Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.

Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

Доказательства различают прямые и косвенные.

Прямые доказательства .

1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению.

Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно,
Ð 1 + Ð 2 = 180 о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, Ð 2 + Ð 3 = 180 о. Имеем: Ð 1 = 180 о – Ð 2 Ð 3 = 180 о – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2

2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п , если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.)

3) Полная индукция (смотри ранее).

Косвенные доказательства.

1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А Þ В . Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А ), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример . Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Дано: х úú с , у úú с . Доказать, что х úú у .

Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у , т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А . Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с , что невозможно по аксиоме параллельности.

2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А Þ В доказывают равносильную ей теорему . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.

Пример . Если х 2 – четное число, то х – четное число.

Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 Þ х 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k ) + 1 – нечетное.

Контрольные вопросы

1. Что называется умозаключением?

2. Какое умозаключение называется дедуктивным?

3. Дайте определения неполной и полной индукции.

4. Дайте определение умозаключения по аналогии.

5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.

6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?

7. Какое умозаключение называется софизмом?

8. Что значит доказать утверждение?

9. Какие доказательства различают по способу ведения?

10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.

Понятие эвристики в математике

1.1. Понятие доказательства в математике

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации. Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. - с. 111

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самое математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры и далее пишет: "Доказательством суждения называют честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д. Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d Серебряников О.Ф. Эвристические принципы и логическое мышление. М.: 1979. - с. 48-49. . Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967. - с. 84. .

Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.

Векторное обоснование евклидовой геометрии-аксиоматика Вейля

Задача 1: Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Доказательство: Пусть ABCD - данный ромб (рис.3). Введем обозначения =, =. Из определения ромба следует ==, ==. По определению суммы и разности векторов =+;=-. Рассмотрим *=+)(-)=-...

Возможности учебных исследований на динамических чертежах

Эффективное использование учебных исследований при обучении математике предполагает знание их структуры и назначения ее основных компонентов. Для этого обратимся к анализу точек зрения психологов, педагогов, математиков и методистов...

Задачи на максимум и минимум в геометрии

История формирования понятия "алгоритм". Известнейшие алгоритмы в истории математики

Математика и современный мир

До начала 17 в. математика - преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; изучаемые ею величины (длины, площади, объемы и пр.) рассматриваются как постоянные...

уравнение неравенство математика Понятие «уравнение » относится к важнейшим общематематическим понятиям. Существуют различные трактовки понятия «уравнение». И.Я. Виленкин и др. приводит логико - математическое определение уравнения...

Научные достижения Пифагора

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора. Доказательство через равнодополняемость...

Определители и их применение в алгебре и геометрии

Свойство №1: Определитель не изменяется при транспортировании матриц (строк и столбцов). Доказательство: Опр. Матрицы Aji называется транспонированной матрицей Aij = det A = det AT det A = det AT Выберем любое слагаемое из суммы определителя...

Отношение эквивалентности

I. Отношения между геометрическими объектами Многие хорошо известные из школьной математики понятия, в сущности, являются названиями бинарных отношений, а основные связанные с ними теоремы выражают свойства этих отношений. Пример 3.1...

Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многограники

Положим, что некоторый многогранник, каким - либо образом разбит на составляющие многогранники; ребра этих многогранников располагаются в исходном многограннике по отрезкам, совокупность которых мы будем называть скелетом разложения...

Задача -- проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать...

В брошюре доступным неспециалистам языком рассказывается о некоторых из основополагающих принципов, на которых строится наука математика: чем понятие математического доказательства отличается от понятия доказательства, принятого в других науках и в повседневной жизни, какие простейшие приёмы доказательства используются в математике, как менялось со временем представление о «правильном» доказательстве, что такое аксиоматический метод, в чём разница между истинностью и доказуемостью.
Для очень широкого круга читателей, начиная со школьников старших классов.

МАТЕМАТИКА И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств - вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III веке до нашей эры. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX веке н. э., и принадлежит она французскому математику Никол´я Бурбаки, начавшему в 1939 году издавать многотомный трактат «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить „математика“ - значит говорить „доказательство“». Таким образом, «математика» и «доказательство» - эти два слова объявляются почти синонимами.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Математика и доказательства
О точности и однозначности математических терминов
Доказательства методом перебора
Косвенные доказательства существования. Принцип Дирихле
Доказательства способом «от противного»
Принципы наибольшего и наименьшего числа и метод бесконечного спуска
Индукция
Доказательства методом математической индукции
Полная индукция и неполная индукция
Представление о математических доказательствах меняется со временем
Два аксиоматических метода - неформальный и формальный
Неформальный аксиоматический метод
Формальный аксиоматический метод
Теорема Гёделя.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Простейшие примеры математических доказательств, Успенский В.А., 2009 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

– синтетический,

– аналитический,

– метод математической индукции.

Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.

Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .

Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример . Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.

Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.

Алгоритм доказательства от противного .

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

– условию теоремы,

– ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.

Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками: используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, лаем задание ребенку: «Достань фигуру и назови». После нескольких попыток ребенок делает предположе­ние:

Шар. Шар. Шар. Здесь, наверное, все шары.

Задание 14

Предложите дальнейшие рассуждения для того, чтобы убедиться в истинности (или ложности) полученного утверждения.

Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жиз­ни и особенно в науке. К доказательствам прибегают все, но не всегда задумываются, что значит «доказать*. Практические навыки доказательства и интуитивные представления о нем достаточны для многих бытовых целей, но не для научных.

Доказать какое-либо утверждение - это показать, что это логи­ческое утверждение логически следует из системы истинных и связан­ных с ним утверждений.

Доказательство является логической операцией обоснования ис­тинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.

В доказательстве выделяют три структурных элемента:

1) доказываемое утверждение;

2) систему истинных утверждений, с помощью которых обосно­вывается истинность доказываемого;

3) логическую связь между пп. 1 и 2.

Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод.

По своей форме доказательство - это дедуктивное умозаключе­ние или цепочка дедуктивных умозаключений, ведущих от истин­ных посылок к доказываемому утверждению.

В математическом доказательстве важен порядок расположения умозаключений. По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. К прямым доказательствам относится полная индук­ция, речь о которой шла в п.1.6.

Полная индукция - способ доказательства, при котором истин­ность утверждения следует из его истинности во всех частных слу­чаях.

Полная индукция часто применяется в играх с дошкольниками типа: «Назови одним словом».

Пример прямого доказательства высказывания «Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°»:

«Рассмотрим произвольный четырехугольник. Проведя в нем диагональ, получим 2 треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух образовавшихся треугольников. Так как сумма углов в любом треугольнике 180°, то, сложив 180° и 180°, получим сумму углов в двух треугольниках, она составит 360°. Сле­довательно, сумма углов в любом четырехугольнике равна 360", что и требовалось доказать».

В приведенном доказательстве можно выделить следующие умо­заключения:

1. Если фигура четырехугольник, то в ней можно начертить диа­гональ, которая разобьет четырехугольник на 2 треугольника. Дан­ная фигура четырехугольник. Следовательно, его можно разбить на 2 треугольника, построив диагональ.

2. В любом треугольнике сумма углов равна ISO". Данные фигу­ры треугольники. Следовательно, сумма углов каждого из них равна 180°.

3. Если четырехугольник составлен из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих треугольников. Данный че­тырехугольник составлен из двух треугольников с суммой углов по 180°. 180о+180о=360°. Следовательно, сумма углов в данном четы­рехугольнике равна 360°.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заклю­чения, следовательно, являются дедуктивными.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. В этом случае допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, проводят рассуж­дения, пока не получат противоречие.

Приведем пример доказательства от противного теоремы: «Если две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны между собой»:

«Допустим, что прямые а и b не параллельны, тогда они пересе­кутся в некоторой точке А, не принадлежащей прямой с. Тогда по­лучим, что через точку А можно провести две прямые а и Ь, парал­лельные с. Это противоречит аксиоме параллельности: «Через точ-

8. Сформулируйте правила явного определения через род и видовое отличие.

9. Какое определение называется:

Контекстуальным;

Остенсивным?

10. Что такое высказывание, а что такое высказывательная форма?

11. Когда предложения видов «А и В», «А или В», «Не А» истинны, а когда ложны?

12. Перечислите кванторы общности и кванторы существования. Как установить значение истинности предложений с различными квантора­ми?

13. Когда между предложениями имеется отношение следования, а когда отношение равносильности? Как они обозначаются?

14. Что такое умозаключение? Какое умозаключение называется де­дуктивным?

15. Запишите при помощи символов правила заключения, правило от­рицания, правило силлогизма.

16. Какие умозаключения называются неполной индукцией, а какие умозаключениями по аналогии?

17. Что значит доказать какое-либо утверждение?

18. Что такое математическое доказательство?

19. Дайте определение полной индукции.

20. Что такое софизмы?