Квадратичное распределение. Критерий согласия Пирсона χ2 (Хи-квадрат)

23. Понятие распределения хи-квадрат и Стьюдента, и графический вид

1) Распределение (хи-квадрат) с n степенями свободы - это распределение суммы квадратов n независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение (хи – квадрат) – распределение случайной величины (причем математическое ожидание каждой из них равно 0, а среднее квадратическое отклонение-1)

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение. При этом число слагаемых, т.е., называется "числом степеней свободы" распределения хи-квадрат. Число хи-квадрат опредляется одни параметром-числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Тогда сумма их квадратов

является случайной величиной, распределенной по так называемому закону «хи-квадрат» с k = n степенями свободы; если же слагаемые связаны каким-либо соотношением (например, ), то число степеней свободы k = n – 1.

Плотность этого распределения

Здесь - гамма-функция; в частности, Г(п + 1) = п! .

Следовательно, распределение «хи-квадрат» определяется одним параметром – числом степеней свободы k.

Замечание 1. С увеличением числа степеней свободы распределение «хи-квадрат» постепенно приближается к нормальному.

Замечание 2. С помощью распределения «хи-квадрат» определяются многие другие распреде-ления, встречающиеся на практике, например, распределение случайной величины - длины случайного вектора (Х1, Х2,…, Хп), координаты которого независимы и распределены по нормальному закону.

Впервые χ2-распределение было рассмотрено Р.Хельмертом (1876) и К.Пирсоном (1900).

Мат.ожид.=n; D=2n

2) Распределение Стьюдента

Рассмотрим две независимые случайные величины: Z, имеющую нормальное распределение и нормированную (то есть М(Z) = 0, σ(Z) = 1), и V, распределенную по закону «хи-квадрат» с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, называемое t – распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. При этом k называется "числом степеней свободы" распределения Стьюдента.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Это распределение было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшем на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы использовались для принятия экономических и технических решений на этой фабрике, поэтому ее руководство запрещало В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Таким способом охранялась коммерческая тайна, "ноу-хау" в виде вероятностно-статистических методов, разработанных В. Госсетом. Однако он имел возможность публиковаться под псевдонимом "Стьюдент". История Госсета – Стьюдента показывает, что еще сто лет назад менеджерам Великобритании была очевидна большая экономическая эффективность вероятностно-статистических методов принятия решений.

    Распределение. Распределение Пирсона Плотность вероятности … Википедия

    распределение «хи-квадрат» - распределение «хи квадрат» — Тематики защита информации EN chi square distribution … Справочник технического переводчика

    распределение хи-квадрат - Распределение вероятностей непрерывной случайной величины с значениями от 0 до, плотность которого задается формулой, где 0 при параметре =1,2,...; – гамма функция. Примеры. 1) Сумма квадратов независимых нормированных нормальных случайных… … Словарь социологической статистики

    РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХИ-КВАДРАТ (хи2) - Распределение случайной переменной хи2., если случайные выборки размера 1 взяты из нормального распределения со средним (и вариансой q2, то хи2 = (X1 u)2/q2, где X отобранное значение. Если объем выборки увеличивается произвольно до N, то хи2 =… …

    Плотность вероятности … Википедия

    - (Распределение Снедекора) Плотность вероятности … Википедия

    Распределение Фишера Плотность вероятности Функция распределения Параметры числа с … Википедия

    Одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных … Математическая энциклопедия

    Гамма распределение Плотность вероятности Функция распределения Параметры … Википедия

    РАСПРЕДЕЛЕНИЕ F - Теоретическое вероятностное распределение случайной переменной F. Если случайные выборки размера N отобраны независимо из нормальной популяции, каждая из них генерирует распределение хи квадрат со степенью свободы = N. Отношение двух таких… … Толковый словарь по психологии

Книги

  • Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
  • Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.А.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…

В настоящей заметке χ 2 -распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия часто ты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.

Проверка с помощью критерия согласия χ 2 выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая χ 2 -статистика:

где f 0 - наблюдаемая частота, f е - теоретическая, или ожидаемая частота, k - количество категорий, оставшихся после объединения, р - количество оцениваемых параметров.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Использование χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Для расчета по этой формуле в Excel удобно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ() (рис. 1).

Для оценки параметра λ можно воспользоваться оценкой . Теоретическую частоту X успехов (Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и более), соответствующую параметру λ = 2,9 можно определить с помощью функции =ПУАССОН.РАСП(Х;;ЛОЖЬ). Умножив пуассоновскую вероятность на объем выборки n , получим теоретическую частоту f e (рис. 2).

Рис. 2. Фактические и теоретические частоты прибытий в минуту

Как следует из рис. 2, теоретическая частота девяти и более прибытий не превосходит 1,0. Для того чтобы каждая категория содержала частоту, равную 1,0 или большему числу, категорию «9 и более» следует объединить с категорией «8». То есть, остается девять категорий (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и более). Поскольку математическое ожидание распределения Пуассона определяется на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – р – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. Используя уровень значимости, равный 0,05 находим критическое значение χ 2 -статистики, имеющей 7 степеней свободы по формуле =ХИ2.ОБР(1-0,05;7) = 14,067. Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н 0 отклоняется, если χ 2 > 14,067, в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется.

Для расчета χ 2 воспользуемся формулой (1) (рис. 3).

Рис. 3. Расчет χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Так как χ 2 = 2,277 < 14,067, следует, что гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что прибытие клиентов в банк не подчиняется распределению Пуассона.

Применение χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

В предыдущих заметках при проверке гипотез о числовых переменных использовалось предположение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для проверки этого предположения можно применять графические средства, например, блочную диаграмму или график нормального распределения (подробнее см. ). При больших объемах выборок для проверки этих предположений можно использовать χ 2 -критерий согласия для нормального распределения.

Рассмотрим в качестве примера данные о 5-летней доходности 158 инвестиционных фондов (рис. 4). Предположим, требуется поверить, имеют ли эти данные нормальное распределение. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : 5-летняя доходность подчиняется нормальному распределению, Н 1 : 5-летняя доходность не подчиняется нормальному распределению. Нормальное распределение имеет два параметра - математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, которые можно оценить на основе выборочных данных. В данном случае = 10,149 и S = 4,773.

Рис. 4. Упорядоченный массив, содержащий данные о пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Данные о доходности фондов можно сгруппировать, разбив, например на классы (интервалы) шириной 5% (рис. 5).

Рис. 5. Распределение частот для пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Поскольку нормальное распределение является непрерывным, необходимо определить площадь фигур, ограниченных кривой нормального распределения и границами каждого интервала. Кроме того, поскольку нормальное распределение теоретически изменяется от –∞ до +∞, необходимо учитывать площадь фигур, выходящих за пределы классов. Итак, площадь, лежащая под нормальной кривой слева от точки –10, равна площади фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z, равной

Z = (–10 – 10,149) / 4,773 = –4,22

Площадь фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z = –4,22 определяется по формуле =НОРМ.РАСП(-10;10,149;4,773;ИСТИНА) и приближенно равна 0,00001. Для того чтобы вычислить площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, сначала необходимо вычислить площадь фигуры, лежащей слева от точки –5: =НОРМ.РАСП(-5;10,149;4,773;ИСТИНА) = 0,00075. Итак, площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, равна 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. Аналогично можно вычислить площадь фигуры, ограниченной границами каждого класса (рис. 6).

Рис. 6. Площади и ожидаемые частоты для каждого класса 5-летней доходности

Видно, что теоретические частоты в четырех крайних классах (два минимальных и два максимальных) меньше 1, поэтому проведем объединение классов, как показано на рис 7.

Рис. 7. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

Используем χ 2 -критерий согласия данных с нормальным распределением с помощью формулы (1). В нашем примере после объединения остаются шесть классов. Поскольку математическое ожидание и стандартное отклонение оцениваются на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – p – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. Используя уровень значимости, равный 0,05, находим, что критическое значение χ 2 -статистики, имеющее три степени свободы =ХИ2.ОБР(1-0,05;F3) = 7,815. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия, приведены на рис. 7.

Видно, что χ 2 -статистика = 3,964 < χ U 2 7,815, следовательно гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что 5-летняя доходность инвестиционных фондов, ориентированных на быстрый рост, не подчиняется нормальному распределению.

В нескольких последних заметках рассмотрены разные подходы к анализу категорийных данных. Описаны методы проверки гипотез о категорийных данных, полученных на основе анализа двух или нескольких независимых выборок. Кроме критериев «хи-квадрат», рассмотрены непараметрические процедуры. Описан ранговый критерий Уилкоксона, который используется в ситуациях, когда не выполняются условия применения t -критерия для поверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых групп, а также критерий Крускала-Уоллиса, который является альтернативой однофакторному дисперсионному анализу (рис. 8).

Рис. 8. Структурная схема методов проверки гипотез о категорийных данных

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 763–769

  • Математика

    • В этой статье речь будет идти о исследовании зависимости между признаками, или как больше нравится - случайными величинами, переменными. В частности, мы разберем как ввести меру зависимости между признаками, используя критерий Хи-квадрат и сравним её с коэффициентом корреляции.

    Для чего это может понадобиться? К примеру, для того, чтобы понять какие признаки сильнее зависимы от целевой переменной при построении кредитного скоринга - определении вероятности дефолта клиента. Или, как в моем случае, понять какие показатели нобходимо использовать для программирования торгового робота.

    Отдельно отмечу, что для анализа данных я использую язык c#. Возможно это все уже реализовано на R или Python, но использование c# для меня позволяет детально разобраться в теме, более того это мой любимый язык программирования.

    Начнем с совсем простого примера, создадим в экселе четыре колонки, используя генератор случайных чисел:
    X =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)
    Y =X *10+20
    Z =X *X
    T =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)

    Как видно, переменная Y линейно зависима от X ; переменная Z квадратично зависима от X ; переменные X и Т независимы. Такой выбор я сделал специально, потому что нашу меру зависимости мы будем сравнивать с коэффициентом корреляции . Как известно, между двумя случайными величинами он равен по модулю 1 если между ними самый «жесткий» вид зависимости - линейный. Между двумя независимыми случайными величинами корреляция нулевая, но из равенства коэффициента корреляции нулю не следует независимость . Далее мы это увидим на примере переменных X и Z .

    Сохраняем файл как data.csv и начинаем первые прикиди. Для начала рассчитаем коэффициент корреляции между величинами. Код в статью я вставлять не стал, он есть на моем github . Получаем корреляцию по всевозможным парам:

    Видно, что у линейно зависимых X и Y коэффициент корреляции равен 1. А вот у X и Z он равен 0.01, хотя зависимость мы задали явную Z =X *X . Ясно, что нам нужна мера, которая «чувствует» зависимость лучше. Но прежде, чем переходить к критерию Хи-квадрат, давайте рассмотрим что такое матрица сопряженности.

    Чтобы построить матрицу сопряженности мы разобьём диапазон значений переменных на интервалы (или категорируем). Есть много способов такого разбиения, при этом какого-то универсального не существует. Некоторые из них разбивают на интервалы так, чтобы в них попадало одинаковое количество переменных, другие разбивают на равные по длине интервалы. Мне лично по духу комбинировать эти подходы. Я решил воспользоваться таким способом: из переменной я вычитаю оценку мат. ожидания, потом полученное делю на оценку стандартного отклонения. Иными словами я центрирую и нормирую случайную величину. Полученное значение умножается на коэффициент (в этом примере он равен 1), после чего все округляется до целого. На выходе получается переменная типа int, являющаяся идентификатором класса.

    Итак, возьмем наши признаки X и Z , категорируем описанным выше способом, после чего посчитаем количество и вероятности появления каждого класса и вероятности появления пар признаков:

    Это матрица по количеству. Здесь в строках - количества появлений классов переменной X , в столбцах - количества появлений классов переменной Z , в клетках - количества появлений пар классов одновременно. К примеру, класс 0 встретился 865 раз для переменной X , 823 раза для переменной Z и ни разу не было пары (0,0). Перейдем к вероятностям, поделив все значения на 3000 (общее число наблюдений):

    Получили матрицу сопряженности, полученную после категорирования признаков. Теперь пора задуматься над критерием. По определению, случайные величины независимы, если независимы сигма-алгебры , порожденные этими случайными величинами. Независимость сигма-алгебр подразумевает попарную независимость событий из них. Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: Pij = Pi*Pj . Именно этой формулой мы будем пользоваться для построения критерия.

    Нулевая гипотеза : категорированные признаки X и Z независимы. Эквивалентная ей: распределение матрицы сопряженности задается исключительно вероятностями появления классов переменных (вероятности строк и столбцов). Или так: ячейки матрицы находятся произведением соответствующих вероятностей строк и столбцов. Эту формулировку нулевой гипотезы мы будем использовать для построения решающего правила: существенное расхождение между Pij и Pi*Pj будет являться основанием для отклонения нулевой гипотезы.

    Пусть - вероятность появления класса 0 у переменной X . Всего у нас n классов у X и m классов у Z . Получается, чтобы задать распределение матрицы нам нужно знать эти n и m вероятностей. Но на самом деле если мы знаем n-1 вероятность для X , то последняя находится вычитанием из 1 суммы других. Таким образом для нахождения распределения матрицы сопряженности нам надо знать l=(n-1)+(m-1) значений. Или мы имеем l -мерное параметрическое пространство, вектор из которого задает нам наше искомое распределение. Статистика Хи-квадрат будет иметь следующий вид:

    и, согласно теореме Фишера, иметь распределение Хи-квадрат с n*m-l-1=(n-1)(m-1) степенями свободы.

    Зададимся уровнем значимости 0.95 (или вероятность ошибки первого рода равна 0.05). Найдем квантиль распределения Хи квадрат для данного уровня значимости и степеней свободы из примера (n-1)(m-1)=4*3=12 : 21.02606982. Сама статистика Хи-квадрат для переменных X и Z равна 4088.006631. Видно, что гипотеза о независимости не принимается. Удобно рассматривать отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению - в данном случае оно равно Chi2Coeff=194.4256186 . Если это отношение меньше 1, то гипотеза о независимости принимается, если больше, то нет. Найдем это отношение для всех пар признаков:

    Здесь Factor1 и Factor2 - имена признаков
    src_cnt1 и src_cnt2 - количество уникальных значений исходных признаков
    mod_cnt1 и mod_cnt2 - количество уникальных значений признаков после категорирования
    chi2 - статистика Хи-квадрат
    chi2max - пороговое значение статистики Хи-квадрат для уровня значимости 0.95
    chi2Coeff - отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению
    corr - коэффициент корреляции

    Видно, что независимы (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X,T ), (Y,T ) и (Z,T ), что логично, так как переменная T генерируется случайно. Переменные X и Z зависимы, но менее, чем линейно зависимые X и Y , что тоже логично.

    Код утилиты, рассчитывающей данные показатели я выложил на github, там же файл data.csv. Утилита принимает на вход csv-файл и высчитывает зависимости между всеми парами колонок: PtProject.Dependency.exe data.csv

    Критерий хи-квадрат.

    Критерий хи-квадрат в отличие от критерия z применяется для сравнения любого количества групп.

    Исходные данные: таблица сопряжённости.

    Пример таблицы сопряженности минимальной размерности 2*2, приведен ниже. A,B,C,D – так называемые, реальные частоты.

    Признак 1 Признак 2 Всего
    Группа 1 A B A+B
    Группа 2 C D C+D
    Всего A+C B+D A+B+C+D

    Расчёт критерия основан на сравнении реальных частот и ожидаемых частот, которые вычисляются в предположении отсутствия взаимного влияния сравниваемых признаков друг на друга. Таким образом, если реальные и ожидаемые частоты достаточно близки друг к другу, то влияния нет и значит признаки будут распределены примерно одинаково по группам.

    Исходные данные для применения этого метода должны быть занесены в таблицу сопряженности, по столбцам и по строчкам которой указываются варианты значений изучаемых признаков. Числа в этой таблице будут называться реальными или экспериментальными частотами. Далее необходимо рассчитать ожидаемые частоты исходя из предположения, что сравниваемые группы абсолютно равны по распределению признаков. В этом случае пропорции по итоговой строчке или столбцу «всего» должны сохраняться в любой строчке и столбце. Исходя из этого, определяются ожидаемые частоты (см. пример).

    Затем рассчитывают значение критерия как сумму по всем ячейкам таблицы сопряженности отношения квадрата разности между реальной частотой и ожидаемой частотой к ожидаемой частоте:

    где - реальная частота в ячейке; - ожидаемая частота в ячейке.

    , где N = A+ B + C + D .

    При расчёте по основной формуле для таблицы 2*2 (только для такой таблицы ), также необходимо применить поправку Йейтса на непрерывность:

    .

    Критическое значение критерия определяется по таблице (см. приложение) с учетом числа степеней свободы и уровня значимости. Уровень значимости принимают стандартным: 0,05; 0,01 или 0,001. Число степеней свободы определяется как произведение числа строк и столбцов таблицы сопряженности уменьшенных каждое на единицу:

    ,

    где r – число строк (число градаций одного признака), с – число столбцов (число градаций другого признака). Это критическое значение можно определить в электронной таблице Microsoft Excel используя функцию =хи2обр(a, f ), где вместо a надо ввести уровень значимости, а вместо f – число степеней свободы.

    Если значение критерия хи-квадрат больше критического, то гипотезу о независимости признаков отвергают и их можно считать зависимыми на выбранном уровне значимости.

    У этого метода есть ограничение по применимости: ожидаемые частоты должны быть 5 или более (для таблицы 2*2). Для произвольной таблицы это ограничение менее строгое: все ожидаемые частоты должны быть 1 или больше, а доля ячеек с ожидаемыми частотами меньше 5 не должна превышать 20%.

    Из таблицы сопряженности большой размерности можно «вычленить» таблицы меньшей размерности и для них рассчитать значение критерия c 2 . Это фактически будут множественные сравнения, аналогичные описанным для критерия Стьюдента. В этом случае также надо применять поправку на множественные сравнения в зависимости от их количества.

    Для проверки гипотезы с помощью критерия c 2 в электронных таблицах Microsoft Excel можно применить следующую функцию:

    ХИ2ТЕСТ(фактический_интервал; ожидаемый_интервал).

    Здесь фактический_интервал – исходная таблица сопряженности с реальными частотами (указываются только ячейки с самими частотами без заголовков и «всего»); ожидаемый_интервал – массив ожидаемых частот. Следовательно, ожидаемые частоты должны быть вычислены самостоятельно.

    Пример:

    В некотором городе произошла вспышка инфекционного заболевания. Есть предположение, что источником заражения явилась питьевая вода. Проверить это предположение решили с помощью выборочного опроса городского населения, по которому необходимо установить влияет ли количество выпиваемой воды на количество заболевших.

    Исходные данные приведены в следующей таблице:

    Рассчитаем ожидаемые частоты. Пропорция по всего должна сохраниться и внутри таблицы. Поэтому вычислим, например, какую долю составляют всего по строчкам в общей численности, получим для каждой строчки коэффициент. Такая же доля должна оказаться в каждой ячейке соответствующей строчки, поэтому для вычисления ожидаемой частоты в ячейке умножаем коэффициент на всего по соответствующему столбцу.

    Число степеней свободы равно (3-1)*(2-1)=2. Критическое значение критерия .

    Экспериментальное значение больше критического (61,5>13,816), т.е. гипотеза об отсутствия влияния количества выпиваемой воды на заболеваемость отвергается с вероятностью ошибки менее 0,001. Таким образом, можно утверждать, что именно вода стала источником заболевания.

    У обоих описанных критериев существуют ограничения, которые обычно не выполняются, если число наблюдений невелико или отдельные градации признаков редко встречаются. В этом случае используют точный критерий Фишера . Он основан на переборе всех возможных вариантов заполнения таблицы сопряженности при данной численности групп. Поэтому ручной расчет его довольно сложен. Для его расчёта можно воспользоваться статистическими пакетами прикладных программ.

    Критерий z является аналогом критерия Стьюдента, но применяется для сравнения качественных признаков. Экспериментальное значение критерия рассчитывается как отношение разности долей к средней ошибке разности долей.

    Критические значение критерия z равны соответствующим точкам нормированного нормального распределения: , , .



    Критерий хи-квадрат применяется для сравнения любого количества групп по значениям качественных признаков. Исходные данные должны быть представлены в виде таблицы сопряжённости. Экспериментальное значение критерия рассчитывают как сумму по всем ячейкам таблицы сопряженности отношения квадрата разности между реальной частотой и ожидаемой частотой к ожидаемой частоте. Ожидаемые частоты вычисляются в предположении равенства сравниваемых признаков во всех группах. Критические значения определяются по таблицам распределения хи-квадрат.

    ЛИТЕРАТУРА.

    Гланц С. – Глава 5.

    Реброва О.Ю. – Глава 10,11.

    Лакин Г.Ф. – с. 120-123

    Вопросы для самопроверки студентов.

    1. В каких случаях можно применять критерий z?

    2. На чём основано вычисление экспериментального значения критерия z?

    3. Как найти критическое значение критерия z?

    4. В каких случаях можно применять критерий c 2 ?

    5. На чём основано вычисление экспериментального значения критерия c 2 ?

    6. Как найти критическое значение критерия c 2 ?

    7. Что ещё можно применить для сравнения качественных признаков, если нельзя применить по ограничениям критерии z и c 2 ?

    Задачи.