Операции над матрицами и их свойства.
Понятие определителя второго и третьего порядков. Свойства определителей и их вычисление.
3. Общее описание задания.
4. Выполнение заданий.
5. Оформление отчета о лабораторной работе.
Глоссарий
Выучите определения следующих терминов :
Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая из числа её строк m и числа столбцов n.
Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Операции над матрицами : транспонирование матрицы, умножение (деление) матрицы на число, сложение и вычитание, умножение матрицы на матрицу.
Переход от матрицы А к матрице А т, строками которой являются столбцы, а столбцами —строки матрицы А, называется транспонированием матрицы А.
Пример: А= , А т = .
Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример: 2А= 2· = .
Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=А В, элементы которой равны с ij = a ij b ij для всех i и j .
Пример: А = ; В = . А+В= 
= .
Произведением матрицы А m n на матрицу В n k называется матрица С m k , каждый элемент которой c ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В:
c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .
Чтобы можно было умножить матрицу на матрицу, они должны быть согласованными для умножения, а именно число столбцов в первой матрице должно быть равно числу строк во второй матрице.
Пример: А= и В = .
А·В—невозможно, т.к. они не согласованы.
В·А= . = 
= 
.
Свойства операции умножения матриц .
1. Если матрица А имеет размерность m n, а матрица В—размерность n k , то произведение А·В существует.
Произведение В·А может существовать, только когда m=k.
2.Умножение матриц не коммутативно, т.е. А·В не всегда равно В·А даже если определены оба произведения. Однако если соотношение А·В= В·А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными .
Пример . Вычислить .
Минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученный вычёркиванием -ой строки -го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента называется .
Теорема разложения Лапласа :
Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример . Вычислить .
Решение. .
Свойства определителей n-го порядка :
1) Величина определителя не изменится, если строки и столбца поменять местами.
2) Если определитель содержит строку (столбец) из одних нулей, то он равен нулю.
3) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.
4) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
5) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), кроме упомянутой, такие же, как и в данном определителе, а в упомянутой строке (столбце) первого определителя стоят первые слагаемые, второго - вторые.
7) Если в определителе две строки (столбца) пропорциональны, то он равен нулю.
8) Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
9) Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов главной диагонали.
Метод накопления нулей вычисления определителей основан на свойствах определителей.
Пример . Вычислить .
Решение. Вычтем из первой строки удвоенную третью, далее используем теорему разложения по первому столбцу.
~ 
.
Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):
1. Что называется определителем второго порядка?
2. Какие основные свойства определителей?
3. Что называется минором элемента?
4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?
5. Как разложить определитель третьего порядка по элементам какой-либо строки (столбца)?
6. Чему равна сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца), определителя по алгебраическим дополнениям соответствующих элементов другой строки (или столбца)?
7. В чём заключается правило треугольников?
8. Как вычисляются определители высших порядков способом понижения порядка
10. Какая матрица называется квадратной? Нулевой? Что такое матрица-строка, матрица-столбец?
11. Какие матрицы называются равными?
12. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умно-жения матрицы на число
13. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сло-жении, умножении?
14. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммута-тивность, ассоциативность, дистрибутивность ? Какие из них выпол-няются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?
15. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?
16. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.
17. Сформулировать лемму о транспонировании произведения мат-риц.
Практические задания общие (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):
№1. Найти сумму и разность матриц А и В:
а) 
б) 
в) 
№2. Выполните указанные действия:
в) Z= -11А+7В-4С+D
если 
№3. Выполните указанные действия:
в) 
№4. При помощи применения четырех способов вычисления определителя квадратной матрица, найти определители следующих матриц:
№5. Найти определителей n-ого порядка, по элементам столбца (строки):
а) 
б) 
№6. Найти определитель матрицы, используя свойства определителей:
а) 
б) 
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.
aij - элемент матрицы, который находится в i -ой строке и j -м столбце.
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .
В общем виде матрицу размером m ×n записывают так
Примеры:
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.
Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.
.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .
назад в содержание
(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.
Во всех случаях, когда вводятся новые математические объекты, необходимо договариваться о правилах действийнад ними, а также определить - какие объекты считаются равнымимежду собой.
Природа объектов не имеет никакого значения. Это могут быть вещественные или комплексные числа, векторы, матрицы, строки или что-то иное.
К числу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножение на число и сложение; в данном конкретном случае - умножкние матрицы на число и сложение матриц.
При умножении матрицы на число каждый матричный элемент умножается на это число, а сложение матриц подразумевает попарное сложение элементов, расположенных в эквивалентных позициях.
Терминологическое выражение " линейная комбинация<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.
Матрицы A = || a i j || и B = || a i j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:
Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a i j || и B = || b i j || является матрица C = || c i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов.
Квадратную матрицу -го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, будем называть единичной матрицей и обозначать через или просто . Название «единичная матрица» связано со следующим свойством матрицы : для любой прямоугольной матрицы
имеют место равенства
.
Очевидно,
Пусть- квадратная матрица. Тогда степень матрицы определяется обычным образом:
Из сочетательного свойства умножения матриц следует:
Здесь , - произвольные целые неотрицательные числа.
Рассмотрим многочлен (целую рациональную функцию) с коэффициентами из поля :
Тогда под будем понимать матрицу
Так определяется многочлен от матрицы.
Пусть многочлен равен произведению многочленов и :
.
Многочлен получается из и путем почленного перемножения и приведения подобных членов. При этом используется правило перемножения степеней: . Так как все эти действия правомерны и при замене скалярной величины на матрицу , то
Отсюда, в частности,
т. е. два многочлена от одной и той же матрицы всегда перестановочны между собой.
Условимся -й наддиагональю (поддиагональю) в прямоугольной матрице называть ряд элементов, у которых (соответственно). Обозначим через квадратную матрицу -го порядка, у которой элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Тогда
,
и т. д.;
В силу этих равенств если:
Многочлен относительно , то
.
Аналогично, если - квадратная матрица -го порядка, у которой все элементы первой поддиагонали равны единице, а все остальные, нулю, то
.
Предлагаем читателю проверить следующие свойства матриц и:
1° В результате умножения произвольной -матрицы слева на матрицу (матрицу ) -го порядка все строки матрицы подминаются (опускаются) на одно место вверх (вниз), первая (последняя) строка матрицы исчезает, а последняя (первая) строка произведения заполняется нулями. Так, например,
,
.
2° В результате умножения произвольной -матрицы справа на матрицу -го порядка все столбцы матрицы сдвигаются вправо (влево) на одно место, при этом последний (первый) столбец матрицы исчезает, а первый (последний) столбец произведения заполняется нулями. Так, например,
.
.
2. Квадратную матрицу будем называть особенной, если . В противном случае квадратная матрица называется неособенной.
Пусть - неособенная матрица (). Рассмотрим линейное преобразование с матрицей коэффициентов
Рассматривая равенства (23) как уравнения относительно и замечая, что определитель системы уравнений (23) по условию отличен от нуля, мы можем однозначно по известным формулам выразить через :
. (24)
Мы получили «обратное» преобразование для (23). Матрицу коэффициентов этого преобразования
мы назовем обратной матрицей для матрицы . Из (24) легко усмотреть, что
, (25)
где
-
алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента в определителе 
.
Так, например, если
и ,
.
Образуя составное преобразование из данного преобразования (23) и обратного (24) в одном и в другом порядке, мы в обоих случаях получаем тождественное преобразование (с единичной матрицей коэффициентов); поэтому
. (26)
В справедливости равенств (26) можно убедиться и непосредственным перемножением матриц и . Действительно, в силу (25)
.
Аналогично
.
Нетрудно видеть, что матричные уравнения
никаких других решений, кроме решения не имеют. Действительно, умножая обе части первого уравнения слева, а второго - справа на и используя сочетательное свойство произведения матриц, а также равенства (26), мы в обоих случаях получим:
Этим же способом доказывается, что каждое из матричных уравнений
где и - прямоугольные матрицы равных размеров, - квадратная матрица соответствующего размера, имеет одно и только одно решение:
И соответственно (29)
Матрицы (29) являются как бы «левым» и «правым» частными от «деления» матрицы на матрицу . Из (28) и (29) следует соответственно (см. стр. 22) и , т. е. . Сопоставляя с (28), имеем:
При умножении прямоугольной матрицы слева или справа на неособенную матрицу ранг исходной матрицы не изменяется.
Заметим еще, что из (26) вытекает , т.е.
Для произведения двух неособенных матриц имеем:
. (30)
3. Все матрицы -го порядка образуют кольцо с единичным элементом . Поскольку в этом кольце определена операция умножения на число из поля и существует базис из линейно независимых матриц, через которые линейно выражаются все матрицы -го порядка, то кольцо матриц -го порядка является алгеброй.
Все квадратные матрицы -го порядка образуют коммутативную группу относительно операции сложения. Все неособенные матрицы -го порядка образуют (некоммутативную) группу относительно операции умножения.
Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю):
, 
.
Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы.
Так как определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то треугольная (и, в частности, диагональная) матрица является неособенной только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля.
Легко проверить, что сумма и произведение двух диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц есть диагональная (соответственно верхняя треугольная, нижняя треугольная) матрица и что обратная матрица для неособенной диагональной (верхней треугольной, нижней треугольной) матрицы является матрицей того же типа. Поэтому
1° Все диагональные, все верхние треугольные, все нижние треугольные матрицы -го порядка образуют три коммутативные группы относительно операции сложения.
2° Все неособенные диагональные матрицы образуют коммутативную группу относительно умножения.
3° Все неособенные верхние (нижние) треугольные матрицы составляют группу (некоммутативную) относительно умножения
4. В заключение этого параграфа укажем на две важные операции над матрицами - транспонирование матрицы и переход к сопряженной матрице., то матрицы.
Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной () то такая матрица называется симметрической. Если же квадратная матрица совпадает со своей сопряженной (), то она называется эрмитовой. В симметрической матрице элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны, а в эрмитовой они комплексно сопряжены между собой. Диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда вещественны. Заметим, что произведение двух симметрических (эрмитовых) матриц, вообще говоря, не является симметрической (эрмитовой) матрицей. В силу 3° это имеет место только в том случае, когда данные две симметрические или эрмитовы матрицы перестановочны между собой.
Влечет за собой равенство .
Если квадратная матрица отличается множителем -1 от своей транспонированной () то такая матрица называется кососимметрической. В кососимметрической матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга множителем -1, а диагональные элементы равны нулю. Из 3° следует, что произведение двух перестановочных между собой кососимметрических матриц является симметрической матрицей.
В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.
Определение матрицы и её элемента. Обозначения.
Матрица - это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.
Разные способы записи матриц: показать\скрыть
Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Т.е., указанные ниже записи означают одну и ту же матрицу:
$$ \left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$
Произведение $m\times n$ называют размером матрицы . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.
Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:
Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".
Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Можно записать и несколько более развёрнуто:
$$ A_{m\times n}=(a_{ij}) $$
где запись $(a_{ij})$ означает обозначение элементов матрицы $A$. В полностью развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:
$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$
Введём еще один термин - равные матрицы .
Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными , если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.
Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть
Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.
Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.
Пример №1
Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.
Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.
Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.
Ответ : $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.
Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.
Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка . Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец . Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.
Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:
$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$
Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали ; их называют побочными диагональными элементами . Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:
Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы.
Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$
Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.
Виды матриц в зависимости от значений их элементов.
Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы.
Пусть матрица $A_{m\times n}$ имеет такой вид:
Тогда данную матрицу называют трапециевидной . Она может и не содержать нулевых строк, но уж если они есть, то располагаются в низу матрицы. В более общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:
Повторюсь, наличие нулевых строк в конце не является обязательным. Т.е. формально можно выделить такие условия для трапециевидной матрицы:
- Все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
- Все элементы от $a_{11}$ до $a_{rr}$, лежащие на главной диагонали, не равны нулю: $a_{11}\neq 0, \; a_{22}\neq 0, \ldots, a_{rr}\neq 0$.
- Либо все элементы последних $m-r$ строк равны нулю, либо $m=r$ (т.е. нулевых строк нету вообще).
Примеры трапециевидных матриц:
Перейдём к следующему определению. Матрицу $A_{m\times n}$ называют ступенчатой , если она удовлетворяет таким условиям:
Например, ступенчатыми матрицами будут:
Для сравнения, матрица $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ не является ступенчатой, поскольку у третьей строки нулевая часть такая же, как и у второй строки. Т.е., нарушается принцип "чем ниже строка - тем больше нулевая часть". Добавлю, что трапециевидная матрица есть частный случай ступенчатой матрицы.
Перейдём к следующему определению. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы.
Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно.
Диагональная матрица называется единичной , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.
Опр . Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.
Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом , гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:
Две матрицы считаются равными , если равны их соответствующие элементы.
Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п , то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).
Матрица размера
называется матрицей-строкой. Матрица
размера
называется матрицей-столбцом.
Элементы матрицы,
имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную
диагональ
матрицы. Другая диагональ называется
побочной.
Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:
Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:
§2. Операции над матрицами
1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:
.
2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:
3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:
.
4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.
Следствие . Возведение матрицы в степень к >1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.
Пример .
Свойства операций над матрицами.
(А+В)+С=А+(В+С);
к(А+В)=кА+кВ;
А(В+С)=АВ+АС;
(А+В)С=АС+ВС;
к(АВ)=(кА)В=А(кВ);
А(ВС)=(АВ)С;
(кА) Т =кА Т;
(А+В) Т =А Т +В Т;
(АВ) Т =В Т А Т;
Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА
Может не существовать
Может отличаться от АВ.
Пример
.
Предприятие выпускает продукцию двух
видов А и В и использует при этом сырье
трех типов S 1 ,
S 2 ,
и S 3 .
Нормы расхода сырья заданы матрицей
N=
,
гдеn
ij
– количество сырья j
,
расходуемого на производство единицы
продукции i
.
План выпуска продукции задан матрицей
С=(100 200), а стоимость единицы каждого
вида сырья – матрицей
.
Определить затраты сырья, необходимые
для планового выпуска продукции и общую
стоимость сырья.
Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:
Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р.