Перейдем к вопросу о сглаживании временных рядов экономических показателей. Очень часто уровни рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов. Таким образом, сглаживание можно рассматривать как устранение случайной составляющей t из модели временного ряда.
Самым простым методом механического сглаживания является метод простой скользящей средней. Сначала для временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n определяется интервал сглаживания т (т < п). Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим; интервал сглаживания уменьшают, если нужно сохранить более мелкие колебания. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным. Для первых т уровней временного ряда вычисляется их средняя арифметическая; это будет сглаженное значение уровня ряда, находящегося в середине интервала сглаживания. Затем интервал сглаживания сдвигается на один уровень вправо, повторяется вычисление средней арифметической и т.д.
Для
вычисления сглаженных уровней ряда
применяется
формула
при
нечетном m
;
для четных т формула усложняется.
В результате такой процедуры получаются п - т + 1 сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются).
Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаживания i -го уровня используются значения только предшествующих уровней ряда (i -1, i -2,…), взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.
Если для исходного временного ряда y 1 , y 2 , y 3 ,…, y n соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через S t , t = 1,2, …, п, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле
здесь S 0 – величина, характеризующая начальные условия.
В практических задачах обработки экономических временных рядов рекомендуется выбирать величину параметра сглаживания в интервале от 0,1 до 0,3.
Пример 4.4. Вернемся к примеру 1, в котором рассматриваются квартальные объемы продаж компании «Lewplan». Мы уже выяснили, что этим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы продаж можно выразить следующим образом:
Y = U + V + E.
Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользуемся методом скользящей средней. Просуммировав первые четыре значения, получим общий объем продаж в 1998 г. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти средний балл продаж в каждом квартале 1998 г., т.е.
(239
+ 201 +182 + 297)/4 = 229,75;
(201+182+297+324)/4
и т. д.
Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку представляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами II и III. Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно рассчитать средние квартальные значения на промежутке апрель – март 1998 (251), июль – июнь 1998 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет генерировать скользящие средние по четырем точкам для исходного множества данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет наилучшую оценку искомого тренда.
Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:
Y – U = V + E .
К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результате расчета средних по четырем точкам, относятся к нескольким иным моментам времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет собой точку, совпадающую с серединой 1998 г., т.е. лежит в центре промежутка фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка, равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же требуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем же интервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезонализированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних для каждой пары значений. Найдем среднюю из первой оценок, центрируя их на июль – сентябрь 1998 г., т.е.
(229,75 + 251)/2 = 240,4.
Это и есть десезонализированная средняя за июль – сентябрь 1999 г. Эту десезонализированную величину, которая называется центрированной скользящей средней , можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль – сентябрь 1998 г., равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за первые два или последние два квартала временного ряда. Результаты этих расчетов приведены в табл.4.5.
Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и тоже число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год.
Таблица 4.5. Оценка сезонной компоненты
|
Объем продаж Y , тыс. шт. |
за четыре квартала |
Скользящая средняя за четыре квартала |
Центрированная скользящая средняя U |
сезонной компоненты Y - U = V + E |
|
|
Январь-март 1998 | |||||
|
Апрель-июнь | |||||
|
Июль-сентябрь | |||||
|
Октябрь-декабрь | |||||
|
Январь-март 1999 | |||||
|
Апрель-июнь | |||||
|
Июль-сентябрь | |||||
|
Октябрь-декабрь | |||||
|
Январь-март 2000 | |||||
|
Апрель-июнь | |||||
|
Июль-сентябрь | |||||
|
Октябрь-декабрь | |||||
|
Январь-март 2001 |
Таблица 4.6. Расчет средних значений сезонной компоненты
|
Рассчитываемые компоненты |
Номер квартала |
|||||
|
Среднее значение | ||||||
|
Оценка сезонной компоненты |
Сумма = -0,2 |
|||||
|
Скорректированная сезонная компонента 1 | ||||||
Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 4.5 эти оценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама процедура приведена в табл. 4.6.
Значение сезонной компоненты еще раз подтверждает наши выводы, сделанные в примере 4.1 на основе анализа диаграммы. Объемы продаж за два зимних квартала превышают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы продаж за два летних периода ниже средних на 21 и 62 тыс.шт. соответственно.
Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариации за любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезона выступают дни недели, для элиминирования влияния ежедневной сезонной компоненты также рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта скользящая средняя представляет собой значение тренда в середине недели, т.е. в четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирования отпадает.
Углубленный анализ временных рядов требует использования более сложных методик математической статистики. При наличии в динамических рядах значительной случайной ошибки (шума) применяют один из двух простых приемов - сглаживание или выравнивание путем укрупнения интервалови вычисления групповых средних. Этот метод позволяет повысить наглядность ряда, если большинство «шумовых» составляющих находятся внутри интервалов. Однако, если «шум» не согласуется с периодичностью, распределение уровней показателей становится грубым, что ограничивает возможности детального анализа изменения явления во времени.
Более точные характеристики получаются, если используют скользящие средние - широко применяемый способ для сглаживания показателей среднего ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к средним в определенном интервале времени. В этом случае интервал времени при вычислении каждого последующего показателя как бы скользит по временному ряду.
Применение скользящего среднего полезно при неопределенных тенденциях динамического ряда или при сильном воздействии на показатели циклически повторяющихся выбросов (резко выделяющиеся варианты или интервенция).
Чем больше интервал сглаживания, тем более плавный вид имеет диаграмма скользящих средних. При выборе величины интервала сглаживания необходимо исходить из величины динамического ряда и содержательного смысла отражаемой динамики. Большая величина динамического ряда с большим числом исходных точек позволяет использовать более крупные временные интервалы сглаживания (5, 7, 10 и т.д.). Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания не сезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания принимают равной 3 или 5. https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - отличная возможность выбрать авиакомпанию на перелет из Москвы в Нью-Йорк
Приведем пример вычисления скользящего среднего числа хозяйств с высокой урожайностью (более 30 ц/га) (табл. 10.3).
Таблица 10.3 Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов искользящим средним
|
Учетный год |
Число хозяйств с высокой урожайностью |
Суммы за три года |
Скользящие за три года |
Скользящие средние |
|
90,0 |
89,7 |
|||
| 1984 |
88,7 |
|||
|
87,3 |
||||
|
87,3 |
87,0 |
|||
|
86,7 |
||||
|
83,0 |
||||
|
83,0 |
82,3 |
|||
|
82,3 |
||||
|
82,6 |
||||
|
82,7 |
82,7 |
|||
Примеры вычисления скользящего среднего:
1982 г.(84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;
1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;
1984 г.(92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;
1985 г.(83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.
Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат - число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.
Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.
Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:
S t = α∙X t + (1 - α ) ∙S t - 1 ,
где S t - каждое новое сглаживание в момент времени t ; S t - 1 - сглаженное значение в предыдущий момент времени t -1; X t - фактическое значение ряда в момент времени t ; α - параметр сглаживания.
Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметраможно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel . Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.
таблице 4.
Таблица 4.
Для данного ряда:К=8, L=-8. | ||||||||||||||||||||||||||
8 3.703 3,46 | ||||||||||||||||||||||||||
Находим теоретические значения характеристики с (n-2) степенями |
||||||||||||||||||||||||||
t 0,95,n 2=2,365, | т.е. с вероятностью | утверждать, что |
||||||||||||||||||||||||
имеется тенденция в дисперсии (t K t теор ) и имеется тенденция в среднем, так какt L t теор . Следовательно, можно говорить о наличии тренда во временном
Метод средних
5.3. Методы механического сглаживания временного ряда
Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при
этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четкого выявления тенденции развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых
моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов.
Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.
Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:
1) механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с
использованием фактических значений соседних уровней.
2) аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной
между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных
колебаний;
Суть методов механического сглаживания заключается в следующем.
Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине
Метод простой скользящей средней.
Самый простой метод сглаживания - скользящее среднее, в котором
дних членов, где m - ширина интервала сглаживания. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в интервал сглаживания.
Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие колебания, интервал сглаживания уменьшают. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным.
Для вычисления сглаженных уровней ряда Y t применяется формула:
Где p m 1 (при нечетномт); | ||||
В результате такой процедуры получаются (n-m+1 )сглаженных значений уровней ряда; при этом первыер и последниер уровней ряда теряются (не сглаживаются). -
При четных значениях т, после процедуры сглаживания обычно поводят центрирование полученного ряда (находят средние значения двух последовательных скользящих средних).
Данный метод применим применим лишь для рядов, имеющих линейную
тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям.
Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить волны, то предпочтительной является взвешенная
скользящая средняя. При построении взвешенной скользящей средней на
каждом интервале сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле взвешенной средней арифметической:
y tw i | |||||
где w i - весовые коэффициенты, определяемы методом наименьших
квадратов, при этом выравнивание на каждом интервале сглаживания осуществляется чаще всего с применением полиномов второго или третьего порядков11 .Например, весовые коэффициенты для интервала 5 будут
следующие: 35 1 [ 3, 12, 17, 12, 3] , а для интервала 7: 21 1 [ 2, 3, 6, 7, 6, 3, 2]
Пример . Задан временной ряд объема выпуска продукции (в тыс. руб). Уровни ряда Y (t ) приведены в таблице 5.
Выберем интервал сглаживания m=3 и проведем сглаживание простой скользящей средней (третья строка таблицы) После сглаживания явно видна возрастающая тенденция.
11 Михтарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика.: учеб./ под ред. Михтарян В.С. М.: ООО
«Проспект»,2008 , стр. 293
Таблица 5 |
||||||||||||||||||
S(t)ср | ||||||||||||||||||
S(t)вз | ||||||||||||||||||
интервал сглаживания | проведем | сглаживание |
||||||||||||||||
взвешенной | скользящей средней на основе полинома второй степени |
|||||||||||||||||
(четвертая | таблицы), используя приведенные | выше весовые |
||||||||||||||||
коэффициенты.
Метод экспоненциального сглаживания.
При исследовании экономических данных иногда важным является влияние на процесс более поздних наблюдений. Этот вопрос решает метод
экспоненциального сглаживания. В этом случае текущее значение временного
ряда сглаживается с учетом сглаживающей константы (веса), обычно
обозначаемой. Расчет проводится по следующей формуле:
S t Y t (1) S t 1 , (5.4),
Рассматривая рекуррентный процесс разложения для величин S t 1 ,S t 2 и
т.д. по формуле (5.4), получим:
) j Y t j (1)t Y 0 | |||
S t(1 |
|||
где j – число периодов отставания от моментаt . Согласно формуле (5.5)
относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение.
Отсюда и название данного метода.
При практическом использовании метода возникают проблемы выбора параметра и определения начального уровня Y 0 . Чем больше значение
параметра, тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней В каждом конкретном случае необходимо выбирать наиболее приемлемое
значение. Чаще всего это делается на основе проверки нескольких значений.
Задачу выбора начального значения Y 0 решают следующим образом: заY 0
принимается первое значение временного ряда или среднее арифметическое
нескольких первых членов ряда.
Рассмотрим предыдущий пример. Проведем экспоненциальное
сглаживание временного ряда (третья строка табли цы)
Первое сглаженное значение равняется первому уровню ряда.. Следующее сглаженное значение рассчитываем согласно формуле (5.3), где
16.02.15 Виктор Гаврилов
38133 0
Временным рядом называется последовательность значений, изменяемых во времени. О некоторых простых, но эффективных подходах к работе с подобными последовательностями я попробую рассказать в данной статье. Примеров таких данных можно встретить очень много – котировки валют, объемы продаж, обращения клиентов, данные в различных прикладных науках (социология, метеорология, геология, наблюдения в физике) и многое другое.
Ряды являются распространенной и важной формой описания данных, так как позволяют наблюдать всю историю изменения интересующего нас значения. Это даёт нам возможность судить о «типичном» поведении величины и об отклонениях от такого поведения.
Передо мной встала задача выбрать набор данных, на котором можно было бы наглядно продемонстрировать особенности временных рядов. Я решил воспользоваться статистикой пассажиропотока на международных авиалиниях, поскольку этот набор данных весьма нагляден и стал своего рода стандартным (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat , источник Time Series Data Library, R. J. Hyndman). Ряд описывает количество пассажиров международных авиалиний в месяц (в тысячах) за период с 1949 по 1960 года.
Поскольку у меня всегда под рукой , в которой есть интересный инструмент « » для работы с рядами, я воспользуюсь именно им. Перед импортом данных в файл нужно добавить столбец с датой, чтобы была привязка значений ко времени, и столбец с именем ряда для каждого наблюдения. Ниже видно, как выглядит мой исходный файл, который я импортировал в Prognoz Platform с помощью мастера импорта непосредственно из инструмента анализа временных рядов.
Первое, что мы обычно делаем с временным рядом, это отображаем его на графике. Prognoz Platform позволяет построить график, просто «перетащив» ряд в рабочую книгу.
Временной ряд на графике
Символ ‘M’ в конце имени ряда означает, что ряд имеет месячную динамику (интервал между наблюдениями равен одному месяцу).
Уже из графика мы видим, что ряд демонстрирует две особенности:
- тренд – на нашем графике это долгосрочный рост наблюдаемых значений. Видно, что тренд практически линейный.
- сезонность – на графике это периодические колебания величины. В следующей статье на тему временных рядов мы узнаем, как можно вычислить период.
Наш ряд достаточно «аккуратный», однако часто встречаются ряды, которые помимо двух описанных выше характеристик демонстрируют ещё одну – наличие «шума», т.е. случайных вариаций в той или иной форме. Пример такого ряда можно увидеть на графике ниже. Это синусоидальный сигнал, смешанный со случайной величиной.
При анализе рядов нас интересует выявление их структуры и оценка всех основных компонентов – тренда, сезонности, шума и других особенностей, а также возможность строить прогнозы изменения величины в будущих периодах.
При работе с рядами наличие шума часто затрудняет анализ структуры ряда. Чтобы исключить его влияние и лучше увидеть структуру ряда, можно использовать методы сглаживания рядов.
Самый простой метод сглаживания рядов – скользящее среднее. Идея заключается в том, что для любого нечётного количества точек последовательности ряда заменять центральную точку на среднее арифметическое остальных точек:
где x i – исходный ряд, s i – сглаженный ряд.
Ниже можно увидеть результат применения данного алгоритма к двум нашим рядам. Prognoz Platform по умолчанию предлагает использовать сглаживание с размером окна в 5 точек (k в нашей формуле выше будет равно 2). Обратите внимание, что сглаженный сигнал уже не так подвержен влиянию шума, однако вместе с шумом, естественно, пропадает и часть полезной информации о динамике ряда. Также видно, что у сглаженного ряда отсутствуют первые (и также последние) k точек. Это связано с тем, что сглаживание выполняется для центральной точки окна (в нашем случае для третьей точки), после чего окно сдвигается на одну точку, и вычисления повторяются. Для второго, случайного ряда, я использовал сглаживание с окном равным 30, чтобы лучше выявить структуру ряда, так как ряд «высокочастотный», точек очень много.
Метод скользящего среднего имеет определённые недостатки:
- Скользящее среднее неэффективно в вычислении. Для каждой точки среднее необходимо перевычислять по новой. Мы не можем переиспользовать результат, вычисленный для предыдущей точки.
- Скользящее среднее нельзя продлить на первые и последние точки ряда. Это может вызвать проблему, если нас интересуют именно эти точки.
- Скользящее среднее не определено за пределами ряда, и как следствие, не может использоваться для прогнозирования.
Экспоненциальное сглаживание
Более продвинутый метод сглаживания, который также можно использовать для прогнозирования – экспоненциальное сглаживание, также иногда называемое методом Хольта-Уинтерса (Holt-Winters) в честь имён его создателей.
Существует насколько вариантов данного метода:
- одинарное сглаживание для рядов, у которых нет тренда и сезонности;
- двойное сглаживание для рядов, у которых есть тренд, но нет сезонности;
- тройное сглаживание для рядов, у которых есть и тренд, и сезонность.
Метод экспоненциального сглаживания вычисляет значения сглаженного ряда путём обновления значений, рассчитанных на предыдущем шаге, используя информацию с текущего шага. Информация с предыдущего и текущего шагов берётся с разными весами, которыми можно управлять.
В простейшем варианте одинарного сглаживания соотношение такое:
Параметр α определяет соотношение между несглаженным значением на текущем шаге и сглаженным значением с предыдущего шага. При α =1 мы будем брать только точки исходного ряда, т.е. никакого сглаживания не будет. При α =0 ряд мы будем брать только сглаженные значения с предыдущих шагов, т.е. ряд превратится в константу.
Чтобы понять, почему сглаживание называется экспоненциальным, нам нужно раскрыть соотношение рекурсивно:
Из соотношения видно, что все предыдущие значения ряда вносят вклад в текущее сглаженное значение, однако их вклад угасает экспоненциально за счёт роста степени параметра α .
Однако, если в данных есть тренд, простое сглаживание будет «отставать» от него (либо придётся брать значения α близкими к 1, но тогда сглаживание будет недостаточным). Нужно использовать двойное экспоненциальное сглаживание.
Двойное сглаживание использует уже два уравнения – одно уравнение оценивает тренд как разницу между текущим и предыдущим сглаженным значениями, потом сглаживает тренд простым сглаживанием. Второе уравнение выполняет сглаживание как в случае простого варианта, но во втором слагаемом используется сумма предыдущего сглаженного значения и тренда.
Тройное сглаживание включает ещё один компонент – сезонность, и использует ещё одно уравнение. При этом различаются два варианта сезонного компонента – аддитивный и мультипликативный. В первом случае амплитуда сезонного компонента постоянна и со временем не зависит от базовой амплитуды ряда. Во втором случае амплитуда меняется вместе с изменением базовой амплитуды ряда. Это как раз наш случай, как видно из графика. С ростом ряда амплитуда сезонных колебаний увеличивается.
Так как наш первый ряд имеет и тренд, и сезонность, я решил подобрать параметры тройного сглаживания для него. В Prognoz Platform это довольно просто сделать, потому что при обновлении значения параметра платформа сразу же перерисовывает график сглаженного ряда, и визуально можно сразу увидеть, насколько хорошо он описывает наш исходный ряд. Я остановился на следующих значениях:
Как я вычислил период, мы рассмотрим в следующей статье о временных рядах.
Обычно в качестве первых приближений можно рассматривать значения между 0,2 и 0,4. Prognoz Platform также использует модель с дополнительным параметром ɸ , который дэмпфирует тренд так, что он приближается к константе в будущем. Для ɸ я взял значение 1, что соответствует обычной модели.
Также я сделал прогноз значений ряда данным методом на последние 2 года. На рисунке ниже я пометил точку начала прогноза, проведя через неё черту. Как видно, исходный ряд и сглаженный весьма неплохо совпадают, в том числе и на периоде прогнозирования – неплохо для такого простого метода!
Prognoz Platform также позволяет автоматически подобрать оптимальные значения параметров, используя систематический поиск в пространстве значений параметров и минимизируя сумму квадратов отклонений сглаженного ряда от исходного.
Описанные методы весьма просты, их легко применять, и они являются хорошей отправной точкой для анализа структуры и прогнозирования временных рядов.
Еще больше о временных рядах читайте в следующей статье.
Боярышник обыкновенный Боярышник обыкновенный Научная классификация Царство: Растения … Википедия
Экспоненциальное сглаживание метод математического преобразования используемый при прогнозировании временных рядов … Википедия
Индикатор Стохастик - (Stochastic Oscillator) Стохастический осциллятор, описание Stochastic, версии трендового индикатора Stochastic, Торговые сигналы индикатора Стохастик Добавление индикатора Stochastics на график торгового терминала Metatrader (MT), настройка… … Энциклопедия инвестора
Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1. Земледелие. 2.… …
I КАРТА ЯПОНСКОЙ ИМПЕРИИ. Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. Климат. 5. Растительность. 6. Фауна. II. Население. 1. Статистика. 2. Антропология. III. Экономический очерк. 1 … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
I Урал территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… …
Схизейные травянистые, реже лиановидные папоротники, преимущественно тропические и субтропические. Лишь немногие виды встречаются в умеренных областях Северной Америки и Японии, Чили, Новой Зеландии, Тасмании и Южной Африки. Схизейные,… … Биологическая энциклопедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Поза (значения). Поза (из фр. pose через немецкий, ранее из лат. pono (супин positum) «класть, ставить») положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и… … Википедия
Поза (лат. positum класть, ставить; fr: pose) положение, принимаемое человеческим телом, положение тела, головы и конечностей по отношению к друг другу. Содержание 1 Общая характеристика позы … Википедия
Урал, территория, расположенная между Восточно Европейской и Западно Сибирской равнинами и вытянутая с С. на Ю. от Сев. Ледовитого океана до широтного участка р. Урал ниже г. Орска. Основной частью её является Уральская горная система,… … Большая советская энциклопедия