Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .
4. Экстремумы
Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).
Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.
Х max – точка максимума
У max – максимум
Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).
Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.
X min – точка минимума
Y min – минимум
X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме "Основные свойства функции"
- Свойства функций - Числовые функции 9 класс
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
- Свойства логарифмов - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
- Функция квадратного корня, его свойства и график - Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня 8 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Степенные функции, их свойства и графики - Степени и корни. Степенные функции 11 класс
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1
- Функции - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 24
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
Решение: область определения функции находится из условия
Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.
Yandex.RTB R-A-339285-1
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.
Начнем с базовых определений.
Определение 1
Множество значений функции y = f (x) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x ∈ X .
Определение 2
Область значений функции y = f (x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x ∈ (f) .
Область значений некоторой функции принято обозначать E (f) .
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y = f (x) . Область допустимых значений x для выражения f (x) и будет областью определения данной функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось O y . При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.
Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.
Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f (x) на некотором отрезке, обозначенном [ a ; b ] . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Пример 1
Условие: найдите область значений y = a r c sin x .
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [ - 1 ; 1 ] . Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x , расположенных в интервале [ - 1 ; 1 ] , то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x , равном - 1 , а самое большое – при x , равном 1 .
m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .
Ответ: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2
Пример 2
Условие: вычислите область значений y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на заданном отрезке [ 1 ; 4 ] .
Решение
Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 и л и 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1 . 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4
Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 · 15 - 33 8 3 + 6 · 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32
Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117 - 165 33 512 ; 32 .
Ответ: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f (x) в промежутках (a ; b) , причем a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Пример 3
Условие: вычислите область значений функции y = 1 x 2 - 4 на интервале (- 2 ; 2) .
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
У нас получилось максимальное значение, равное 0 , поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:
То есть y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 будет максимальным значений функции.
Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к - 2 с правой стороны и к + 2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 · 1 - 0 = - ∞
У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до - 1 4 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от - 2 до 0 . А когда аргумент меняется от 0 до 2 , значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (- ∞ ; - 1 4 ] .
Ответ: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Пример 4
Условие : укажите множество значений y = t g x на заданном интервале - π 2 ; π 2 .
Решение
Нам известно, что в общем случае производная тангенса в - π 2 ; π 2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от - π 2 до π 2 ,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.
Ответ: - ∞ ; + ∞ .
Пример 5
Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x .
Решение
Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D (y) = 0 ; + ∞ . Производная на заданном интервале будет положительной: y " = ln x " = 1 x . Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Пример 6
Условие: определите, какова область значений функции y = 9 x 2 + 1 .
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x ≥ 0 ; возрастать, если x ≤ 0 ; она имеет точку максимума y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 при переменной, равной 0 .
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0 . Мы отобразили это на рисунке:
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E (y) = (0 ; 9 ]
Ответ: E (y) = (0 ; 9 ]
Если нам надо определить множество значений функции y = f (x) на промежутках [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Пример 7
Условие: определите, какова будет область значений y = x x - 2 .
Решение
Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке - ∞ ; 2 , который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1 . Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2 , то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала - ∞ ; 1 . Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.
Для открытого луча 2 ; + ∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1 ; + ∞ . Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств - ∞ ; 1 и 1 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Пример 8
Условие: определите область значений синуса y = sin x .
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0 ; 2 π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
В рамках 0 ; 2 π у функции будут точки экстремума π 2 и x = 3 π 2 . Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin π 2 = 1
Ответ: E (sin x) = - 1 ; 1 .
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Пример 9
Условие: определите область значения y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Решение
Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E (a r c cos x) = 0 ; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Мы можем получить функцию a r c cos x 3 + 5 π 7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси O x , но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Функция 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 может быть получена из арккосинуса a r c cos x 3 + 5 π 7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси O y на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:
0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Ответ: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Пример 10
Условие: вычислите, какова будет область значений функции y = 2 2 x - 1 + 3 .
Решение
Перепишем функцию, заданную в условии, как y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Для степенной функции y = x - 1 2 область значений будет определена на промежутке 0 ; + ∞ , т.е. x - 1 2 > 0 . В таком случае:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Значит, E (y) = 3 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = 3 ; + ∞ .
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Пример 11
Условие: дана функция y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 < x ≤ 3 1 x - 3 , x > 3 . Вычислите область ее значений.
Решение
Данная функция является определенной для всех значений x . Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных - 3 и 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента - 3 . При приближении к нему значения функции стремятся к - 2 sin 3 2 - 4 , а при стремлении x к - 3 с правой стороны значения будут стремиться к - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3 . Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к - 1 , при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .
На первом из них у нас получилась функция y = 2 sin x 2 - 4 . Поскольку - 1 ≤ sin x ≤ 1 , получаем:
1 ≤ sin x 2 < 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Значит, на данном промежутке (- ∞ ; - 3 ] множество значении функции – [ - 6 ; 2 ] .
На полуинтервале (- 3 ; 3 ] получилась постоянная функция y = - 1 . Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу - 1 .
На втором промежутке 3 ; + ∞ у нас есть функция y = 1 x - 3 . Она является убывающей, потому что y " = - 1 (x - 3) 2 < 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0 ; + ∞ . Теперь объединим полученные результаты: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Ответ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Решение показано на графике:
Пример 12
Условие: есть функция y = x 2 - 3 e x . Определите множество ее значений.
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Мы знаем, что производная обратится в 0 , если x = - 1 и x = 3 . Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.
Функция будет убывать на (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) и возрастать на [ - 1 ; 3 ] . Точкой минимума будет - 1 , максимума – 3 .
Теперь найдем соответствующие значения функции:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до - 2 e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до - 1 . Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6 e - 3 до 0 , но при этом 0 достигнут не будет.
Таким образом, E (y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Ответ: E (y) = [ - 2 e ; + ∞)
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.
В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.
Определение.
Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .
Определение.
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .
Область значений функции обозначают как E(f) .
Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.
Не путайте также область значений функции с переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .
На рисунке приведены несколько примеров.
Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.
Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением (шестой случай) и т.п.
Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.
Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке .
Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений . Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке
будет отрезок 
. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке .
Для примера найдем область значений функции арксинуса.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx .
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]
. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x
из интервала (-1; 1)
, то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1
, а наибольшее при x = 1
.
Мы получили область значений функции арксинуса 
.
Пример.
Найдите множество значений функции 
на отрезке
.
Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку
:
Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках 
:
Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок 
.
Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .
Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.
Пример.
Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .
Решение.
Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2)
:
Точка x = 0
является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.
есть соответствующий максимум функции.
Выясним поведение функции при x
стремящемся к -2
справа и при x
стремящемся к 2
слева, то есть, найдем односторонние пределы:
Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .
Пример.
Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .
Решение.
Производная функции тангенса на интервале положительна 
, что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:
Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .
Пример.
Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .
Решение.
Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента 
. На этом интервале производная положительна 
, это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x
стремящемся к плюс бесконечности:
Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.
Пример.
Решение.
Эта функция определена для всех действительных значений x
. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.
Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0
- точка максимума, 
соответствующий максимум функции.
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.
Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.
Посмотрите на схематический рисунок.
Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .
Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.
Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.
Пример.
Найдите область значений функции .
Решение.
Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .
Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .
Производная функции 
отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.
Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.
Действуем аналогично для открытого луча .
На этом промежутке функция тоже убывает.
Множество значений функции на этом промежутке есть множество .
Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .
Графическая иллюстрация.
Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.
Пример.
Найдите область значений функции синуса y = sinx .
Решение.
Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.
Отрезку принадлежат две точки экстремума и .
Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:
Следовательно, 
.
Пример.
Найдите область значения функции 
.
Решение.
Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, 
или в другой записи . Функция 
может быть получена из arccosx
сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, 
. Функция 
получается из растяжением втрое вдоль оси Оy
, то есть, 
. И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству
Таким образом, искомая область значений есть 
.
Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).
Пример.
Определите область значений функции 
.
Решение.
Запишем исходную функцию в виде 
. Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда
Следовательно, 
.
Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить
Инструкция
Вспомните, что функция - это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.
Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y - зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Исследование функции на четность или нечетность - один из шагов общего алгоритма исследования функции, необходимого для построения графика функции и изучения её свойств. В этом шаге необходимо определить, является ли функция четной или нечетной. Если про функцию нельзя сказать, что она является четной или нечетной, то говорят, что это функция общего вида.
Инструкция
Подставьте аргумента x аргумент (-x) и посмотрите, что получилось в итоге. Сравните с изначальной функцией y(x). Если y(-x)=y(x), имеем четную функцию. Если y(-x)=-y(x), имеем нечетную функцию. Если y(-x) не равняется y(x) и не равняется -y(x), имеем функцию общего вида.
Все операции с функцией можно производить только в том множестве, где она определена. Поэтому при исследовании функции и построения ее графика первую роль играет нахождение области определения.
Инструкция
Если функция имеет вид y=g(x)/f(x), решите f(x)≠0, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. То есть областью определения будет множество (-∞; 4)∪(4; +∞).
Когда при определении функции присутствует корень четной , решите неравенство, где значение будет больше или равно нуля. Корень четной степени может быть взят только из неотрицательного числа. Например, y=√(x−2), x−2≥0. Тогда областью определения является множество , то есть если y=arcsin(f(x)) или y=arccos(f(x)), нужно решить двойное неравенство -1≤f(x)≤1. Например, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью определения будет отрезок [-3; -1].
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок . Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
- область определения функции с логарифмом
Функция - это понятие, отражающее связь между элементами множеств или другими словами это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
