Лекция № 5 Основные этапы математического моделирования.

/ этап - постановка задачи исследования, решение которой должно быть получено посредством математического моделирова­ния. На этом этапе определяют объект изучения. Однако этого не­достаточно, ибо любой объект изучения, любой процесс неисчер­паемы в своих свойствах и отношениях (связях). Поэтому следует в соответствии с задачами исследования и конкретными условия­ми выделить из них наиболее существенные, исследование кото­рых должно привести к достижению поставленных целей.

II этап - разработка математической модели. Специалисты в области разработки математических моделей утверждают, что со­ставление математической модели - творческий процесс, кото­рый нельзя уложить в рамки конкретных рекомендаций. По их мнению, интуиция, знание дела и другие интеллектуальные каче­ства, которые, в сущности, не поддаются регулированию, играют важнейшую роль в процессе построения математической модели, и поэтому невозможно написать инструкцию или учебник по по­строению математических моделей. Более того, они считают, что если бы такой учебник был написан, то его появление скорее все­го приведет к ограничению творческих возможностей и не будет способствовать их развитию. Тем не менее анализ накопленного опыта позволил выявить определенные принципы построения ма­тематических моделей поршневых компрессоров*, которые изла­гаются в главе 9 настоящего пособия.

Определенный интерес представляют работы по автоматизации некоторых операций, связанных с разработкой математических моделей. Отметим, что успешные разработки автоматизированно­го составления математических моделей поршневых компрессо­ров возможны только после разработки структуры и основных принципов построения системы математических моделей из мо­дулей с последующим составлением и накоплением модульных математических моделей на всех уровнях иерархии.

III этап - выбор или разработка числового метода, реализующе­го разработанную математическую модель.

IVэтап - проверка математической модели на адекватность.

Уэтап - исследование на математической модели. Все вычисли­тельные эксперименты по заранее намеченному плану проводятся на разработанной математической модели.

VI этап -рассмотрение вопроса о переносе полученных на мате­матической модели данных на реальный объект изучения и об ис­пользовании полученной информации в практической деятельно­сти.

Пример последовательности математического моделирования. Процессы математического моделирования компрессора сложны и разнообразны и вряд ли могут быть представлены какой-то кон­кретной универсальной последовательностью действий, справед­ливой для всех случаев. Поэтому рассмотрим одну из возможных последовательностей работ по математическому моделированию рабочих процессов, протекающих в поршневом компрессоре, ко­торая используется в МГТУ им. Н. Э. Баумана (рис. 8.2).

Представленная на рис. 8.2 последовательность работ при мате­матическом моделировании, предусматривающая 12 стадий, явля­ется одновременно и типичной, и условной. Типичной она является, поскольку в ней представлены основные действия, выполня­емые при математическом моделировании рабочих процессов в поршневых компрессорах. Условность ее заключается в том, что в ряде случаев эта последовательность может быть сокращена или дополнена в зависимости от постановки задачи исследования и наличия информации на начальной стадии исследования.

Следует учитывать, что на практике часто вопросы, входящие в состав различных стадий, решаются одновременно и стадии быва­ет трудно разделить. Кроме того, при разработке и реализации ма­тематической модели, как правило, приходится возвращаться на­зад к уже пройденным стадиям и снова решать вопросы, относя­щиеся к ним. Причем такие циклы могут повторяться многократ­но. Например, в случаях, когда на стадии «Проверка адекватности» выявляется неадекватность математической модели поставленным при исследовании задачам, приходится возвра­щаться к стадии «Схематизация процесса» и по-новому произво­дить упрощение действительного процесса или возвращаться к стадии «Подбор и получение экспериментальных данных» и уточ­нять экспериментальную информацию.

Стадии 1, 2 и 3 соответствуют I этапу математического модели­рования, стадии 4, 5, 6 и 7 - II этапу, стадия 8 - III этапу, стадия 9 - IV этапу, стадия 10 - V этапу и стадии 11 и 12 - VI этапу.

Все стадии математического моделирования (см. рис. 8.2) име­ют большое значение для успешного моделирования. Однако при разработке математической модели наибольшее значение имеют мысленное представление физической сущности процесса, его схематизация, содержательное описание схематизированного про­цесса и возможность подбора необходимых экспериментальных данных из накопленного опыта.

Содержание основных стадий моделирования. Мысленное пред­ставление (стадия 2) физической сущности процесса включает в себя выделение контрольного объема (подробнее см. в главе 9), предусматривает четкое знание количественных и качественных характеристик процесса, ясное понимание составляющих процесс явлений, их взаимосвязей и взаимодействий, правильное опреде­ление главных, наиболее существенных факторов, оказывающих влияние на изучаемый процесс.

Цель исследования должна быть конкретной и четко сформу­лирована в письменном виде (стадия 3). Последнее позволяет из­бежать недоразумений и связанных с ними трудностей при обра­щении к цели исследования на любой последующей стадии моде­лирования.

При схематизации процесса (стадия 4) вводятся и обосновыва­ются допустимые с точки зрения исследователя упрощения, кото­рые позволяют описать основные явления формально, т. е. мате­матически.

Содержательное описание математической модели (Иногда содержательное описание математической модели называют концеп­туальной моделью) (стадия 5) представляет собой текстовое описание основных подходов, фи­зических принципов, допущений и предположений, которые образуют основу для создания модели. Предположения и обоснова­ния возможных аппроксимаций и усреднений данных, вводимых в математическую модель, также входят в содержательное описа­ние. На этой стадии определяют вид и форму представления на­чальных и граничных условий, перечень необходимых экспери­ментальных данных и вид их представления в математической мо­дели. На этой стадии экспериментальные данные могут быть представлены в виде таблиц или графиков. Читатель уже встречал­ся с содержательным описанием мысленной модели идеального компрессора в § 2.1.

Составление содержательного описания математической моде­ли очень полезно при исследованиях сложных объектов и процес­сов, так как позволяет более полно осмыслить математическую модель, на понятном языке согласовать модель с заказчиком и провести консультации со специалистами.

На стадии 6 необходимо закончить запись всех математических соотношений, представить все логические отношения в виде не­равенств, а также облечь в математическую форму остальные све­дения о процессе, включая экспериментальные данные, при этом такие данные аппроксимируются соответствующими функциями или полиномами, удобными для вычисления на ЭВМ.

Взаимодействие уравнений и экспериментальных данных. На од­ной из стадий моделирования (чаще всего это бывает на стадии не­посредственного написания математической модели) целесообраз­но рассмотреть схему взаимодействия отдельных частей математи­ческой модели, взаимосвязи между уравнениями, а также между уравнениями и экспериментальными данными (рис. 8.3 и 8.4).

Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических систем и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1), определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента . Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.

Рис. 1.1 Получение математической модели

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин «содержательная модель » ТО, а в некоторых случаях – «концептуальная модель ».

При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы исследования.

Надо сказать, что для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра PC (см. рис. 1.1, штриховая линия). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случаев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение.

Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения.

Итог анализа на рассматриваемом этапе – это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что

предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть современными методами вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны, прежде всего, пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма, и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду «модель – алгоритм – программа» можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего «технологический цикл» этапа математического моделирования.

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении некоторых этапов, а при наличии соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного «технологического цикла».

Таким образом, этапы математического моделирования можно записать в виде последовательности действий:

1) выбор расчетной схемы и определение необходимой детализации;

2) математическое описание (составление системы уравнений);

3) выбор метода решения;

4) приведение модели (включающей уравнения, метод, исходные данные и начальные условия) к виду, удобному для решения на ЭВМ;

5) составление программы для ЭВМ;

6) проведение расчетов (моделирование);

7) при необходимости повторить шаги 3 – 6;

8) анализ результатов;

9) при необходимости повторить шаги 1 – 8;

10) оформление отчета (описания, схем, рисунков, графиков, формул);

11) при необходимости повторить шаги 1 – 10, 3 – 10, 8 – 10.

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования , задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов.

Вторым этапом моделирования является выбор типа математической модели , что является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

Процесс выбора математической модели объекта заканчивается ее предварительным контролем , который также является первым шагом на пути к исследованию модели. При этом осуществляются следующие виды контроля (проверки): размерностей; порядков; характера зависимостей; экстремальных ситуаций; граничных условий; математической замкнутости; физического смысла; устойчивости модели .

Контроль размерностей сводится к проверке выполнения правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.

Контроль порядков величин направлен на упрощение модели. При этом определяются порядки складываемых величин и явно малозначительные слагаемые отбрасываются.

Анализ характера зависимостей сводится к проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других. Направления и скорость, вытекающие из ММ, должны соответствовать физическому смыслу задачи.

Анализ экстремальных ситуаций сводится к проверке наглядного смысла решения при приближении параметров модели к нулю или бесконечности.

Контроль граничных условий состоит в том, что проверяется соответствие ММ граничным условиям, вытекающим из смысла задачи. При этом проверяется, действительно ли граничные условия поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

Анализ математической замкнутости сводится к проверке того, что ММ дает однозначное решение.

Анализ физического смысла сводится к проверке физического содержания промежуточных соотношений, используемых при построении ММ.

Проверка устойчивости модели состоит в проверке того, что варьирование исходных данных в рамках имеющихся данных о реальном объекте не приведет к существенному изменению решения.

Процесс моделирования в общем случае состоит из нескольких этапов.

1). Постановка задачи моделирования. Главное на этом этапе – четко сформулировать сущность проблемы, цель моделирования и все вопросы, на которые необходимо получить ответы в процессе моделирования. Этот этап также включает выделение важнейших свойств объекта моделирования и абстрагирование от второстепенных свойств, изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы. Здесь определяются также входные, выходные и промежуточные переменные, задаются ограничения, накладываемые на условия функционирования объекта исследования.
2). Разработка математической модели. Это этап формализации проблемы, выражения её в виде конкретных уравнений, неравенств и т.д. На этом этапе необходимо иметь ввиду, что чрезмерное усложнение модели затрудняет процесс исследования, увеличивает сроки разработки и приводит к росту затрат на разработку. Поэтому необходимо учитывать реальные возможности и сопоставлять затраты на разработку математической модели с ожидаемым эффектом. При неоправданном усложнении модели затраты на моделирование могут превысить эффект от использования модели.
3). Математический анализ модели и выбор метода решения. На этом этапе выясняются общие свойства модели, выполняется доказательство существования решения поставленной задачи. Если будет доказано, что математическая задача не имеет решения, то следует скорректировать либо модель, либо постановку задачи, либо и то и другое. Если же решение задачи существует, то выбирается метод ее решения.
4). Разработка алгоритма решения задачи. Для реализации модели разрабатывается компьютерная программа, либо используются существующие пакеты прикладных программ. Использование таких пакетов упрощает реализацию моделей, а разработка собственной программы даёт возможность большему пониманию методов решения задачи, а также возможность усовершенствования используемых методов и их адаптации для решения конкретной задачи. Если выбран второй вариант, то перед разработкой программы разрабатывается алгоритм решения задачи, блок-схема алгоритма, составляется словесное описание этого алгоритма.
5). Подготовка исходной информации. На этой стадии уточняются перечни входной, промежуточной и выходной информации, перечень постоянных коэффициентов, пределы изменения входных и выходных переменных. Здесь необходимо также уточнить размерность всех величин, входящих в математическую модель.
6). Разработка и отладка программы. На этом этапе ведется разработка и отладка программы на одном из современных языков программирования, например, Visual Basic, Visual Basic for Applications, Delphi, C++ и т.д.
7). Проверка математической модели на адекватность. После разработки и отладки программы решается вопрос об адекватности модели объекту-оригиналу, о степени ее практической применимости. Модель считается адекватной реальному объекту, если полученные путём моделирования значения выходных параметров совпадают с реальными с заданной степенью точности. Анализ полученных результатов позволяет обнаруживать недостатки математической модели. Выявленные недостатки модели устраняются в последующих циклах моделирования. Начав разработку и исследование с простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем можно перейти к созданию более совершенной модели.
8). Исследование модели на ЭВМ. На этом этапе выполняется непосредственное выполнение расчетов на ЭВМ, то есть выполняется решение задачи с использованием численных методов. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается провести многочисленные эксперименты с моделью в очень короткие сроки.
9). Анализ результатов исследования и их применение. На этом этапе выполняется сравнительный анализ вариантов моделирования. Анализ результатов исследования дает возможность сделать вывод относительно характеристик исследуемого объекта, его линейности, инерционности, наличия запаздывания по определённым каналам и т.п.
10). Разработка рекомендаций. На основании результатов анализа производится разработка заключений и рекомендаций по использованию модели и результатов моделирования.

Моделирование – это итеративный (повторяющийся) процесс, поэтому возможен возврат с любого этапа к любому предыдущему этапу.

1-й этап. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели.

2-й этап. Создание концептуальной модели , т. е. содержательного описания моделируемого объекта. Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:

− состав и структура объекта;

− причинно-следственные связи между параметрами объекта;

− количество параметров, достаточное для адекватного описания объекта;

− класс исследуемого объекта и создаваемой модели;

− условия функционирования объекта.

На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.

Проблема 1. Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту.

Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы:

− отсутствие эффективных методов исследования такой модели;

− рост затрат на моделирование превысит рост эффекта от внедрения модели.

Нельзя входить и в другую крайность – чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор влияющих факторов, их четкое разграничение наосновные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, второстепенные отброшены (рис. 1.9). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.

Проблема 2. Определение границ применимости создаваемой модели.

Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности).

ПРИМЕР 1.13. Сформировать математическую модель, описывающую процесс падения тела на Землю.

В основе этого явления лежит закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Если в качестве этих двух тел рассматривать металлический шарик и Землю, то на языке математики падение шарика можно описать соотношением:

, (1.6)

где – постоянная;

m и М З – масса шарика и Земли,

R – расстояние между центрами притягивающихся тел.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила F, то его движение описывается соотношением:

(1.7)

Так как рассматривается процесс падения тела, то следует a заменить на ускорение свободного падения . Тогда модель падения шара примет вид:

или
– (1.8)

это модель в общем виде. Теперь необходимо ее конкретизировать для данных условий проведения эксперимента. Опыт с шаром проводится в лаборатории (т. е. вблизи поверхности Земли). Следовательно, можно принять, что расстояние между центрами Земли и шарика равно радиусу Земли: R= R З. Тогда математическая модель примет вид:

(1.9)

Эта модель позволяет дать исчерпывающее описание процесса падения шара в любой момент времени t: определить высоту h, на которой находится шар, а также его скорость v:

(1.10)

(1.11)

Границы применимости этой модели:

– тело падает с небольшой высоты, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли;

– тело имеет компактную форму и обладает достаточной массой;

– можно пренебречь фактором сопротивления воздуха.

При нарушении хотя бы одного из этих условий данная модель не будет адекватной. Например, эту модель нельзя применить для описания следующих процессов: приземления парашютиста, падения листьев с дерева, падения осколка метеорита на Землю и т. д.

В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).

Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.

Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.

Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:

– все соотношения записывают в аналитической форме;

– логические условия выражают в виде систем неравенств;

– случайные процессы заменяют их типовыми моделями.

4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.

5-й этап. Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.