Количественное изучение биологических явлений обязательно требует создания гипотез, с по­мощью которых можно объяснить эти явления. Чтобы проверить ту или иную гипотезу ставят се­рию специальных опытов и полученные фактические данные сопоставляют с теоретически ожи­даемыми согласно данной гипотезе. Если есть совпадениеэто может быть достаточным ос­но­ванием для принятия гипотезы. Если же опытные данные плохо согласуются с теоретически ожи­даемыми, возникает большое сомнение в правильности предложенной гипотезы.

Степень соответствия фактических данных ожидаемым (гипотетическим) измеряется критерием со­от­ветствия хи-квадрат:

 фактически наблюдаемое значение признака вi- той;теоретически ожидаемое число или признак (показатель) для данной группы,k число групп данных.

Критерий был предложен К.Пирсоном в 1900 г. и иногда его называют критерием Пирсона.

Задача. Среди 164 детей, наследовавших от одного из родителей фактор, а от другогофактор, оказалось 46 детей с фактором, 50с фактором, 68с тем и другим,. Рассчитать ожидаемые частоты при отношении 1:2:1 между группами и определить степень соответствия эмпирических данных с помощью критерия Пирсона.

Решение: Отношение наблюдаемых частот 46:68:50, теоретически ожидаемых 41:82:41.

Зададимся уровнем значимости равным 0,05. Табличное значение критерия Пирсона для этого уровня значимости при числе степеней свободы, равном оказалось равным 5,99. Следовательно гипотезу о соответствии экспериментальных данных теоретическим можно принять, так как, .

Отметим, что при вычислении критерия хи-квадрат мы уже не ставим условия о непременной нор­маль­ности распределения. Критерий хи-квадрат может использоваться для любых распределений, ко­­то­рые мы вольны сами выбирать в своих предположениях. В этом есть некоторая уни­вер­саль­ность этого критерия.

Еще одно приложение критерия Пирсона это сравнение эмпирического распределения с нор­мальным распределением Гаусса. При этом он может быть отнесен к группе критериев про­вер­ки нормальности распределения. Единственным ограничением является тот факт, что общее число зна­чений (вариант) при пользовании этим критерием должно быть достаточно велико (не менее 40), и число значений в отдельных классах (интервалах) должно быть не менее 5. В противном случае следует объединять соседние интервалы. Число степенй свободы при проверке нор­маль­нос­ти распределения должно вычисляться как:.

1. Критерий Фишера.

Этот параметрический критерий служит для проверки нулевой гипотезы о равенстве дис­пер­сий нормально распределенных генеральных совокупностей.

Или.

При малых объемах выборок применение критерия Стьюдента может быть корректным только при условии равенства дисперсий. Поэтому прежде чем проводить проверку равенства выборочных средних значений, необходимо убедиться в правомочности использования критерия Стьюдента.

где N 1 , N 2  объемы выборок, 1 ,  2 числа степеней свободы для этих выборок.

При пользовании таблицами следует обратить внимание, что число степеней свободы для выборки с большей по величине дисперсией выбирается как номер столбца таблицы, а для меньшей по величине дисперсии как номер строки таблицы.

Для уровня значимости по таблицам математической статистики находим табличное значение. Если, то гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется для выбранного уровня значимости.

Пример. Изучали влияние кобальта на массу тела кроликов. Опыт проводился на двух группах животных: опытной и контрольной. Опытные получали добавку к рациону в виде водного раствора хлористого кобальта. За время опыта прибавки в весе составили в граммах:

	Контроль

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию города Иркутска

Байкальский государственный университет экономики и права

Кафедра Информатики и Кибернетики

Распределение "хи-квадрат" и его применение

Колмыкова Анна Андреевна

студентка 2 курса

группы ИС-09-1

Иркутск 2010

Введение

1. Распределение "хи-квадрат"

Приложение

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей используются в нашей жизни?

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются, прежде всего, для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду, как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные ("счастливый случай"). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя.

Вероятностная модель явления или процесса является фундаментом математической статистики. Используются два параллельных ряда понятий – относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, "находятся в головах исследователей", относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин "генеральная совокупность" используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют "анализ данных". По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик – вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Распределение "хи-квадрат"

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. Это распределения Пирсона ("хи – квадрат"), Стьюдента и Фишера.

Мы остановимся на распределении

("хи – квадрат"). Впервые это распределение было исследовано астрономом Ф.Хельмертом в 1876 году. В связи с гауссовской теорией ошибок он исследовал суммы квадратов n независимых стандартно нормально распределенных случайных величин. Позднее Карл Пирсон (Karl Pearson) дал имя данной функции распределения "хи – квадрат". И сейчас распределение носит его имя.

Благодаря тесной связи с нормальным распределением, χ2-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. χ2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством χ2-распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

Распределение Пирсона

(хи - квадрат) – распределение случайной величиныгде X1, X2,…, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

Сумма квадратов

распределена по закону

("хи – квадрат").

При этом число слагаемых, т.е. n, называется "числом степеней свободы" распределения хи – квадрат. C увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Плотность этого распределения

Итак, распределение χ2 зависит от одного параметра n – числа степеней свободы.

Функция распределения χ2 имеет вид:

если χ2≥0. (2.7.)

На Рисунок 1 изображен график плотности вероятности и функции χ2 – распределения для разных степеней свободы.

Рисунок 1 Зависимость плотности вероятности φ (x) в распределении χ2 (хи – квадрат) при разном числе степеней свободы.

Моменты распределения "хи-квадрат":

Распределение "хи-квадрат" используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.

2. "Хи-квадрат" в задачах статистического анализа данных

Статистические методы анализа данных применяются практически во всех областях деятельности человека. Их используют всегда, когда необходимо получить и обосновать какие-либо суждения о группе (объектов или субъектов) с некоторой внутренней неоднородностью.

Современный этап развития статистических методов можно отсчитывать с 1900 г., когда англичанин К. Пирсон основал журнал "Biometrika". Первая треть ХХ в. прошла под знаком параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее популярным было нормальное распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера. Были предложены метод максимального правдоподобия, дисперсионный анализ, сформулированы основные идеи планирования эксперимента.

Распределение "хи-квадрат" является одним из наиболее широко используемых в статистике для проверки статистических гипотез. На основе распределения "хи-квадрат" построен один из наиболее мощных критериев согласия – критерий "хи-квадрата" Пирсона.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Критерий χ2 ("хи-квадрат") используется для проверки гипотезы различных распределений. В этом заключается его достоинство.

Расчетная формула критерия равна

где m и m’ - соответственно эмпирические и теоретические частоты

рассматриваемого распределения;

n - число степеней свободы.

Для проверки нам необходимо сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты.

При полном совпадении эмпирических частот с частотами, вычисленными или ожидаемыми S (Э – Т) = 0 и критерий χ2 тоже будет равен нулю. Если же S (Э – Т) не равно нулю это укажет на несоответствие вычисленных частот эмпирическим частотам ряда. В таких случаях необходимо оценить значимость критерия χ2, который теоретически может изменяться от нуля до бесконечности. Это производится путем сравнения фактически полученной величины χ2ф с его критическим значением (χ2st).Нулевая гипотеза, т. е. предположение, что расхождение между эмпирическими и теоретическими или ожидаемыми частотами носит случайный характер, опровергается, если χ2ф больше или равно χ2st для принятого уровня значимости (a) и числа степеней свободы (n).

Хи-квадрат критерий – универсальный метод проверки согласия результатов эксперимента и используемой статистической модели.

Расстояние Пирсона X 2

Пятницкий А.М.

Российский Государственный Медицинский Университет

В 1900 году Карл Пирсон предложил простой, универсальный и эффективный способ проверки согласия между предсказаниями модели и опытными данными. Предложенный им “хи-квадрат критерий” – это самый важный и наиболее часто используемыйстатистический критерий. Большинство задач, связанных с оценкой неизвестных параметров модели и проверки согласия модели и опытных данных, можно решить с его помощью.

Пусть имеется априорная (“до опытная”) модельизучаемого объекта или процесса (в статистике говорят о “нулевой гипотезе” H 0), и результаты опыта с этим объектом. Следует решить, адекватна ли модель (соответствует ли она реальности)? Не противоречат ли результаты опыта нашим представлениям о том, как устроена реальность, или иными словами - следует ли отвергнуть H 0 ? Часто эту задачу можно свести к сравнению наблюдаемых (O i = Observed )и ожидаемых согласно модели (E i =Expected ) средних частот появления неких событий. Считается, что наблюдаемые частоты получены в серии N независимых (!) наблюдений, производимых в постоянных (!) условиях. В результате каждого наблюдения регистрируется одно из M событий. Эти события не могут происходить одновременно (попарно несовместны) и одно из них обязательно происходит (их объединение образует достоверное событие). Совокупность всех наблюдений сводится к таблице (вектору) частот {O i }=(O 1 ,… O M ), которая полностью описывает результаты опыта. Значение O 2 =4 означает, что событие номер 2 произошло 4 раза. Сумма частот O 1 +… O M =N . Важно различать два случая: N – фиксировано, неслучайно, N – случайная величина. При фиксированном общем числе опытов N частоты имеют полиномиальное распределение. Поясним эту общую схему простым примером.

Применение хи-квадрат критерия для проверки простых гипотез.

Пусть модель (нулевая гипотеза H 0) заключается в том, что игральная кость является правильной - все грани выпадают одинаково часто с вероятностью p i =1/6, i =, M=6. Проведен опыт, который состоял в том, что кость бросили 60 раз (провели N =60 независимых испытаний). Согласно модели мы ожидаем, что все наблюдаемые частоты O i появления 1,2,... 6 очков должны быть близки к своим средним значениям E i =Np i =60∙(1/6)=10. Согласно H 0 вектор средних частот {E i }={Np i }=(10, 10, 10, 10, 10, 10). (Гипотезы, в которых средние частоты полностью известны до начала опыта, называются простыми.) Если бы наблюдаемый вектор {O i } был равен (34,0,0,0,0,26) , то сразу ясно, что модель неверна – кость не может быть правильной, так как60 раз выпадали только 1 и 6. Вероятность такого события для правильной игральной кости ничтожна: P = (2/6) 60 =2.4*10 -29 . Однако появление столь явных расхождений между моделью и опытом исключение. Пусть вектор наблюдаемых частот {O i } равен (5, 15, 6, 14, 4, 16). Согласуется ли это с H 0 ? Итак, нам надо сравнить два вектора частот {E i } и {O i }. При этом вектор ожидаемых частот {E i } не случаен, а вектор наблюдаемых {O i } случаен – при следующем опыте (в новой серии из 60 бросков) он окажется другим. Полезно ввести геометрическую интерпретацию задачи и считать, что в пространстве частот (в данном случае 6 мерном) даны две точки с координатами(5, 15, 6, 14, 4, 16) и (10, 10, 10, 10, 10, 10). Достаточно ли далеко они удалены друг от друга, чтобы счесть это несовместным сH 0 ? Иными словами нам надо:

1. научиться измерять расстояния между частотами (точками пространства частот),
2. иметь критерий того, какое расстояние следует считать слишком (“неправдоподобно”) большим, то есть несовместным с H 0 .

Квадрат обычного евклидова расстояниябыл бы равен:

X 2 Euclid = S (O i -E i) 2 = (5-10) 2 +(15-10) 2 + (6-10) 2 +(14-10) 2 +(4-10) 2 +(16-10) 2

При этом поверхности X 2 Euclid = const всегда являются сферами, если мы фиксируем значения E i и меняем O i . Карл Пирсон заметил, что использовать евклидово расстояние в пространстве частот не следует. Так, неправильно считать, что точки (O =1030 и E =1000) и (O =40 и E =10) находятся на равном расстоянии друг от друга, хотя в обоих случаях разность O -E =30. Ведь чем больше ожидаемая частота, тем большие отклонения от нее следует считать возможными. Поэтому точки (O =1030 и E =1000) должны считаться “близкими”, а точки (O =40 и E =10) “далекими” друг от друга. Можно показать, что если верна гипотеза H 0 , то флуктуации частоты O i относительно E i имеют величину порядка квадратного корня(!) из E i . Поэтому Пирсон предложил при вычислении расстояния возводить в квадраты не разности (O i -E i ), а нормированные разности (O i -E i )/E i 1/2 . Итак, вот формула, по которой вычисляется расстояние Пирсона (фактически это квадрат расстояния):

X 2 Pearson = S ((O i -E i )/E i 1/2) 2 =S (O i -E i ) 2 /E i

В нашем примере:

X 2 Pearson = (5-10) 2 /10+(15-10) 2 /10 +(6-10) 2 /10+(14-10) 2 /10+(4-10) 2 /10+(16-10) 2 /10=15.4

Для правильной игральной кости все ожидаемые частоты E i одинаковы, но обычно они различны, поэтому поверхности, на которых расстояние Пирсона постоянно (X 2 Pearson =const) оказываются уже эллипсоидами, а не сферами.

Теперь после того, как выбрана формула для подсчета расстояний, необходимо выяснить, какие расстояния следует считать “не слишком большими” (согласующимися с H 0).Так, например, что можно сказать по поводу вычисленного нами расстояния 15.4? В каком проценте случаев (или с какой вероятностью), проводя опыты с правильной игральной костью, мы получали бы расстояние большее, чем 15.4? Если этот процент будет мал (<0.05), то H 0 надо отвергнуть. Иными словами требуется найти распределение длярасстояния Пирсона. Если все ожидаемые частоты E i не слишком малы (≥5), и верна H 0 , то нормированные разности (O i - E i )/E i 1/2 приближенно эквивалентны стандартным гауссовским случайным величинам: (O i - E i )/E i 1/2 ≈N (0,1). Это, например, означает, что в 95% случаев| (O i - E i )/E i 1/2 | < 1.96 ≈ 2 (правило “двух сигм”).

Пояснение . Число измерений O i , попадающих в ячейку таблицы с номером i , имеет биномиальное распределение с параметрами: m =Np i =E i ,σ =(Np i (1-p i )) 1/2 , где N - число измерений (N »1), p i – вероятность для одного измерения попасть в данную ячейку (напомним, что измерения независимы и производятся в постоянных условиях). Если p i мало, то: σ≈(Np i ) 1/2 =E i и биномиальное распределение близко к пуассоновскому, в котором среднее число наблюдений E i =λ, а среднее квадратичное отклонение σ=λ 1/2 = E i 1/2 . Для λ≥5пуассоновскоераспределение близко к нормальному N (m =E i =λ, σ=E i 1/2 =λ 1/2), а нормированная величина (O i - E i )/E i 1/2 ≈ N (0,1).

Пирсон определил случайную величину χ 2 n – “хи-квадрат с n степенями свободы”, как сумму квадратов n независимых стандартных нормальных с.в.:

χ 2 n = T 1 2 + T 2 2 + …+ T n 2 , гдевсе T i = N(0,1) - н. о. р. с. в.

Попытаемся наглядно понять смысл этой важнейшей в статистике случайной величины. Для этого на плоскости (при n =2) или в пространстве (при n =3) представим облако точек, координаты которых независимы и имеют стандартное нормальное распределениеf T (x ) ~exp (-x 2 /2). На плоскости согласно правилу “двух сигм”, которое независимо применяется к обеим координатам, 90% (0.95*0.95≈0.90) точек заключены внутри квадрата(-2

f χ 2 2 (a) = Сexp(-a/2) = 0.5exp(-a/2).

При достаточно большом числе степеней свободы n (n >30) хи-квадрат распределение приближается к нормальному: N (m = n ; σ = (2n ) ½). Это следствие “центральной предельной теоремы”: сумма одинаково распределенных величин имеющих конечную дисперсию приближается к нормальному закону с ростом числа слагаемых.

Практически надо запомнить, что средний квадрат расстояния равен m (χ 2 n )=n , а его дисперсия σ 2 (χ 2 n )=2n . Отсюда легко заключить какие значения хи-квадрат следует считать слишком малыми и слишком большими:большая часть распределения заключена в пределахот n -2∙(2n ) ½ до n +2∙(2n ) ½ .

Итак, расстояния Пирсона существенно превышающие n +2∙ (2n ) ½ , следует считать неправдоподобно большими (не согласующимися с H 0) . Если результат близок к n +2∙(2n ) ½ , то следует воспользоваться таблицами, в которых можно точно узнать в какой доле случаев могут появляться такие и большие значения хи-квадрат.

Важно знать, как правильно выбирать значение числа степеней свободы (number degrees of freedom , сокращенно n .d .f .). Казалось естественным считать, что n просто равно числу разрядов: n =M . В своей статье Пирсон так и предположил. В примере с игральной костью это означало бы, что n =6. Однако спустя несколько лет было показано, что Пирсон ошибся. Число степеней свободы всегда меньше числа разрядов, если между случайными величинами O i есть связи. Для примера с игральной костью сумма O i равна 60, и независимо менять можно лишь 5 частот, так что правильное значение n =6-1=5. Для этого значения n получаем n +2∙(2n ) ½ =5+2∙(10) ½ =11.3. Так как15.4>11.3, то гипотезу H 0 - игральная кость правильная, следует отвергнуть.

После выяснения ошибки, существовавшие таблицы χ 2 пришлось дополнить, так как исходно в них не было случая n =1, так как наименьшее число разрядов =2. Теперь же оказалось, что могут быть случаи, когда расстояние Пирсона имеет распределение χ 2 n =1 .

Пример . При 100 бросаниях монеты число гербов равно O 1 = 65, а решек O 2 = 35. Число разрядов M =2. Если монета симметрична, то ожидаемые частотыE 1 =50, E 2 =50.

X 2 Pearson = S (O i -E i) 2 /E i = (65-50) 2 /50 + (35-50) 2 /50 = 2*225/50 = 9.

Полученное значение следует сравнивать с теми, которые может принимать случайная величина χ 2 n =1 , определенная как квадрат стандартной нормальной величины χ 2 n =1 =T 1 2 ≥ 9 ó T 1 ≥3 или T 1 ≤-3. Вероятность такого события весьма мала P (χ 2 n =1 ≥9) = 0.006. Поэтому монету нельзя считать симметричной: H 0 следует отвергнуть. То, что число степеней свободы не может быть равно числу разрядов видно из того, что сумма наблюдаемых частот всегда равна сумме ожидаемых, например O 1 +O 2 =65+35 = E 1 +E 2 =50+50=100. Поэтому случайные точки с координатами O 1 и O 2 располагаются на прямой: O 1 +O 2 =E 1 +E 2 =100 и расстояние до центра оказывается меньше, чем, если бы этого ограничения не было, и они располагались на всей плоскости. Действительно для двух независимые случайных величин с математическими ожиданиями E 1 =50, E 2 =50, сумма их реализаций не должна быть всегда равной 100 – допустимыми были бы, например, значения O 1 =60, O 2 =55.

Пояснение . Сравним результат, критерия Пирсона при M =2 с тем, что дает формула Муавра Лапласа при оценке случайных колебаний частоты появления события ν =K /N имеющего вероятность p в серии N независимых испытаний Бернулли (K -число успехов):

χ 2 n =1 =S (O i -E i ) 2 /E i = (O 1 -E 1) 2 /E 1 + (O 2 -E 2) 2 /E 2 = (Nν -Np ) 2 /(Np ) + (N (1-ν )-N (1-p )) 2 /(N (1-p ))=

=(Nν-Np) 2 (1/p + 1/(1-p))/N=(Nν-Np) 2 /(Np(1-p))=((K-Np)/(Npq) ½) 2 = T 2

Величина T =(K -Np )/(Npq ) ½ = (K -m (K ))/σ(K ) ≈N (0,1) при σ(K )=(Npq ) ½ ≥3. Мы видим, что в этом случае результат Пирсона в точности совпадает с тем, что дает применение нормальной аппроксимации для биномиального распределения.

До сих пор мы рассматривали простые гипотезы, для которых ожидаемые средние частоты E i полностью известны заранее. О том, как правильно выбирать число степеней свободы для сложных гипотез см. ниже.

Применение хи-квадрат критерия для проверки сложных гипотез

В примерах с правильной игральной костью и монетой ожидаемые частоты можно было определить до(!) проведения опыта. Подобные гипотезы называются “простыми”. На практике чаще встречаются “сложные гипотезы”. При этом для того, чтобы найти ожидаемые частоты E i надо предварительно оценить одну или несколько величин (параметры модели), и сделать это можно только, воспользовавшись данными опыта. В результате для “сложных гипотез” ожидаемые частоты E i оказываются зависящими от наблюдаемых частот O i и потому сами становятся случайными величинами, меняющимися в зависимости от результатов опыта. В процессе подбора параметров расстояние Пирсона уменьшается – параметры подбираются так, чтобы улучшить согласие модели и опыта. Поэтому число степеней свободы должно уменьшаться.

Как оценить параметры модели? Есть много разных способов оценки – “метод максимального правдоподобия”, “метод моментов”, “метод подстановки”. Однако можно не привлекать никаких дополнительных средств и найти оценки параметров минимизируя расстояние Пирсона. В докомпьютерную эпоху такой подход использовался редко: приручных расчетах он неудобен и, как правило, не поддается аналитическому решению. При расчетах на компьютере численная минимизация обычно легко осуществляется, а преимуществом такого способа является его универсальность. Итак, согласно “методу минимизации хи-квадрат”, мы подбираем значения неизвестных параметров так, чтобы расстояние Пирсона стало наименьшим. (Кстати, изучая изменения этого расстояния при небольших смещениях относительно найденного минимума можно оценить меру точности оценки: построить доверительные интервалы.) После того как параметры и само это минимальное расстояние найдено опять требуется ответить на вопрос достаточно ли оно мало.

Общая последовательность действий такова:

1. Выбор модели (гипотезы H 0).
2. Выбор разрядов и определение вектора наблюдаемых частот O i .
3. Оценка неизвестных параметров модели и построение для них доверительных интервалов (например, через поиск минимума расстояния Пирсона).
4. Вычисление ожидаемых частот E i .
5. Сравнение найденной величины расстояния Пирсона X 2 с критическим значением хи-квадрат χ 2 крит - наибольшим, которое еще рассматривается как правдоподобное, совместимое с H 0 . Величину, χ 2 крит мы находим из таблиц, решая уравнение

P (χ 2 n > χ 2 крит)=1-α,

где α – “уровень значимости” или ”размер критерия” или “величина ошибки первого рода” (типичное значение α=0.05).

Обычно число степеней свободы n вычисляют по формуле

n = (число разрядов) – 1 – (число оцениваемых параметров)

Если X 2 > χ 2 крит, то гипотеза H 0 отвергается, в противном случае принимается. В α∙100% случаев (то есть достаточно редко) такой способ проверки H 0 приведет к “ошибке первого рода”: гипотеза H 0 будет отвергнута ошибочно.

Пример. При исследовании 10 серий из 100 семян подсчитывалось число зараженных мухой-зеленоглазкой. Получены данные: O i =(16, 18, 11, 18, 21, 10, 20, 18, 17, 21);

Здесь неизвестен заранее вектор ожидаемых частот. Если данные однородны и получены для биномиального распределения, то неизвестен один параметр доля p зараженных семян. Заметим, что в исходной таблице фактически имеется не 10 а 20 частот, удовлетворяющих 10 связям: 16+84=100, … 21+79=100.

X 2 = (16-100p) 2 /100p +(84-100(1-p)) 2 /(100(1-p))+…+

(21-100p) 2 /100p +(79-100(1-p)) 2 /(100(1-p))

Объединяя слагаемые в пары (как в примере с монетой), получаем ту форму записи критерия Пирсона, которую обычно пишут сразу:

X 2 = (16-100p) 2 /(100p(1-p))+…+ (21-100p) 2 /(100p(1-p)).

Теперь если в качестве метода оценки р использовать минимум расстояния Пирсона, то необходимо найти такое p , при котором X 2 =min . (Модель старается по возможности “подстроиться” под данные эксперимента.)

Критерий Пирсона - это наиболее универсальный из всех используемых в статистике. Его можно применять к одномерным и многомерным данным, количественным и качественным признакам. Однако именно в силу универсальности следует быть осторожным, чтобы не совершить ошибки.

Важные моменты

1.Выбор разрядов.

• Если распределение дискретно, то произвола в выборе разрядов обычно нет.
• Если распределение непрерывно, то произвол неизбежен. Можно использовать статистически эквивалентные блоки (все O одинаковы, например =10). При этом длины интервалов разные. При ручных вычислениях стремились делать интервалы одинаковыми. Должны ли интервалы при изучении распределения одномерного признака быть равными? Нет.
• Объединять разряды нужно так, чтобы не слишком малыми (≥5) оказывались именно ожидаемые (а не наблюдаемые!) частоты. Напомним, что именно они {E i } стоят в знаменателях при вычислении X 2 ! При анализе одномерных признаков допускается нарушать это правило в двух крайних разрядах E 1 =E max =1. Если число разрядов велико, и ожидаемые частоты близки, то X 2 хорошо приближается χ 2 даже для E i =2.

Оценка параметров . Использование “самодельных”, неэффективных методов оценки может привести к завышенным значениям расстояния Пирсона.

Выбор правильного числа степеней свободы . Если оценки параметров делаются не по частотам, а непосредственно по данным (например, в качестве оценки среднего берется среднее арифметическое), то точное число степеней свободы n неизвестно. Известно лишь, что оно удовлетворяет неравенству:

(число разрядов – 1 – число оцениваемых параметров) < n < (число разрядов – 1)

Поэтому необходимо сравнить X 2 с критическими значениями χ 2 крит вычисленными во всем этом диапазоне n .

Как интерпретировать неправдоподобно малые значения хи-квадрат? Следует ли считать монету симметричной, если при 10000 бросаний, она 5000 раз выпала гербом? Ранее многие статистики считали, что H 0 при этом также следует отвергнуть. Теперь предлагается другой подход: принять H 0 , но подвергнуть данные и методику их анализа дополнительной проверке. Есть две возможности: либо слишком малое расстояние Пирсона означает, что увеличение числа параметров модели не сопровождалось должным уменьшением числа степеней свободы, или сами данные были сфальсифицированы (возможно ненамеренно подогнаны под ожидаемый результат).

Пример. Два исследователя А и B подсчитывали долю рецессивных гомозигот aa во втором поколении при моногибридном скрещивании AA * aa . Согласно законам Менделя эта доля равна 0.25. Каждый исследователь провел по 5 опытов, и в каждом опыте изучалось 100 организмов.

Результаты А: 25, 24, 26, 25, 24. Вывод исследователя: закон Менделя справедлив(?).

Результаты B : 29, 21, 23, 30, 19. Вывод исследователя: закон Менделя не справедлив(?).

Однако закон Менделя имеет статистическую природу, и количественный анализ результатов меняет выводы на обратные! Объединив пять опытов в один, мы приходим к хи-квадрат распределению с 5 степенями свободы (проверяется простая гипотеза):

X 2 A = ((25-25) 2 +(24-25) 2 +(26-25) 2 +(25-25) 2 +(24-25) 2)/(100∙0.25∙0.75)=0.16

X 2 B = ((29-25) 2 +(21-25) 2 +(23-25) 2 +(30-25) 2 +(19-25) 2)/(100∙0.25∙0.75)=5.17

Среднее значение m [χ 2 n =5 ]=5, среднеквадратичное отклонение σ[χ 2 n =5 ]=(2∙5) 1/2 =3.2.

Поэтому без обращения к таблицам ясно, что значение X 2 B типично, а значение X 2 A неправдоподобно мало. Согласно таблицам P (χ 2 n =5 <0.16)<0.0001.

Этот пример – адаптированный вариант реального случая, произошедшего в 1930-е годы (см. работу Колмогорова “Об еще одном доказательстве законов Менделя”). Любопытно, что исследователь A был сторонником генетики, а исследователь B – ее противником.

Путаница в обозначениях. Следует различать расстояние Пирсона, которое при своем вычислении требует дополнительных соглашений,от математического понятия случайной величины хи-квадрат. Расстояние Пирсона при определенных условиях имеет распределение близкое к хи-квадрат с n степенями свободы. Поэтому желательно НЕ обозначать расстояние Пирсона символом χ 2 n , а использовать похожее, но другое обозначение X 2. .

Критерий Пирсона не всесилен. Существует бесконечное множество альтернатив для H 0 , которые он не в состоянии учесть. Пусть вы проверяете гипотезу о том, что признак имел равномерное распределение, у вас имеется 10 разрядов и вектор наблюдаемых частот равен (130,125,121,118,116,115,114,113,111,110). Критерий Пирсона не c может “заметить” того, что частоты монотонно уменьшаются и H 0 не будет отклонена. Если бы его дополнить критерием серий то да!

В этой статье речь будет идти о исследовании зависимости между признаками, или как больше нравится - случайными величинами, переменными. В частности, мы разберем как ввести меру зависимости между признаками, используя критерий Хи-квадрат и сравним её с коэффициентом корреляции.

Для чего это может понадобиться? К примеру, для того, чтобы понять какие признаки сильнее зависимы от целевой переменной при построении кредитного скоринга - определении вероятности дефолта клиента. Или, как в моем случае, понять какие показатели нобходимо использовать для программирования торгового робота.

Отдельно отмечу, что для анализа данных я использую язык c#. Возможно это все уже реализовано на R или Python, но использование c# для меня позволяет детально разобраться в теме, более того это мой любимый язык программирования.

Начнем с совсем простого примера, создадим в экселе четыре колонки, используя генератор случайных чисел:
X =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)
Y =X *10+20
Z =X *X
T =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)

Как видно, переменная Y линейно зависима от X ; переменная Z квадратично зависима от X ; переменные X и Т независимы. Такой выбор я сделал специально, потому что нашу меру зависимости мы будем сравнивать с коэффициентом корреляции . Как известно, между двумя случайными величинами он равен по модулю 1 если между ними самый «жесткий» вид зависимости - линейный. Между двумя независимыми случайными величинами корреляция нулевая, но из равенства коэффициента корреляции нулю не следует независимость . Далее мы это увидим на примере переменных X и Z .

Сохраняем файл как data.csv и начинаем первые прикиди. Для начала рассчитаем коэффициент корреляции между величинами. Код в статью я вставлять не стал, он есть на моем github . Получаем корреляцию по всевозможным парам:

Видно, что у линейно зависимых X и Y коэффициент корреляции равен 1. А вот у X и Z он равен 0.01, хотя зависимость мы задали явную Z =X *X . Ясно, что нам нужна мера, которая «чувствует» зависимость лучше. Но прежде, чем переходить к критерию Хи-квадрат, давайте рассмотрим что такое матрица сопряженности.

Чтобы построить матрицу сопряженности мы разобьём диапазон значений переменных на интервалы (или категорируем). Есть много способов такого разбиения, при этом какого-то универсального не существует. Некоторые из них разбивают на интервалы так, чтобы в них попадало одинаковое количество переменных, другие разбивают на равные по длине интервалы. Мне лично по духу комбинировать эти подходы. Я решил воспользоваться таким способом: из переменной я вычитаю оценку мат. ожидания, потом полученное делю на оценку стандартного отклонения. Иными словами я центрирую и нормирую случайную величину. Полученное значение умножается на коэффициент (в этом примере он равен 1), после чего все округляется до целого. На выходе получается переменная типа int, являющаяся идентификатором класса.

Итак, возьмем наши признаки X и Z , категорируем описанным выше способом, после чего посчитаем количество и вероятности появления каждого класса и вероятности появления пар признаков:

Это матрица по количеству. Здесь в строках - количества появлений классов переменной X , в столбцах - количества появлений классов переменной Z , в клетках - количества появлений пар классов одновременно. К примеру, класс 0 встретился 865 раз для переменной X , 823 раза для переменной Z и ни разу не было пары (0,0). Перейдем к вероятностям, поделив все значения на 3000 (общее число наблюдений):

Получили матрицу сопряженности, полученную после категорирования признаков. Теперь пора задуматься над критерием. По определению, случайные величины независимы, если независимы сигма-алгебры , порожденные этими случайными величинами. Независимость сигма-алгебр подразумевает попарную независимость событий из них. Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: Pij = Pi*Pj . Именно этой формулой мы будем пользоваться для построения критерия.

Нулевая гипотеза : категорированные признаки X и Z независимы. Эквивалентная ей: распределение матрицы сопряженности задается исключительно вероятностями появления классов переменных (вероятности строк и столбцов). Или так: ячейки матрицы находятся произведением соответствующих вероятностей строк и столбцов. Эту формулировку нулевой гипотезы мы будем использовать для построения решающего правила: существенное расхождение между Pij и Pi*Pj будет являться основанием для отклонения нулевой гипотезы.

Пусть - вероятность появления класса 0 у переменной X . Всего у нас n классов у X и m классов у Z . Получается, чтобы задать распределение матрицы нам нужно знать эти n и m вероятностей. Но на самом деле если мы знаем n-1 вероятность для X , то последняя находится вычитанием из 1 суммы других. Таким образом для нахождения распределения матрицы сопряженности нам надо знать l=(n-1)+(m-1) значений. Или мы имеем l -мерное параметрическое пространство, вектор из которого задает нам наше искомое распределение. Статистика Хи-квадрат будет иметь следующий вид:

и, согласно теореме Фишера, иметь распределение Хи-квадрат с n*m-l-1=(n-1)(m-1) степенями свободы.

Зададимся уровнем значимости 0.95 (или вероятность ошибки первого рода равна 0.05). Найдем квантиль распределения Хи квадрат для данного уровня значимости и степеней свободы из примера (n-1)(m-1)=4*3=12 : 21.02606982. Сама статистика Хи-квадрат для переменных X и Z равна 4088.006631. Видно, что гипотеза о независимости не принимается. Удобно рассматривать отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению - в данном случае оно равно Chi2Coeff=194.4256186 . Если это отношение меньше 1, то гипотеза о независимости принимается, если больше, то нет. Найдем это отношение для всех пар признаков:

Здесь Factor1 и Factor2 - имена признаков
src_cnt1 и src_cnt2 - количество уникальных значений исходных признаков
mod_cnt1 и mod_cnt2 - количество уникальных значений признаков после категорирования
chi2 - статистика Хи-квадрат
chi2max - пороговое значение статистики Хи-квадрат для уровня значимости 0.95
chi2Coeff - отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению
corr - коэффициент корреляции

Видно, что независимы (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X,T ), (Y,T ) и (Z,T ), что логично, так как переменная T генерируется случайно. Переменные X и Z зависимы, но менее, чем линейно зависимые X и Y , что тоже логично.

Код утилиты, рассчитывающей данные показатели я выложил на github, там же файл data.csv. Утилита принимает на вход csv-файл и высчитывает зависимости между всеми парами колонок: PtProject.Dependency.exe data.csv

Использование этого критерия основано на применении такой меры (статистики) расхождения между теоретическим F(x) и эмпирическим распределением F* п (x) , которая приближенно подчиняется закону распределения χ 2 . Гипотеза Н 0 о согласованности распределений проверяется путем анализа распределения этой статистики. Применение критерия требует построения статистического ряда.

Итак, пусть выборка представлена статистическим рядом с количеством разрядов M . Наблюдаемая частота попаданий в i- й разряд n i . В соответствии с теоретическим законом распределения ожидаемая частота попаданий в i -й разряд составляет F i . Разность между наблюдаемой и ожидаемой частотой составит величину (n i – F i ). Для нахождения общей степени расхождения между F(x ) и F* п (x ) необходимо подсчитать взвешенную сумму квадратов разностей по всем разрядам статистического ряда

Величина χ 2 при неограниченном увеличении n имеет χ 2 -распределение (асимптотически распределена как χ 2). Это распределение зависит от числа степеней свободы k , т.е. количества независимых значений слагаемых в выражении (3.7). Число степеней свободы равно числу y минус число линейных связей, наложенных на выборку. Одна связь существует в силу того, что любая частота может быть вычислена по совокупности частот в оставшихся M –1 разрядах. Кроме того, если параметры распределения неизвестны заранее, то имеется еще одно ограничение, обусловленное подгонкой распределения к выборке. Если по выборке определяются S параметров распределения, то число степеней свободы составит k=M –S–1.

Область принятия гипотезы Н 0 определяется условием χ 2 < χ 2 (k;a) , где χ 2 (k;a) – критическая точка χ2-распределения с уровнем значимости a . Вероятность ошибки первого рода равна a , вероятность ошибки второго рода четко определить нельзя, потому что существует бесконечно большое множество различных способов несовпадения распределений. Мощность критерия зависит от количества разрядов и объема выборки. Критерий рекомендуется применять при n >200, допускается применение при n >40, именно при таких условиях критерий состоятелен (как правило, отвергает неверную нулевую гипотезу).

Алгоритм проверки по критерию

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

H 0: f (x ) = f 0(x ),

H 1: f (x ) f 0(x ),

где f 0(x ) - плотность вероятности гипотетического закона распределения (например, равномерного, экспоненциального, нормального).

Замечание . Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

,

где частота попадания в i -тый интервал;

pi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i - тый интервал при условии, что гипотеза H 0верна.

Формулы для расчета pi в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

. (3.8)

При этом A 1 = 0, Bm = +.

Равномерный закон

Нормальный закон

. (3.10)

При этом A 1 = -, B M = +.

Замечания . После вычисления всех вероятностей pi проверить, выполня­ется ли контрольное соотношение

Функция Ф(х )- нечетная. Ф(+) = 1.

4. Из таблицы " Хи-квадрат" Приложения выбирается значение , где - заданный уровень значимости (= 0,05 или = 0,01), а k - число степеней свободы, определяемое по формуле

k = M - 1 - S .

Здесь S - число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H 0закон распределения. Значения S для равномерного закона равно 2, для экспоненциального - 1, для нормального - 2.

5. Если , то гипотеза H 0отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить: с вероятностью 1 - она верна, а с вероятностью - неверна, но величина неизвестна.

Пример3 . 1. С помощью критерия 2выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения случайной величины X , вариационный ряд, интерваль­ные таблицы и гистограммы распределения которой приведены в примере 1.2. Уровень значимости равен 0,05.

Решение . По виду гистограмм выдви­гаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону:

H 0: f (x ) = N (m ,);

H 1: f (x ) N (m ,).

Значение критерия вычисляем по формуле.