Предположим, что . Тогда x∉A∩B, так что x не принадлежит хотя бы одному из множеств A и B. Таким образом, x∉A или x∉B, то есть или .

Это означает, что. Мы показали, что произвольный элемент множества является элементом множества. Следовательно, . Обратное включение доказывается аналогично. Достаточно повторить все шаги предыдущего рассуждения в обратном порядке.

Пример 2. Доказать включения

Решение. Легче всего это сделать по диаграмме Эйлера-Венна

Из любой пары элементов a и b (не обязательно различных) можно составить новый элемент - упорядоченную пару (a,b). Упорядоченные пары (a,b) и (c,d) считают равными и пишут (a,b) = (c,d), если a = c и b = d. В частности, (a,b) = (b,a) лишь в том случае, когда a=b. Элементы a и b называют координатами упорядоченной пары (a,b) .

Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a,b), где a∈A и b∈B. Прямое произведение множеств A и B обозначается через A×B. В соответствии с определением имеем

A×B = {(a,b)| a∈A, b∈B}. Произведение называется декартовым квадратом.

Пример 3. Даны множества А = {1; 2}; B = {2; 3}. Найти .

Решение.

Таким образом, декартово произведение не подчиняется коммутативному закону.

Пример 4. Пусть Из каких элементов состоят множества ?

Решение. Запишем множества А; В; С, перечислив их элементы:

А = {3; 4; 5; 6}; B = {2; 3}; C = {2}. Тогда Подобно парам, можно рассматривать упорядоченные тройки, четверки и, вообще, упорядоченные наборы элементов произвольной длины. Упорядоченный набор элементов длины n обозначается через (a 1 , a 2 , a n). Для таких наборов используется также название кортеж длины n. Допускаются в том числе и кортежи длины 1 - это просто одноэлементные множества. Кортежи (a 1 , a 2 , a n) и (b 1 , b 2 , b n) считаются равными, если a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n .

По аналогии с произведением двух множеств определим прямое произведение множеств A 1 , A 2 , A n как множество всех кортежей (a 1 , a 2 , a n) таких, что a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . Обозначается прямое произведение через A 1 × A 2 × A n .

Понятие прямого произведения может быть обобщено на случай произвольного семейства множеств (A i) i ∈ I . Назовем I-кортежем набор элементов (A i) i ∈ I такой, что a i ∈A i для каждого i∈I. Прямое произведение семейства множеств (A i) i ∈ I - это множество, состоящее из всех I-кортежей. Для обозначения этого множества используется символ Π i ∈ I A i и его разновидности, подобные тем, которые применяются для обозначения пересечения и объединения семейства множеств.

В случае, когда множество A умножается само на себя, произведение называют (декартовой) степенью и используют экспоненциальные обозначения. Так, в соответствии с определением A × A = A 2 , A × A × A = A 3 и т. д. Считается, что A 1 = A и A 0 = ∅.

Непосредственно из определений следует справедливость следующих соотношений (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B) × C = (A × C)\(B × C).

1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:ИНФРА-М, Новосибирск, 2002.

2. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика. Харьков, «Торсинг», 2003.

3. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.:Наука, 1973.

4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

Множество — это набор каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел .

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Содержание урока

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы - строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео , то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends ), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2 . Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈ . К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D ). Записывается это так:

Читается как: «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D . Записывается это так:

Читается как: «5 не принадлежит множеству делителей числа 6″

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том :

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число» , чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N .

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и , а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z .

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа .

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число тоже может быть представлено в виде дроби . Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

целые числа
обыкновенные дроби
десятичные дроби
смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q .

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках