Мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).
Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, - чертеж должен лишь иллюстрировать то или иное свойство функции на ее графике
. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.
Определение 1.
Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.
1. Линейная функция у = kx +m
Если k > 0, то функция возрастает на всей (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.
Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.
Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 - возрастающая
функция.
2. Функция у = х2
1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).
Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).
1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).
2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 - отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравенства - положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.
Решение.
1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).
2) Построим и выделим его часть на отрезке (рис. 131).
3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).
Прочитаем график функции у = f(x).
1. Область определения функции - вся числовая прямая.
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче }