Квадратный корень и его свойства. Извлечение корней: способы, примеры, решения

Проблема настоящей жизни.
Князь Андрей Болконский. Он пытался найти настоящую жизнь на войне, уйдя в армию и разочаровавшись в той жизни, которую вел. Князь понял одно: скучная, однообразная светская жизнь не для него. На войне он жаждал славы, признания, желал отличиться, составляя стратегические планы и представляя, как он спасет армию в критический момент. Но после ранения под Аустерлицем, когда князь Андрей вернулся домой и здесь на его глазах умерла жена, оставив ему маленького сына, все, к чему он стремился на войне, отошло на второй план. Болконский осознал, что это не есть настоящая жизнь, и его поиски таковой продолжились.
Проблема счастья в романе Л. Н. Толстого «Война и мир»
Пьер возвращается в общество ранее оставленное им, возвращается в поисках счастья, но, с какой-то стороны, его спасает война развязавшаяся с французами. Он пытается посвятить себя войне, для того, чтобы снова постараться забыть былое и отыскать так нужное ему счастье. Но как всегда попытки его тщетны и ни какая армия ему не только не в счастье, но даже и в тягость. Пьер понимает, что он не рожден для военной жизни. И все снова возвращается на круги своя.

Проблема великого человека

В своем романе Л. Н. Толстой ярко выразил мысль о том, что великим человек может быть только в том случае, если он неразрывно связан с народом, если он искренне разделяет его взгляды, стремления, веру. Если он живет теми же идеалами, мыслит и поступает так же, как поступил бы любой сознательный человек. Только в народе главная сила, только в связи с народом может проявиться настоящая, сильная личность.

Показ особого характера войны 1812 года как войны народной.

Народный характер войны показан Толстым различными способами. Используются авторские историко-философские рассуждения о роли личности и народа в истории вообще и войне 1812 года в частности, рисуются живые картины выдающихся исторических событий; народ может изображаться (хотя и крайне редко) как целое, общее (например, замечания о том, что мужики не везли в Москву сено, что все жители покидали Москву и т, д.) и как бесчисленное множество живых рядовых персонажей. Побуждения и чувства всей нации концентрируются в образе представителя народной войны полководца Кутузова, ощущаются лучшими представителями дворянства, сблизившимися с народом.

Проблема истинного и ложного патриотизма.

Настоящими патриотами являются русские солдаты. Роман насыщен многочисленными эпизодами, рисующими разнообразное проявление патриотизма русскими людьми. Мы видим истинный патриотизм и героизм народа в изображении классических сцен под Шенграбеном, Аустерлицем, Смоленском, Бородиным.
Лжепатриотизм проявляет и граф Растопчин, который расклеивает по Москве глупые афишки, призывает жителей города не оставлять столицы, а затем, спасаясь от народного гнева, сознательно отправляет на смерть безвинного сына купца Верещагина.

Война и мирЕсть две стороны жизни в каждом человеке: жизнь личная,
которая тем более свободна, чем отвлеченнее ее
интересы, и жизнь стихийная, роевая, где человек
неизбежно использует предписанные ему законы.
Л.Н. Толстой «Война и мир».
Что означает название романа-эпопеи?
«Война» означает не одни военные действия враждующих армий, но и
воинственную враждебность людей в мирной жизни, разделенной социальными и
нравственными барьерами.
Слово «Мир» имеет большое количество значений. Это и жизнь народа, не
находящегося в состоянии войны, будничные интересы, ближайшее окружение
человека, и конечно же «Мир» - это весь свет, Вселенная.

Л.Н. Толстой удивительно точно смог передать
истинную духовную сущность людей. В этом
романе-исследовании мы можем найти целую
палитру нравов, характеров, поведений,
стремлений героев. Духовная красота некоторых
героев Толстого проявляется в постоянном поиске
смысла жизни, в мечтах о деятельности, полезной
для всего народа, в жизненном пути каждого,
ведущего к правде и добру.

Проблема Соотношение личности и общества

Одна из важных проблем "Войны и мира" - это
противопоставление личности и общества,
руководителя и массы, жизни частной и жизни
исторической. Толстой отрицал хоть скольконибудь значительную роль личности в истории. Он
отказывался признать силой, руководящей
историческим развитием человечества какую бы то
ни было "идею", а также желания или власть
отдельных, пусть даже и "великих" исторических
деятелей. Он говорил, что все решает "дух войска",
утверждал, что существуют законы, управляющие
событиями. Эти законы неизвестны людям.

Почему погиб князь Андрей Болконский?

Счастье человека - в любви ко всем, и вместе с тем
Андрей Болконский понимает, что на земле не
может быть такой любви.(?) Князю Андрею
нужно было или отказаться от этих взглядов, или
умереть.(?) В первых вариантах романа он
оставался жить. Но тогда умирала бы философия
Толстого. Писателю его миросозерцание было
дороже героя, поэтому он много раз
подчеркивал, что тот, кто вмешивается в ход
событий и с помощью разума пытается
изменить их, ничтожен.

Проблема величия и счастья человека

Обратимся к описанию внутреннего состояния Пьера:
«Выражение глаз было твердое, спокойное и
оживленно готовое, такое, какого никогда прежде не
имел взгляд Пьера". Теперь он нашел истину, которую
искал в масонстве, в светской жизни, в вине, в
самопожертвовании, в романтической любви к
Наташе. Он искал ее с помощью мысли и, как и князь
Андрей, пришел к выводу о бессилии мысли, о
безнадежности поисков счастья «путем мысли». В
чем теперь нашел счастье Пьер? «Удовлетворение
потребностей - хорошая пища, чистота, свобода - ...
казались Пьеру совершенным счастьем...»

Проблема свободы и необходимости

По-своему и оригинально решает Толстой этот
вопрос. Он говорит, что свобода человека,
исторического деятеля - кажущаяся, человек
свободен лишь в том, чтобы не идти
наперекор событиям, не навязывать им свою
волю, а просто соответствовать истории,
меняться, расти и таким путем влиять на ее
ход. Глубока мысль Толстого о том, что человек
тем менее свободен, чем ближе он поставлен
к власти.

Проблема роли женщины в обществе

Л.Н. Толстой отрицательно относился к эмансипации
женщины. Он считал, что идеал женщины – это
женщина, заботящаяся о семейном очаге,
воспитывающая детей, т.е. домохозяйка и ничего
больше.
В эпилоге романа "Война и мир" Толстой возвеличивает
духовное единение людей, составляющее основу
семейственности. Создавалась новая семья, в которой
соединялись, казалось бы, разные начала - Ростовых
и Болконских.
"Как в каждой настоящей семье, в лысогорском доме
жило вместе несколько совершенно различных миров,
которые, каждый удерживая свою особенность и делая
уступки один другому, сливались в одно
гармоническое целое".

Тема Любви

Испытанию любви подвергаются практически
все герои "Войны и мира". К истинной любви
и взаимопониманию, к нравственной красоте
они приходят не все и не сразу, а лишь пройдя
через ошибки и искупающее их страдание,
развивающие и очищающие душу. Любовь,
как чудо, возрождает героев Толстого к
новой жизни. (Пример князя Андрея не стал
для него "наукой", Пьер на своем опыте
убедился, что не всегда красота внешняя
является красотой внутренней - душевной).

Тема патриотизма и героизма на войне

Во время войны 1812 года, описанию которой посвящены
многие страницы «Войны и мира», произошло удивительное
объединение русского народа, независимо от сословной
принадлежности, пола, возраста, потому что Россия
оказалась в смертельной опасности. Все были охвачены
единым чувством, Толстой назвал его «скрытой теплотой
патриотизма», проявлявшимся не в громких словах и
высокопарных лозунгах, а в по истине героических
поступках, каждый из которых по-своему приближал
победу. Центральная, вершинная часть романа -
Бородинская битва. Именно здесь с наибольшей силой и
яркостью проявились народный патриотизм и героизм,
потому что именно здесь каждый осознал и понял весь смысл
и все значение этой войны как священной, освободительной
войны. В романе «Война и мир» Толстой говорит и о дубине
«народной войны», внесшей немалый вклад в общую победу.
Эта война велась без знания правил военного искусства.

Проблема милости к врагу

Война 1812г. – война за Отечество, поэтому, с
одной стороны, мы видим, что русский народ
не испытывал сострадание к своему
противнику, а наоборот был жесток.
Например, Князь Андрей сказал Пьеру перед
Бородинским сражение, что французов нужно
казнить. Но с другой стороны, при отступлении
французов, Кутузов взывал к милости к
врагам, он понимал, что наши враги ничего не
имели против России, они лишь следовали за
Наполеоном и желанием наживы.

Проблема вечного мира

На начальных страницах романа Пьер Безухов вступает в
беседу с аббатом Марио, который убеждает Пьера в том,
что «есть возможность навсегда избавить человечество от
всех зол деспотизма и злейшего из зол, родоначальника
всех других – войны». На вопрос Пьера «о средствах» аббат
отвечает, что «европейское равновесие» способно спасти и
обеспечить мир. Такой ответ заинтересовал Пьера, вызвал
крайнее изумление князя Андрея…
В эпилоге опять возникают споры о мире и войне. Ключевой
момент сцены - обсуждение слов аббата Марио о
вечном мире. Хотя аббат больше не появляется на
страницах "Войны и мира", главное слово произнесено, и
великая книга открывается и заканчивается спором о
возможности вечного мира. Такой проект, конечно, в
идеале возможен, - проблеме вечного мира и посвятил
свое творение Лев Толстой.

Проблема истинных жизненных ценностей

Нет величия там, где нет простоты, добра и правды.
Война и мир, т. VI, стр. 62
«Всего яснее, нам кажется, этот смысл выражается в тех словах автора, которые
мы поставили эпиграфом: "Нет величия, - говорит он, - там, где нет простоты,
добра и правды ". Истинное величие должно совмещать в себе эти три
незаменимых компонента.
Задача художника состояла в том, чтобы изобразить истинное величие, как он его
понимает, и противопоставить его ложному величию, которое он отвергает.
Эта задача выразилась не только в противопоставлении Кутузова и Наполеона,
но и во всех малейших подробностях борьбы, вынесенной целою Россиею, в
образе чувств и мыслей каждого солдата, во всем нравственном мире русских
людей, во всем их быте, во всех явлениях их жизни, в их манере любить,
страдать, умирать. Художник изобразил со всею ясностью, в чем русские люди
полагают человеческое достоинство, в чем тот идеал величия, который
присутствует даже в слабых душах и не оставляет сильных даже в минуты их
заблуждений и всяких нравственных падений. Идеал этот состоит, по формуле,
данной самим автором, в простоте, добре и правде. Простота, добро и правда
победили в 1812 году силу, не соблюдавшую простоты, исполненную зла и
фальши. Вот смысл "Войны и мира".»
Н.Н.Страхов, сочинение гр. Л. Н. Толстого

Дополнение

«Убежавши с Бородинского поля, Безухов размышлял так: "Как ужасен
страх, и как позорно я отдался! А они... они все время до конца были
тверды, спокойны... Они в понятии Пьера были солдаты, те, которые
были на батарее, и те, которые его кормили, и те, которые молились
на икону. Они - эти странные, неведомые ему доселе, они ясно и
резко отделялись в его мысли от других людей. Затем во сне ему
видится масон-благодетель, говорящий о добре, о возможности быть
тем, чем были они. "И они со всех сторон, с своими простыми,
добрыми лицами, окружили благодетеля". Так образ народа с
неизгладимою силою отпечатлелся в душе Пьера на Бородинском
поле. Но это впечатление еще раз с большею силою, в более
конкретных формах повторилось для Пьера тогда, когда он всего
способнее был его принять, - в плену, среди величайших страданий.
"Платон Каратаев, - говорит автор, - остался навсегда в душе Пьера
самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего

«Надо…чтобы не для одного меня шла моя жизнь…»

Л.Н. Толстой.

В романе «Война и мир» Л.Н. Толстой предстает перед нами не только как гениальный писатель. Важное место в сюжете занимает его оригинальные исторические взгляды и идеи. Писатель, который в России всегда больше, чем писатель, создает собственную философию истории: цельную систему взглядов на пути, причины и цели общественного развития. Изложению их посвящены сотни страниц книги.

Каждый из героев Толстого ищет свой путь в жизни, каждый стремится к некоему личному, но все герои - люди очень разные, и поэтому у каждого из них свое собственное представление о счастье. Для кого - то это выгодная женитьба, успех в светском обществе, военная или придворная карьера, как для Бориса Друбецкого или Берга. А для кого-то смысл жизни заключается совсем в другом.

От своего отца, участника заграничных походов времен Отечественной войны, Л. Толстой унаследовал чувство собственного достоинства, независимость суждений, гордость. Поступив в Казанский университет, он проявил необыкновенные способности в изучении иностранных языков, однако быстро разочаровался в студенческой жизни. В девятнадцать лет он покидает университет и уезжает в Ясную Поляну, решив посвятить себя улучшению жизни своих крестьян.

У Толстого начинается пора исканий цели в жизни. В мучительных поисках приходит толстой к главному делу своей жизни - литературному творчеству.

Духовная красота любимых героев Толстого - князя Андрея Болконского и Пьера Безухова- проявляется в неустанных поиска смысла жизни, в мечтах о деятельности, полезной для всего народа. Их жизненный путь - это путь страстных исканий, ведущий к правде и добру. Князь Андрей, например, мечтает о славе, подобной славе самого Наполеона, мечтает совершить подвиг.

Но эти мечты не похожи на мечты штабного карьериста Жеркова, потому что слава для Андрея Болконского- «та же любовь к другим. Желание сделать для них что - нибудь». Ради своей мечты он идет в действующую русскую армию, принимает непосредственное участие в сражениях. Но этот путь оказался ложным, он приводит князя Андрея к глубокому разочарованию и духовному кризису. Да, он совершает свой подвиг во время Аустерлицкого сражения. Подхватив знамя, Андрей Болконский увлекает за собой отступавших солдат в атаку. Но эта атака не могла спасти уже проигранное сражение, герой обрек солдат на бессмысленную гибель и сам получает тяжелое ранение.

И там, на поле Аустерлица, к Андрею приходит понимание всей ничтожность его прежней мечты. Он понимает, что нельзя жить только своей мечтой, надо жить во имя людей, родных и чужих. В душе князя Андрея происходит перелом, и после возвращения домой он посвящает всю свою жизнь воспитанию сына и заботе о крестьянах, становится хорошим отцом и образцовым помещиком. Андрей как бы замкнут в себе, и лишь встреча с Пьером, их разговор на пароме вновь пробуждает его к жизни. Он вновь возвращается в общество, принимает участие в деятельности комиссии Сперанского, вновь перед ним возникает мечта о счастье, на этот раз это мечта о личном, семейном счастье с Наташей Ростовой.

Но этим мечтам не суждено было сбыться. Андрей возвращается в армию, но уже не в поисках славы, а для зашиты Отечества. И там, в полку, Андрей находит наконец свое призвание - служить Родине, заботится о своих солдатах и офицерах. Путь князя Андрея завершается тем, о чем он мечтал в начале романа, - славой, славой настоящего героя, защитника Отечества. Это достойный конец его жизненного пути, его поиска смысла жизни.

Судьба Пьера Безухова складывается по другому. Он не знает. Какой дорогой надо идти. мечется, совершает ошибки, но всегда его действиями руководит одно желание - «быть вполне хорошим». Поиск смысла жизни приводит Пьера к вступлению в масонскую ложу. Он стремится стать другим и помочь остальным людям изменится к лучшему. Это стремление к благу других приводит Пьера к мысли пожертвовать собой и убить Наполеона, как главного источника всех бед и страданий.

Два месяца, проведенных в плену, позволили Пьеру узнать и понять русский народ, его взгляды на жизнь изменились. Он осознал, что любая благотворительность не способна накормить всех бедных. Пьер принимает непосредственное участие в восстании декабристов и потом отправляется на долгие годы в Сибирь, откуда он вернется через тридцать лет уже старым человеком, но не изменившим своих взглядов и идеалов.

Так завершается поиск смысла жизни Пьером Безуховым. И,пожалуй, сюжет романа и строится вокруг поиска смысла жизни героев и самого автора. Тем объектом, который позволяет узнать «Зачем?» становится война. Именно на войне переплетаются жизни и смерть и грань между ними почти исчезает, только там человек может почувствовать себя действительно человеком.

Задачи и тесты по теме "Сюжет, герои, проблематика романа Война и мир Л. Н. Толстого"

Орфография - Важные темы для повторения ЕГЭ по русскому языку
Уроков: 5 Заданий: 7
Основы глаголов прошедшего времени. Правописание буквы перед суффиксом –л - Глагол как часть речи 4 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х дециметрам. Тогда площадь участка равна х ² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х ² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9. При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х ² = 81. Это уравнение имеет два корня: x 1 = 9 и x 2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х = 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а — называется подкоренным выражением. Выражение √а читается так: арифметический квадратный корень из числа а. Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а «.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х , мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥ 0, (√а )² = а . Равенство (√а )² = а справедливо при а ≥ 0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а равен b , т. е. в том, что √а =b , нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥ 0, b ² = а.

Квадратный корень из дроби

Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .

Так как и , то равенство верно. Итак, .

Теорема: Если а ≥ 0 и b > 0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Требуется доказать, что: и .

Так как √а ≥0 и √b > 0, то .

По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.

Вычислить , по доказанной теореме .

Второй пример: Доказать, что , если а ≤ 0, b < 0. .

Еще примерчик: Вычислить .

Преобразование квадратных корней

Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:

Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;

Вычислить при х = 2. Непосредственная подстановка х = 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: . Подставив теперь х = 2, получим:.

Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя. Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство справедливо только при а ≥ 0 и b ≥ 0. если же а < 0, то .

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt{25}\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\) , \(\sqrt{-4}\) и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) .
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\) и \((\sqrt a)^2\) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\) – положительное число или ноль. А вот если \(a\) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\) число \(-1\) . Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\) , а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\) не равен \((\sqrt a)^2\) ! Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom{00000}\) 2) \((\sqrt{2})^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\) , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение \(2n\) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\) . Таким образом, так как \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\) ?
Так как \(\sqrt{49}=7\) , \(\sqrt{64}=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt{28224}\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt{28224}\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.