Латинские квадраты. Научный форум dxdy

6. ПЛАНЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ

6.1. Планы на латинских квадратах

При составлении планов поиска оптимальных значений функции и описания поверхности отклика предполагалось, что факторы представляют собой непрерывные величины. Однако некоторые параметры систем носят дискретный характер и принимают только относительно небольшое количество значений, например, емкость запоминающих устройств, тактовая частота системной шины персонального компьютера. Другие факторы по своей природе имеют не количественную, а качественную природу, в частности, однотипные изделия выпускаются целым рядом изготовителей. Этим изделиям можно приписать некоторые обозначения в номинативной шкале измерений.

Таким образом, существует параметры (характеристики), принимающие некоторое ограниченное количество значений, задаваемых в количественной или качественной шкале измерений. Необходимо в условиях воздействия других факторов оценить влияние таких параметров на показатель качества системы или определить их значимость. Полный перебор возможных сочетаний параметров системы потребует чрезмерно большого количества опытов. С целью рационального сокращения экспериментальных исследований применяют специальный вид планов – планы на латинских квадратах.

Латинский квадрат характеризуется особым расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и в каждом столбце. Пример латинского квадрата, размером n ×n , для n = 3 представлен в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Для любого n > 2 существует множество вариантов построения латинских квадратов. Количество вариантов латинских квадратов с ростом n быстро увеличивается и определяется формулой

N (n , n ) = n !(n – 1)!L (n ).

Некоторые значения L (n ) представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

L (n )

Латинскому квадрату можно сопоставить план эксперимента, в котором строки соответствуют различным значениям одного фактора, столбцы – значениям другого, а латинские буквы – значениям третьего фактора, т.е. латинский квадрат позволяет исследовать влияние не более чем трех факторов. Пример представления латинского квадрата для факторов L , P , Z , каждый из которых варьируется на четырех уровнях (n = 4) приведен в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Применение плана, построенного на основе латинского квадрата, позволяет оценить дифференциальный (разностный) эффект пар уровней, но не дает информации о взаимодействии между факторами (иначе говоря, факторы не зависят друг от друга). Так, сумма результатов экспериментов, соответствующих столбцу j , будет оценивать эффект P j , усредненный по всем L и Z . Тогда дифференциальный эффект увеличения значения фактора P от уровня 1 до уровня 2, усредненный по всем L и Z , можно оценить по разности между суммой значений функции отклика столбца 2 и столбца 1. Порядок перечисления уровней факторов роли не играет.

В частности, рассмотренный план позволяет оценить влияние размера видеопамяти графического адаптера (P ) на скорость вывода видеоизображений при различном быстродействии (L ) процессора компьютера и разном разрешении дисплея (Z ). Применительно к рассмотренному примеру для трех факторов при четырех уровнях варьирования ПФЭ требует 4 3 = 64 опытов, а с применением латинского квадрата – только 16. Экономия достигается за счет потери информации о взаимодействии факторов.

В условиях применения латинского квадрата все факторы должны варьироваться на одинаковом количестве уровней. Можно ослабить это требование путем приравнивания какого-либо уровня другому.

Приведенный пример является одним из возможных расположений уровней факторов, позволяющих получить несмещенные оценки главных эффектов. Латинские квадраты можно накладывать друг на друга, образуя греко-латинские квадраты . Например, два латинских квадрата 3´3 можно преобразовать в греко-латинский квадрат

Здесь латинские буквы образуют один латинский квадрат, а греческие буквы – другой латинский квадрат. Каждая латинская буква встречается в паре с конкретной греческой буквой только один раз. С помощью этого греко-латинского квадрата можно оценить главные эффекты четырех 3-х уровневых факторов (фактора строк, фактора столбцов, римских букв и греческих букв) проведя только 9 опытов.

Если наложить друг на друга три различных варианта латинских квадратов, то получится план гипер-греко-латинского квадрата . С его помощью можно оценить главные эффекты пяти факторов (фактора строк, столбцов и трех расположений квадратов). В частности, для пяти трехуровневых факторов потребуется провести только 9 опытов вместо 243 опытов при переборе всех возможных сочетаний факторов.

Итак, планы латинских (греко-латинских) квадратов используются в тех случаях, когда требуется оценить влияние факторов, варьируемых более чем на двух уровнях и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или этим взаимодействиями можно пренебречь. Имеются таблицы латинских и греко-латинских квадратов различных размеров, за исключением одного практически важного случая – не существует греко-латинского квадрата для 6 уровней факторов.

Начала писать обзорную статью о методах построения магических квадратов. Штудирую материалы по этой теме во всех источниках. Вот в книге Чебракова нахожу "Метод латинских квадратов" (Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Терия чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - С.-Петербург, 1995; стр.96-97).
Цитата из книги: "Первый латинский квадрат строят следующим образом: а) произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы n*n целыми числами от 0 до n-1, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом k="; б) остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего циклической перестановкой - первое число переносится в конец строки. Второй латинский квадрат получается из первого путём его поворота на девяносто градусов".
Ну, как строится первый латинский квадрат, понятно. В книге дана иллюстрация построения. Вот первый латинский квадрат, изображённый на иллюстрации:

2 1 4 0 3
3 2 1 4 0
0 3 2 1 4
4 0 3 2 1
1 4 0 3 2

А как составляется второй латинский квадрат, убей не понимаю! Целый час поворачивала первый латинский квадрат, но так и не смогла получить тот квадрат, который изображён на картинке у автора книги. Вот какой второй латинский квадрат дан автором:

0 3 4 1 2
3 4 1 2 0
4 1 2 0 3
1 2 0 3 4
2 0 3 4 1

Пожалуйста, объясните мне, какой здесь поворот на 90 градусов? Вокруг чего? В какую сторону?
Вот какой магический квадрат построил автор из пары составленных им ортогональных латинских квадратов:

11 9 25 2 18
19 15 7 23 1
5 17 13 6 24
22 3 16 14 10
8 21 4 20 12

Тогда я составила второй латинский квадрат по-своему: отражение первого латинского квадрата относительно горизонтальной оси симметрии. И вот какой магический (к тому же и ассоциативный; ну, ассоциативность обеспечивается удачно составленным первым латинским квадратом - он является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом; мой второй латинский квадрат тоже является нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом, в отличие от второго квадрата Чебракова) квадрат получен из моей пары ортогональных латинских квадратов:

12 10 21 4 18
20 11 9 23 2
1 19 13 7 25
24 3 17 15 6
8 22 5 16 14

Если мы будем строить магический квадрат седьмого порядка по Чебракову, то как составить второй латинский квадрат? Первый латинский квадрат может быть, например, такой:

3 2 5 0 1 4 6
6 3 2 5 0 1 4
4 6 3 2 5 0 1
1 4 6 3 2 5 0
0 1 4 6 3 2 5
5 0 1 4 6 3 2
2 5 0 1 4 6 3

Правильно Теперь скажите, куда и как надо повернуть на 90 градусов этот латинский квадрат, чтобы получить второй латинский квадрат по Чебракову
Продолжаю проверять свой способ. Составляю второй латинский квадрат отражением первого относительно горизонтальной оси симметрии. Cтрою из полученной пары ортогональных латинских квадратов магический квадрат:

Если внимательно присмотреться к числам от 1 до 16, расположенным в клетках квадрата на рис. 1, то можно заметить следующую закономерность: сумма чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же. Такой квадрат и все квадраты, обладающие аналогичным свойством, получили название магических.

Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов не существует. На рис. 2 изображен единственный магический квадрат . Единственный в том смысле, что все остальные магические квадраты получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.

С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов уже 880, а для размера их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате на рис. 3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям, связанным на рисунке цветными линиями.

Латинским квадратом называется квадрат клеток, в которых написаны числа , притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис. 4 изображены два таких латинских квадрата . Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причем в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений и для таких четных значений , которые делятся на 4. Решение задачи Эйлера для 25 офицеров изображено на рис. 5. Чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток. Здесь особенно хорошо видна связь между, задачей Эйлера и латинскими квадратами: рода войск соответствуют числам одного латинского квадрата, а чины (цветные точки) – числам ортогонального ему латинского квадрата. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений , т.е. если число при делении на 4 дает в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов размером не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. с помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты , потом . А затем было показано, что для любого , кроме 6, существуют ортогональные квадраты размером .

Гравюра А. Дюрера «Меланхолия»

«Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре А. Дюрера «Меланхолия».

Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра». Д. Оре

Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных латинских квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число , где – число в такой клетке первого квадрата, а – число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.

Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис. 6). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рисунке сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов пусть будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка, и уменьшается при переходе вправо (на рисунке этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры же, стоящие в клетках рисунка, пусть означают: первая – количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на этот участок, а вторая – количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах из рис. 4. Нетрудно понять, что при этом реализованы все возможные пары сочетаний как сорта, и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

Метод разделения наблюдений для исключения неоднородности при проведении дальнейших исследований. См. Анализ дисперсионный.

• - в древности войны латинов против Рима. В 496 до н. э. между Римом, претендовавшим на гегемонию в Латинском союзе, и латинами началась 1-я Л. в. Вскоре после легендарной битвы при Регильском оз. был вновь...

  Советская историческая энциклопедия

• - Latini coloniarii, назывались жители новолатинских колоний, т. е. колоний, выведенных или выселенных из Лациума после покорения его, а также жители города, получившего право латинской колонии...
• - Ferĭae latīnae, древнее торжественное собрание союза латинских городов под гегемонией Альбы-Лонги...

  Реальный словарь классических древностей

• - «», «Panegyrici latini» - этим названием обозначали обычно в многочисленных рукописях сборник 12 хвалебных речей в честь разных императоров...

  Энциклопедия античных писателей

• - - учебные заведения в Москве во 2-й половине 17 в. для изучения греческого, латинского и церковно-славянского языков, пиитики, риторики и философии. В их числе: Андреевская школа...
• - - учебные заведения, начальные или повышенного типа с латинским языком обучения. Возникли в Западной Европе в период раннего Средневековья...

  Педагогический терминологический словарь

• - филат. назв. рис. водяного знака бумаги, использ. для сов. почт, марок...

  Большой филателистический словарь

• - треугольные паруса, которые пришнуровываются к длинному, часто составному рейку...

  Морской словарь

• - треугольные паруса, получившие распространение с Средних веков на Средиземном м. на судах латинских народов...

  Морской словарь

• - а. = annus, anno - год, в году ab init. = ab initio - от начала, вначале. absque dubio - без всякого сомнения ad - до, на, по в т. п. ad fin. = ad finem - до конца. ad hoc - к этому, для этого, именно на этот случай...

  Словарь ботанических терминов

• - треугольные паруса, у которых верхняя часть передней шкаторины пришнуровывается к стеньге, а нижняя привязывается к сегарсам, ходящим по мачте...

  Морской словарь

• - см. Волшебные квадраты. У нас в последнее время занимается вопросами, связанными с М. кв., И. Износков...
• - Под названием способа Н. квадратов разумеют прием, посредством которого вычисляются результаты из совокупности многих однородных наблюдений...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - в древности войны латинов против Рима. В 496 до н. э. между Римом, претендовавшим на гегемонию в Латинском союзе, и латинами началась 1-я Л. в. Вскоре после легендарной битвы при Регильском оз. был...

  Большая Советская энциклопедия

• - учебные заведения в Москве во 2-й пол. 17 в. для изучения греческого, латинского и церковнославянского языков, пиитики, риторики и философии...
• - войны городов Латинского союза против гегемонии в нем Рима. 1-я латинская война завершилась восстановлением союза во главе с Римом...

  Большой энциклопедический словарь

"ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ" в книгах

Узор «Квадраты»

Из книги Обувь для дома своими руками автора Захаренко Ольга Викторовна

Узор «Квадраты» Этот узор вяжется так:1-й ряд: выполняйте все петли светлой нитью;2-й и все четные ряды: выполняйте все петли по рисунку;3-й и 21-й ряд: *1 п. светлой нити, 15 п. темной нити, 1 п. светлой нити, 15 п. темной нити*, повторите от * до *;5-й и 7-й ряд: *1 п. светлой нити, 1 п. темной

5.2.2. Магические квадраты в Чатуранге

Из книги Тестирование с помощью Чатуранги автора Шорин Александр

5.2.2. Магические квадраты в Чатуранге 5.2.2.1 Магия немагического квадрата Любопытно, что самый простой (немагический) квадрат 5?5, где цифры идут просто одна за одной – от 1 до 25 может также обладать необычными свойствами. Так, в этом простом квадрате сумма «Креста Слона»

Глава № 5 Магические квадраты

Из книги Математика для мистиков. Тайны сакральной геометрии автора Шессо Ренна

Глава № 5 Магические квадраты Мы называем их магическими квадратами или планетарными квадратами. Или печатями, камеями, таблицами. Как и многие другие магические инструменты, они под разными именами известны в различных системах, но как бы их ни называли, они датируются

Талисманы и магические квадраты

Из книги Практическая магия современной ведьмы. Обряды, ритуалы, пророчества автора Миронова Дарья

Талисманы и магические квадраты Магия талисманов тесно связана с традицией нумерологии. Числа и буквы алфавита, а также специальные символы, без которых не обходится изготовление амулета, оберегают его владельца от плохого воздействия.Многие талисманы имеют вид

Квадраты и зубочистки

Из книги Самые трудные головоломки из старинных журналов автора Таунсенд Чарлз Барри

Квадраты и зубочистки Эта маленькая головоломка отнимет у вас несколько минут... или больше. На рисунке пять квадратов, составленных из шестнадцати зубочисток. Передвиньте три зубочистки так, чтобы получилось четыре одинаковых

Спичечные квадраты

автора Таунсенд Чарлз Барри

Спичечные квадраты Уложите шестнадцать спичек, как показано на рисунке, - получилось пять одинаковых квадратов. А теперь, переставив всего две спички, постройте четыре квадрата одного и того же размера. На первый взгляд нет ничего легче,

Дюймы, площади, квадраты

Из книги Звездные головоломки автора Таунсенд Чарлз Барри

Дюймы, площади, квадраты А вот еще одна хитроумная геометрическая задачка. На рисунке изображены два квадрата: один - со стороной три, а второй - со стороной четыре дюйма (дюймы помечены значком"). Представьте, что больший квадрат, верхний левый угол которого закреплен в

Квадраты из спирали

Из книги Звездные головоломки автора Таунсенд Чарлз Барри

Квадраты из спирали Заставьте-ка помучиться ваших друзей, предложив им эту головоломку. Выложите на столе спираль из 35 карандашей. А теперь пусть кто-нибудь попробует переставить четыре карандаша так, чтобы получились три

Квадраты большие и маленькие

Из книги Этот необыкновенный квадрат автора Бартоломью Мел

Квадраты большие и маленькие А теперь подробнее о самом методе. Каждый квадрат имеет размер 12x12 дюймов (один дюйм равен 2,5 см). Это и есть площадь квадратного фута. На каждом квадрате произрастают разные овощи, цветы и травы. (Я твердо убежден, что в огороде необходимо

«Магические квадраты»

автора Вознюк Наталия Григорьевна

«Магические квадраты» Для игры необходимо начертить квадрат и разделить его на клетки (3 х 3, 4 х 4). Доказано, что существование квадрата 2 х 2 невозможно.Цель игры состоит в следующем: расположить числа в клетках нужно таким образом, чтобы их суммы в строках и столбцах, а

«Квадраты»

Из книги Полная энциклопедия современных развивающих игр для детей. От рождения до 12 лет автора Вознюк Наталия Григорьевна

«Квадраты» В эту игру можно играть как одному, так и целой компанией.Для игры понадобится 24 квадрата, вырезанных из бумаги, каждый из которых должен быть разделен на 4 сектора, раскрашенных в разные цвета.Задача игроков – сложить из этих квадратов прямоугольник размером 4

§ 5. Магические квадраты

Из книги Приглашение в теорию чисел автора Оре Ойстин

§ 5. Магические квадраты Если вы играли в «шафлборд», вы можете вспомнить, что девять квадратов, на которых вы размещаете свои фишки, занумерованы числами от 1 до 9, расположенными так, как на рис. 7. Здесь числа в каждом столбце и в каждой строчке, а также в каждой из

139. Сомнительные квадраты

Из книги Веселые задачи. Две сотни головоломок автора Перельман Яков Исидорович

139. Сомнительные квадраты Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рис. 138. Он был уверен, что это квадраты и притом равные. Почему он так

9. Сомнительные квадраты

Из книги Головоломки. Выпуск 2 автора Перельман Яков Исидорович

9. Сомнительные квадраты Учитель черчения задал школьнику работу: начертить два равных квадрата и заштриховать их. Школьник выполнил работу так, как показано на рис. 5. Он был уверен, что это квадраты и притом равные.Почему он так

Квадраты смерти

Из книги Балканы 1991-2000 ВВС НАТО против Югославии автора Сергеев П. Н.

Квадраты смерти Для уничтожения военной машины сербов в Косово специалистам оперативного центра пришлось разработать новую систему обнаружения и идентификации целей на театре военных действий с быстро и хаотически меняющейся обстановкой. Америки операторы центра не

Пробельного материала для заполнения крупных промежутков в строках.

Большой Энциклопедический словарь . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "КВАДРАТ" в других словарях:

- (лат. quadratum, от quadrare сделать четырехугольным). 1) прямоугольный, равносторонний четырехугольник. 2) такое число, которое, будучи умножено само на себя, дает данное число. 3) единица для измерения плоскостей; напр.: квадратн. фут, дюйм и… … Словарь иностранных слов русского языка

В квадрате. Жарг. мол. Пренебр. О крайне тупом, безнадёжно глупом человеке. /i> Квадрат глупый, несообразительный чаловек. Никитина 1996, 82. Квадрат твою гипотенузу! Жарг. шк. Бран. Выражение досады, раздражения, негодования. ВМН 2003, 62.… … Большой словарь русских поговорок

КВАДРАТ, в биологии квадратная рама, используемая для разметки участка поверхности с целью изучения растений, находящихся на нем. Квадратом называют также и сам этот участок почвы. Как правило, такой квадрат равен 0,5 или 1 м2. Пользуясь этим… … Научно-технический энциклопедический словарь

КВАДРАТ, квадрата, муж. (лат. quadratus четырехугольный). 1. Равносторонний прямоугольник (мат.). 2. Форма такого прямоугольника у какого нибудь предмета (книжн.). Ярко освещенный квадрат окна. 3. Четырехугольный гартовый брусок мера для… … Толковый словарь Ушакова

Муж. равносторонний и прямоугольный четыреугольник; народ называет его круглым четыреугольником или клеткою. Разбить площадь на квадраты, на участки этого вида. | Квадрат числа, произведение его от умножения самого на себя. Узор квадратцами или… … Толковый словарь Даля

Параллелограмм, клетка, материал, прямоугольник, степень, квадратик Словарь русских синонимов. квадрат сущ., кол во синонимов: 9 гиперкуб (12) … Словарь синонимов

квадрат - КВАДРАТ, а, м. Тюрьма; камера. квадрат топтать находиться в тюрьме, камере. Из уг … Словарь русского арго

квадрат - (Quad) 1. Одна из основных единиц типометрической системы Дидо, равная 4 цицеро, или 48 пунктам. 1 квадрат равен 18,048 мм. 2. Пробельный материал, используемый при изготовлении наборных печатных форм способа высокой печати. Квадраты различают по … Шрифтовая терминология

«Квадрат» - «Квадрат», клуб любителей джазовой музыки (джаз клуб). Создан в 1964 при ДК имени Ленсовета (с 1965 размещался в ДК имени С. М. Кирова, с 1986 — во Дворце молодёжи). Объединяет музыкантов и любителей классического джаза. «Квадрат» продолжил… … Энциклопедический справочник «Санкт-Петербург»

- (от латинского quadratus четырехугольный), 1) равносторонний прямоугольник. 2) Вторая степень a2 числа a (название связано с тем, что именно так выражается площадь квадрата со стороной a) … Современная энциклопедия

Книги

• Квадрат , Вилли Карлссон. Книгу видного деятеля Коммунистической партии Дании можно назвать подлинной летописью рабочего движения в стране в бурную эпоху с начала кризиса 30-X годов до оккупации Дании нацистами.…
• Квадрат неба. Сборник антиутопий , Маргарита Пальшина. Квадрат неба человек видит из окна… тюремной камеры, откуда нет выхода, чтобы увидеть его беспредельность. Камеры необязательно буквальной, в тюрьму превращаетсялюбой мир или общество,…