Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Национальный минерально-сырьевой университет ”Горный”
Кафедра Общей и технической физики
(лаборатория электромагнетизма)
Изучение магнитного поля
(закон Био–Савара–Лапласа)
Методические указания к лабораторной работе № 4
Для студентов всех специальностей
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
Цель работы: Измерение магнитных полей, создаваемых проводниками различных конфигураций. Экспериментальная проверка закона Био–Савара–Лапласа.
Теоретические основы лабораторной работы
Использование магнитного поля в промышленности нашло широкое применение. Проблема передачи энергии до тех или иных промышленных и др. установок может быть решена при помощи магнитного поля (например, в трансформаторах). В обогатительном деле при помощи магнитного поля производят сепарацию (магнитные сепараторы), т.е. отделяют полезные ископаемые от пустой породы. А в процессе производства искусственных абразивов ферросилиций, присутствующий в смеси, оседает на дно печи, но небольшие его количества внедряются в абразив и позже удаляются магнитом. Без магнитного поля не смогли бы работать электромашинные генераторы и электродвигатели. Термоядерный синтез, магнитодинамическое генерирование электроэнергии, ускорение заряженных частиц в синхротронах, подъём затонувших судов и др. – всё это области, где требуются магниты. Природные магниты, как правило, не достаточно эффективны в решении некоторых производственных проблем и используются в основном только в бытовой технике и в измерительной аппаратуре. Основное применение магнитное поле находит в электротехнике, радиотехнике, приборостроении, автоматике и телемеханике. Здесь ферромагнитные материалы идут на изготовление магнитопроводов, реле и др. магнитоэлектрических приборов. Естественные (или природные) магниты встречаются в природе в виде залежей магнитных руд. В горном деле вопросам разработки залежей магнитных руд посвящены отдельные разделы и имеют свою специфику, например, есть такие науки, как магнетохимия и магнитная дефектоскопия. В Тартуском университете находится самый крупный известный естественный магнит. Его масса составляет 13 кг, и он способен поднять груз в 40 кг. Проблема создания сильных магнитных полей стала одной из основных в современной физике и технике. Сильные магниты можно создавать проводниками с током. В 1820 Г. Эрстед (1777–1851) обнаружил, что проводник с током воздействует на магнитную стрелку, поворачивая ее. Буквально неделей позже Ампер показал, что два параллельных проводника с током одного направления притягиваются друг к другу. Позднее он высказал предположение, что все магнитные явления обусловлены токами, причем магнитные свойства постоянных магнитов связаны с токами, постоянно циркулирующими внутри этих магнитов. Это предположение полностью соответствует современным представлениям. Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 – 1862) и Ф. Саваром (1791 – 1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом. Закон Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитывать магнитные поля, создаваемые любыми проводниками с током.
Изучение закономерностей протекания магнитных явлений позволит обобщить приобретенные знания и успешно использовать их как в лабораторных условиях, так и в производстве.
Магнитное поле прямолинейного проводника с током
Проводник, по которому протекает электрический ток, создает магнитное поле. Магнитное поле характеризуется вектором напряженности `H (рис. 1), который можно вычислить по формуле
`H = òd`H .
Cогласно закону Био-Савара-Лапласа,
где I – сила тока в проводнике, d `l – вектор, имеющий длину элементарного отрезка проводника и направленный по направлению тока, `r – радиус вектор, соединяющий элемент с рассматриваемой точкой P .
Рассмотрим магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником с током конечной длины (рис. 2). Отдельные элементарные участки этого проводника создают поля d`H
, направленные в одну сторону (перпендикулярно плоскости чертежа), поэтому напряженность магнитного поля в точке P может быть найдена интегрированием:
Имеем l = r o ×сtga, так что Кроме того, Поэтому
Вычислим поле, создаваемое током, текущим по тонкому прямолинейному проводу бесконечной длины.
Индукция магнитного поля в произвольной точке А (рис. 6.12), создаваемого элементом проводника dl , будет равна
Рис. 6.12. Магнитное поле прямолинейного проводника
Поля от различных элементов имеют одинаковое направление (по касательной к окружности радиусом R , лежащей в плоскости, ортогональной проводнику). Значит, мы можем складывать (интегрировать) абсолютные величины
|
|
Выразим r и sin через переменную интегрирования l
|
|
Тогда (6.7) переписывается в виде
Таким образом,
Картина силовых линий магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током представлена на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Магнитные силовые линии поля прямолинейного проводника с током:
1 - вид сбоку; 2, 3 - сечение проводника плоскостью, перпендикулярной проводнику
Рис. 6.14. Обозначения направления тока в проводнике
Для обозначения направления тока в проводнике, перпендикулярном плоскости рисунка, будем использовать следующие обозначения (рис. 6.14):
Напомним выражение для напряженности электрического поля тонкой нити, заряженной с линейной плотностью заряда
Сходство выражений очевидно: мы имеем ту же зависимость от расстояния до нити (тока), линейная плотность заряда заменилась на силу тока. Но направления полей различны. Для нити электрическое поле направлено по радиусам. Силовые линии магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током образуют систему концентрических окружностей, охватывающих проводник. Направления силовых линий образуют с направлением тока правовинтовую систему.
На рис. 6.15 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.
Вокруг прямого провода, перпендикулярного пластинке, наблюдаются кольцевые силовые линии, расположенные наиболее густо вблизи провода. При удалении от него поле убывает.
Рис. 6.15. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника
На рис. 6.16 представлены опыты по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг проводов, пересекающих картонную пластинку. Железные опилки, насыпанные на пластинку, выстраиваются вдоль силовых линий магнитного поля.
Рис. 6.16. Распределение силовых линий магнитного поля
вблизи пересечения с пластинкой одного, двух и нескольких проводов
Рассмотрим
прямолинейный проводник
(рис.3.2) , который является частью замкнутой
электрической цепи. По закону
Био-Савара-Лапласа вектор магнитной
индукции
поля, создаваемого в точкеА
элементом
проводника с токомI
,
имеет значение
,
где
- угол между векторами
и
.
Для всех участков
этого проводника векторы
и
лежат в плоскости чертежа, поэтому в
точкеА
все векторы
,
создаваемые каждым участком
,
направлены перпендикулярно к плоскости
чертежа (к нам). Вектор
определяется по принципу суперпозиции
полей:
,
его модуль равен:
.
Обозначим
расстояние от точки А
до проводника
.
Рассмотрим участок проводника
.
Из точкиА
проведем дугу С
D
радиуса
,
– мал, поэтому
и
.
Из чертежа видно, что
;
,
но
(CD
=
)
Поэтому имеем:
.
Для
получаем:
где
и
-
значения угла для крайних точек проводникаMN
.
Если проводник
бесконечно длинный, то
,
.
Тогда
индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника .
3.4. Магнитное поле кругового тока
Рассмотрим
круговой виток радиуса R
,
по которому течет ток I
(рис. 3.3).
По закону Био- Савара- Лапласа индукция
поля, создаваемого в точкеО
элементом
витка с током равна:
,
причём
,
поэтому
,
и
.
С учётом сказанного получаем:
.
Все
векторы
направлены перпендикулярно к плоскости
чертежа к нам, поэтому индукция
напряженность
.
Пусть S
– площадь, охватываемая круговым витком,
.
Тогда магнитная индукция в произвольной
точке оси кругового витка с током:
,
где
– расстояние от точки до поверхности
витка. Известно, что
-
магнитный момент витка. Его направление
совпадает с вектором
в любой точке на оси витка, поэтому
,
и
.
Выражение
для
по виду аналогично выражению для
электрического смещения в точках поля,
лежащих на оси электрического диполя
достаточно далеко от него:
.
Поэтому магнитное поле кольцевого тока часто рассматривают как магнитное поле некоторого условного «магнитного диполя», положительным (северным) полюсом считают ту сторону плоскости витка, из которой магнитные силовые линии выходят, а отрицательным (южным) – ту, в которую входят.
Для контура тока, имеющего произвольную форму:
,
где
- единичный вектор внешней нормали к
элементу
поверхностиS
,
ограниченной контуром. В случае плоского
контура поверхность S
– плоская и все векторы
совпадают.
3.5. Магнитное поле соленоида
Соленоид - это цилиндрическая катушка с большим числом витков провода. Витки соленоида образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов. Эти витки (токи) имеют одинаковый радиус и общую ось (рис.3.4).
Рассмотрим сечение
соленоида вдоль его оси. Кружками с
точкой будем обозначать токи, идущие
из-за плоскости чертежа к нам, а кружочком
с крестиком - токи, идущие за плоскость
чертежа, от нас. L
– длина соленоида, n
–
число витков,
приходящихся на единицу длины соленоида;
-
R
- радиус витка. Рассмотрим точку А
,
лежащую на оси
соленоида. Ясно, что магнитная индукция
в этой точке направлена вдоль оси
и равна алгебраической сумме индукций
магнитных полей, создаваемых в этой
точке всеми витками.
Проведем из
точки А
радиус – вектор
к какому-либо витку. Этот радиус-вектор
образует с осью
уголα
.
Ток, текущий по этому витку, создает в
точке А
магнитное поле с индукцией
.
Рассмотрим
малый участок
соленоида, он имеет
витков. Эти витки создают в точкеА
магнитное поле, индукцию которого
.
Ясно,
что расстояние по оси от точки А
до участка
равно
;
тогда
.Очевидно,
,
тогда
Магнитная индукция полей, создаваемых всеми витками, в точке А равна
Напряженность
магнитного поля в точке А
.
Из
рис.3. 4 находим:
;
.
Таким образом, магнитная индукция зависит от положения точки А на оси соленоида. Она
максимальна в середине соленоида:
.
Если
L
>>
R
,
то соленоид можно считать бесконечно
длинным, в этом случае
,
,
,
;
тогда
;
.
На
одном из концов длинного соленоида
,
или
;
,
,
.
Электрический ток в проводнике образует магнитное поле вокруг проводника. Электрический ток и магнитное поле - это две неотделимые друг от друга части единого физического процесса. Магнитное поле постоянных магнитов в конечном счете также порождается молекулярными электрическими токами, образованными движением электронов по орбитам и вращением их вокруг своих осей.
Магнитное поле проводника и направление его силовых линий можно определить при помощи магнитной стрелки. Магнитные линии прямолинейного проводника имеют форму концентрических окружностей, расположенных в плоскости, перпендикулярной проводнику. Направление магнитных силовых линий зависит от направления тока в проводнике. Если ток в проводнике идет от наблюдателя, то силовые линии направлены по часовой стрелке.
Зависимость направления поля от направления тока определяется правилом буравчика: при совпадении поступательного движения буравчика с направлением тока в проводнике направление вращения ручки совпадает с направлением магнитных линий.
Правилом буравчика можно пользоваться и для определения направления магнитного поля в катушке, но в следующей формулировке: если направление вращения рукоятки буравчика совместить с направлением тока в витках катушки, то поступательное движение буравчика покажет направление силовых линий поля внутри катушки (рис. 4.4).
Внутри катушки эти линии идут от южного полюса к северному, а вне ее - от северного к южному.
Правилом буравчика можно пользоваться также и при определении направления тока, если известно направление силовых линий магнитного поля.
На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила, равная
F = I·L·B·sin
I - сила тока в проводнике; B - модуль вектора индукции магнитного поля; L - длина проводника, находящегося в магнитном поле; - угол между вектором магнитного поля инаправлением тока впроводнике.
Силу, действующую на проводник с током в магнитном поле, называют силой Ампера.
Максимальная сила Ампера равна:
F = I·L·B
Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции В входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по направлению тока, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы, действующей на отрезок проводника с током, то есть силы Ампера.
Если и лежат в одной плоскости, то угол между и прямой, следовательно . Тогда сила, действующая на элемент тока ,
(разумеется, со стороны первого проводника на второй действует точно такая же сила).
Результирующая сила равна одной из этих сил. Если эти два проводника будут воздействовать на третий, тогда их магнитные поля и нужно сложить векторно.
Контур с током в магнитном поле
| Рис. 4.13 |
Пусть в однородное магнитное поле помещена рамка с током (рис. 4.13). Тогда силы Ампера, действующие на боковые стороны рамки, будут создавать вращающий момент, величина которого пропорциональна магнитной индукции, силе тока в рамке, ее площади S и зависит от угла a между вектором и нормалью к площади :
Направление нормали выбирают так, чтобы в направлении нормали перемещался правый винт при вращении по направлению тока в рамке.
Максимальное значение вращательный момент имеет тогда, когда рамка устанавливается перпендикулярно магнитным силовым линиям:
Это выражение также можно использовать для определения индукции магнитного поля:
Величину, равную произведению , называют магнитным моментом контура Р т . Магнитный момент есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к контуру. Тогда вращательный момент можно записать
При угле a = 0 вращательный момент равен нулю. Значение вращательного момента зависит от площади контура, но не зависит от его формы. Поэтому на любой замкнутый контур, по которому течет постоянный ток, действует вращательный момент М , который поворачивает его так, чтобы вектор магнитного момента установился параллельно вектору индукции магнитного поля.
Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.
Закон Био – Савара – Лапласа
В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:
- магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
- магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
- магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.
Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа . Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию
Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.
Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl , с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением
где I – сила тока, протекающая по проводнику,
r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,
dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,
k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ 0 /(4π)
Так как является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом
Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения
где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.
Магнитная индукция прямолинейного проводника
Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.
Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения
В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид
где I – ток, протекающий по проводу,
b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.
Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по dα в пределах от 0 до π.
Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид
I – ток, протекающий по проводу,
b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.
Магнитная индукция кольца
Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.
В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.
В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид
Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности
где μ 0 – магнитная постоянная, μ 0 = 4π 10 -7 Гн/м,
I – сила тока в проводнике,
R – радиус окружности, в которое свернут проводник.
Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х , которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.
В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dB X , которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB
Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции
Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности
где μ 0 – магнитная постоянная, μ 0 = 4π 10 -7 Гн/м,
I – сила тока в проводнике,
R – радиус окружности, в которое свернут проводник,
х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.
Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.
Циркуляция вектора магнитной индукции
Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.
Представим некоторый контур l , который перпендикулярный току I . В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением
Так как угол dφ достаточно мал, то векторов dl В определяется, как длина дуги
Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции
Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура
В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:
Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.
Магнитное поле соленоида и тороида
С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.
Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4 . Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид
Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4 , который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид
где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,
I – ток, протекающий по соленоиду.
Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.
В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R , на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r , центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид
где r – радиус контура магнитной индукции.
Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид
где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,
r – радиус контура магнитной индукции,
R – радиус тороида.
Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.
Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.