Конкурс «Кенгуру» — это олимпиада для всех школьников с 3 по 11 класс. Цель конкурса – увлечь детей решением математических задач. Задания конкурса очень интересные, все участники (и сильные, и слабые в математике) находят для себя увлекательные задачи.
Конкурс придумал австралийский ученый Питер Холлоран в конце 80-х годов прошлого века. «Кенгуру» быстро завоевало популярность у школьников в разных уголках Земли. В 2010 году в конкурсе участвовало больше 6 миллионов школьников примерно из пятидесяти стран мира. География участников очень обширна: европейские страны, США, страны Латинской Америки, Канада, страны Азии. В России конкурс проводится с 1994 года.
Конкурс «Кенгуру»
Конкурс «Кенгуру» – ежегодный, он проводится всегда в третий четверг марта.
Школьникам предлагается решить 30 заданий трех уровней сложности. За каждое правильно выполненное задание начисляются баллы.
Конкурс «Кенгуру» — платный, но цена его не велика, в 2012 году нужно было заплатить всего 43 рубля.
Российский оргкомитет конкурса расположен в Санкт-Петербурге. Все бланки с ответами участники конкурса отправляют в этот город. Ответы проверяются автоматически – на компьютере.
Результаты конкурса «Кенгуру» попадают в школы в конце апреля. Победители конкурса получают дипломы, а остальные участники – сертификаты.
Личные результаты конкурса можно узнать быстрее – в первых числах апреля. Для этого нужно воспользоваться персональным кодом. Код можно получить на сайте http://mathkang.ru/
Как подготовиться к конкурсу «Кенгуру»
В учебниках Петерсона имеются задачки, которые были в прошлые годы на конкурсе «Кенгуру».
На сайте Кенгуру можно посмотреть задачи с ответами, которые были в прошлые годы.
А еще для лучшей подготовки можно воспользоваться книгами из серии «Библиотечка Математического клуба «Кенгуру». В этих книжках в увлекательной форме рассказываются занимательные истории по математике, приводятся интересные математические игры. Анализируются задачи, которые были в прошедшие годы на математическом конкурсе, приводятся неординарные способы их решения.
Математический клуб «Кенгуру», выпуск №12 (3-8 классы), Санкт-Петербург, 2011
Мне очень понравилась книга, которая называется «Книжка о дюймах, вершках и сантиметрах». Здесь рассказывается о том, как возникли и развивались единицы измерения: пье, дюймы, кабельты, мили и др.
Математический клуб «Кенгуру»
Приведу несколько занимательных историй из этой книжки.
У В.И. Даля – знатока русского народа есть такая запись «что город, то вера, что деревня, то мера».
С давних пор, в разных странах применялись различные меры измерения. Так, в древнем Китае для мужской и женской одежды применялись различные меры. Для мужчин использовали «дуань», который составлял 13,82 метра, а для женщин применяли «пи» — 11,06 метра.
В повседневной жизни меры различались не только по странам, но и по городам и деревням. К примеру, в некоторых российских деревнях мерой длительности служило время «пока закипит котел воды».
А теперь решите задачку №1.
Старые часы каждый час отстают на 20 секунд. Стрелки установили на 12 часов, сколько часы покажут времени через сутки?
Задачка №2.
На рынке пиратов бочка с ромом стоит 100 пиастров или 800 дублонов. Пистолет же стоит 250 дукатов или 100 дублонов. За попугая продавец просит 100 дукатов, а сколько это будет пиастров?
Математический клуб «Кенгуру», детский математический календарь, Санкт-Петербург, 2011
В серии «Библиотечка «Кенгуру» выходит математический календарь, в котором на каждый день приходится одна задача. Решая эти задачи, Вы сможете дать прекрасную пищу своему мозгу, а заодно подготовиться к следующему конкурсу «Кенгуру».
Математический клуб «Кенгуру»
Бен выбрал число, разделил его на 7,потом прибавил 7 и результат умножил на 7. Получилось 77. Какое число он выбрал?
Опытный дрессировщик моет слона за 40 минут, а его сын 2 часа. Если они будут мыть слонов вдвоем, то за сколько времени они помоют трех слонов?
Математический клуб «Кенгуру», выпуск №18 (6-8 классы), Санкт-Петербург, 2010
В этом выпуске представлены комбинаторные задачи из раздела математики, изучающего различные соотношения в конечных наборах объектов. Комбинаторные задачи занимают большую часть в математических развлечениях: играх и головоломках.
Клуб «Кенгуру»
Задачка №5.
Подсчитайте сколько существует способов установки на шахматной доске белой и черной ладьи с условием, чтобы они не убили друг друга?
Это самая сложная задача, поэтому приведу здесь и ее решение.
Каждая ладья держит под боем все клетки той вертикали и той горизонтали, на которых она стоит. И еще одну клетку она занимает сама. Поэтому, на доске остается 64-15=49 свободных клеток, на каждую из которых можно безопасно поставить вторую ладью.
Теперь остается заметить, что для первой (например, белой) ладьи мы можем выбрать любую из 64 клеток доски, а для второй (черной) – любую из 49 клеток, которые после этого останутся свободными и не будут под боем. Это значит, что мы можем применить правило умножения: общее количество вариантов требуемой расстановки равно 64*49=3136.
При решении этой задачи помогает то, что само условие задачи (все происходит на шахматной доске) помогает наглядно представить себе возможные варианты взаимного расположения фигур. Если условия зачачи не такие наглядные, нужно попробовать сделать их наглядными.
Надеюсь, что Вам было интересно познакомиться с математическим конкурсом «Кенгуру» .
ЗАДАЧИ
МЕЖДУНАРОДНОГО КОНКУРСА
«Кенгуру»
2010 год 3 — 4 классы
Задачи, оцениваемые в 3 балла
1. Что можно получить из слова, если стереть некоторые буквы?
2. Дети измерили шагами длину дорожки. У Ани получилось 17 шагов, у Наташи 15, у Дениса 14, у Вани 13 и у Тани 12. Кто из этих детей имеет самый длинный шаг?
(А) Аня (Б) Наташа (В) Денис (Г) Ваня (Д) Таня
3. Какая цифра зашифрована значком, если +12 = + + + ?
(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 5 (Д) 6
4. Лабиринт устроен так, что кот может добраться до молока, а мышка - до сыра, но они не могут встретиться. Какая часть лабиринта закрыта квадратиком?
5. У стоножки Евы 100 ножек. Вчера она купила и надела 16 пар новых башмаков. Несмотря на это, 14 ножек остались босыми. Сколько ножек были обуты до того, как она купила башмаки?
(А) 27 (Б) 40 (В) 54 (Г) 70 (Д) 77
6. На рисунке показано, как цифра 4
отражается в двух зеркалах. Что будет видно на месте знака вопроса, если вместо цифры 4
взять цифру 6
?
7. Урок начался в 11:45 и длился 40 минут. Ровно в середине урока Вася
чихнул. В какой момент это произошло?
(А) 12: 00 (Б) 12: 05 (В) 12: 10 (Г) 12: 15 (Д)12: 20
8. За весь ноябрь 2009 года в Санкт-Петербурге солнце светило всего
13 часов. Сколько часов в течение этого месяца в городе не было
солнца?
(А) 287 (Б) 347 (В) 683 (Г) 707 (Д) 731
9. Сёма выписал все трехзначные числа, у которых средняя цифра равна 5, а сумма первой и последней равна 7. Сколько чисел он выписал?
(А) 2 (Б) 4 (В) 7 (Г) 8 (Д) 10
10. В магазине продаются модели машинок трех видов: по 15 руб., 21 руб. и 28 руб., а набор из трех таких машинок стоит 56 рублей. Мама обещала Пете купить все три модели. Сколько рублей можно сэкономить, если купить набор, а не все три машинки по отдельности?
(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 7 (Д) 8
Задачи, оцениваемые в 4 балла
11. У мухи 6 лапок, у паука - 8. Две мухи и три паука вместе имеют
столько же лапок, сколько 10 попугаев и
(А) 2 кошки (Б) 3 белки (В) 4 собаки (Г) 5 зайцев (Д) 6 лисиц
12. Ира, Катя, Аня, Оля и Лена учатся в одной школе. Две девочки учатся
в 3 а классе, три - в 3 б. Оля учится не вместе с Катей и не вместе
с Леной, Аня учится не вместе с Ирой и не вместе с Катей. Кто из девочек учится в 3 а классе?
(А) Аня и Оля (Б) Ира и Лена (В) Ира и Оля
(Г) Ира и Катя (Д) Катя и Лена
13. Конструкция на рисунке весит 128 граммов и находится в равновесии (вес горизонтальных планок и вертикальных нитей не учитывается). Сколько весит звездочка?
(А) 6 г (Б) 7 г (В) 8 г (Г) 16 г (Д) 20 г
14. Карл и Клара живут в многоэтажном доме. Клара живет на 12 этажей
выше, чем Карл. Однажды Карл пошел в гости к Кларе. Пройдя половину пути, он оказался на 8 этаже. На каком этаже живет Клара?
(А) 12 (Б) 14 (В) 16 (Г) 20 (Д) 24
15. Произведение 60 × 60 ×24 × 7 равняется
(А) числу минут в семи неделях (Б) числу часов в шестидесяти днях
(В) числу секунд в семи часах (Г) числу секунд в одной неделе
(Д) числу минут в двадцати четырех неделях
16. На рисунке справа изображена керамическая плитка. Какую картинку нельзя составить из четырех таких плиток?
17. Два года назад котам Тоше и Малышу вместе было 15 лет. Сейчас Тоше 13 лет. Через сколько лет Малышу будет 9 лет?
(А)1 (Б) 2 (В)3 (Г) 4 (Д)5
18. Что в миллион раз легче тонны?
(А) 1 ц (Б) 1 кг (В) 100 г (Г) 1 г (Д) 1 мг
19. В ребусе ААА-ВВ + С = 260 одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными - разные. Тогда сумма А + В + С равна
(А) 20 (Б) 14 (В) 12 (Г) 10 (Д) 7
20. Вместо звездочек Вася вписал такие числа, что суммы чисел в обеих
строчках стали одинаковы. Чему равна разность вписанных чисел?
| 1 | 23 | 47 | 72 | 43 | 7 | * |
| 11 | 33 | 37 | 62 | 53 | 17 | * |
(А) 10 (Б) 20 (В) 30 (Г) 40 (Д) они равны
Задачи, оцениваемые в 5 баллов
21. Из листа клетчатой бумаги Маша вырезала кусок, состоящий из целых клеточек. Она резала по сторонам клеточек, причем четыре отрезка, отмеченных на рисунке, оказались на границе вырезанного куска. Из какого наименьшего количества клеточек мог состоять этот кусок?
(А)13 (Б) 11 (В) 9 (Г) 8 (Д) 7
22. Катя выписала все числа от 1 до 1000 «змейкой» в таблицу с пятью столбцами (см. рисунок). Ее брат стер некоторые числа. Как могут выглядеть две соседние строки из получившейся таблицы?
23. Мама разрешает Пете играть в компьютерные игры только по понедельникам, пятницам и нечетным числам. Какое наибольшее число дней подряд Петя сможет играть?
(А)7 (Б) 6 (В)4 (Г)3 (Д)2
24. Сколько треугольников изображено на рисунке?
(А) 26 (Б) 42 (В) 50 (Г) 52 (Д)54
25. Учитель сказал, что в школьной библиотеке примерно 2000 книг, и предложил ребятам угадать точное количество книг. Аня назвала число 1995, Боря - 1998, Вика - 2009, Гена - 2010, а Дима - 2015. Тогда учитель сказал, что точно не угадал никто, а ошибки были такими: 12, 8, 7, 6 и 5 (возможно, в другом порядке). Кто из ребят оказался ближе всего к правильному ответу?
(А) Аня (Б) Боря (В) Вика (Г) Гена (Д) Дима
26. Знайка, Незнайка, Винтик и Шпунтик съели торт. Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим едокам, чтобы, «работая» вместе, съесть половину торта. Во сколько раз быстрее они съели бы торт, если бы ели его не по очереди, а все вместе?
(А) 2 (Б) 3 (В) 4 (Г) 5 (Д) 6
_____________________________________________________________________________
Время, отведенное на решение задач, - 75 минут!
Решение задач
Решения слишком простых задач не приведены. Бланк ответов можете найти в статье «Об олимпиаде Кенгуру».
Итак, сначала правильные варианты ответов:
2. Ясно, что у того у кого самый длинный шаг, сделал меньше всего шагов.
3. Цифра – это 0,1,2,3,4,…9.
Их всего 10 штук, так что, можно подобрать, если не просматривается никакая логика. А логика такова:
Какую цифру умножив на 4 можно получить 12 (или какую цифру сложив 4 раза можно получить 12). Конечно же 3. Значить искомая цифра больше 3, поскольку с левой стороны равенства стоит сумма +12 большее 12. Итак пробуем 4. И попадаем точно в 10-ку. Получаем равенство 4+12=4+4+4+4. Отсюда ясно, что ребенок, сразу не увидевший с какой цифры начать поиск решения, потеряет кучу времени на подбор значения. А ребенок, начавший подбор с цифры 4 нисколечко не потеряет свое драгоценное время.
5. 16*2=32 ноги обула вчера, купив 16 пар башмаков. 100-32-14=54 ноги были обуты до покупки.
7. 11ч45мин+20мин = 11ч45мин + 15мин + 5мин = 12ч5мин
8. В ноябре 30 дней, значит 30*24ч=720ч в ноябре. 720-13=707ч было пасмурным. Тут сложность лишь в правильном определении количества дней в месяце. Есть очень хороший метод определения на кулаке (легкий и быстрый). Его успешно запоминает даже ребенок 2 класса.
9. Числа следующие: 750, 651,552, 453, 354, 255, 156. Как видно их 7 штук. В таких задачах важно ребенка научить писать числа по порядку.
11. 2*6 +3*8=36. Затем (36-10*2)/4 (поскольку у всех перечисленных зверей по 4 ноги) = 16/4=4.
12. Из первой половины 3-го предложения можно придти к выводу: Катя и Лена учатся вместе. Со второй половины данного предложения узнаем, что: Оля и Аня учатся вместе, а Ира учится с Катей и Леной. Получается Аня и Оля учатся в 3а.
13. Сначала надо узнать сколько весит одна половина весов:
Теперь узнаем сколько весить эта половина весов:
Это будет 64/2=32 г.
Следующий участок:
Это будет 32/2 = 16 г.
Последний участок:
14. Половина из 12 этажей будет 6 этажей, то есть Карл пройдя 6 этажей оказался на 8 этаже. Отсюда видно, что Карл живет на 2 этаже (8-6=2), а Клара живет 2+12=14 этаж.
15. Будем анализировать справа налево. 7-это количество дней в одной неделе, 24 это количество часов в одном дне, 60 количество минут в одном часу, 60 количество секунд в одной минуте. Значит это количество секунд в одной неделе.
17. Два года назад: (13-2)+Малыш = 15 лет. Малыш = 15-11=4 года. Сейчас Малышу 4+2=6. Ему через 3 года будет 9 (9-6=3).
19. Поскольку ответ трехзначное число близкое к 300 логично будет предположить, что А это 3. Значит 333 – ВВ + С=260. 260 +40 будет 300, а если еще прибавить 30 будет 330. Получили число близкое к 333. Нужно проверить результат: 40+30=70, предположим, что В=7, ВВ=77. 333-77=256. Значит А=3, В=7, С=4. Их сумма: 3+7+4=14
20. Несложно заметить, что числа в каждой колонке отличаются на 10 единиц. Тут дети, которые начнут вычислять сумму скорее всего потеряют время. А дети увидевшие, что: 1 и 2 колонка первой строки меньше на 10 чем 1 и 2 колонка второй строки, а 3 и 4 колонка первой больше на 10 чем 3 и 4 второй выиграют во времени. Значит сравнивать (опять же не суммировать) нужно только 5 и 6 колонку: в 5 колонке первая строка меньше на 10, в 6 колонке опять же первая строка меньше на 10. Итого первая строка меньше чем вторая на 20. Вася значит вписал в первой строке 20, а во второй 0. Ответ: 20-0=20
21. Эту фигуру с наименьшим количеством клеток можно рисовать по разному, вот некоторые из них:
22. В этой задаче нужно понять в каком направлении идет ряд (слева направо или справа налево) в зависимости от цифр в разряде единиц.
Если в разряде единиц стоят цифры от 1 до 5 то ряд идет слева направо, если в разряде единиц цифры от 6 до 0 то – справа налево.
Теперь анализ анализируем варианты ответов. Вариант (А) 742 вроде стоит на своем месте, то есть в таблице все числа заканчивающиеся на 2 должны стоять на второй колонке. А вот 747 стоит не там, на его месте должен был стоять 749. Ребенок все время должен смотреть на таблицу и сравнивать разряды единиц и местоположение. Вот и вся хитрость. А если ребенок начнет считать 742, 743, 744 и т.п., скорее всего, запутается во всех этих вариантах или же потеряет свое драгоценное время. Вариант (Б) – не подходит, тут 542 больше 537 — нет возрастания. Хотя Разряды единиц стоят на своих местах. Вариант (В) и (Г) – никакое число не попало в свою клетку. Вариант (Д) – Числа стоят в своих клетках.
23. Между четвергом и пятницей 2 дня: суббота и воскресенье. Два дня подряд четными никак не может быть, а вот нечетными может, если это 31 число и первое число следующего месяца. Если в субботу 31 число, то в четверг будет 29 число. Мы и начнем с него. Он может играть в четверг (если это 29 число), затем играет в пятницу, затем в субботу (это 31 число), затем в воскресенье (это будет 1 число), затем в понедельник (это будет 2 число), затем 3-го числа во вторник. Получается 6 дней подряд может играть, если 29 число попадает на четверг.
24. Тут 26 маленьких треугольников. Поскольку рисунок симметричный можно считать половину (13) и умножить на 2. Теперь треугольники, состоящие из 4-х маленьких треугольников – их 16. Теперь треугольники из 9-ти маленьких- их 8 штук. Теперь треугольники из 16 маленьких – их 2 штуки. Всего получается 52 треугольника.
25. Тут нужно начинать с концов. Какой то из них должен дать самую большую разницу 12. Значит 1995+12=2007. Видно что не подходит. Разница между 2007 и 2009 всего лишь 2 года. Пробуем второй конец 2015-12=2003. Возможно книг в школе 2003. Итак, проверяем. 2003-1995=8 лет (есть такой вариант). 2003-1998=5 лет (тоже есть), 2009-2003=6 лет, 2010-2003=7 лет. Все верно. Ближе всех к 2003 был ответ 1998, а это сказал Боря.
26. Тут важно понять, что 3 человека едят половину торта. Значит половину торта нужно поделить на три куска. Следующую половину, также нужно поделить на 3 куска. Получается торт делится на 6 частей.
Если едят «все вместе», то едят сразу 4 куска. За это время, в случае «поочереди» один успеет съесть 1 кусок. Во втором подходе у «всех вместе» остался 2 куска, а их четверо. Кусков торта явно не хватает. Значит нужно поделить не на 6 частей, а на 12.
Первый подход: Пока вчетвером доедают 8 кусков торта (по два куска), 1 есть 2 куска.
Второй подход: Вчетвером доедают оставшиеся 4 куска (по одному куску), 1 успевает съесть только 1 кусок.
Значит: Пока вчетвером съели все 12 кусков, вдвоем успели только 3 куска. 12/3=4 . Справились в 4 раза быстрее.
Как быстрее определить количество кусков?
Количество кусков торта должно делиться на 4.
на 4 делятся: 4,8,12,..
4 и 8 не подойдет, поскольку половина торта должна делиться на 3 части. Половина 12 есть 6 , как раз делится на 3. Значит торт нужно поделить на 12 частей.
Конкурс «Кенгуру» проводится с 1994 года. Он возник в Австралии по инициативе известного австралийского математика и педагога Питера Холлорана. Конкурс рассчитан на самых обыкновенных школьников и поэтому быстро завоевал симпатии и ребят, и учителей. Задания конкурса составлены так, чтобы каждый ученик нашёл для себя интересные и доступные вопросы. Ведь главная цель этого соревнования — заинтересовать ребят, вселить в них уверенность в своих возможностях, а девиз— «Математика для всех».
Сейчас в нем участвует около 5 миллионов школьников во всем мире. В России число участников превысило 1,6 миллиона человек. В Удмуртской Республике в «Кенгуру» ежегодно участвует 15-25 тысяч школьников.
В Удмуртии конкурс проводится Центром образовательных технологий «Другая школа».
Если вы находитесь в другом регионе РФ, обратитесь в центральный оргкомитет конкурса — mathkang.ru
Порядок проведения конкурса
Конкурс проходит в тестовой форме в один этап без всякого предварительного отбора. Конкурс проводится в школе. Участникам вручаются задания, содержащие 30 задач, где каждая задача сопровождается пятью вариантами ответа.
На всю работу дается 1 час 15 минут чистого времени. Затем бланки с ответами сдаются и направляются в Оргкомитет для централизованной проверки и обработки.
После проверки каждая школа, принявшая участие в конкурсе, получает итоговый отчет, с указанием полученных баллов и места каждого ученика в общем списке. Всем участникам выдаются сертификаты, а победители в параллели получают дипломы и призы, самые лучшие — приглашаются в математические лагеря.
Документы для организаторов
Техническая документация:
Инструкция по проведению конкурса для учителей.
Форма списка участников конкурса "КЕНГУРУ" для школьных организаторов.
Форма Уведомления об информированном согласии участников конкурса (их законных представителей) на обработку персональных данных (заполняется школой). Их заполнение необходимо в связи с тем, что персональные данные участников конкурса автоматически обрабатываются при помощи компьютерной техники.
Для организаторов, желающих дополнительно подстраховаться на предмет обоснованности сбора огвзноса с участников, предлагаем форму Протокола собрания родительской общественности , решением которого еще и со стороны родителей будут подтверждены полномочия школьного организатора. Особенно это актуально для тех, кто планирует действовать как физическое лицо.
Конструкции и логические рассуждения.
Задача 19.
Извилистый берег (5 баллов
)
.
На рисунке - остров, на котором растёт пальма и сидят несколько лягушек. Остров ограничен береговой линией. Сколько лягушек сидят НА ОСТРОВЕ?
Варианты ответа:
А:
5; Б:
6; В:
7; Г:
8; Д:
10;
Решение
При решении этой задачи на компьютере можно использовать инструмент "Заливка". Теперь наглядно видно, что на острове сидят 6 лягушек.
Сделать что-то подобное этой заливке можно было и карандашом на листочке условий. Но есть ещё один интересный способ, позволяющий определить, находится ли точка внутри замкнутой несамопересекающейся кривой или снаружи.
Соединим эту точку (лягушку) с точкой, о которой мы точно знаем, что она находится снаружи кривой. Если соединяющая линия будет иметь нечётное количество пересечений с кривой, то наша точка лежит внутри (т.е. на острове), а если чётное - то снаружи (на воде)
Правильный ответ: Б 6
Задача 20.
Числа на мячах (5 баллов
)
.
У Мудрагелика 10 мячей, пронумерованных от 0 до 9. Он разделил эти мячи между тремя своими друзьями. Ласунчик получил три мяча, Красунчик - четыре, Сонько
- три. Потом Мудрагелик попросил каждого их своих друзей перемножить числа на полученных мячах. Ласунчик получил произведение, равное 0, Красунчик - 72, а Сонько
- 90. Все кенгурята правильно перемножили числа. Чему равна сумма чисел на тех мячах, которые получил Ласунчик?
Варианты ответа:
А: 11; Б: 12; В: 13; Г: 14; Д: 15;
Решение
Понятно, что среди трёх мячей, которые получил Ласунчик, есть число 0. Осталось найти ещё 2 числа. У Красунчика целых 4 мяча, поэтому проще будет сначала найти, какие три числа от 1 до 9 нужно перемножить, чтобы получить 90, как у Сонька
? 90 = 9х10 = 9х2х5. Это будет единственным способом представить 90 в виде произведения чисел на мячах. Ведь если бы у Сонька
один из мячей был с единицей, то требовалось бы 90 разбить в произведение двух множителей, меньших 10-ти, что невозможно.
Итак, у Ласунчика есть 0 и два других мяча, у Сонька
мячи 2, 5, 9.
Четыре мяча Красунчика дают в произведении 72. Давайте сначала 72 разобьём в произведение двух множителей, чтобы потом каждый из этих множителей разбить ещё на 2:
72 = 1х72 = 2х36 = 3х24 = 4х18 = 6х12 = 8х9
Из этих вариантов сразу вычёркиваем:
1х72 - потому, что 1 мы не разобьём в 2 разных множителя
2х36 - потому, что 2 разбивается только как 1х2, но мяча с числом 2 у Красунчика точно нет
8х9 - потому, что 9 разбивается как 1х9 (его не разбить как 3х3, так как двух мячей с тройками нет), а девятки у Красунчика тоже нет
Остаются варианты:
3х24 - разбивается в 4 множителя как 1х3х4х6
4х18 - разбивается в 4 множителя как 1х4х3х6, то есть так же, как и первый вариант
6х12 - разбивается как 1х6х3х4 (ведь, напомним, мяча с двойкой нет).
Итак, для набора мячей Красунчика есть единственный вариант. У него мячи 1, 3, 4, 6.
Для Ласунчика, кроме мяча с числом 0, остаются мячи 7 и 8. Их сумма равна 15
Правильный ответ: Д 15
Задача 21.
Верёвки (5 баллов
)
.
Три верёвки прикреплены к доске так, как показано на рисунке. Вы можете прикрепить к ним ещё три и получить цельную петлю. Какие из верёвок, приведённых в ответах, дадут возможность это сделать?
По данным группы "Кенгуру" ВКонтакте , эту задачу правильно решили всего 14,6% участников математической олимпиады из третьего и четвёртого классов.
Варианты ответа:
А:
; Б:
; В:
; Г:
; Д:
;
Решение
Эту задачу можно решать, мысленно прикладывая картинку к картинке и внимательно проверяя соединения. А можно поступить чуть-чуть оптимальнее. Перенумеруем верёвки и запишем строку 123132 - это окончания петель на данном в условии рисунке. Теперь над концами верёвок в вариантах ответов тоже поподписываем эти числа.
Теперь легко видеть, что в варианте А верёвка 2 соединяется сама с собой. В варианте Б сама с собой соединяется верёвка 1. А вот в варианте В все верёвки соединяются между собой в одну большую петлю.
Правильный ответ: В
Задача 22.
Рецепт эликсира (5 баллов
)
.
Чтобы приготовить эликсир, надо смешать пять видов ароматных трав, масса которых определяется равновесием весов, изображённых на рисунке (массой самих весов мы пренебрегаем). Знахарь знает, что в эликсир нужно положить 5 граммов шалфея. Сколько граммов ромашки он должен взять?
Варианты ответа:
А:
10 г; Б:
20 г; В:
30 г; Г:
40 г; Д:
50 г;
Решение
Базилика нужно взять столько же, сколько и шалфея, то есть тоже 5 граммов. Мяты столько, сколько шалфея и базилика вместе (массу самих весов мы по условию не учитываем). Значит, мяты надо брать 10 граммов. Мелисы надо брать столько, сколько мяты, шалфея и базилика, то есть 20г. И ромашки - столько, сколько всех предыдущих трав, 40 г.
Правильный ответ: Г 40г
Задача 23.
Невиданные звери (5 баллов
)
.
Том нарисовал на карточках свинью, акулу и носорога и разрезал каждую карточку так, как показано на рисунке. Теперь он может складывать разных "животных", соединяя одну голову, одну среднюю и одну заднюю часть. Сколько разных фантастических существ может собрать Том?
Варианты ответа:
А:
3; Б:
9; В:
15; Г:
27; Д:
20;
Решение
Это классическая задача на комбинаторику. тем хороши, что их можно (и нужно) решать не механически применяя правила вычисления количеств перестановок и сочетания, а рассуждая. Сколько разных вариантов есть для головы животного? Три варианта. А для средней части? Тоже три. Три варианта есть и для хвоста. Значит, всего разных вариантов будет 3х3х3 = 27. Перемножаем эти варианты потому, что к каждой голове можно прилепить любое туловище и любой хвост, так что каждый сегмент животного увеличивает варианты комбинаций именно в 3 раза.
Кстати, в условии есть слово "фантастических". Но ведь комбинируя любые головы, туловища и хвосты, мы будем получать и реальных свинью, акулу и носорога. Так что правильным ответом должно было быть 24 фантастических животных и три реальных. Однако, видимо, опасаясь разных толкований условия, авторы не включили вариант 24 в ответы. Поэтому выбираем ответ Г, 27. Да и кто знает, вдруг на рисунках тоже изображены фантастическая говорящая свинья, фантастическая летающая акула и фантастический носорог, доказавший теорему Ферма? :)
Правильный ответ: Г 27
Задача 24.
Кенгурята-пекари (5 баллов
)
.
Мудрагелик, Ласунчик, Красунчик, Хитрун и Сонько пекли пирожные в субботу и воскресенье. За это время Мудрагелик спёк 48 пирожных, Ласунчик – 49, Красунчик – 50, Хитрун – 51, Сонько – 52. Оказалось, что в воскресенье каждый кенгурёнок спёк пирожных больше, чем в субботу. Один из них спёк вдвое больше, один - в 3 раза, один – в 4 раза, один – в 5 раз, а один – в 6 раз.
Кто из кенгурят спёк у субботу больше всего пирожных?
Варианты ответа:
А:
Мудрагелик; Б:
Ласунчик; В:
Красунчик; Г:
Хитрун; Д:
Сонько;
Решение
Давайте сначала подумаем, какую информацию нам даёт тот факт, что кто-то спёк в воскресенье пирожных ровно в 2 раза больше, чем в субботу? Если в субботу кенгурёнок спёк сколько-то пирожных, то в воскресенье - столько и ещё столько. Значит, всего за два дня он спёк втрое (1+2 = 3) больше пирожных, чем в субботу.
Ну и что? А то, что, например, 49 или пирожных он не мог спечь, так как эти .
Выходит, у того, кто в воскресенье спёк втрое больше пирожных, чем в субботу, общее их число должно белиться на 4 = 1+3. Ещё у кого-то - на 5, у кого-то на 6 и у кого-то на 7.
Вырисовывается принцип решения этой задачи. Вот у нас пять чисел: 48, 49, 50, 51, 52. На 3 из них делятся 2 числа (48 и 51) и на 4 - тоже 2 числа (48 и 52). Зато на 5 делится только одно число, 50. Выходит, тот, кто спёк 50 пирожков, в воскресенье спёк в 4 раза их больше, чем в субботу.
На 6 тоже делится только одно число, это 48. Получается, кенгурёнок, который спёк всего 48 пирожных, пёк их так: 8 в субботу и 40 в воскресенье. Ну а дальше просто. Мы получаем, что:
Мудрагелик спёк 48 пирожных: 8 в субботу и 40 в воскресенье (в 5 раз больше)
Ласунчик спёк 49 пирожных: 7 в субботу и 42 в воскресенье (в 6 раз больше)
Красунчик спёк 50 пирожных: 10 в субботу и 40 в воскресенье (в 4 раза больше)
Хитрун спёк 51 пирожное: 17 в субботу и 34 в воскресенье (в 2 раза больше)
Сонько спёк 52 пирожных: 13 в субботу и 39 в воскресенье (в 3 раза больше)
Выходит, в субботу больше всего пирожных спёк Хитрун.
Правильный ответ: Г
Хитрун
Миллионам ребят во многих странах мира давно уже не надо объяснять, что такое «Кенгуру»
,
- это массовый международный математический конкурс-игра под девизом - "Математика для всех!"
.
Главная цель конкурса – привлечь как можно больше ребят к решению математических задач, показать каждому школьнику, что обдумывание задачи может быть делом живым, увлекательным, и даже веселым. Цель эта достигается вполне успешно: например, в 2009 году в конкурсе участвовало более 5,5 миллионов ребят из 46 стран. А количество участников конкурса в России превысило 1,8 миллиона!
Конечно же, название конкурса связано с далекой Австралией. Но почему? Ведь массовые математические соревнования проводятся во многих странах уже не одно десятилетие, а Европа, в которой зародилось новое соревнование, так далека от Австралии! Дело в том, что в начале 80-х годов ХХ столетия известный австралийский математик и педагог Питер Холлоран (1931 – 1994) придумал два очень существенных новшества, которые заметно изменили традиционные школьные олимпиады. Он разделил все задачи олимпиады на три категории сложности, причем простые задачи должны были быть доступны буквально каждому школьнику. А кроме того, задания предлагались в форме теста с выбором ответов, ориентированного на компьютерную обработку результатов Наличие простых, но занимательных вопросов обеспечило широкий интерес к конкурсу, а компьютерная проверка позволила оперативно обрабатывать большое количество работ.
Новая форма соревнования оказалась настолько удачной, что в середине 80-х годов в нем участвовало около 500 тысяч австралийских школьников. В 1991 году группа французских математиков, опираясь на австралийский опыт, провела аналогичное соревнование во Франции. В честь австралийских коллег соревнование получило имя «Кенгуру». Чтобы подчеркнуть занимательность заданий, его стали называть конкурсом-игрой. И еще одно отличие – участие в конкурсе стало платным. Плата очень небольшая, но в результате конкурс перестал зависеть от спонсоров, а значительная часть участников стала получать призы.
В первый же год в этой игре приняло участие около 120 тысяч французских школьников, а вскоре число участников выросло до 600 тысяч. С этого началось быстрое распространение конкурса по странам и континентам. Сейчас в нем участвует около 40 стран Европы, Азии и Америки, причем в Европе гораздо проще перечислить страны, которые не участвуют в конкурсе, чем те, где он проходит уже много лет.
В России конкурс «Кенгуру» впервые был проведен в 1994 году и с тех пор количество его участников стремительно растет. Конкурс входит в программу «Продуктивные игровые конкурсы» Института продуктивного обучения под руководством академика РАО М.И. Башмакова и проводится при поддержке Российской академии образования, Санкт-Петербургским Математическим обществом и Российским государственным педагогическим университетом им. А.И. Герцена. Непосредственную организационную работу взял на себя Центр технологии тестирования «Кенгуру плюс».
В нашей стране давно сложилась четкая структура математических олимпиад, охватывающих все регионы и доступная каждому школьнику, интересующемуся математикой. Однако, эти олимпиады, начиная с районной и кончая Всероссийской, нацелены на то, чтобы из учеников, уже увлеченных математикой, выделить самых способных и одаренных. Роль таких олимпиад в формировании научной элиты нашей страны огромна, но подавляющее большинство школьников остается в стороне от них. Ведь задачи, которые там предлагаются, как правило, рассчитаны на тех, кто уже интересуется математикой и знаком с математическими идеями и методами, выходящими за рамки школьной программы. Поэтому конкурс «Кенгуру», обращенный к самым обыкновенным школьникам, быстро завоевал симпатии и ребят, и учителей.
Задания конкурса составлены так, чтобы каждый ученик, даже тот, кто недолюбливает математику, а то и побаивается ее, нашел для себя интересные и доступные вопросы. Ведь главная цель этого соревнования – заинтересовать ребят, вселить в них уверенность в своих возможностях, а его девиз – «Математика для всех».
Опыт показал, что ребята с удовольствием решают задачи конкурса, которые удачно заполняют вакуум между стандартными и часто скучными примерами из школьного учебника и трудными, требующими специальных знаний и подготовки, задачами городских и районных математических олимпиад.