Метод гаусса с четырьмя неизвестными. Метод гаусса для чайников: решаем слау легко

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных и количество уравнений. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку "Вычислить."

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

Представление чисел:

Целые числа и (или) Обыкновенные дроби
Целые числа и (или) Десятичные дроби

Число знаков после десятичного разделителя

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Метод Гаусса

Метод Гаусса − это метод перехода от исходной системы линейных уравнений (при помощи эквивалентных преобразований) к системе, которая решается проще, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

перемена местами двух уравнений в системе,
умножение какого-либо уравнения в системе на ненулевое действительное число,
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b

(2)

(3)

A -называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x − вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A )=p .

Эквивалентные преобразования не меняют ранг матрицы коэффициентов и ранг расширеннной матрицы системы. Не меняется также множество решений системы при эквивалентных преобразованиях. Суть метода Гаусса заключается в приведении матрцы коэффициентов A к диагональному или ступенчатому.

Построим расшренную матрицу системы:

На следующем этапе обнуляем все элементы столбца 2, ниже элемента . Если данный элемент нулевой, то эту строку меняем местами со строкой, лежащий ниже данной строки и имеющий ненулевой элемент во втором столбце. Далее обнуляем все элементы столбца 2 ниже ведущего элемента a 22 . Для этого сложим строки 3, ... m со строкой 2, умноженной на −a 32 /a 22 , ..., −a m2 /a 22 , соответственно. Продолжая процедуру, получим матрицу диагонального или ступенчатого вида. Пусть полученная расширенная матрица имеет вид:

(7)

Так как rangA=rang (A|b ), то множество решений (7) есть (n−p )− многообразие. Следовательно n−p неизвестных можно выбрать произвольно. Остальные неизвестные из системы (7) вычисляются так. Из последнего уравнения выражаем x p через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения. Далее из предпоследнего уравнения выражаем x p−1 через остальные переменные и вставляем в предыдущие выражения и т.д. Рассмотрим метод Гаусса на конкретных примерах.

Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 1. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

a 1 1 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно:

Матричный вид записи: Ax=b , где

Обозначим через a ij элементы i -ой строки и j -ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a 11 . Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/5,-6/5 соответственно:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

где x 3 , x

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение.

Тогда векторное решение можно представить так:

где x 3 , x 4 − произвольные действительные числа.

Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса .

Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.

Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:

Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:

получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:

Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только

Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!

Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:

Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде

Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.

Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à

Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:

В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:

Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда

Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде

Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à

Пусть дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
(2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x 1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x 1), то есть на первом шаге получим
.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x 2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
(3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения x n , x n -1 , …, x 1 .
Обозначим полученное решение за x 0 . Тогда разность ε=b-A·x 0 называется невязкой .
Если ε=0, то найденное решение x 0 является верным.

Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:

Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.

Коэффициенты а 11 , а 22 , …, называют ведущими элементами.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.

Назначение метода Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.

Виды метода Гаусса

Классический метод Гаусса;
Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k -го столбца.
Метод Жордано-Гаусса;

Отличие метода Жордано-Гаусса от классического метода Гаусса состоит в применении правила прямоугольника , когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В методе Гаусса направление поиска решения происходит по столбцам (преобразование к системе с треугольной матрицей).
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.

Пример решения методом Гаусса
Решим систему:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Из 1-ой строки выражаем x 3:
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1:

Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Разрешающий элемент равен (3).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

x 1	x 2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1	x 2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реализация метода Гаусса

Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi, а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .

Использование метода Гаусса

Применение метода Гаусса в теории игр

В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений

Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании

В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Элементарные преобразования системы уравнений - это:

Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.

Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
Получили разрешенную систему, записываем ответ.

Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:

После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:

Описание шагов:

Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).

Учреждение образования «Белорусская государственная

Сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Метод Гаусса решения систем линейных

уравнений» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Эквивалентные системы уравнений

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной из них является решением другой. Процесс решения системы линейных уравнений состоит в последовательном преобразовании её в эквивалентную систему с помощью так называемых элементарных преобразований , которыми являются:

1) перестановка любых двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей любого уравнения системы на отличное от нуля число;

3) прибавление к любому уравнению другого уравнения, умноженного на любое число;

4) вычёркивание уравнения, состоящего из нулей, т.е. уравнения вида .

Гауссовы исключения

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Суть метода Гаусса или метода последовательного исключения неизвестных состоит в следующем.

Вначале с помощью элементарных преобразований исключается неизвестная из всех уравнений системы, кроме первого. Такие преобразования системы называются шагом гауссового исключения . Неизвестная называется разрешающей переменной на первом шаге преобразований. Коэффициент называется разрешающим коэффициентом , первое уравнение называется разрешающим уравнением , а столбец коэффициентов при разрешающим столбцом .

При выполнении одного шага гауссового исключения нужно пользоваться следующими правилами:

1) коэффициенты и свободный член разрешающего уравнения остаются неизменными;

2) коэффициенты разрешающего столбца, расположенные ниже разрешающего коэффициента, обращаются в нули;

3) все прочие коэффициенты и свободные члены при выполнении первого шага вычисляются по правилу прямоугольника:

, где i =2,3,…,m ; j =2,3,…,n .

Аналогичные преобразования выполним и над вторым уравнением системы. Это приведёт к системе, у которой во всех уравнениях, кроме первых двух, будет исключена неизвестная . В результате таких преобразований над каждым из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) исходная система приводится к эквивалентной ей ступенчатой системе одного из следующих видов.

Обратный ход метода Гаусса

Ступенчатая система

имеет треугольный вид и все (i =1,2,…,n ). Такая система имеет единственное решение. Неизвестные определяются, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Ступенчатая система имеет вид

где , т.е. число уравнений системы меньше либо равно числу неизвестных. Эта система не имеет решений, так как последнее уравнение не будет выполняться ни при каких значениях переменной .

Ступенчатая система вида

имеет бесчисленное множество решений. Из последнего уравнения неизвестная выражается через неизвестные . Затем в предпоследнее уравнение вместо неизвестной подставляется её выражение через неизвестные . Продолжая обратный ход метода Гаусса, неизвестные можно выразить через неизвестные . В этом случае неизвестные называются свободными и могут принимать любые значения, а неизвестные базисными.

При практическом решении систем удобно выполнять все преобразования не с системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, состоящей из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.

Пример 1 . Решить систему уравнений

Решение . Составим расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования:

В расширенной матрице системы число 3 (оно выделено) является разрешающим коэффициентом, первая строка является разрешающей строкой, а первый столбец – разрешающим столбцом. При переходе к следующей матрице разрешающая строка не изменяется, все элементы разрешающего столбца ниже разрешающего элемента заменяются нулями. А все другие элементы матрицы пересчитываются по правилу четырёхугольника. Вместо элемента 4 во второй строке запишем , вместо элемента -3 во второй строке будет записано и т.д. Таким образом, будет получена вторая матрица. У этой матрицы разрешающим элементом будет число 18 во второй строке. Для формирования следующей (третьей матрицы) вторую строку оставляем без изменения, в столбце под разрешающим элементом запишем нуль и пересчитаем оставшиеся два элемента: вместо числа 1 запишем , а вместо числа 16 запишем .