ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КОСТРОМСКОЙ ОБЛАСТИ
Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Костромской энергетический техникум имени Ф.В. Чижова»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Для преподавателе СПО
Вводный урок на тему:
«ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ»
дисциплина «Техническая механика»
О.В. Гурьева
Кострома
Аннотация.
Методическая разработка предназначена для проведения вводного урока по дисциплине «Техническая механика» на тему «Основные понятия и аксиомы статики» для всех специальностей. Занятия проводятся в начале изучения дисциплины.
Урок гипертекст. Поэтому к целям урока относится:
Образовательная -
Развивающая -
Воспитательная -
Одобрено предметной цикловой комиссией
Преподаватель:
М.А. Зайцева
Протокол № от 20 г.
Рецензент
ВВЕДЕНИЕ
Методика проведения урока по технической механике
Технологическая карта занятия
Гипертекст
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
«Техническая механика» является важным предметом цикла освоения общетехнических дисциплин, состоящим из трех разделов:
теоретической механики
сопротивления материалов
деталей машин.
Знания, изучаемые в технической механике, необходимы студентам, так как они обеспечивают приобретение навыков для постановки и решения многих инженерных задач, которые будут встречаться в их практической деятельности. Для успешного усвоения знаний по данной дисциплине студентам необходима хорошая подготовка по физике и математике. В то же время, без знаний технической механики, студенты не смогут освоить специальные дисциплины.
Чем сложнее техника, тем труднее уложить ее в рамки инструкций, и тем чаще специалисты будут сталкиваться с нестандартными ситуациями. Поэтому у студентов необходимо развивать самостоятельное творческое мышление, которое характеризуется тем, что человек не получает знания в готовом виде, а самостоятельно применяет их к решению познавательных и практических задач.
Большое значение при этом приобретают навыки самостоятельной работы. При этом важно научить студентов определять главное, отделяя его от второстепенного, научить делать обобщения, выводы, творчески применять основы теории к решению практических задач. Самостоятельная работа развивает способности, память, внимание, воображение, мышление.
В преподавании дисциплины практически применимы все известные в педагогике принципы обучения: научность, систематичность и последовательность, наглядность, сознательность усвоения знаний студентами, доступность обучения, связь обучения с практикой, наряду с объяснительно - иллюстративной методикой, которая была, есть и остается главной на уроках по технической механике. Применяются вовлеченные методы обучения: тихое и громкое обсуждение, мозговой штурм, анализ конкретного примера, вопрос - ответ.
Тема «Основные понятия и аксиомы статики» одна из важнейших в курсе «Техническая механика». Она имеет большое значение с точки зрения изучения курса. Данная тема является вводной частью дисциплины.
Студенты выполняют работу с гипертекстом, в котором нужно правильно поставить вопросы. Научится работать в группах.
Работа над поставленными задачами проявляет активность и ответственность студентов, самостоятельность решения проблем, возникающих в ходе выполнения задания, дает навыки и умения решать эти проблемы. Преподаватель, задавая проблемные вопросы, заставляет студентов мыслить практически. В результате работы с гипертекстом, студенты делают выводы пройденной темы.
Методика проведения занятий по технической механике
Построение занятий зависит от того, какие цели считать важнейшими. Одна из важнейших задач учебного заведения - научить учиться. Передавая на практических знаниях студентам надо научить их учиться самостоятельно.
− увлечь наукой;
− заинтересовать задачей;
− прививать навыки работы с гипертекстом.
Исключительно важны и такие цели, как формирование мировоззрения и воспитательное воздействие на студентов. Достижение этих целей зависит не только от содержания, но и от построения занятия. Совершенно естественно, что для достижения указанных целей преподавателю необходимо учитывать особенности контингента слушателей и использовать все преимущества живого слова и непосредственного общения со студентами. Чтобы овладеть вниманием студентов, заинтересовать и увлечь их рассуждением, приучить к самостоятельному мышлению, при построении занятий необходимо особо учитывать четыре стадии познавательного процесса, к которым относятся:
1. постановка проблемы или задачи;
2. доказательство − дискурсия (дискурсивный - рассудочный, логический, понятийный);
3. анализ полученного результата;
4. ретроспекция − установление связей между вновь полученными результатами и ранее установленными выводами.
Начиная изложение новой проблемы или задачи, необходимо особое внимание уделить ее постановке. Недостаточно ограничиться только формулировкой задачи. Это хорошо подтверждается следующим высказыванием А р и с т о т е л я: познание начинается с удивления. Надо суметь с самого начала привлечь внимание к новой задаче, удивить, а значит, и заинтересовать студента. После этого можно переходить к решению задачи. Очень важно, чтобы постановка проблемы или задачи была хорошо понятна студентам. Им должна быть совершенно ясна необходимость исследования новой проблемы и обоснованность ее постановки. При постановке новой проблемы необходима строгость изложения. Однако надо учитывать, что многие вопросы и методы решения не всегда понятны студентам и могут показаться формальными, если не дать специальных пояснений. Поэтому каждый преподаватель должен так излагать материал, чтобы постепенно подвести студентов к восприятию всех тонкостей строгой формулировки, к пониманию тех идей, которые делают совершенно естественным выбор определенного метода решения сформулированной задачи.
Технологическая карта
ТЕМА «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ»
Цели урока:
Образовательная - Усвоить три раздела технической механики их определения, основные понятия и аксиомы статики.
Развивающая - совершенствовать навыки самостоятельной работы студентов.
Воспитательная - закрепление навыков работы в группе, умение слушать мнение товарищей, обсуждать в группе.
Тип урока - объяснение нового материала
Технология - гипертекст
| Этапы | Шаги | Деятельность преподавателя | Деятельность студента | Время |
| I Организационный | Тема, цель, порядок работы | Формулирую тему, цель, порядок работы на уроке: «Работаем в технологии «гипертекст» - я произнесу гипертекст, затем вы будете работать с текстом по группам, далее мы проверим уровень усвоения материала и подведем итоги. На каждом этапе я буду давать инструкцию по работе | Слушают, смотрят, записывают тему урока в тетрадь | |
| II Изучение нового материала | Произнесение гипертекста | На столах у каждого студента гипертекст. Предлагаю следить за мной по тексту, слушать, смотреть на экран. | Смотрят распечатки гипертекста | |
| Произношу гипертекст, одновременно показываю слайды на экране | Слушают, смотрят, читают |
|||
| III Закрепление изученного | 1 Составление плана текста | Инструкция 1. Разделиться на группы по 4-5 чел. 2. Разбейте текст на части и озаглавите их, будьте готовы предъявить свой план группе (по готовности плана оформляется на ватмане). 3. Организую обсуждение плана. Сравниваем количество частей в плане. При наличии разного, обращаемся к тексту и уточняем количество частей в плане. 4. Согласовываем формулировки названия частей, выбираем лучшее. 5. Подвожу итоги. Записываем окончательный вариант плана. | 1. Делятся на группы. 2. Озаглавливают текст. 3. Обсуждают составление плана. 4. Уточняют 5. Записывают итоговый вариант плана | |
| 2. Составление вопросов по тексту | Инструкция: 1. Каждой группе составить по 2 вопроса к тексту. 2. Будьте готовы задавать вопросы группа группе последовательно 3. Если группа не может ответить на вопрос, отвечает задавшая. 4. Организую «Вертушку вопросов». Процедура идет до тех пор, пока не начнутся повторы. | Составляют вопросы, готовят ответы Задают вопросы, отвечают | ||
| IV . Проверка усвоение материала | Контрольный тест | Инструкция: 1. Тест выполняете индивидуально. 2. В заключении проверяете тест соседа по парте, сверяя правильные ответы со слайдом на экране. 3. Выставляете оценку по заданным критериям на слайде. 4. Сдаем мне работы | Выполняют тест Проверяют Оценивают | |
| V . Подведение | 1. Подведение итогов по поставленной цели | Анализирую данный тест по уровню усвоения материала | ||
| 2. Домашнее задание | Составить (или воспроизвести) опорный конспект по гипертексту Орошаю внимание, что задание на более высшую оценку, находится в дистанционной оболочке Moodle, в разделе «Техническая механика» | Записывают задание | ||
| 3. Рефлексия урока | Предлагаю высказаться по уроку, для помощи демонстрирую слайд со списком заготовленных начальных фраз | Выбирают фразы, высказываются |
1. Организационный момент
1.1 Знакомство с группой
1.2 Отметить присутствующих студентов
1.3 Знакомство с требованиями к студентам на уроках.
3. Изложение материала
4. Вопросы для закрепления материала
5. Домашнее задание
Гипертекст
Механика, наряду с астрономией и математикой, является одной из самых древних наук. Термин механика происходит от греческого слова «Механе» - ухищрение, машина.
В древние времена Архимед - величайший математик и механик древней Греции (287-212 гг до н.э.). дает точное решение задачи о рычаге и создал учение о центре тяжести. Архимед совмещал гениальные теоретические открытия с замечательными изобретениями. Некоторые из них не потеряли своего значения и в наше время.
Крупный вклад в развитие механики внесли русские ученые: П.Л. Чебешев (1821-1894) - положил начало всемирно известной русской школе теории механизмов и машин. С.А. Чаплыгин (1869-1942). разработал ряд вопросов аэродинамики, имеющих огромное значение для современной скорости авиации.
Техническая механика представляет собой комплексную дисциплину, в которой излагаются основные положения о взаимодействии твердых тел, прочности материалов и методах расчета конструктивных элементов машин и механизмов на внешние взаимодействия. Техническая механика разбивается на три больших раздела: теоретическая механика, сопротивление материалов, детали машин. Один из разделов теоретическая механика разбивается на три подраздела: статика, кинематика, динамика.
Сегодня мы с вами начнем изучение технической механики с подраздела статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердого тела под действием приложенных к ним сил. К основным понятиями статики относятся:Материальная точка
тело, размерами которого в условиях поставленных задач можно пренебречь.Абсолютно твердое тело - условно принятое тело, которое не деформируется под действием внешних сил. В теоретической механике изучаются абсолютно твердые тела.Сила - мера механического взаимодействия тел. Действие силы характеризуется тремя факторами: точкой приложения, численным значением (модулем), направлением (сила - вектор). Внешние силы - силы, действующие на тело со стороны других тел. Внутренние силы - силы взаимодействия между частицами данного тела. Активные сил - силы, вызывающие перемещение тела. Реактивные силы - силы, препятствующие перемещению тела. Эквивалентные силы - силы и системы сил, производящие одинаковое действие на тело. Эквивалентные силы, системы сил - одна сила, эквивалентная рассматриваемой системе сил. Силы этой системы называются составляющими этой равнодействующей. Уравновешивающая сила - сила, равная по величине равнодействующей силе и направленная по линии её действия в противоположную сторону.Система сил - совокупность сил, действующих на тело. Системы сил бывают плоские, пространственные; сходящиеся, параллельные, произвольные. Равновесие - такое состояние, когда тело находится в покое (V = 0) или движется равномерно (V = const) и прямолинейно, т.е. по инерции. Сложение сил - определение равнодействующей по данным составляющим силам. Разложение сил - замена силы её составляющими.
Основные аксиомы статики. 1. аксиома . Под действием уравновешенной системы сил тело находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. 2 . аксиома . Принцип присоединения и отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю. Действие данной системы сил на тело не изменится, если приложить к телу или отнять от него уравновешенные силы. 3 аксиома. Принцип равенства действия и противодействия. При взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. 4 аксиома. Теорема о трех уравновешенных силах. Если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости уравновешены, то они должны пересекаться в одной точке.
Связи и их реакции: Тела движение, которых не ограничено в пространстве называются свободными . Тела движение, которых ограничено в пространстве называются не свободными. Тела, препятствующие перемещению несвободных тел называются, связями. Силы, с которыми тело действует на связь, называются активными.Они вызывают перемещение тела и обозначаются F,G.Силы, с которыми связь действует на тело называются, реакциями связей или просто реакциями и обозначаются R.Для определения реакций связи используется принцип освобождаемости от связей или метод сечений. Принцип освобождаемости от связей заключается в том, что тело мысленно освобождается от связей, действия связей заменяются реакциями.Метод сечений (метод РОЗУ) заключается в том, что тело мысленно разрезается на части, одна часть отбрасывается , действие отброшенной части заменяется силами, для определения которых составляются уравнения равновесия.
Основных видов связей Гладкая плоскость - реакция направлена перпендикулярно опорной плоскости. Гладкая поверхность - реакция направлена перпендикулярно к касательной, проведённой к поверхности тел. Опора в виде угла реакция направлена перпендикулярно плоскости тела или перпендикулярно к касательной, проведенной к поверхности тела. Гибкая связь - в виде верёвки, троса, цепи. Реакция направлена по связи. Цилиндрический шарнир - это соединение двух или более деталей с помощью оси, пальца Реакция направлена перпендикулярно оси шарнира. Жесткий стержень с шарнирным закреплением концов реакции направлены по стержням: реакция растянутого стержня - от узла, сжатого - к узлу. При аналитическом решении задач бывает трудно определить направление реакций стержней. В этих случаях стержни считают растянутыми и реакции направляют от узлов. Если при решении задач реакции получились отрицательными, то в действительности они направлены в противоположную сторону и имеет место сжатие. Реакции направлены по стержням: реакция растянутого стержня - от узла, сжатого - к узлу. Шарнирно не подвижная опора - препятствует вертикальному и горизонтальному перемещением конца балки, но не препятствует его свободному повороту. Дает 2 реакции: вертикальную и горизонтальную силу. Шарнирно-подвижная опора препятствует только вертикальному перемещению конца балки, но не горизонтальному, ни повороту. Такая опора при любой нагрузке дает одну реакцию. Жесткая заделка препятствует вертикальному и горизонтальному перемещением конца балки, а так же его повороту. Дает 3 реакции: вертикальную, горизонтальную силы и пару сил.
Заключение.
Методика - форма общения педагога с аудиторией студентов. Каждый преподаватель постоянно ищет и испытывает новые способы раскрытия темы, возбуждению такого интереса к ней, который способствует развитию и углублению интереса студентов. Предлагаемая форма проведения занятия позволяет повысить познавательную деятельность, так как студенты на протяжении всего урока самостоятельно получают информацию и закрепляют ее в процессе решения задач. Это заставляет их активно работать на уроке.
«Тихое» и «громкое» обсуждение при работе в микро группах дает положительные результаты при оценке знаний студентов. Элементы «мозгового штурма» активизируют работу студентов на занятии. Совместное решение задачи позволяет менее подготовленным студентам разобраться в изучаемом материале с помощью более «сильных» товарищей. То, что они не смогли понять со слов педагога, может быть объяснено им еще раз более подготовленными студентами.
Некоторые проблемные вопросы, задаваемые преподавателем, приближают обучение на уроке к практическим ситуациям. Это позволяет развивать логическое, инженерное мышление студентов.
Оценка работы каждого студента на уроке также стимулирует его деятельность.
Все выше сказанное говорит о том, что данная форма урока позволяет студентам получить глубокие и прочные знания по изучаемой теме, активно участвовать в поиске решения задач.
ПЕРЕЧЕНЬ РЕКАМЕДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивлени риалов.-М Высшая школа. 2009.
Аркуша А.И. Руководство по решению задач по технической механике. Учеб. для средних проф. учеб. заведений,- 4-е изд. испр. - М Высш. шк. ,2009
Белявский СМ. Рукодство по решению задач по сопротивлению материалов М. Высш. шк., 2011.
Гурьева О.В. Сборник многовариантных заданий по технической механике..
Гурьева О.В. Методическое пособие. В помощь изучающим техническую механику 2012
Куклин Н.Г., КуклинаГ.С. Детали машин. М. Машиностроение, 2011
Мовнин М.С, и др. Основы иехнической механики. Л. Машиностроение, 2009
Эрдеди А.А., Эрдеди НА. Теоретическая механика. Сопротивление материале М Высш. шк. Академия 2008.
Эрдеди А А, Эрдеди НА Детали машин- М, Высш. шк. Академия, 2011
Пособие содержит основные понятия и термины одной из основных дисциплин предметного блока «Техническая механика». Данная дисциплина включает в себя такие разделы, как «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин».
Методическое пособие предназначено для оказания помощи студентам по самостоятельному изучению курса «Техническая механика».
Теоретическая механика 4
I. Статика 4
1. Основные понятия и аксиомы статики 4
2. Система сходящихся сил 6
3. Плоская система произвольно расположенных сил 9
4. Понятие о ферме. Расчет ферм 11
5. Пространственная система сил 11
II. Кинематика точки и твердого тела 13
1. Основные понятия кинематики 13
2. Поступательное и вращательное движения твердого тела 15
3. Плоскопараллельное движение твердого тела 16
III. Динамика точки 21
1. Основные понятия и определения. Законы динамики 21
2. Общие теоремы динамики точки 21
Сопротивление материалов 22
1. Основные понятия 22
2. Внешние и внутренние силы. Метод сечений 22
3. Понятие о напряжении 24
4. Растяжение и сжатие прямого бруса 25
5. Сдвиг и смятие 27
6. Кручение 28
7. Поперечный изгиб 29
8. Продольный изгиб. Сущность явления продольного изгиба. Формула Эйлера. Критическое напряжение 32
Теория механизмов и машин 34
1. Структурный анализ механизмов 34
2. Классификация плоских механизмов 36
3. Кинематическое исследование плоских механизмов 37
4. Кулачковые механизмы 38
5. Зубчатые механизмы 40
6. Динамика механизмов и машин 43
Список литературы 45
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
I . Статика
1. Основные понятия и аксиомы статики
Наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом взаимодействиях между телами называется теоретической механикой .
Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.
Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается постоянным.
Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется силой .
Скалярные величины – это такие, которые полностью характеризуются их численным значением.
Векторные величины – это такие, которые помимо численного значения, характеризуются еще и направлением в пространстве.
Сила является векторной величиной (рис. 1).
Сила характеризуется:
– направлением;
– численной величиной или модулем;
– точкой приложения.
Прямая D Е , вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы .
Совокупность сил, действующих на какое-либо твердое тело, называется системой сил .
Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным .
Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными .
Система сил, под действием которой свободное твердое тело может находиться в покое, называется уравновешенной или эквивалентной нулю .
Равнодействующая – это сила, которая одна заменяет действие данной системы сил на твердое тело.
Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой .
Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел.
Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной .
Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными .
Аксиома 1 . Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 2).
Аксиома 2 . Действие одной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом . Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил) . Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (рис. 3).
R = F 1 + F 2
Вектор R , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах F 1 и F 2 , называется геометрической суммой векторов .
Аксиома 4 . При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).
Тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве, называется свободным .
Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным .
Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называется связью .
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям, называется силой реакции связи или реакцией связи .
Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
Аксиома связей. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей.
2. Система сходящихся сил
Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 4а).
Система сходящихся сил имеет равнодействующую , равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения.
Геометрическая сумма , или главный вектор нескольких сил, изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (рис. 4б).
2.1. Проекция силы на ось и на плоскость
Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы. Проекция имеет знак плюс, если перемещение от ее начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус – если в отрицательном (рис. 5).
Проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси:
F X = F cos.
Проекцией силы на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 6).
F xy = F cosQ
F x = F xy cos= F cosQ cos
F y = F xy cos= F cosQ cos
Проекция вектора суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 7).
R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4
R x = ∑F ix R y = ∑F iy
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут – это геометрическое условие равновесия.
Аналитическое условие равновесия . Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю.
∑F ix = 0 ∑F iy = 0 R =
2.2. Теорема о трех силах
Если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке (рис. 8).
2.3. Момент силы относительно центра (точки)
Моментом силы относительно центра называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину h (рис. 9).
М = ±F · h
Перпендикуляр h , опущенный из центра О на линию действия силы F , называется плечом силы F относительно центра О .
Момент имеет знак плюс , если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус – если по ходу часовой стрелки.
Свойства момента силы.
1. Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.
2. Момент силы относительно центра равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр (плечо равно нулю).
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ»
Раздел 1: Статика
Статика, аксиомы статики. Связи, реакция связей, типы связей.
Основы теоретической механики состоят из трёх разделов: Статика, основы сопротивления материалов, детали механизмов и машин.
Механическое движение – изменение положения тел или точек в пространстве с течением времени.
Тело рассматривается как материальная точка, т.е. геометрическая точка и в этой точке сосредоточена вся масса тела.
Система – это совокупность материальных точек движение и положение которых взаимосвязаны.
Сила – это векторная величина, и действие силы на тело определяется тремя факторами: 1) Числовым значением, 2) направлением, 3) точкой приложения.
[F]– Ньютон – [H], Кг/с = 9,81 Н = 10 Н, КН = 1000 Н,
МН = 1000000 Н, 1Н = 0,1 Кг/с
Аксиомы статики .
1Аксиома – (Определяет уравновешенную систему сил): система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под её воздействием точка находится в состоянии относительного покоя, или движется прямолинейно и равномерно.
Если на тело действует уравновешенная система сил, то тело находится либо: в состоянии относительного покоя, либо движется равномерно и прямолинейно, либо равномерно вращается вокруг неподвижной оси.
2 Аксиома – (Устанавливает условие равновесия двух сил): две равные по модулю или числовому значению силы (F1=F2) приложенные к абсолютно твёрдому телу и направленные
по одной прямой в противоположные стороны взаимно уравновешиваются.
Система сил – это совокупность нескольких сил приложенных к точке или телу.
Система сил линии действия, в которой находятся в разных плоскостях, называется пространственной, если в одной плоскости то плоской. Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Если взятые порознь две системы сил оказывают одинаковое воздействие на тело, то они эквивалентны.
Следствие из 2 аксиомы .
Всякую силу, действующую на тело можно перенести вдоль линии её действия, в любую точку тела не нарушив при этом его механического состояния.
3
Аксиома
: (Основа для преобразования сил): не нарушая механического состояния абсолютно твёрдого тела к нему можно приложить или отбросить от него уравновешенную систему сил. 
Векторы, которые можно переносить по лини их действия называются скользящими.
4 Аксиома – (Определяет правила сложения двух сил): равнодействующая двух сил приложенная к одной точке, приложена в этой точке, является диагональю параллелограмма построенного на этих силах.
- Равнодействующая сила =F1+F2 – По правилу параллелограмма
По правилу треугольника.
5 Аксиома – (Устанавливает, что в природе не может быть одностороннего действия силы) при взаимодействии тел всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Связи и их реакции.
Тела в механике бывают: 1 свободные 2 несвободные.
Свободные – когда тело не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении.
Несвободные – тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение.
Тела, которые ограничивают движение тела, называются связями.
При взаимодействии тела со связями возникают силы, они действуют на тело со стороны связи и называются реакциями связи.
Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела.
Виды связи .
1) Связь в виде гладкой плоскости без трения.
2) Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверхности.
3) Связь в виде шероховатой плоскости.
Rn – сила перпендикулярна плоскости. Rt – сила трения.
R – реакция связи. R = Rn+Rt
4) Гибкая связь: верёвкой или тросом.
5) Связь в виде жёсткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов.
6) Связь осуществляется ребром двухгранного угла или точечной опоры.
R1R2R3 – Перпендикулярны поверхности тела.
Плоская система сходящихся сил. Геометрическое определение равнодействующей. Проекция силы на ось. Проекция векторной суммы на ось.
Силы называются сходящимися, если линии их действия пересекаются в одной точке.
Плоская система сил – линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости.
Пространственная система сходящихся сил – линии действия всех данных сил лежат в разных плоскостях.
Сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку, т.е. в точку пересечения их по линии действия.
F123=F1+F2+F3=
Равнодействующая всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего (стрелка направлена в сторону обхода многогранника).
Если при построении силового многоугольника конец последней силы совместится с началом первой, то равнодействующая = 0, система находится в равновесии.
Не уравновешенная
уравновешенная.
Проекция силы на ось.
Ось – прямая линия, которой приписано определённое направление.
Проекция вектора является скалярной величиной, она определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами на ось из начала и конца вектора.
Проекция вектора положительная, если совпадает с направлением оси, и отрицательная, если противоположна направлению оси.
Вывод: Проекция силы на ось координат = произведению модуля силы на cos угла между вектором силы и положительным направлением оси.
Положительная проекция.
Отрицательная проекция
Проекция = о
Проекция векторной суммы на ось .
Можно использовать для определения модуля и
направления силы, если известны её проекции на
координатные оси.
Вывод : Проекция векторной суммы, или равнодействующей на каждую ось равна алгебраической сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось.
Определить модуль и направление силы, если известны её проекции.
Ответ: F=50H,
Ответ: 
Раздел 2. Сопротивление материалов (Сопромат ).
Основные понятия и гипотезы. Деформация. Метод сечения.
Сопротивление материалов – это наука об инженерных методах расчёта, на прочность жёсткость и устойчивость, элементов конструкций. Прочность – свойства тел не разрушаться под действием внешних сил. Жёсткость – способность тел в процессе деформирования изменять размеры в заданных пределах. Устойчивость – способность тел сохранять первоначальное состояние равновесия после приложения нагрузки. Цель науки (Сопромат) – создание практически удобных приёмов Расчёта наиболее часто встречающихся элементов конструкций.Основные гипотезы и допущения относительно свойств материалов, нагрузок и характера деформации.
1) Гипотеза
(Однородности и оплошности). Когда материал полностью заполняет тело, и свойства материала не зависят от размеров тела.2) Гипотеза
(Об идеальной упругости материала). Способность тела восстанавливать сваю первоначальную форму и размеры после устранения причин вызвавших деформацию.3) Гипотеза
(Допущение о линейной зависимости между деформациями и нагрузками, Выполнение закона Гука). Перемещение в результате деформации прямо пропорционально вызвавшим их нагрузкам.4) Гипотеза
(Плоских сечений). Поперечные сечения плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему нагрузки остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.5) Гипотеза
(Об изотропности материала). Механические свойства материала в любом направлении одинаковы.6) Гипотеза
(О малости деформаций). Деформации тела настолько малы, по сравнению с размерами, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок. 7) Гипотеза (Принцип независимости действия сил). 8) Гипотеза (Сен-Венана). Деформация тела вдали от места приложения статически эквивалентных нагрузок практически не зависит от характера их распределения. Под действием внешних сил расстояние между молекулами изменяется, возникают внутренние силы внутри тела, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы в прежнее состояние – силы упругости.
Метод сечений.
Внешние силы, приложенные к отсечённой части тела должны уравновешиваться с внутренними силами, возникающими в плоскости сечения, они заменяют действие отброшенной части на остальную. Стержень (брусья) – Элементы конструкции, длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Пластины или оболочки – Когда толщина мала по сравнению с двумя другими размерами. Массивные тела – все три размера примерно одинаковы.
Условие равновесия.
NZ – Продольная внутренняя сила. QX и QY – Поперечная внутренняя сила. MX и MY – Изгибающие моменты. MZ – Крутящий момент. При действии на стержень плоской системы сил, в его сечениях могут возникать только три силовых фактора, это: MX – Изгибающий момент, QY – Поперечная сила, NZ – Продольная сила.Уравнение равновесия.
Координатные оси всегда будут направлять ось Z вдоль оси стержня. Оси X и Y – вдоль главных центральных осей его поперечных сечений. Начало координат это центр тяжести сечения.
Последовательность действий для определения внутренних сил.
1) Мысленно провести сечение в интересующей нас точке конструкции. 2) Отбросить одну из отсечённых частей, и рассмотреть равновесие оставшейся части. 3) Составить уравнение равновесия и определить из них значения и направления внутренних силовых факторов. Осевое растяжение и сжатие – внутренние силы в поперечном сечении Могут быть замкнуты одной силой направленной вдоль оси стержня.
Растяжение.Сжатие. Сдвиг – возникает в том случае, когда в поперечном сечении стержня внутренние силы приводятся к одной, т.е. поперечной силе Q. Кручение – Возникает 1 силовой фактор MZ.MZ=MK Чистый изгиб – Возникает изгибающий момент MX или MY.
Для расчёта элементов конструкции на прочность, жёсткость, устойчивость, прежде всего, необходимо (с помощью метода сечения) определить возникновение внутренних силовых факторов.
Тема № 1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Основные понятия и аксиомы статики
Предмет статики. Статикой называется раздел механики, в котором изучаются законы сложения сил и условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.
Под равновесием мы будем понимать состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам. Если тело, по отношению к которому изучается равновесие, можно считать неподвижным, то равновесие условно называют абсолютным, а в противном случае -относительным. В статике мы будем изучать только так называемое абсолютное равновесие тел. Практически при инженерных расчетах абсолютным можно считать равновесие по отношению к Земле или к телам, жестко связанным с Землей. Справедливость этого утверждения будет обоснована в динамике, где понятие об абсолютном равновесии можно определить более строго. Там же будет рассмотрен и вопрос об относительном равновесии тел.
Условия равновесия тела существенно зависят от того, является ли это тело твердым, жидким или газообразным. Равновесие жидких и газообразных тел изучается в курсах гидростатики и аэростатики. В общем курсе механики рассматриваются обычно только задачи о равновесии твердых тел.
Все встречающиеся в природе твердые тела под влиянием внешних воздействий в той или иной мере изменяют свою форму (деформируются). Величины этих деформаций зависят от материала тел, их геометрической формы и размеров и от действующих нагрузок. Для обеспечения прочности различных инженерных сооружений и конструкций материал и размеры их частей подбирают так, чтобы деформации при действующих нагрузках были достаточно малы. Вследствие этого при изучении общих условий равновесия вполне допустимо пренебрегать малыми деформациями соответствующих твердых тел и рассматривать их как недеформируемые или абсолютно твердые.
Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается постоянным.
Чтобы твердое тело под действием некоторой системы сил находилось в равновесии (в покое), необходимо чтобы эти силы удовлетворяли определенным условиям равновесия данной системы сил. Нахождение этих условий является одной из основных задач статики. Но для отыскания условий равновесия различных систем сил, а также для решения ряда других задач механики, оказывается необходимым уметь складывать силы, действующие на твердое тело, заменять действие одной системы сил другой системой и, в частности, приводить данную систему сил к простейшему виду. Поэтому в статике твердого тела рассматриваются следующие две основные задачи:
1) сложение сил и приведение систем сил, действующих на твердое тело, к простейшему виду;
2) определение условий равновесия действующих на твердое тело систем сил.
Сила. Состояние равновесия или движения данного тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами, т.е. от тех давлений, притяжений или отталкиваний, которые данное тело испытывает в результате этих взаимодействий. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимо действия материальных тел, называется в механике силой.
Рассматриваемые в механике величины, можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их численным значением, и векторные, т.е. такие, которые, помимо численного значения, характеризуются еще и направлением в пространстве.
Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направле нием силы, 3) точкой приложения силы.
Направление и точка приложения силы зависят от характера взаимодействия тел и их взаимного положения. Например, сила тяжести, действующая на какое-нибудь тело, направлена по вертикали вниз. Силы давления двух прижатых друг к другу гладких шаров направлены по нормали к поверхностям шаров в точках их касания и приложены в этих точках и т. д.
Графически сила изображается направленным отрезком (со стрелкой). Длина этого отрезка (АВ на рис. 1) выражает в выбранном масштабе модуль силы, направление отрезка соответствует направлению силы, его начало (точка А на рис. 1) обычно совпадает с точкой приложения силы. Иногда бывает удобно изображать силу так, что точкой приложения является ее конец - острие стрелки (как на рис. 4в ). Прямая DE , вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Силу обозначают буквой F . Модуль силы обозначается вертикальными черточками «по бокам» вектора. Системой сил называется совокупность сил, действующих на какое-нибудь абсолютно твердое тело.
Основные определения:
Тело, не скрепленное с другими телами, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным.
Если свободное твердое тело под действием данной системы сил может находиться в покое, то такая система сил называется уравновешенной.
Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.
Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Таким образом, равнодействующая - это сила, которая одна может заменить действие данной системы, сил на твердое тело.
Сила, равная равнодействующей по модулю, прямо противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.
Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.
Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распре деленными.
Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу к телу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собою по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил.
В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжестей его частиц. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку, называемую центром тяжести тела.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело мо жет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F 1 = F 2 )и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 2).
Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.
А
ксиома
2.
Действие
данной системы сил на абсолютно твердое
тело не изменится, если к ней прибавить
или от нее отнять уравновешенную систему
сил.
Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом.Точку приложения силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила F (рис. 3). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы F1 и F2 ,такие, что Fl = F, F2 = - F. От этого действие силы F на тело не изменится. Но силы F и F2 согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело будет действовать только одна сила Fl равная F, но приложенная в точке В.
Таким образом, вектор, изображающий силу F, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).
Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело. При инженерных расчетах этим результатом можно пользоваться лишь тогда, когда исследуется внешнее действие сил на данную конструкцию, т.е. когда определяются общие условия равновесия конструкции.
Н
А
Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна геомет рической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке.
Аксиома 4. Два материальных тела всегда действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны (кратко: действие равно противодействию).
З
Свойство внутренних сил. По аксиоме 4 любые две частицы твердого тела будут действовать друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами. Так как при изучении общих условий равновесия тело можно рассматривать как абсолютно твердое, то (по аксиоме 1) все внутренние силы образуют при этом условии уравновешенную систему, которую (по аксиоме 2) можно отбросить. Следовательно, при изучении общих условий равновесия необходимо учитывать только внешние силы, действующие на данное твердое тело или данную конструкцию.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Если любое изме няемое (деформируемое) тело под действием данной системы сил находится в равновесии, то равновесие сохранится и тогда, когда тело отвердеет (станет абсолютно твердым).
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не должно нарушиться, если ее звенья сварить друг с другом; равновесие гибкой нити не нарушится, если она превратится в изогнутый жесткий стержень и т.д. Так как на покоящееся тело до и после отвердевания действует одна и та же система сил, то аксиому 5 можно еще выразить в другой форме: при равновесии силы, действующие на любое изменяемое (дефор мируемое) тело, удовлетворяют тем же условиям, что и для тела абсолютно твердого; однако для изменяемого тела эти условия, будучи необходимыми, могут не быть достаточными. Например, для равновесия гибкой нити под действием двух сил, приложенных к ее концам, необходимы те же условия, что и для жесткого стержня (силы должны быть равны по модулю и направлены вдоль нити в разные стороны). Но эти условия не будут достаточными. Для равновесия нити требуется еще, чтобы приложенные силы были растягивающими, т.е. направленными так, как на рис. 4а.
Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он позволяет при составлении условий равновесия рассматривать любое изменяемое тело (ремень, трос, цепь и т. п.) или любую изменяемую конструкцию как абсолютно жесткие и применять к ним методы статики твердого тела. Если полученных таким путем уравнений для решения задачи оказывается недостаточно, то дополнительно составляют уравнения, учитывающие или условия равновесия отдельных частей конструкции, или их деформации.
Тема № 2. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Введение
Теоретическая механика является одной из важнейших фундаментальных общенаучных дисциплин. Она играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей. На результатах теоретической механики базируются общеинженерные дисциплины: сопротивление материалов, детали машин, теория механизмов и машин и другие.
Основной задачей теоретической механики является изучение движения материальных тел под действием сил. Важной частной задачей представляется изучение равновесия тел под действием сил.
Курс Лекций. Теоретическая механика
Структура теоретической механики. Основы статики
Условия равновесия произвольной системы сил.
Уравнения равновесия твёрдого тела.
Плоская система сил.
Частные случаи равновесия твёрдого тела.
Задача о равновесии бруса.
Определение внутренних усилий в стержневых конструкциях.
Основы кинематики точки.
Естественные координаты.
Формула Эйлера.
Распределение ускорений точек твёрдого тела.
Поступательное и вращательное движения.
Плоскопараллельное движение.
Сложное движение точки.
Основы динамики точки.
Дифференциальные уравнения движения точки.
Частные виды силовых полей.
Основы динамики системы точек.
Общие теоремы динамики системы точек.
Динамика вращательного движения тела.
Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М., Высшая школа, 1983.
Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики, ч.1 и 2. М., Высшая школа, 1971.
Петкевич В.В. Теоретическая механика. М., Наука, 1981.
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под ред. А.А.Яблонского. М., Высшая школа, 1985.
Лекция 1. Структура теоретической механики. Основы статики
В теоретической механике изучается движение тел относительно других тел, представляющие собой физические системы отсчёта.
Механика позволяет не только описывать, но и предсказывать движение тел, устанавливая причинные связи в определённом, весьма широком, круге явлений.
Основные абстрактные модели реальных тел:
материальная точка – имеет массу, но не имеет размеров;
абсолютно твёрдое тело – объём конечных размеров, сплошь заполненный веществом, причём расстояния между любыми двумя точками среды, заполняющей объём, не изменяются во время движения;
сплошная деформируемая среда – заполняет конечный объём или неограниченное пространство; расстояния между точками такой среды могут меняться.
Из них – системы:
Система свободных материальных точек;
Системы со связями;
Абсолютно твёрдое тело с полостью, заполненной жидкостью, и т.п.
«Вырожденные» модели:
Бесконечно тонкие стержни;
Бесконечно тонкие пластины;
Невесомые стержни и нити, связывающие между собой материальные точки, и т.д.
Из опыта: механические явления протекают неодинаково в разных местах физической системы отсчёта. Это свойство – неоднородность пространства, определяемого физической системой отсчёта. Под неоднородностью здесь понимается зависимость характера протекания явления от места, в котором мы наблюдаем это явление.
Ещё свойство – анизотропность (неизотропность) движение тела относительно физической системы отсчёта может быть различным в зависимости от направления. Примеры: течение реки по меридиану (с севера на юг - Волга); полёт снаряда, маятник Фуко.
Свойства системы отсчёта (неоднородность и анизотропность) затрудняют наблюдение за движением тела.
Практически свободна от этого – геоцентрическая система: центр системы в центре Земли и системы не вращается относительно «неподвижных» звёзд). Геоцентрическая система удобна для расчётов движений на Земле.
Для небесной механики (для тел солнечной системы): гелиоцентрическая система отсчёта, которая движется с центром масс Солнечной системы и не вращается относительно «неподвижных» звёзд. Для этой системы пока не обнаружены неоднородность и анизотропность пространства
по отношению к явлениям механики.
Итак, вводится абстрактная инерциальная система отсчёта, для которой пространство однородно и изотропно по отношению к явлениям механики.
Инерциальная система отсчёта – такая, собственное движение которой не может быть обнаружено никаким механическим опытом. Мысленный эксперимент: «точка, одинокая во всём мире» (изолированная) либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.
Все системы отсчёта движущиеся относительно исходной прямолинейно, равномерно будут инерциальными. Это позволяет ввести единую декартовую систему координат. Такое пространство называется евклидовым .
Условное соглашение – берут правую систему координат (рис. 1).
В
ремя
– в классической (нерелятивистской)
механике абсолютно
,
единое для всех систем отсчёта то есть
начальный момент – произволен. В отличие
релятивистской механики, где применяется
принцип относительности.
Состояние движения системы в момент времени t определяется координатами и скоростями точек в этот момент.
Реальные тела взаимодействуют при этом возникают силы, которые меняют состояние движения системы. Это и есть суть теоретической механики.
Как изучается теоретическая механика?
Учение о равновесии совокупности тел некоторой системы отсчёта – раздел статика.
Раздел кинематика : часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние движения систем, но не рассматриваются причины, вызывающие изменение состояния движения.
После этого рассмотрим влияние сил [ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ].
Раздел динамика : часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов.
Принципы построения основного курса – динамики:
1) в основе – система аксиом (на основе опыта, наблюдений);
Постоянно – безжалостный контроль практики.Признак точной науки – наличие внутренней логики (без неё - набор не связанных рецептов) !
Статикой называется та часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на систему материальных точек, для того чтобы система находилась в равновесии, и условия эквивалентности систем сил.
Будут рассмотрены задачи о равновесии в элементарной статике с применением исключительно геометрических методов, основанных на свойствах векторов. Такой подход применяется в геометрической статике (в отличие от аналитической статики, которая здесь не рассматривается).
Положения различных материальных тел будем относить к системе координат, которую примем за неподвижную.
Идеальные модели материальных тел:
1) материальная точка – геометрическая точка с массой.
2) абсолютно твёрдое тело – совокупность материальных точек, расстояния между которыми не могут быть изменены никакими действиями.
Силами будем называть объективные причины, являющиеся результатом взаимодействия материальных объектов, способные вызвать движение тел из состояния покоя или изменить существующее движение последних.
Так как сила определяется вызываемым ею движением, то она также имеет относительный характер, зависящий от выбора системы отсчёта.
Вопрос о природе сил рассматривается в физике .
Система материальных точек находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получает никакого движения от сил, на неё действующих.
Из повседневного опыта: силы имеют векторный характер, то есть величину, направление, линию действия, точку приложения. Условие равновесия сил, действующих на твёрдое тело, сводится к свойствам систем векторов.
Обобщая опыт изучения физических законов природы, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые могут рассматриваться как аксиомы механики, так как имеют в своей основе экспериментальные факты.
Аксиома 1. Действие на точку твёрдого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов (рис.2).
Следствие. Силы, приложенные к точке твёрдого тела, складываются по правилу параллелограмма.
Аксиома 2. Две силы, приложенные к твёрдому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой.
Аксиома 3. Действие на твёрдое тело системы сил не изменится, если добавить к этой системе или отбросить от неё две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и лежащие на одной прямой.
Следствие. Силу, действующую на точку твёрдого тела, можно переносить вдоль линии действия силы без изменения равновесия (то есть, сила является скользящим вектором, рис.3)
1) Активные – создают или способны создать движение твёрдого тела. Например, сила веса.
2) Пассивные – не создающие движения, но ограничивающие перемещения твёрдого тела, препятствующие перемещениям. Например, сила натяжения нерастяжимой нити (рис.4).
Аксиома 4. Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (действие равно противодействию ).
Геометрические условия, ограничивающие перемещение точек, будем называть связями.
Условия связи: например,
-
стержень непрямой длины l.
-
гибкая нерастяжимая нить длиной l.
Силы, обусловленные связями и препятствующие перемещениям, называются силами реакций.
Аксиома 5. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей.
Когда пассивные силы не могут уравновесить действие активных сил, начинается движение.
Две частные задачи статики
1. Система сходящихся сил, действующих на твёрдое тело
Системой сходящихся сил называется такая система сил, линии действия которой пересекаются в одной точке, которую всегда можно принять за начало координат (рис.5).
Проекции равнодействующей:
;
;
.
Если , то сила вызывает движение твёрдого тела.
Условие равновесия для сходящейся системы сил:
|
|
||
|
|
2. Равновесие трёх сил
Если
на твёрдое тело действуют три силы, и
линии действия двух сил пересекаются
в некоторой точке А, равновесие возможно
тогда и только тогда, когда линия действия
третьей силы тоже проходит через точку
А, а сама сила
равна
по величине и противоположно направлена
сумме
(рис.6).
Примеры:
|
|
||
Момент силы относительно точки О определим как вектор ,по величине равный удвоенной площади треугольника, основанием которого является вектор силы с вершиной в заданной точке О; направление – ортогонально плоскости рассмотренного треугольника в ту сторону, откуда вращение, производимое силой вокруг точки О, виднопротив хода часовой стрелки. является моментом скользящего вектора и являетсясвободным вектором (рис.9).
Итак:
или
,
где
;;
.
Где F – модуль силы, h – плечо (расстояние от точки до направления силы).
Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О, взятой на оси (рис.10).
Это скаляр, не зависящий от выбора точки. Действительно, разложим :|| и в плоскости.
О моментах: пусть О 1 – точка пересечения с плоскостью. Тогда:
а) от - момент => проекция = 0.
б) от - момент вдоль => является проекцией.
Итак, момент относительно оси – это момент составляющей силы в перпендикулярной плоскости к оси относительно точки пересечения плоскости и оси.
Теорема Вариньона для системы сходящихся сил:
Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительно произвольной точки А равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки А (рис.11).
Доказательство в теории сходящихся векторов.
Пояснение: сложение сил по правилу параллелограмма => результирующая сила даёт суммарный момент.
Контрольные вопросы:
1. Назовите основные модели реальных тел в теоретической механике.
2. Сформулируйте аксиомы статики.
3. Что называется моментом силы относительно точки?
Лекция 2. Условия равновесия произвольной системы сил
Из основных аксиом статики следуют элементарные операции над силами:
1) силу можно переносить вдоль линии действия;
2) силы, линии действия которых пересекаются, можно складывать по правилу параллелограмма (по правилу сложения векторов);
3) к системе сил, действующих на твёрдое тело, можно всегда добавить две силы, равные по величине, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны.
Элементарные операции не изменяют механического состояния системы.
Назовём две системы сил эквивалентными, если одна из другой может быть получена с помощью элементарных операций (как в теории скользящих векторов).
Система двух параллельных сил, равных по величине и направленных в противоположные стороны, называется парой сил (рис.12).
Момент пары сил - вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах пары, и направленный ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки.
,
то есть момент силы
относительно
точки В.
Пара сил полностью характеризуется своим моментом.
Пару сил можно переносить элементарными операциями в любую плоскость, параллельную плоскости пары; изменять величины сил пары обратно пропорционально плечам пары.
Пары сил можно складывать, при этом моменты пар сил складываются по правилу сложения (свободных) векторов.
Приведение системы сил, действующих на твёрдое тело, к произвольной точке (центру приведения) - означает замену действующей системы более простой: системой трёх сил, одна из которых проходит через наперёд заданную точку, а две другие представляют пару.
Доказывается с помощью элементарных операций (рис.13).
Система
сходящихся сил
и
система пар сил.
-
результирующая сила
.
Результирующая пара .
Что и требовалось показать.
Две системы сил будут эквивалентны тогда и только тогда, когда обе системы приводятся к одной результирующей силе и одной результирующей паре, то есть при выполнении условий:
|
|
Общий случай равновесия системы сил, действующих на твёрдое тело
Приведём систему сил к (рис.14):
Результирующая сила через начало координат;
Результирующая пара, причём, через точку О.
То есть привели к и- две силы, одна из которыхпроходит через заданную точку О.
Равновесие, если ина одной прямой, равны, направлены противоположно (аксиома 2).
Тогда проходит через точку О, то есть.
Итак , общие условия равновесия твёрдого тела:
Эти условия справедливы для произвольной точки пространства.
Контрольные вопросы:
1. Перечислите элементарные операции над силами.
2. Какие системы сил называются эквивалентными?
3. Напишите общие условия равновесия твёрдого тела.
Лекция 3. Уравнения равновесия твёрдого тела
Пусть О – начало координат; – результирующая сила;– момент результирующей пары. Пусть точка О1 – новый центр приведения (рис.15).
Новая система сил:
При
изменении точки приведения => меняется
только
(в
одну сторону с одним знаком, в другую –
с другим). То естьточка:
совпадают
линиии
Аналитически:
(колинеарность векторов)
; координаты точки О1.
Это уравнение прямой линии, для всех точек которой направление результирующего вектора совпадает с направлением момента результирующей пары – прямая называется динамой.
Если на оси динамы => , то система эквивалентна одной результирующей силе, которую называютравнодействующей силой системы. При этом всегда , то есть.
Четыре случая приведения сил:
1.) ;- динама.
2.) ;- равнодействующая.
3.) ;- пара.
4.) ;- равновесие.
Два векторных уравнения равновесия: главный вектор и главный момент равны нулю ,.
Или шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовые оси координат:
Здесь:
Сложность вида уравнений зависит от выбора точки приведения => искусство расчётчика.
Нахождение условий равновесия системы твёрдых тел, находящихся во взаимодействии <=> задача о равновесии каждого тела в отдельности, причём на тело действуют внешние силы и силы внутренние (взаимодействие тел в точках соприкосновения с равными и противоположно направленными силами – аксиома IV, рис.17).
Выберем для всех тел системы один центр приведения. Тогда для каждого тела с номером условия равновесия:
,
,
(=
1, 2, …, k)
где ,- результирующая сила и момент результирующей пары всех сил, кроме внутренних реакций.
Результирующая сила и момент результирующей пары сил внутренних реакций.
Формально суммируя по и учитывая по IV аксиоме
получаем необходимые условия равновесия твёрдого тела:
,
Пример.
Равновесие: = ?
Контрольные вопросы:
1. Назовите все случаи приведения системы сил к одной точке.
2. Что такое динама?
3. Сформулируйте необходимые условия равновесия системы твёрдых тел.
Лекция 4. Плоская система сил
Частный случай общей поставки задачи.
Пусть все действующие силы лежат в одной плоскости – например, листа. Выберем за центр приведения точку О – в этой же плоскости. Получим результирующую силу и результирующую парув этой же плоскости, то есть(рис.19)
Замечание.
Систему можно привести к одной результирующей силе.
Условия равновесия:
или скалярные:
Очень часто встречаются в приложениях, например, в сопротивлении материалов.
Пример.
С трением шара о доску и о плоскость. Условие равновесия: = ?
Задача о равновесии несвободного твёрдого тела.
Несвободным называется такое твёрдое тело, перемещение которого стеснено связями. Например, другими телами, шарнирными закреплениями.
При определении условий равновесия: несвободное тело можно рассматривать как свободное, заменяя связи неизвестными силами реакции.
Пример.
Контрольные вопросы:
1. Что называется плоской системой сил?
2. Напишите условия равновесия плоской системы сил.
3. Какое твёрдое тело называется несвободным?
Лекция 5. Частные случаи равновесия твёрдого тела
Теорема. Три силы уравновешивают твёрдое тело только в том случае, когда все они лежат в одной плоскости.
Доказательство.
Выберем за точку приведения точку на линии действия третьей силы. Тогда (рис.22)
То
есть плоскости
S1
иS2
совпадают, причём для любой точки на
оси силы,
ч.т.д. (Проще:в
плоскости
только
там же для уравновешивания).