Первой дробью, с которой познакомились
люди, была половина. Хотя названия всех следующих
дробей связаны с названиями их знаменателей (три
- “треть”, четыре - “четверть” и т.д.), для
половины это не так - ее название во всех языках
не имеет ничего общего со словом “два”.
Следующей дробью была треть. Эти и некоторые
другие дроби встречаются в древнейших дошедших
до нас математических текстах, составленных 5000
лет тому назад, - древнеегипетских папирусах и
вавилонских клинописных табличках.
И у египтян, и у вавилонян были специальные
обозначения для дробей 1/3 и 2/3, не совпадающие с
обозначениями для других дробей.
Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n.
Единственным исключением была дробь 2/3. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе, написанном египетским писцом Ахмесом, есть задача : разделить семь хлебов между восемью людьми. Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется сделать 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб - на 8 частей (всего 17 разрезов).
Но складывать записанные в виде долей дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2/n, от 2/5 до 2/99, записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление целых чисел. Вот, например, как делили 5 на 21:
Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но при умножении приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.
Совсем иным путем пошли вавилоняне. Дело в том, что система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной - каждая единица следующего разряда была в 60 раз больше предыдущей. Например, запись 14” 42" 38 означала число 14 · 602 + 42 · 60 + 38, т.е. в нашей записи числа 52?958 (только вавилоняне пользовались не нашими цифрами, а другими обозначениями, составленными из клиньев). Поэтому и дроби были у вавилонян не десятичными, а шестидесятеричными. По сути дела, мы и сейчас пользуемся такими дробями в обозначениях времени и величин углов. Например, время 3 ч 17 мин. 28 с можно записать и так: 3,17"28" ч (читается 3 целых, 17 шестидесятых 28 три тысячи шестисотых часа). Вместо слов “шестидесятые доли”, “три тысячи шестисотые доли” говорили короче: “первые малые доли”, “вторые малые доли”. От этого и произошли наши слова минута (по латыни - меньшая) и секунда (по латыни - вторая). Так что вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение до сих пор.
Не все дроби можно изобразить в виде конечных шестидесятеричных, как и не все дроби записываются в виде конечных десятичных. Например, дроби вида 1/7, 1/11, 1/13 нельзя записать в шестидесятеричной форме. Но их можно с любой степенью точности заменить шестидесятеричными дробями. Так вавилоняне и поступали.
Шестидесятеричными дробями,
унаследованными от Вавилона, пользовались
греческие и арабские математики и астрономы. Но
было неудобно работать над натуральными числами,
записанными в десятичной системе, и дробями,
записанными в шестидесятеричной.
А работать с обыкновенными дробями было совсем
уж плохо - попробуйте, например, сложить или
умножить дроби 
.
Поэтому в 1585 году голландский математик и инженер Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Еще за полтора столетия до Стевина десятичные дроби ввел работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека астроном ал-Каши, но его работа осталась неизвестной европейским математикам.
Сейчас в ЭВМ, как вы, конечно, знаете, используют двоичные дроби. Они имеют вид 0,101101. Любопытно, что двоичными дробями пользовались, по сути дела, в Древней Руси, где были такие дроби, как половина, четь, пол-чети, пол-пол-чети и т.д. .
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении единицы измерения веса асса на 12 долей. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и т.п. сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел 5 унций книги.
При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Просто говорилось, что пройдено 7/12 пути или прочитано 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.
Даже сейчас иногда говорят “он скрупулезно изучил этот вопрос”. Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулезно” от римского названия 1/288 асса - скрипулус. В ходу были и такие названия: семис - половина асса, секстанc - шестая его доля, семиунция - полунции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (двух третей асса) на сескунцию (3/2 унции, т.е. 1/8 асса) получается унция. При этом они хорошо понимали, что умножают не сами веса (умножать вес на вес смысла не имеет), а выражающие эти веса дроби. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Так что ту роль, которую в Древнем Вавилоне играло число 60, а в Древней Руси - число 2, в Древнем Риме играло число 12 - римская система дробей и мер была двенадцатеричной (хотя числа они записывали по десятичной системе, только другим образом, чем это делаем мы). Из-за того, что числа вида 1/10n не выражаются в форме конечных двенадцатеричных дробей, римляне не умели представлять результат деления на 10, 100 и т.д. дробью. Например, один римский математик, деля 1001 асса на 100, сначала получил 10 ассов, потом раздробил асс на унции и т.д., но от остатка, естественно, не избавился.
В греческих сочинениях по математике
дробей не встречалось. Греческие ученые считали,
что математика должна заниматься только целыми
числами.
С дробями они предоставляли возиться купцам,
ремесленникам, а также землемерам, астрономам и
механикам. Но старая пословица говорит: “Гони
природу в дверь, она влетит в окно”. Поэтому и в
строго научные сочинения греков дроби проникали,
так сказать, “с заднего хода”. Кроме арифметики
и геометрии, в греческую математику входила...
музыка. Музыкой греки называли ту часть нашей
арифметики, в которой говорится об отношениях и
пропорциях. Почему такое странное название? Дело
в том, что греки создали и научную теорию музыки.
Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже,
“толще” получается звук, который она издает. Они
знали, что короткая струна издает высокий звук.
Но у всякого музыкального инструмента не одна, а
несколько струн. Для того чтобы все струны при
игре звучали “согласно”, приятно для уха, длина
звучащих частей их должна быть в определенном
отношении. Например, чтобы высоты звуков,
издаваемых двумя струнами, различались на
октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2.
Подобным же образом квинте соответствует
отношение 2:3, кварте - отношение 3:4 и т.д. Поэтому
учение об отношениях, о дробях и связывалось у
греков с музыкой.
Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
Литература
1. Виленкин Н.Я. Из истории дробей. / Квант, № 5/1987.
2. Древнеегипетская задача. / “В мир информатики” № 66 (“Информатика” № 1/2006).
3. Системы счисления. / “В мир информатики” № 90, 93 (“Информатика” № 9, 17/2007).
4. Абак в России. / “В мир информатики” № 69, 71 (“Информатика” № 4, 6/2006).
История происхождения дробей
Чуйко А.В.
5, ОШ ст.Шокай
Рук. Риплингер Л.А.
Введение
Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе.
Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения.
Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.
Дроби в Древнем Риме
У римлян основной единицей измерения массы, а также и денежной единицей служил «асс». Асс делился на 12 равных частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1 / 12 , 2 / 12 , 3 / 12 … Со временем унции стали применяться для измерения любых величин.
Так возникли римские двенадцатеричные дроби , то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12 . Вместо 1 / 12 римляне говорили «одна унция», 5 / 12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
Дроби в Древнем Египте
На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными или основными дробями . У них числитель всегда единица. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.
В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби - это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n , а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Египтяне ставили иероглиф (ер , «[один] из» или ре , рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:
У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).
Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь они записывали в виде 
,но знак «+» не указывали. А сумму 
записывали в виде 
. Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех пор.
Вавилонские шестидесятеричные дроби
Жители древнего Вавилона примерно за три тысячи лет до нашей эры создали систему мер аналогичную нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60, в которой меньшая единица измерения составляла 
часть высшей единицы. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.
Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.
Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60 2 , 60 3 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.
Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.
Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.
Нумерация и дроби в Древней Греции
Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятиричным дробям.
Недостатки греческих обозначений дробных чисел, включая использование шестидесятиричных дробей в десятичной системе счисления, объяснялись отнюдь не пороками основополагающих принципов. Недостатки греческой системы счисления можно отнести скорее за счет их упорного стремления к строгости, которое заметно увеличило трудности, связанные с анализом отношения несоизмеримых величин. Слово «число» греки понимали как набор единиц, поэтому то, что мы теперь рассматриваем как единое рациональное число – дробь, – греки понимали как отношение двух целых чисел. Именно этим объясняется, почему обыкновенные дроби редко встречались в греческой арифметике.
Дроби на Руси
В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:
1 / 2 - половина, полтина | 1 / 3 – треть |
1 / 4 – четь | 1 / 6 – полтреть |
1 / 8 - полчеть | 1 / 12 –полполтреть |
1 / 16 - полполчеть | 1 / 24 – полполполтреть (малая треть) |
1 / 32 – полполполчеть (малая четь) | 1 / 5 – пятина |
1 / 7 - седьмина | 1 / 10 - десятина |
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Дроби в других государствах древности
В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.
У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.
Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.
Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:
В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.
Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.
Десятичные дроби
Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от них в древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, только шестидесятеричные.
Позднее учёный Гартман Бейер (1563-1625) выпустил сочинение “Десятичная логистика”, где писал: “…я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают её в целых числах одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к дробям. Точно так же астрономы измеряют величины не только в градусах, но и в долях градуса, т.е. минутах, секундах и т.п. Их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей и т.д., потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы ввести вместо шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода вычислений”.
Сегодня мы пользуемся десятичными дробями естественно и свободно. Однако то, что кажется естественным нам, служило настоящим камнем преткновения для учёных Средневековья. В Западной Европе 16 в. вместе с широко распространённой десятичной системой представления целых чисел в расчётах повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к древней традиции вавилонян. Понадобился светлый ум нидерландского математика Симона Стевина, чтобы привести запись и целых, и дробных чисел в единую систему. По-видимому, толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных процентов. В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил десятичные дроби.
С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.
Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.
Литература:
Тема «история обыкновенных дробей и практическое применение знаний о них»
УрокСлово учителя истории : Добрый день! Тема сегодняшнего урока «История обыкновенных дробей и практическое... с вавилонской нумерацией, дает справку о шестидесятеричных дробях . Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано...
История средних веков 1 и 2 том под редакцией
Автореферат диссертацииОбрабатывался сообща ее членами, постепенно дробилась на малые индивидуальные семьи, получавшие... во Франции. М, 1953. Тьерри О. Опыт истории происхождения и успехов третьего сословия // Тьврри О. Избр...
М.Я.Выгодский “Арифметика и алгебра в Древнем мире”(М. Наука,1967г)
Г.И.Глейзер “История математики в школе”(М. Просвещение,1964г)
Автореферат диссертации... истории обыкновенных дробей . 1.1 Возникновение дробей . 3 1.2 Дроби в Древнем Египте. 4 1.3 Дроби в Древнем Вавилоне. 7 1.4 Дроби в Древнем Риме. 8 1.5 Дроби в Древней Греции. 9 1.6 Дроби ... происхождения , – при которой числитель дроби писался...
Слайд 2
Выполнила: ученица 5 класса Кузнецова Светлана Руководитель: Кукушкина Н.Г учитель математики
Слайд 3
Введение Возникновение дробей. Дроби в Древнем Египте. Дроби в Древнем Вавилоне. Дроби в Древнем Риме. Дроби в Древней Греции. Дроби на Руси. Дроби в Древнем Китае. Дроби в других государствах древности и средних веков. Заключение Список литературы
Слайд 4
Введение
В этом году мы начали изучать обыкновенные дроби. Очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без них не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и мне даже в определенный момент показалось, что нас больше окружают не целые, а дробные числа.
Слайд 5
С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникли вопросы. Нужны ли дроби? Важны ли они? Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби, кто придумал правила работы с ними. Хотя слово придумал, наверное, не очень подходит, потому что в математике все должно быть проверено, поскольку все науки и производства в нашей жизни опираются на четкие математические законы, действующие во всем мире. Не может быть так, что у нас в стране сложение дробей выполняют по одному правилу, а где-нибудь в Англии по-другому.
Слайд 6
Возникновение дробей
Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике.
Слайд 7
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».
Слайд 8
Дроби в Древнем Египте
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.
Слайд 9
Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.
Слайд 10
Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
Слайд 11
Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби - это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.
Слайд 12
Дроби в Древнем Вавилоне
Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления. Ученые этот факт связывают с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей: 1 талант = 60 мин; 1 мина = 60 шекель. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. Это первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа.
Слайд 13
Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда- «вторая»
Слайд 14
Дроби в Древнем Риме
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
Слайд 15
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Слайд 16
Дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали. В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «черному люду». «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать»,- писал основатель афинской академии Платон.
Слайд 17
Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Для некоторых дробей применялись отдельные обозначения, например, для 1\2 - L′′, но в целом их алфавитная нумерация с трудом позволяла обозначать дроби.
Слайд 18
Дроби на Руси
Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.
Слайд 19
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15-17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения - соха, делилась на части.
Слайд 20
Дроби в Древнем Китае
В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит ЧжанЦану. Вычисляя на основе правила, аналогичного алгоритму Евклида, (наибольший общий делитель числителя и знаменателя), китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей представлялось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека.
Слайд 21
Деление дробей в «Цзючжансуаньшу» отличается от принятого сегодня. В правиле «цзинфэнь» («порядок деления») указывается, что перед делением дробей их следует привести к общему знаменателю. Таким образом, процедура деления дробей имеет излишний этап: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Только в V в. ЧжанЦю-цзянь в своем сочинении «ЧжанЦю-цзяньсуаньцзин» («Счетный канон ЧжанЦю-цзяня») от него избавился, производя деление дробей по обычному правилу: a/b: c/d = ad/cb.
Слайд 22
Заключение
Я сделала вывод, что история обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. При работе над рефератом я узнала много нового и интересного. Прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Познакомилась с первыми дробями, которыми оперировали люди, с понятием аликвотная дробь, узнала новые для меня имена ученых, внесших свой вклад в развитие учения о дробях.
Слайд 23
Список литературы
1.Бородин А.И. Из истории арифметики. Головное издательство «Вища школа»-К.,1986 2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. 3.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука»,М.,1978. 4. Кордемской Г.А.Математическая смекалка.-10-е изд., перераб. И доп.-М.:Юнисам,МДС,1994. 5.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. 6.Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998. 7. http://ru.wikipedia.org/wiki.Материал из Википедии - свободной энциклопедии.
Посмотреть все слайды
История возникновения дробей. Авторы: ученики 5 класса Ткачёв А., Волков М., Матвеева В., Вершинин С. Проблемный вопрос: Как возникли дроби? Цели исследования: Обобщить исторический материал, когда и где впервые упоминается о дробях. Определить происхождение слова "дробь". Составить перечень способов записи дроби в разные эпохи и у разных народов. Подобрать старинные задачи с решениями и систематизировать их в соответствии с арифметическими действиями. С древних времён людям приходилось не только считать предметы, но и измерять длину, время, площадь, вести расчеты за купленные или проданные товары. Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби. В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять". В первых учебниках дроби назывались "ломанные числа". В старых записях найдены такие названия дробей: 1 2 1 4 1 3 1 8 1 6 Половина, полтина Четь Треть Полчеть Полтреть Первое понятие дроби появилось в древнем Египте много веков назад. Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. Это единичные дроби. (½, ¼) Интересная система дробей была в Древнем Риме. У римлян основной единицей измерения массы служил асс, а также и денежной единицей. Асс делился на 12 равных частей унций. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути. 1/288 асса - "скрупулус«, "семис"половина асса "секстанс"- шестая его доля, "семиунция"- половина унции, т.е. 1/24 асса, триенс (1/3 асса), бес (2/3 асса). В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам и ремесленникам. Учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки. В Древнем Китае вместо черты использовали точку: 1 3 1 3 Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появилась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель – снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не использовали черту между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотребительной лишь с XVIв. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы. Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо Пизанский). В 1202г. он и ввел слово «дробь». Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта. Появилась она в записи дробей лишь около 300 лет назад. Первым дробную черту применил арабский ученый Ал-Халар. А вот название "числитель" и "знаменатель" ввёл в употребление греческий монах учёный-математик Максим Плануд. Современное обозначение дробей: Наклонная черта называется "солидус", а горизонтальная - "винкулум" (англ.) Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка "попасть в дроби", что означает попасть в трудное положение. Старинная задача из “Арифметики” Л.Ф.Магницкого: “Спросил некто учителя: Сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: “Если придёт учеников ещё столько же сколько имею, и полстолька, и четвёртая часть и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников. Сколько учеников у учителя? Индийские древние учёные излагали задачи в стихах: Есть кадамба цветок, На один лепесток Пчёлок пятая часть опустилась Рядом тут же росла Вся в цвету сименгда И на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, Её трижды сложи И тех пчёл на Кутай посади. Лишь одна не нашла Себе места нигде Всё летала то взад, то вперёд и везде Ароматом цветов наслаждалась Назови теперь мне Подсчитавши в уме Сколько пчёлок всего здесь собралось? Античная задача: Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины!» Сколько учеников было у Пифагора? Задача о Музах. Видя, что плачет Эрот, Киприда его вопрошает: «Что тебя так огорчило, ответствуй немедля!» «Яблок я нес с Геликона немало, – Эрот отвечает – Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу. Частью двенадцатой вмиг овладела Эвтерпа, Клио пятую часть взяла, Талия – долю восьмую. С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала, Тридцать плодов утащила Полигимния. Сотня и двадцать взяты Уратией, Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили Музы на долю». Сколько яблок нес Эрот до встречи с Музами? Выводы: Дроби появились в Древнем Египте для более точного счета. Слово "дробь" в русском и других языках произошло от слова "дробить", "ломать", "разбивать на части". Дробная черта (наклонная или горизонтальная) появилась всего 300 лет назад. В каждой культуре есть интересные задачи на все арифметические действия с дробями. Многие записаны в стихотворной форме. Дроби были важны для решения практических задач во всех странах.