Ялтинский учебно-воспитательный комплекс «Школа-лицей № 9»

Зам.директора по УВР Романова А.Н.

«Моделирование на уроках математики в начальной школе»

Практический семинар

Математике надо учить в школе

Еще и стой целью, чтобы знания,

которые тут получают, были бы

достаточными для обычных

нужд в жизни.

М. Лобачевский

План доклада

Новые ориентиры в математическом образовании.

Методические основы моделирования. Математическая модель.

Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе.

Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования.

Применение моделирования при решении уравнений.

Моделирование во время решения текстовых задач.

Использование моделирования при изучении нумерации, приемов сложения и вычитания чисел, а также в работе над единицами длины.

Новые ориентиры в математическом образовании. (5 мин)

Общеизвестно, что модели являются языком математики, а моделирование – их речью. Успешность овладения математикой определяется, прежде всего, тем, насколько хорошо ребенок научился «разговаривать» на их языке. Определяется это не только академическими успехами ученика в решении научно-познавательных заданий, а в большей степени жизненным успехом личности - благодаря способности применять математические методы для решения практических, реальных заданий, которые этого требуют. Согласитесь, это также хороший результат обучения математики в школе.

Учим ли мы своих учеников математической речи? Или, возможно, считаем это сложным заданием для начальной школы? Или просто надеемся на то, что в ходе ежедневного решения примеров и задач дети сами постепенно научатся ею пользоваться?

По данным мониторинга в школах г.Киева, а также данные всеукраинского мониторинга свидетельствуют о том, что большинство учащихся (60% и соответственно 53%) не умеют работать с готовыми графическими моделями, выполнять творческие задания, применять полученные знания в новых ситуациях для решения проблемы.

Такое состояние математического образования стало причиной необходимости существенного пересмотра государственных требований в обучении школьников математике. Новая редакция «Державного стандарту …», которая вступила в силу в этом году. С позиции личностно-ориентированного и компетентностного подхода фактически переориентовывает деятельность учителя. Компете́нтность - наличие знаний и опыта, необходимых для эффективной деятельности в заданной предметной области . Сравним . В еще действующем Государственном стандарте указано: «Изучение математики в начальной школе обеспечивает овладение учащимися знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и других предметов… Изучение математики способствует развитию познавательных способностей младших школьников – памяти, логического и творческого мышления, воображения, математической речи». В новой редакции государственного стандарта цель в образовательной отрасли «Математика» уже определена как «формирование предметной математической и ключевых компетентностей, необходимых для самореализации учащихся в быстроизменяющемся мире». Предметная математическая компетентность рассматривается как «личностное образование, которое характеризует способность ученика (ученицы) создавать математические модели процессов окружающего мира, применять опыт математической деятельности во время решения учебно-познавательных и практически ориентированных задач».

Поэтому, овладение математической речью – способность строить математические модели – становится основной целью обучения математики, которое реализуется через формирование у учащихся «умений пользоваться математической терминологией, знаковой и графической информацией».

Позитивный опыт обучения учащихся моделированию (и не только на уроках математики) накопленный системой развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, направленный на формирование у учащихся полноценной учебной деятельности, одной из которых есть моделирование.

Формирование у учащихся умения моделировать является одной из целей развивающего обучения, а модели, которые создают и которыми пользуются дети, – это прежде всего, один из способов формирования умений учиться (а не только способ наглядности).

Задача нашего сегодняшнего семинара состоит в том, чтобы разобраться в вопросах моделирования, показать, как можно использовать модели для обучения младших школьников решать уравнения и задачи, математические свойства, приемы сложения и вычитания чисел.

2. Методические основы моделирования. (8 мин)

Моделирование - это одно из средств познания действительности. Модель используется для изучения любых объектов (явлений, процессов), для решения различных задач и получения новой информации. Следовательно, модель - некий объект (система), использование которой служит для получения знаний о другом объекте (оригинале).

Использование моделирования рассматривается в двух аспектах:

во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено детьми в результате педагогического процесса;

во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Наглядность моделей основана на следующей важной закономерности: создание модели производится на основе предварительного создания мысленной модели - наглядных образов моделируемых объектов, то есть субъект создает у себя мысленный образ этого объекта, а затем (вместе с детьми) строит материальную или образную модель (наглядную). Мысленные модели создаются взрослыми и могут преображаться в наглядные при помощи определенных практических действий (в которых могут участвовать и дети), дети также могут работать с уже созданными наглядными моделями.

В работе с детьми можно использовать замещение предметов: символы и знаки, плоскостные модели (планы, карты, чертежи, схемы, графики), объемные модели, макеты.

Использование метода моделирования помогает решать комплекс очень важных задач:

развитие продуктивного творчества детей;

развитие высших форм образного мышления;

применение ранее полученных знаний в решении практических задач;

закрепление математических знаний, полученных детьми ранее;

создание условий для делового сотрудничества;

активизация математического словаря детей;

развитие мелкой моторики руки;

получение новых представлений и навыков в процессе работы;

наиболее глубокое понимание детьми принципов работы и строения оригиналов с помощью моделей.

Модель дает нам не просто возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, она позволяет создать образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Все остальные несущественные свойства при разработке модели отбрасываются. Таким образом, у нас создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта.

Научной основой моделирования служит теория аналогии, в которой основным понятием является - понятие аналогии - сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Все эти виды объединяются понятием обобщенной аналогии - абстракцией. Аналогия выражает особого рода соответствие между сопоставляемыми объектами, между моделью и оригиналом.

Моделирование является многофункциональным, то есть оно используется самым различным образом для различных целей на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. В связи с этим многовековая практика использования моделей породила обилие форм и типов моделей.

Рассмотрим классификацию, предлагаемую Л. М. Фридманом. С точки зрения степени наглядности он все модели разбивает на два класса:

шаг 1. 1-2

· материальные (вещественные, реальные);

· идеальные.

К материальным моделям относят такие, которые построены из каких-либо вещественных предметов.

Шаг 2

Материальные модели, в свою очередь, можно разделить на статические (неподвижные) и динамические (действующие).

Шаг 3

Следующим видом динамических моделей являются аналоговые и имитирующие , которые воспроизводят то или иное явление с помощью другого, в каком-то смысле более удобного . Например, такая модель - искусственная почка - функционирует одинаково с естественной (живой) почкой, выводя из организма шлаки и другие продукты обмена, но, конечно, устроена она совершенно иначе, чем живая почка.

Идеальные модели делят обычно на три вида:

Шаг 4

· образные (иконические);

· знаковые (знаково-символические);

· мысленные (умственные).

Классификацию моделей можно проводить по различным признакам:

1) по характеру моделей (то есть по средствам моделирования);

2) по характеру моделируемых объектов;

3) по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.)

4) по уровням («глубине») моделирования.

Наиболее известной является классификация по характеру моделей .

Шаг 5.

Согласно ей различают следующие виды моделирования :

Шаг 6.

1. Предметное моделирование , при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические или функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, плотины, модель крыла самолета и т.д.

Шаг 7.

2. Аналоговое моделирование , при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений.

Шаг 8.

3. Знаковое моделирование , при котором моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения.

Шаг 9.

4. Со знаковым тесно связано мысленное моделирование , при котором модели приобретают мысленно наглядный характер.

Шаг 10.

5. Моделированый эксперимент – особый вид моделирования где используется не сам объект, а его модель.

Основная цель моделирования – выделить и зафиксировать наиболее общие отношения в предмете для его изучения.

Метод моделирования – это сложное, интегративное образование. Согласно классификации дидактических методов Н.Г. Казанского и Т.С. Назаровой, метод моделирования имеет трехкомпонентную структуру

Шаг 11. (см. схему). Таким образом, в структуре метода моделирования внешняя сторона – это конкретная форма взаимодействия учителя и учащихся. Внутренняя сторона – это совокупность общеучебных приемов (анализа, синтеза, обобщения и т.д.) и способов учебной работы. Технологическая сторона – это совокупность специфических приемов данного метода (предварительный анализ, построение модели, работа с ней, перенос информации с модели на искомый объект – оригинал).

Метод моделирования

Внешняя сторона

Внутренняя сторона

Технологическая сторона

Формы:

изложение

беседа

самостоятельная работа

Психологическая сущность:

догматический способ учебной работы;

эвристический способ учебной работы

исследовательский способ учебной работы

Логическая сущность:

аналитический;

интетический;

индуктивный;

дедуктивный;

аналитико-синтетический

Приемы построения модели;

приемы преобразования модели;

приемы конкретизации модели

Математическая модель. Математическое моделирование.

Математическая модель – приближенное описание какого – нибудь класса явлений внешнего мира при помощи математической символики. Например, отношения между элементами А, В, С, выражено формулой А+В=С - математическая модель.

Процесс математического моделирования, т.е. изучения явлений при помощи математических моделей, можно разделить на четыре этапа.

Шаг 12.

Первый этап – вычленение существенных признаков объекта.

13.

Второй этап – построение модели.

14 .

Третий этап – исследование модели.

15 .

Четвертый этап –перенос полученных на моделях сведений на изучаемый объект.

Особенность моделирования состоит в том, что наглядность представляет собой не простое демонстрирование натуральных объектов, а стимулирует самостоятельную практическую деятельность детей . Умение учащихся работать с моделью, ее преобразование для изучения общих свойств изучаемых понятий составляет одну из главных задач обучения во всех предметных областях.

Для моделирования используются разнообразные математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные формулы, функции, алгебраические уравнения, ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Ейлера-Венна, графы.

3. Использование метода моделирования на уроках математики в начальной школе. (1,5 мин)

Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.

Шаг 16.

Во-первых , это способствует формированию диалектико-материалистического мировоззрения.

17.

Во-вторых , как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.

18.

В-третьих , целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие. Для того чтобы «вооружить» учащихся моделированием как способом познания, учителю недостаточно лишь демонстрировать им разные научные модели и показывать процесс моделирования отдельных явлений. Нужно, чтобы школьники сами строили модели, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования. Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную) задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

Ознакомление учащихся с приемами математического моделирования. (10 мин)

Известный психолог П. Гальперин с коллегами разработал теорию поетапного формирования умственных действий. Согласно этой теории процесс обучения рассматривается как овладение ребенком системой умственных действий, которое происходит в процессе интериоризации (переход внутрь) отвечает внешней практической деятельности.

Ребёнок совершает практические действия с предметами (сначала с реальными, а потом с воображаемыми) – предметные действия. От них он, с опорой сначала на копировальный рисунок, а потом и на предметные модели, переходит к графическим моделям. После введения математических знаков, букв для обозначения величин ученик для описания действий пользуется формулами, т.е. знаково-буквенными моделями, а потом словесными моделями (определениями, правилами).

Например, перед детьми поставлено конкретно-практическое задание, которое требует найти две одинаковые по объему посудины (разные по форме). Фото шаг 19

После этого дети (а не учитель) выполняют практические действия: наливают воду в одну банку, переливают её в другую. Если в другую банку ввошла вся вода из первой, то объёмы этих банок равные. Целесообразно предложить детям взять в руки такие две полоски, при помощи которых можно сообщить про отношения между объемами, формами – одинаковые они или разные. Если объемы банок одинаковые, дети должны поднять две полоски одинаковые по длине, а если разные, то разные по длине. Фото

шаг 20

Для подведения детей к использованию графической модели снова необходимо поставить конкретно-практическое задание: при момощи рисунка показать, что объем одной банки больше, чем другой. Опыт показывает, что дети начинают рисовать форму банок, т.е. делают копировальный рисунок, или рисуют полоски, при помощи которых показывали отношение объемов банок.

После обсуждения рисунков делаем вывод: рисовать банки – это неудачный способ (неточные рисунки, не изображено отношение объемов банок, работа забирает много времени). Но и полоски у детей тоже разные по ширине и длине, на это тоже идет много времени.

В результате приходим к выводу, что удобнее ширину полоски вообще не рисовать, чертить только длину полоски (т.е. отрезки). Если величины (длина, площадь, масса, объем и т.д.) выявляются одинаковыми, то имеют отрезки одинаковой длины, а если неодинаковые, то их длина должна быть разной. Фото в тетради. шаг 21.

Таким образом вводится изображение величин при помощи отрезков. Дети учатся схематически обозначать величины, а потом строить графические (линейные) модели.

Целесообразным также является введение в 1-м классе понятий «целого» и «части» и развития умений учащихся устанавливать отношения между этими понятиями. Как на языке математики записать то, что, наример, яблоко состоит из отдельных частей? Если яблоко целое, обозначим его кругом, а кучочки яблока – обозначим треугольниками, и получим такую графическую модель.

Шаг 22. Слайд 7

+ + + =

Упростим и будем иметь базовую модель:

шаг 23. + =

Целое и части – это относительные понятия. Основные свойства этого отношения (на множестве натуральных чисел): целое не может быть меньше чем часть, а часть не бывает больше, чем целое; целое равно сумме частей, а часть равна разности между целым и другой частью

Шаг 24. = -

Всем хорошо известны лучики, которые традиционно используют для изображения состава числа. Шаг 25 Слайд 8

Так отношения между частями и целым можно показать при помощи знакографической записи:

С шаг 26

А |____________|_____________|

В А В

Схема, которая описывает действие сложения, вместе с тем описывает и обратное действие – вычитание:

Шаг 27 слайд 9

Понятия части и целого дает возможность ввести переместительное и сочетательное свойства сложения величин. Слайд 10, 11 (2 шага), 12

Шаг 28, 29, 30

Как и при изучении сложения и вычитания, для изучения умножения и деления тоже можно использовать моделирование.

Традиционно умножение рассматривается как сложение одинаковых слагаемых. Пусть величину А прибавили В раз: слайд 13.

шаг 31. А+А+А+А+А = АхВ

Формула А х В читается так: «по А взять В раз» или «В раз взять по А»,

Шаг 32. где А – часть (мерка), которую ма обозначали треугольником.

В – количество равных частей (количество мерок), можем обозначить квадратиком.

Для обозначения целого используем тот же значек – кружок.

Целое характеризуется как результат арифметического действия умножения чисел А и В.

Х = А х В = С Схема, которая описывае это действие:

|____|_А___|_____________|

Понятно, что когда мы рассмотрим деление как предметное действие, направленное на деление по содержанию или на равные части, появится возможность установить связь умножения и деления. Теперь кроме формулы умножения Шаг 33. Ах В =С, получаем две обратные на деление шаг 34. С: А = В и шаг 35 . С: В = А (с геометрическими фигурами). Это означает, что схема на умножение является схемой на деление.

Применение моделирования при решении уравнений. (10 мин)

Для правильного выбора способа решения уравнений необходимо уметь находить отношения целого и части.Когда сформировано это понятие, дети приобретают умения выражать целое через части и части через целое. Установление связей между сложением и вычитанием величин на основе понятия части и целого дает возможность сопоставлять целое с суммой и уменьшаемым, части - с слагаемыми или вычитаемым и разностью и увидеть, что разные действия: А+В=С, С-А=В,или С-В=А – характеризуют те же отношения между величинами.

Находить неизвестное при решении уравнений помогают не только правила, но и отношения между частями и целым, представленных в виде графической модели. Слайд 14 шаг 36.

Алгоритм работы при обучении решению уравнений такой:

Рисуем схему уравнения. Х +5 = 12 шаг 37.

Находим целое и части сначала на схеме, потом в уравнении (подчеркиваем)

Называем неизвестный компонент. Выясняем, чем он является: целым или частью.

Анализируем, каким действием будем находить неизвестную величину.

Находим Х. шаг 38 , 39

Построенной схемой можно воспользоваться при решении уравнения на вычитание. 12 – х = 5, посколькусхема, которая описывает действие сложения, одновременно является схемой на вычитание . Примеры фото из тетради

Слайды 15,16 (+1 шаг ), 17, 18.

Шаг, 40, 41, 41-а, 42,43

Задание разнести данные уравнения на схемы и составить выражение

слайд 19 шаг 44, 45. 44-а, 45-б

Аналогично используется моделирование при решении уравнений на нахождение неизвестного множителя, делителя и делимого.

Слайд 20( 8 шагов ) шаг 46.

Целесообразно при закреплении связи между умножением и делением познакомить с понятием площадь, формулой нахождения площади прямоугольника и нахождением неизвестной стороны. Слайд 21 (1 шаг)

Пример уравнения . Слайд 22 ( 4 шага)

Агоритм решения уравнения Слайд 23 .

Поскольку схема умножения является схемой деления, то из одного уравнения можно составить два уравнения на деление. Площадь – целое, а стороны длина и ширина – части.

Кроме того, моделирование дает возможность разнообразить творческую работу над уравнениями. Так, учитель может предложить такие виды заданий:

Слайд 24

По схеме составить и решить уравнение. Шаг 48.

Слайд 25 ( решить с гостями )

(дано несколько уравнений и схема) К какому уравнению подойдет эта схема? Найди и реши. Шаг 49.

Слайд 26, 27. 28, 29.

Решать уравнения во время устного счета . Шаг 50, 51, 52,53

Слайд 30 (10 шагов), 31

Составление условия задачи по схеме уравнения.

Новая презентация. (Семинар 2)

Моделирование во время решения текстовых задач (18 мин)

Слайд 1

Нельзя не согласится с мнением, что современное образование – это умение школьника взглянуть на реальную, жизненную ситуацию с позиции физика, химика, историка, географа, отнюдь не для того, чтобы стать исследователем в этой области, а для того чтобы в последующем находить решение в конкретных жизненных ситуациях.

Стать настоящим исследователем младший школьник может, решая текстовые задачи при обучении математике младших школьников.

Один из таких подходов – формирование у учащихся умения решать задачи определённого вида (например, решение задач на разностное сравнение и т.д., когда отрабатывается определенный вид задач). Другой основан на применении семантического и математического анализа текстовых задач, когда задача разбирается от данных к цели (синтетический способ) и от цели к данным (аналитический). Третий подход основан на методе решения учебных задач. Формирование действия моделирования, предполагает качественно иное формирование умения решать текстовые задачи.

Арифметические и алгебраические задачи в литературе ещё называют сюжетными, т.к. в них всегда есть словесное описание какого-то события, явления, действия, процесса. Текст любой сюжетной задачи можно воссоздать по – другому (предметно, графически, с помощью таблиц, формул и т.д.), а это и есть переход от словесного моделирования к другим формам моделирования. Поэтому в работе над задачами мы уделяем большое внимание построению схематических и символических моделей, а также умению работать с отрезками, графически моделировать с их помощью текстовую задачу, ставить вопрос, определять алгоритм решения и поиска ответа. Младший школьник, как известно не обладает достаточным уровнем абстрактного мышления. И наша задача заключается как раз в том, чтобы поступательно научить его представлять конкретные объекты в виде символической модели, помочь ему научится переводить текстовую задачу на математический язык. Мы считаем, что именно графическое моделирование текстовой задачи и, что самое важное, даёт реальную возможность наглядно увидеть и определить алгоритм его решения, осуществить самостоятельную рефлексию выполненного задания.

Но не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для её дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения. Решение любой задачи арифметическим способом связано с выбором арифметического действия, в результате выполнения которого можно дать ответ на поставленный вопрос. Чтобы облегчить поиск математической модели необходимо использовать вспомогательную модель. Слайд 2 (знакомство с составными частями в 1 классе).

Для воссоздания ситуации в условии задачи можно использовать схематический чертеж, который обеспечивал бы переход от текста задачи к соотнесению определенного арифметического действия над числами, что способствует формированию сознательного и прочного усвоения общего приема работы над задачей. Данная модель позволяет сформировать у ученика умение разъяснять, как он получил ответ на вопрос задачи. Но схематическая модель эффективна лишь в том случае, когда она понятна каждому ученику и выработаны умения переводить словесную модель на язык схемы. При обучении решению простых задач на сложение и вычитание вводятся понятия: целое, часть и их соотношение. Слайд 3. (2 шага)

Чтобы найти часть нужно от целого отнять другую часть.

Чтобы найти целое нужно части сложить.

При обучении решению простых задач на умножение и деление предлагаются схема и соответствующие правила:

Чтобы найти целое, нужно мерку умножить на количество мерок.

Чтобы найти мерку, нужно целое разделить на количество мерок.

Чтобы найти количество мерок, нужно целое разделить на мерку.

Слайд 4. (3 шага)

Данный подход в обучении позволяет отойти от старой классификации простых задач. Важно изображать данные и искомое так, чтобы достаточно ясно выступали зависимости между величинами. Рассматриваемыми в задаче, и их отношениями.

В качестве примера приведу несколько текстовых задач и их способы решения с помощью графических моделей.

Задача 1 Слайд 5. (5 шагов)

В аквариуме 4 больших и 5 маленьких рыб. Сколько всего рыб в аквариуме?

Упражнения на составление задач и выражений по картинкам (обратные задачи) Слайд 6. ( 8 шагов) Слайд 7.

Задача 2 Слайд 8

У Лены 5 груш. А у Миши на 4 больше, чем у Лены. Сколько груш у Миши?

Пример задания на составление задач по картинке и запись решения. Слайд 9.

Задача 3 Слайд 10. (5 шагов)

У Лены 10 груш. Это на 3 больше, чем персиков. Сколько персиков у Лены?

Задача 4. Слайд 11 (4 шага).

Саша купил 5 тетрадей по цене 8 грн и альбом для рисования за 33 гривны. Сколько денег Саша заплатил за покупку?

Цена одной тетради 8 грн – это единичный отрезок (мерка). Количество единичных отрезков (5) указывает на количество тетрадей. Вторая часть отрезка отражает цену (33 грн) и количество (1) альбомов.

Задача 5. Слайд 12 (7 шагов). Два способа составления схемы. Два решения

Заводу необходимо 90 работников: 50 токарей,10 слесарей, остальные – грузчики. Сколько необходимо грузчиков?

Слайд 13 (3 шага) составление обратной задачи. СТОП

Приёмы работы над задачами.

На этапе ознакомления использую следующие приёмы:

Разъяснение каждой составляющей части модели.

Указание к построению модели.

Моделирование по наводящим вопросам и поэтапное выполнение схемы.

На этапе осмысления схематического чертежа использую следующие приёмы:

Формулирование текста задачи по предложенному сюжету и отрезочной схеме.

Соотнесение схемы и числового выражения.

Заполнение схемы – заготовки данными задачи.

Нахождение ошибок в заполнении схемы.

Выбор схемы к задаче.

Выбор задачи к схеме.

Дополнение условий задачи.

Изменение схемы.

Изменение условий задачи.

Изменение текста задачи.

Итогом обучения построению и осмыслению схематического чертежа является самостоятельное моделирование задач учащимися.

Решая текстовые задачи, мы работаем на формирование действия моделирования, и наоборот, чем лучше ребенок овладевает действием моделирования, тем легче ему решать задачи.

Учащихся следует знакомить с различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим и практическим; с различными видами математических моделей, лежащих в основе каждого метода; а также с различными способами решения в рамках выбранного метода. Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся. Краткие записи условий текстовых задач – примеры моделей, используемых в начальном курсе математики. Метод математического моделирования позволяет научить школьников:

а) анализу (на этапе восприятия задачи и выбора пути реализации решения);

б) установлению взаимосвязей между объектами задачи, построению наиболее целесообразной схемы решения;

в) интерпретации полученного решения для исходной задачи;

г) составлению задач по готовым моделям и др.

Презентация работа над задачами Слайды 15-22 .

Комбинаторика на моделях с 1 класса

2 класс

Расположи цифры 4, 6, 8 разными способами:

В 3-4 классах

«Дерево» (36 обедов)

Фото из тетради

Использование моделирования при изучении нумерации, приемов сложения и вычитания чисел и в работе над единицами длины (5 мин)

Умение преобразовывать числа в единицы счета и единицы измерения чаще всего вызывает некоторые затруднения. И здесь в помощь целесообразно использовать метод моделирования. Изучая концентр «Десяток» дети схематически учатся изображать единицы при помощи точек. Слайд 25. Учатся складывать и вычитать на моделях. Слайд 26. (7 шагов) Слайд 27.

Изучая «Сотню» дети изображают десятки при помощи малых треугольников. Учатся преобразовывать числа в единицы счета (дес. и ед.) и параллельно с этим дети знакомятся с сантиметром и дециметром. Что позволяет проводить аналогию в преобразовании единиц длины. А также учат приемы сложения двузначных чисел на числовых схемах. Слайд 28

Изучая «Тысячу» дети узнают, что 10 треугольников (десятков) мы будем условно изображать одним большим треугольником (одна сотня). Параллельно дети изучают новую единицу длины – метр. Преобразовывая числа в единицы счета, мы проводим аналогичную работу с единицами длины. Слайд 29, пример для числа 342 Слайд 30 (5 шагов)

Пример для числа 320 Слайд 31 (6 шагов)

Пример для числа 302 Слайд 32 (8 шагов)

Алгоритмы. Слайды 33 и 34 (7 шагов)

Рекомендации к использованию метода моделирования на уроках о математики (3 мин)

Необходимо понимать, что моделирование в обучении не желательное, а необходимое, поскольку создает условия для полноценного и крепкого овладения учениками методами познания и способами учебной деятельности.

Основными целями моделирования на уроке являются:

построение модели как способ конструирования нового способа действий.

обучение построению модели на основе анализа принципов, способов её построения.

Помните, что первые уроки, связаны с моделированием, по сути, есть уроками постановки учебно-практического задания. Проблема, которая возникает у детей, лежит в том, что способов для отображения общего отношения у них недостаточно. Каждый раз, когда появляется новая практическая ситуация, дети определяют новые отношения – и снова встает вопрос как его передать графически.

Такие «абстрактные задания», как начертить схему по формуле, установить зависимость между величинами, которые входят в состав нескольких формул, и т.п. предлагают тогда, когда отношения исследованы, осведомлены и отображены в знаках, схемах неоднократно. За моделью у каждого ребенка должны стоять действия с реальными предметами, которые теперь он способен выполнить в воображении (умственные действия).

Место модели для ребенка определяется в зависимости от задания

Действие может сопровождаться моделью. Например, если конструирование способа легче выполнить на модели, как этап работы над текстовой задачей (отношения между величинами во время чтения отображаются схематически).

Модель строится после завершения действий. Для того чтобы осознать выполненное действие, необходимо построить схему отдельного отношения. Построение схемы мотивируется вопросами типа: «Как ты это делал?», «Как бы ты научил других выполнять такие задания?

И еще несколько советов.

Начинать надо с изучения специальной литературы. Например, это методика обучения математике в начальных классах и учебников Е. Александровой, Л. Петерсон.

На родительских собраниях обязательно познакомьте родителей с методом обучения их детей. Ваши советы и инструкции могут им пригодиться.

Используйте любую возможность стать участником мастер- классов по математическому моделированию.

Куда я вас и приглашаю.

Развитие основных психических процессов - памяти, внимания, воображения, образного мышления, речи; перекодирование информации, т.е. преобразование из абстрактных символов в образы; формирование навыка самостоятельного моделирования; развитие мелкой моторики при частичном или полном графическом воспроизведении. Развитие у детей познавательного интереса к математике Значение моделирования в развитии дошкольников.

Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно: -позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка; -улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления; - повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;

Этапы работы с моделями Четырех ступенчатая последовательность применения метода моделирования. Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий. Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов. Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений Четвертый этап - обучение способам решения задач Этапы работы с моделями

Наглядная плоскостная модель "Домик, где знаки и числа живут" Цель применения: -закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа; -дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании; - учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно).

Наглядная плоскостная модель "Солнечная система" Только для детей старшей и подготовительной группы. Цели применения: -дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами); -научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система); -научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру; -развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других; -совершенствовать порядковый и количественный счет; -закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний; - закрепить умение решать арифметические задачи.

Наглядная плоскостная модель "Счетный торт" Цель применения: -учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка; - учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.

Определить доминирующие признаки классификации объекта локализации и разработать математическую модель под задачи анализа изображений мимики.

Задачи

Поиск и анализ способов локализации лица, определение доминирующих признаков классификации, разработка математической модели оптимальной под задачи распознавания движения мимики.

Тема

Помимо определения оптимального цветового пространства для построения выделяющихся объектов на заданном классе изображения, которая проводилась на предыдущем этапе исследования, немаловажное значение также играет определение доминирующих признаков классификации и разработка математической модели изображений мимики.

Для решения данной задачи необходимо, прежде всего, задать системе особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой, а затем уже проводить локализацию движения губ.

Что касается первой задачи, то следует выделить две их разновидности:
Локализация лица (Face localization);
Отслеживание перемещения лица (Face tracking) .
Так как перед нами стоит задача разработки алгоритма распознавания мимики, то логично предположить, что данную систему будет использовать один пользователь, который не слишком активно будет двигать головой. Следовательно, для реализации технологии распознавания движения губ необходимо взять за основу упрощенный вариант задачи обнаружения, где на изображении присутствует одно и только одно лицо.

А это значит, что поиск лица можно будет проводить сравнительно редко (порядка 10 кадров/сек. и даже менее). Вместе с тем, движения губ говорящего во время разговора являются достаточно активными, а, следовательно, оценка их контура должна проводиться с большей интенсивностью.

Задача поиска лица на изображении может быть решена существующими средствами. Сегодня имеются несколько методов обнаружения и локализации лица на изображении, которые можно разделить на 2 категории:
1. Эмпирическое распознавание;
2. Моделирование изображения лица. .

К первой категории относятся методы распознавания «сверху-вниз» на основе инвариантных свойств (invariant features) изображений лица, опираясь на предположение, что существуют некоторые признаки присутствия лиц на изображении инвариантные относительно условий съемки. Данные методы можно разделить на 2 подкатегории:
1.1. Обнаружение элементов и особенностей (features), которые характерны для изображения лица (края, яркость, цвет, характерная форма черт лица и др.) , .;
1.2. Анализ обнаруженных особенностей, вынесение решения о количестве и расположении лиц (эмпирический алгоритм, статистика взаимного расположения признаков, моделирование процессов визуальных образов, применение жестких и деформируемых шаблонов и т.д.) , .

Для корректной работы алгоритма необходимо создание базы данных особенностей лица с последующим тестированием. Для более точной реализации эмпирических методов могут быть использованы модели, которые позволяют учесть возможности трансформации лица, а, следовательно, имеют либо расширенный набор базовых данных для распознавания, либо механизм, позволяющий моделировать трансформацию на базовых элементах. Сложности с построением базы данных классификатора ориентированных на самый различный спектр пользователей с индивидуальными особенностями, чертами лица и так далее, способствует снижению точности распознавания данного метода.

Ко второй категории относятся методы математической статистики и машинного обучения. Методы этой категории опираются на инструментарий распознавания образов, рассматривая задачу обнаружения лица, как частный случай задачи распознавания. Изображению ставится некий вектор признаков, который используется для классификации изображений на два класса: лицо/не лицо. Самый распространенный способ получения вектора признаков это использование самого изображения: каждый пиксель становится компонентом вектора, превращая изображение n×m в вектор пространства R^(n×m), где n и m – целые положительные числа. . Недостатком такого представления является чрезвычайно высокая размерность пространства признаков. Достоинство этого метода стоит в исключении из всей процедуры построение классификатора участия человека, а также возможность тренировки самой системы под конкретного пользователя. Поэтому использование методов моделирования изображения для построения математической модели локализации лица является оптимальным для решения нашей задачи.

Что касается сегментирования профиля лица и отслеживания положение точек губ по последовательности кадров, то для решения данной задачи также следует использовать математические методы моделирования. Имеются несколько способов определения движения мимики, самыми известными из них являются использование математической модели на основе активных контурных моделей:

Локализация области мимики на основе математической модели активных контурных моделей

Активный контур (змейка) – это деформирующаяся модель, шаблон которой задан в форме параметрической кривой, инициализированный вручную набором контрольных точек, лежащих на открытой или замкнутой кривой на входном изображении.

Для адаптации активного контура к изображению мимики необходимо провести соответствующую бинариризацию исследуемого объекта, то есть его преобразование в разновидность цифровых растровых изображений, а затем уже следует проводить соответствующую оценку параметров активного контура и вычисление вектора признаков.

Активная контурная модель определяется как:
Множество точек N;
Внутренних областей энергии интереса (internal elastic energy term);
Внешних областей энергии интереса (external edge based energy term).

Для улучшения качества распознавания выделяются два цветовых класса – кожа и губы. Функция принадлежности цветовому классу имеет значение в диапазоне от 0 до 1.

Уравнение активной контурной модели (змейки) представляется выражающейся формулой v(s) как:

Где E – это энергия змейки (активной контурной модели). Первые два терма описывают энергию регулярности активной контурной модели (змейки). В нашей полярной координатной системе v(s) = , s от 0 до 1. Третье слагаемое – энергия, относящаяся ко внешней силе, полученной из изображения, четвертое – с силой давления.

Внешняя сила определяется, исходя из вышеописанных характеристик. Она способна сдвинуть контрольные точки к некоторому значению интенсивности. Она вычисляется как:

Множитель градиента (производная) вычисляется в точках змейки вдоль соответствующей радиальной линии. Сила увеличивается, если градиент отрицательный и уменьшается в обратном случае. Коэффициент перед градиентом – это весовой фактор, зависящий от топологии изображения. Сжимающая сила – это просто константа, используется ½ от минимального весового коэффициента. Наилучшая форма змейки получается при минимизации энергетического функционала после некоторого числа итераций.

Рассмотрим основные операции обработки изображения более подробно. Для простоты предположим, что мы уже каким-то образом выделили область рта диктора. В этом случае основные операции по обработке полученного изображения, которые нам необходимо выполнить, представлены на рис. 3.

Заключение

Для определения доминирующих признаков классификации изображения в ходе проведения исследовательской работы было выявлены особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой. Среди всех методов локализации лица и обнаружения исследуемой области мимики наиболее подходящими под задачи создания универсальной системы распознавания для мобильных устройств являются методы моделирования изображения лица.
Разработка математической модели изображений движения мимики основана на системе активных контурных моделей бинаризации исследуемого объекта. Так как данная математическая модель позволяет после смены цветового пространства с RGB в цветовую модель YCbCr осуществлять эффективное преобразование интересуемого объекта, для последующего его анализа на основе активных контурных моделей и выявления четких границ мимики после соответствующих итераций изображения.

Список использованных источников

1. Вежневец В., Дягтерева А. Обнаружение и локализация лица на изображении. CGM Journal, 2003
2. Там же.
3. E. Hjelmas and B.K. Low, Face detection: A survey, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang and T.S. Huang, Human face detection in complex background, Pattern recognition, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka and I. Pitas, A novel method for automatic face segmentation, facial feature extraction and tracking, Signal processing: Image communication, Vol. 12, №3, pp. 263-281, June, 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, and J.Big.un., Saccadic search with Gabor features applied to eye detection and real-time head tracking, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Гомозов А.А., Крюков А.Ф. Анализ эмпирических и математических алгоритмов распознавания человеческого лица. Network-journal. Московский энергетический институт (Технический университет). №1 (18), 2011

Продолжение следует

Мастер – класс

« Использование моделирования в обучении математике»

Цель:

Содействовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.

Задачи:

Создать условия для организации работы по освоению педагогами учебных моделей и определению возможностей и эффективности их применения в процессе обучении математике.

Организационный этап.

Создание психологической готовности участников мастер-класса к совместной работе.

– Уважаемые коллеги, здравствуйте! Я рада приветствовать вас на своём мастер-классе.

Тема моего мастер-класса «Использование моделирования в обучении математике ».

Перед вами лежит таблица-фиксация знаний, заполните, пожалуйста, вторую графу «Знаю» по данной теме и отложите.

			Хочу узнать
Моделирование

Моя цель: Способствовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.

А Ваша цель? (ответы)

2. Актуальность.

- Как вы думаете, почему именно математика так широко представлена в программе начального образования?

Математика как учебный предмет в начальной школе призвана максимально развивать личность младшего школьника, способствовать становлению его самостоятельности в учебно-познавательной деятельности, поэтому она широко представлена в программе начального образования: 4 часа в неделю или 536 часов за курс начальной школы. Задача учителя начальной школы – сформировать у всех детей базовый уровень математических представлений и способов деятельности, необходимых для социальной адаптации в обществе. Решение этой задачи часто вызывает большие трудности, так как ни один из математических объектов в реальной действительности не существует, а мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, способности даже к простейшему осмыслению математического материала весьма различны.

Поэтому современные требования к формированию умственных действий на уроках математики требуют применения наиболее эффективных методов и приёмов обучения. Одним из них является метод моделирования.

Метод моделирования стал одним из основных методов научного исследования. Этот метод в отличие от других является всеобщим, используется во всех науках, на всех этапах научного исследования. Он обладает огромной эвристической силой, позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого – к видимому и ощутимому, незнакомого – к знакомому, т.е. сделать сложное явление реальной действительности доступным для тщательного и всестороннего изучения. В связи с этим применение моделей и моделирования в обучении, по мнению большинства ученых теоретиков, приобретает особое значение для повышения теоретического уровня педагогической науки и практики.

Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.

- Как вы думаете с каких?

Во-первых, как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.

Во-вторых, целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие.

- В определении моделирования вставьте пропущенные слова.

«Моделирование – это метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель ), находящийся в некотором объективном соответствии с познавательным объектом, способный замещать его в определённых отношениях и дающий при этом новую информацию об объекте» (Л. М. Фридман) Слайд 2

При введение моделирования в содержание обучения математике важно, чтобы учащиеся сами овладели методом моделирования, научились строить и преобразовывать модели, отражая различные отношения и закономерности, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования.

Когда учащиеся, решая практическую математическую задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

Знакомство с видами моделей.

- Какие виды моделей вы знаете и применяете на практике? (при затруднении предлагается выбрать из предложенных вариантов: вербальные, словесные, иллюстрационные, предметные, эвристические, схематические, математические, геометрические)

Виды моделей: вербальные, предметные, схематические, математические.

Можно выделить четыре модели, которые используются при работе над задачей на уроках математики: предметные, вербальные, схематические, математические.

Составляется кластер. (Сначала самостоятельно, а в процессе работы изменяется, пополняется, исправляются недочёты.)

Примерами предметных моделей могут быть сюжетные иллюстрации, отдельные предметы или их изображения. Слайд 3

К группе вербальных моделей мы относим в первую очередь сам текст задачи, кроме того, различные виды кратких записей текста задачи. Для некоторых текстовых задач более удобной формой вербальной модели является таблица. Слайд 4

Коля – 3

Таня - ?, на 2больше

Всего - ?

Схематические модели служат для визуального представления задачной ситуации, но здесь используются не конкретные предметы и их изображения, а различного рода условные обозначения, которые заменяют реальные предметы(например, круги, квадраты, отрезки, точки и т.п.).

Наиболее распространённые в начальной школе модели этого вида – схематические иллюстрации и схематические чертежи. Слайд 6

Под математическими моделями надо понимать математические выражения или равенства (3+4, 3+5=8). Слайд 7

Математическое выражение (например, запись вида 5+3);

Математическое равенство (например, запись вида 5+3=8).

(Раздаточный материал для групп «Виды моделей»)

4.Действия которые можно проводить с моделями.

Чтобы процесс переходов от одной модели к другой при решении текстовой задачи был продуманным, хорошо организованным и эффективным, важно разработать комплекс дидактических заданий по работе с учебными моделями.

- Давайте уточним, какие действия можно проводить с моделями?

1)Задания на соотнесение моделей: Слайд 8

при выполнении заданий на соотнесение моделей ребёнок должен определить, соответствуют ли друг другу предложенные для сравнения модели, и объяснить, почему соответствие есть или отсутствует. Например, дан рисунок, схема и равенство. Ученик рассказывает, почему схема подходит к рисунку и к равенству. Слайд 9

2) Задания на построение модели:

самостоятельно построить на парте из геометрических фигур схему, соответствующую рисунку, тексту задачи или математической записи, составить математическое выражение, соответствующее предложенному рисунку, схеме или тексту задачи. Слайд 10

3) Задания на выбор модели:

при выполнении заданий этой группы дети из нескольких предложенных вариантов выбирают тот, который соответствует другой модели. Слайд 11

4) Примеры заданий на изменение модели:

изменить предложенную схему так, чтобы новая схема соответствовала сюжетной иллюстрации, тексту задачи, числовому выражению или равенству;

изменить предложенный текст задачи так, чтобы новый текст соответствовал сюжетной иллюстрации, схеме, числовому выражению. Слайд 12

Многие задания в учебнике можно дифференцировать.

Использование учебных моделей позволяет сделать более доступным для ребёнка восприятие и понимание текста задачи, поскольку модели помогают визуализировать скрытые при непосредственном наблюдении связи и отношения, представленные в тексте задачи.

Благодаря возможности наглядно представлять наиболее существенные характеристики изучаемого объекта, модель служит весьма продуктивным видом визуализации.

Поскольку мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, опора на модели делает возможным приобщение учеников к некоторым (пусть самым простым) теоретическим обобщениям. Это весьма значимо на первых шагах обучения решению задачи. Однако для того, чтобы работа с моделями приводила к максимальной «отдаче», их применение должно быть последовательным и систематическим.

Слайд 13 (пустой)

(Раздаточный материал « Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:….»

5. Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:

- задания на соотнесение моделей:

1. Соотнесение предметной и вербальной моделей.

2. Соотнесение предметной и схематической моделей. Подходит ли схема к рисунку?

3.Соотнесение предметной и математической моделей.

Верно ли составлен пример к рисунку?

4.Соотнесениевербальной и математической моделей.

Верно ли Ваня решил задачу?

5.Соотнесение вербальной и схематической моделей.

Проверь, верно ли Петя составил схему к задаче.

6.Соотнесение схематической и математической моделей.

Верно ли составлен пример к схеме

- выбор модели:

1. Задания на выбор модели при сравнении предметных и вербальных моделей.

Какая краткая запись подходит к рисунку?

2. Задания на выбор модели при сравнении предметных и схематических моделей.

Выбери схему к рисунку.

3. Задания на выбор модели при сравнении предметных и математических моделей.

Какой пример подходит к рисунку?

4.Задания на выбор модели при сравнении вербальных и математических моделей.

Выбери верное решение задачи .

5. Задания на выбор модели при сравнении вербальных и схематических моделей.

Выбери схему

6. Задания на выбор модели при сравнении схематических и математических моделей.

Какой пример подходит к схеме?

- изменение модели:

1. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»

Измени рисунок так, чтобы он соответствовал тексту задачи. Или наоборот.

Измени краткую запись, чтобы она подходила к рисунку

2. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»

Дополни схему

3. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»

Петя записал пример к рисунку. Часть примера не видна. Дополни запись.

4. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – математическая модель»

Измените текст задачи, чтобы она решалась так:

5. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель »

Исправь схему

6. . Задание на изменение модели в паре « Схематическая модель – математическая модель»

Катя сделала схему, исправь её ошибку.

- Дополни условие и вопрос, чтобы задача решалась сложением.

- Измени схему так, чтобы показать её с помощью действия вычитания

- построение модели:

1.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»

Составь задачу по рисунку или сделай рисунок к тексту задачи (краткой записи)

2. Задание на построение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»

Составь схему к предложенному рисунку или, наоборот, сделай рисунок к предложенной схеме

3.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»

Составь пример к рисунку

4.Задание на построение модели в паре «Вербальная модель – математическая модель»

Составь задачу, которая решается так 5. Задание на построение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель»

Составь задачу по схеме

Составь пример по схеме или схему к выражению

6. Работа в группах:

Задания для работы в группах

1) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.

2) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.

а) Подходит ли схема к рисунку?

б)Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?

в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.

г) Подходит ли краткая запись к рисунку?

д) Верно ли составлен пример к рисунку?

е) Верно ли составлен пример к схеме?

3) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и схематической моделей при работе над задачей.

а) Верно ли составлен пример к схеме?

б) Подходит ли рисунок к задаче?

в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.

г) Подходит ли схема к рисунку?

д) Верно ли составлен пример к рисунку?

е) Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?

1) Определите задание на выбор модели . Слайд 14

Определите задание на соотнесение моделей . Слайд 15

3) Определите задание на построение моделей. Слайд 16

7.Методические варианты использования моделей. Слайд 17

Методические варианты использования моделей: репродуктивно-наглядный, продуктивно-наглядный, репродуктивно-практический, продуктивно-практический. Рассмотрим примеры использование моделей для поиска решения текстовой задачи: « У Коли 3 яблока, а у Лены 2 яблока. Сколько яблок у детей вместе?»

Вариант 1. Репродуктивно-наглядный

Учитель демонстрирует модель (на доске, наборном полотне) и на её основе даёт словесное объяснение о способе решения задачи. При этом объяснение выступает репродуктивной передачей информации от учителя к детям.

Ребята, я располагаю на наборном полотне 3 кружка слева, потому что у нас в задаче сказано, что у Коли было 3 яблока, и 2 кружка справа - столько яблок, по условию задачи у Лены. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей, поэтому я придвину кружки друг к другу. Значит, эта задача решается с помощью действия сложения. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.

Вариант 2. Продуктивно-наглядный

Учитель демонстрирует модель (на доске, на наборном полотне) и в процессе её построения проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи. Здесь используется продуктивная форма получения знания.

Пример объяснения решения задачи:

Дети, сейчас я покажу слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков я должна поставить слева? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 3 кружка слева.) Сколько кружков нужно расположить на наборном полотне справа? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 2 кружка справа.) Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? (После ответов детей учитель придвигает одни кружки к другим). Каким действием решается задача? Почему? Как запишем решение задачи?

Вариант 3. Репродуктивно-практический

Учитель строит модель (на доске, на наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В ходе построения модели учитель даёт словесное объяснение репродуктивного характера о способе решения задачи.

Пример объяснения решения задачи:

Дети, сейчас я на наборном полотне поставлю 3 кружка слева, потому что, по условию задачи, у Коли было 3 яблока, а 2 кружка справа – столько яблок у Лены. Положите вместе со мной 3 кружка на парте слева, а 2 кружка на парте справа. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей. Поэтому я придвину кружки друг к другу и вы тоже на партах придвиньте свои кружки друг к другу. Так как мы с вами придвигаем кружки, задача решается сложением. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.

Вариант 4. Продуктивно - практический

Учитель строит модель (на доске, наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В процессе построения модели учитель проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи.

Пример объяснения решения задачи

Дети, давайте покажем слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков мы должны показать слева? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки слева на наборном полотне, а вы положите их слева у себя на парте.

Сколько кружков мы должны показать справа? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки справа на наборном полотне, а вы положите их справа у себя на парте. Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? Правильно, нужно придвинуть кружки друг к другу. Давайте вместе сделаем это: я на наборном полотне, а вы у себя на партах. Что мы сделали, чтобы найти ответ к задаче? Значит, каким действием решается задача? Как запишем решение задачи?

При объяснении трудного для детей материала рекомендуется чаще использовать продуктивно – практический вариант моделирования, поскольку при этом обеспечивается эвристическая форма передачи информации («субъективное открытие знания») и практическая деятельность ребёнка по построению и преобразованию моделей, что особенно важно для ребёнка со средними или слабыми математическими способностями.

8. Конструкции текста задачи: Слайд 18

(Раздаточный материал для учителей)

Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный вопросительным предложением; наиболее часто встречающаяся конструкция текста.

Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный повествовательным предложением.

Часть условия выражена в повествовательной форме в начале текста, затем вопросительное предложение, включающее вопрос и часть условия.

Часть условия выражена в повествовательной форме, затем следует также повествовательное предложение, включающее вопрос и часть условия.

Текст задачи представляет одно сложное вопросительное предложение, в котором сначала стоит вопрос задачи, затем условие.

9. Задания для работы в группах:

1 . Каждой группе подобрать из учебника или составить задачу 2,3,4,5 конструкций.

2. Практикум « Виды работ над задачей»

1) на нахождение остатка (опорное слово: осталось)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 1(блок « Задания на изменение модели»)

изменить конструкцию задачи

2)на нахождение суммы (опорное слово: стало)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 2 (блок « Задания на соотнесение модели»)

изменить конструкцию задачи

3)на нахождение разности (опорное слово: на сколько)

составить задачу

4 вида моделей

из групп заданий выбрать 1 (блок « Задания на построение модели»)

изменить конструкцию задачи

10. Практикум «Разработка вспомогательных моделей, которые используются при решении задач в начальной школе» Объединение моделей в систему.

1 тип схем

a b

2 тип схем

?, на б/м

a b

3 тип схем

Было –

Стало --

a b

4 тип схем

Было –

Осталось --

a

b c

5 тип схем

a c

Рефлексия мастер-класса

Возьмите карточку с таблицей-фиксацией, если есть, чем дополнить, впишите в третий столбик. Кто может зачитать данные своей таблицы? (Ответы участников)

Метод « Чемодан, Корзина, Мясорубка»

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.