Помехи в системах связи описываются методами теории случайных процессов.

Функция называется случайной, если в результате эксперимента она принимает тот или иной вид, заранее неизвестно, какой именно. Случайным процессом называется случайная функция времени. Конкретный вид, который принимает случайный процесс в результате эксперимента, называется реализацией случайного процесса.

На рис. 1.19 показана совокупность нескольких (трех) реализаций случайного процесса , , . Такая совокупность называется ансамблем реализаций. При фиксированном значении момента времени в первом эксперименте получим конкретное значение , во втором – , в третьем – .

Случайный процесс носит двойственный характер. С одной стороны, в каждом конкретном эксперименте он представлен своей реализацией – неслучайной функцией времени. С другой стороны, случайный процесс описывается совокупностью случайных величин.

Действительно, рассмотрим случайный процесс в фиксированный момент времени Тогда в каждом эксперименте принимает одно значение , причем заранее неизвестно, какое именно. Таким образом, случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени является случайной величиной. Если зафиксированы два момента времени и , то в каждом эксперименте будем получать два значения и . При этом совместное рассмотрение этих значений приводит к системе двух случайных величин. При анализе случайных процессов в N моментов времени приходим к совокупности или системе N случайных величин .

Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса.Поскольку случайный процесс, рассматриваемый в фиксированный момент времени, является случайной величиной, то можно говорить о математическом ожидании и дисперсии случайного процесса:

, .

Так же, как и для случайной величины, дисперсия характеризует разброс значений случайного процесса относительно среднего значения . Чем больше , тем больше вероятность появления очень больших положительных и отрицательных значений процесса. Более удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение (СКО) , имеющее ту же размерность, что и сам случайный процесс.

Если случайный процесс описывает, например, изменение дальности до объекта, то математическое ожидание – средняя дальность в метрах; дисперсия измеряется в квадратных метрах, а Ско – в метрах и характеризует разброс возможных значений дальности относительно средней.

Среднее значение и дисперсия являются очень важными характеристиками, позволяющими судить о поведении случайного процесса в фиксированный момент времени. Однако, если необходимо оценить «скорость» изменения процесса, то наблюдений в один момент времени недостаточно. Для этого используют две случайные величины , рассматриваемые совместно. Так же, как и для случайных величин, вводится характеристика связи или зависимости между и . Для случайного процесса эта характеристика зависит от двух моментов времени и и называетсякорреляционной функцией: .

Стационарные случайные процессы. Многие процессы в системах управления протекают однородно во времени. Их основные характеристики не изменяются. Такие процессы называютсястационарными. Точное определение можно дать следующим образом. Случайный процесс называется стационарным, если любые его вероятностные характеристики не зависят от сдвига начала отсчета времени. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание, дисперсия и СКО постоянны: , .

Корреляционная функция стационарного процесса не зависит от начала отсчета t, т.е. зависит только от разности моментов времени:

Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие свойства:

1) ; 2) ; 3) .

Часто корреляционные функции процессов в системах связи имеют вид, показанный на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Корреляционные функции процессов

Интервал времени , на котором корреляционная функция, т.е. величина связи между значениями случайного процесса, уменьшается в М раз, называетсяинтервалом или временем корреляции случайного процесса. Обычно или . Можно сказать, что значения случайного процесса, отличающиеся по времени на интервал корреляции, слабо связаны друг с другом.

Таким образом, знание корреляционной функции позволяет судить о скорости изменения случайного процесса.

Другой важной характеристикой является энергетический спектр случайного процесса. Он определяется как преобразование Фурье от корреляционной функции:

.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование:

.

Энергетический спектр показывает распределение мощности случайного процесса, например помехи, на оси частот.

При анализе САУ очень важно определить характеристики случайного процесса на выходе линейной системы при известных характеристиках процесса на входе САУ. Предположим, что линейная система задана импульсной переходной характеристикой . Тогда выходной сигнал в момент времени определяется интегралом Дюамеля:

,

где – процесс на входе системы. Для нахождения корреляционной функции запишем и после перемножения найдем математическое ожидание

9. Корреляционная функция и её основные свойства.

Для полного описания случайных процессов вводится понятие коррел ф-и .

равных математическом ожидании, дисперсии, СКО

Предп, что закон распределения нормальный. На графиках видно резкое отличие процессов,несмотря на их равные вероятностные хар-ки.

			(t )m				(t ) ,
			(t )D				(t ) ,
			(t )			(t ) .

Например, слежение за самолетом. Если он в момент времени t занял положениех 1 то этим самым его возможное положениех 2 в следующий моментt 2 ограничено, т. е. события (x 1 ,t 1 ) и (x 2 ,t 2 ) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, иликорреляция . Корр ф-я математически выражает корреляцию двух функций или корреляцию функции с самой собой (автокорр-я функция ). Коррфункция описывается в следующем виде:

где t 1 иt 2 – любые моменты времени, то естьt 1 иt 2 Т

Корреляция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин.

Корреляционная функция – такая неслучайная функцияR x (t 1 ,t 2 ) двух аргументов, которая для любой пары фиксированных значений аргументовt 1 иt 2 равна корреляционному моменту, соответствующих этим сечениям случайных величинx (t 1 ) иx (t 2 ).

Корреляционная функция - функция времени, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

При совпадении моментов t 1 иt 2 корреляционная функция равна дисперсии. Нормированная корреляционная функция вычисляется по формуле:

) 1,

где x (t 1 ) иx (t 2 ) с.к.о. случайной функцииx (t ) приt =t 1 иt =t 2 соответственно. Для вычисления

корреляционной функции требуется

плотность (двумерную)

вероятности

(x ,x

; t, t

) dx dx

Свойства корреляционных функций

1. Корреляционная функция R x (t 1 ,t 2 ) симметрична относительно своих аргументов:

R x (t 1 ,t 2 ) =R x (t 2 ,t 1 )

в соответствии с определением корреляционной функции X (t ).

2. При добавлении к случайной функции X (t ) произвольного неслучайного слагаемого

(t ), корреляционная функцияZ (t ) X (t ) (t ),

то R z (t 1 ,t 2 ) =R x (t 1 ,t 2 ).

3. При умножении случайной функции X (t ) на произвольный неслучайный множитель ψ(t ) корреляционная функцияR x (t 1 ,t 2 ) умножается на ψ(t 1 )ψ(t 2 ).

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хороню видно из рис. 9.3, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих

одинаковые значения математического ожидания и дисперсии. Штриховыми линиями на рис. 9.3 показаны значения для случайных процессов.

Процесс, изображенный на рис. 9.3, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 9.3, б обладает сильной изменчивостью от сечения к сечению Поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого установить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случайного процесса.

Корреляционной функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин соответствующих сечений случайного процесса:

где - двумерная плотность вероятности; - центрированный случайный процесс; - математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса.

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Разделяют стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле.

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс если его n-мерные функции распределения и плотности вероятности при любом не зависят от сдвига всех точек

Вдоль оси времени на одинаковую величину т. е.

Это означает, что два процесса имеют одинаковые статистические свойства для любого т. е. статистические характеристики стационарного случайного процесса неизменны во времени.

Стационарный случайный процесс - это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах. Любой переходный процесс не является стационарным.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс математическое ожидание которого постоянно:

а корреляционная функция зависит только от одной переменной - разности аргументов при этом корреляционную функцию обозначают

Процессы, стационарные в узком смысле, обязательно стационарны и в широком смысле; однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности.

Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысле.

При изучении случайных процессов, стационарных в широком смысле, можно ограничиться рассмотрением только процессов с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю, т. е. так как случайный процесс с ненулевым математическим ожиданием представляют как сумму процесса с нулевым математическим ожиданием и постоянной неслучайной (регулярной) величиной, равной математическому ожиданию этого процесса (см. далее § 9.6).

При выражение для корреляционной функции

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее значение по мнооюеству (или математическое ожидание), которое определяется на основе наблюдения над множеством реализацчй случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени

Другое понятие о среднем значении - это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении

достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле:

если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс. Вообще говоря, для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени значения различны. Однако существует класс стационарных случайных процессов, называемых эргодическими, для которых среднее по множеству равно среднему по времени, т. е.

Корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса неограниченно убывает по модулю при

Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный процесс является эргодическим, например случайный процесс каждая реализация которого постоянна во времени (рис. 9.4), является стационарным, но не эргодическим. В этом случае средние значения, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним статистическим характеристикам и неэргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем статистическим характеристикам условия эргодичности выполняются.

Свойство эргодичности имеет очень большое практическое значение. Для определения статистических свойств некоторых объектов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за ними в произвольно выбранный момент времени (например, при наличии одного опытного образца), его можно заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного

процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесконечными реализациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе описанного ниже метода экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации.

Как видно из (9.25), корреляционная функция представляет собой среднее значение по множеству. Для эргодических случайных процессов корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения , т. е.

где - любая реализация случайного процесса; х - среднее значение по времени, определяемое по (9.28).

Если среднее значение случайного процесса равно нулю то

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию [см. (9.19)] определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

Сравнивая выражения (9.30) и (9.32) при можно установить очень важную связь между дисперсией и корреляционной функцией - дисперсия стационарного случайного процесса равна начальному значению корреляционной функции:

Из (9.33) видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно, постоянно и среднее квадратическое отклонение:

Статистические свойства связи двух случайных процессов можно характеризовать взаимной корреляционной функцией которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов равна

Для эргодических случайных процессов вместо (9.35) можно записать

где - любые реализации стационарных случайных процессов соответственно.

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени . Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из (9.36) следует, что

Если случайные процессы статистически не связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Заметим, что корреляционные функции могут вычисляться и для неслучайных (регулярных) функций времени. Однако когда говорят о корреляционной функции регулярной функции то под этим понимают просто результат формального

применения к регулярной функции операции, выражаемой интегралом:

Приведем некоторые основные свойства корреляционных функций

1. Начальное значение корреляционной функции [см. (9.33)] равно дисперсии случайного процесса:

2. Значение корреляционной функции при любом не может превышать ее начального значения, т. е.

Чтобы доказать это, рассмотрим очевидное неравенство из которого следует

Находим средние значения по времени от обеих частей последнего неравенства:

Таким образом, получим неравенство

3. Корреляционная функция есть четная функция , т. е.

Это вытекает из самого определения корреляционной функции. Действительно,

поэтому на графике корреляционная функция всегда симметрична относительно оси ординат.

4. Корреляционная функция суммы случайных процессов определяется выражением

где - взаимные корреляционные функции

Действительно,

5. Корреляционная функция постоянной величины равна квадрату этой постоянной величины (рис. 9.5, а), что вытекает из самого определения корреляционной функции:

6. Корреляционная функция периодической функции, например представляет собой косинусоиду (рис. 9-5, 5), т. е.

имеющую ту же частоту что и и не зависящую от сдвига фазы

Чтобы доказать это, заметим, что при нахождении корреляционных функций периодических функций можно использовать следующее равенство:

где - период функции

Последнее равенство получается после замены интеграла с пределами от -Т до Т при Т со суммой отдельных интегралов с пределами от до , где и использования периодичности подынтегральных функций.

Тогда, учитывая сказанное выше, получим т.

7. Корреляционная функция временной функции, разлагаемой в ряд Фурье:

Рис. 9.5 (см. скан)

имеет на основании изложенного выше следующий вид:

8. Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид, представленный на рис. 9.6. Ее можно аппроксимировать следующим аналитическим выражением:

С ростом связь между ослабевает и корреляционная функция становится меньше. На рис. 9.5, б, в приведены, например, две корреляционные функции и две соответствующие им реализации случайного процесса. Легко заметить, что корреляционная функция, соответствующая случайному процессу с более тонкой структурой, убывает быстрее Другими словами, чем более высокие частоты присутствуют в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствующая ему корреляционная функция.

Иногда встречаются корреляционные функции, которые могут быть аппроксимированы аналитическим выражением

где - дисперсия; - параметр затухания; - резонансная частота.

Корреляционные функции подобного вида имеют, например, случайные процессы типа турбулентности атмосферы, фединга радиолокационного сигнала, углового мерцания цели и т. п. Выражения (9.45) и (9.46) часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

9. Корреляционная функция Стационарного случайного процесса, на которой наложена периодическая составляющая с частотой также будет содержать периодическую составляющую той же частоты.

Это обстоятельство можно использовать как один из способов обнаружения «скрытой периодичности» в случайных процессах, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

Примерный вид корреляционной функции процесса содержащего в своем составе кроме случайной также и периодическую составляющую, показан на рис. 9.7, где обозначена корреляционная функция, соответствующая случайной составляющей. Чтобы выявить скрытую периодическую составляющую (такая задача возникает, например, при выделении малого полезного сигнала на фоне большой помехи), лучше всего определить корреляционную функцию для больших значений когда случайный сигнал уже сравнительно слабо коррелирован и случайная составляющая слабо сказывается на виде корреляционной функции.

Корреляционная функция стационарного процесса

Корреляционная функция слу­чайного процесса определяется как математическое ожидание произведения двух центрированных сечений процесса, взятых в мо­менты t 1 и t 2 . При этом математическое ожидание вычисляется с использованием двумерной плотности вероятности . Для стационарного случайного процесса двумерная плотность вероятности и, соответственно, корреляционная функция зависят не от t 1 и t 2 в отдельности, а только от их разности = t 2 - t 1 . В соответствии с этим корреляционная функция стационар­ного процесса определяется выражением

(3.1)

где - математическое ожидание стационарного процесса; х 1 , х 2 - возможные значения случайного процесса соответственно, в моменты времени t 1 , t 2 ; = t 2 – t 1 - интервал времени между сечения­ми; - двумерная плотность вероятности стационарно­го процесса. Второе выражение для получено путём раскрытия квадратных скобок первого выражения и учета свойств математичес­кого ожидания.

В научно-технической литературе используется также такая характеристика случайного процесса, как ковариационная функция K (t ), под которой понимается математическое ожидание произведения двух значений процесса, взятых соответ­ственно в моменты t 1 и t 2:

(3.2)

так что справедливо соотношение

(3.3)

Если , то понятия и совпадают. Если же до­полнительно обладает эргодическим свойством, то корреляцион­ная функция может быть определена по одной длинной реализации:

(3.4)

где Т - интервал наблюдения единственной реализации x (t ) процесса ; - эта же реализация x (t ), задержанная на время .

Формула (3.4) может быть положена в основу построения Структурная схема уст­ройства, измеряющего корреляционную функцию, которое называется коррелометром . Для построения коррелометра требуются перемножитель, устройство задержки с переменным временем задержки и интегратор (рис. 3.1). Это устройство измеряет или в зависимости от того, равно нулю или нет.

Корреляционная функция стационарного случайного про­цесса, как и вообще корреляционная функция случайного процесса, является действительной функцией аргумента . При этом характеризует с двух сторон. Во-первых, определяет среднюю удельную мощность флюктуаций. А во-вторых, позволяет судить о степени линейной связи между двумя сечениями случайного процесса, отстоящими друг от друга на интервал времени . Размерность совпадает с размерностью квадрата случайного процесса. Рассмотрим свойства корреляционной функции.

1. Корреляционная функция при = 0 равна дисперсии процесса

(3.5)

Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить = 0.

2. Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента :

(3.6)

Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарно­го процесса, для которого важны не сами значения моментов и t 2 , а расстояние во времени одного сечения от другого |t 2 -t 1 |.

3. Корреляционная функция при любом t не может превзойти своего значения при = 0:

(3.7)

Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо , соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между и . Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.

4. Корреляционная функция может быть представлена в виде

(3.8)

где r (t ) нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от и заключенная в пределах

. (3.9)

Она характеризует только степень линейной связи между сечениями слу­чайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.

06 Лекция.doc

Лекция 6. Корреляционные функции случайных процессов
План.

1.Понятие корреляционной функции случайного процесса.

2.Стационарность в узком и в широком смыслах..

3.Среднее значение по множеству.

4.Среднее значение по времени.

5.Эргодические случайные процессы.
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характерис-тиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хорошо видно из рис. 6.1, где показаны реализации двух случайных процессов, совершенно различных по своей структуре, хотя и имеющих одинаковые значения математического ожидания и дис-персии. Штриховыми линиями на рис. 6.1. показаны значения 3  x (t ) для случайных процессов.
Процесс, изображенный на рис. 6.1, а, от одного сечения к другому протекает сравнительно плавно, а процесс на рис. 6.1, б обла-дает сильной изменчивостью от сечения к сечению. Поэтому статисти-ческая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого уста-новить нельзя.

Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. е. учесть связь между значениями случай-ного процесса в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие о корреляционной (автокорреляционной) функции случай-ного процесса.

^ Корреляционной функцией случайного процесса X (t ) называют не-случайную функцию двух аргументов R x (t 1 , t 2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t 1 и t 2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X (t 1 ) и X (t 2 ) соответствующих сечений случайного процесса:

Где  2 (x 1 , t 1 ; x 2 , t 2) -двумерная плотность вероятности.

Часто пользуются иным выражением корреляционной функции, .записанной не для самого случайного процесса X (t ), а для центрированной случайной составляющей X (t ). Корреляционную функцию в этом случае называют центрированной и определяютиз соотношения

(6.2)

Различные случайные процессы в зависимости от того, как изме-няются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Различают стационарность в уз-ком смысле и стационарность в широком смысле.

^ Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X (t ), если его n -мерные функции распределения и плотность вероятности при любом п не зависят от положения начала отсчета времени t , т. е.

Это означает, что два процесса, X (t ) и X (t + ), имеют одинаковые статистические свойства для любого  , т. е. статистические характерис-тики стационарного случайного процесса неизменны во времени. Стационарный случайный процесс - это своего рода аналог установивше-гося процесса в детерминированных системах.

^ Стационарным в широком смысле называют случайный процесс X (t ), математическое ожидание которого.постоянно:

А корреляционная функция зависит только от одной переменной - раз-ности аргументов  =t 2 -t 1:

(6.5)

Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле,. вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик слу-чайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, кото-рая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией.

Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью опре-деляют его n -мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смыс-ле совпадают.

Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен, но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успе-вают сколь-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысл.

В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении - это среднее зна-чение по множеству (или математическое ожидание), которое опреде-ляется на основе наблюдения над множеством реализации случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множе-ству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описываю-щим случайную функцию:

В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени.

Другое понятие о среднем значении - это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса x { f ) на протяжении достаточно длительного времени Т. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле

(6.7)

Если этот предел существует.

Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализации множества, определяющих случайный процесс.

Вообще для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени различны, однако для так называемых эргодических стационарных случайных процессов среднее значение по множеству совпадает со средним значением по времени:

(6.8)

Равенство (6.8) вытекает из эргодической теоремы, в которой для некоторых стационарных случайных процессов доказано, что любая статистическая харак-теристика, полученная усреднением по множеству, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с характеристикой, усредненной по времени. Эргодическая теорема доказана не для всех стационарных процессов, поэтому в тех случаях, где она еще не доказана, говорят об эргодической гипотезе.

Следует заметить, что не всякий стационарный процесс является эргодическим.

На рис. 6.2. изображен, например, график стационарного неэргодического процесса, для которого равенство (6.8) не выполняется. Один и тот же случай-ный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним ста-тистическим характеристикам и не эргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что условия эргодичности для математического ожидания и корреляционной функции выполняются.

Физический смысл эргодической теоремы (или гипотезы) глубок и имеет большое практическое значение. Для определения статистических свойств эргодических стационарных процессов, если трудно осуществить одновременное на-блюдение за множеством подобных систем в произвольно выбранный момент вре-мени, например при наличии одного опытного образца, его можно заменить дли-тельным наблюдением за одной системой. Собственно говоря, этот факт лежит в основе экспериментального определения корреляционной функции стационар-ного случайного процесса по одной реализации. Наоборот, при наличии большой партии изделий массовой продукции для аналогичных исследований можно про-вести одновременное наблюдение за всеми образцами партии или их достаточно представительной выборкой.

Как видно из (6.5), корреляционная функция представляет собой среднее по множеству. В соответствии с эргодической теоремой для стационарного случайного процесса корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения x (t ) и x (t + ), т. е.

(6.9)

Где x (t )- любая реализация случайного процесса.

Центрированная корреляционная функция эргодического стацио-нарного случайного процесса

(6.10

Между корреляционными функциями R x ( ) и R 0 x ( ) существует следующая связь:

R x ( )=R x 0 ( )+(x -) 2 , (6.11)

Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию D x [см. (19)] определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса, т. е.

(6.12)

Сравнивая выражения (6.10) и (6.11), можно заметить, что диспер-сия стационарного случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции:

(6.13)

Учитывая (6.12), можно установить связь между дисперсией и кор-реляционной функцией R x ( ), т. е.

Из (6.14) и (6.15) видно, что дисперсия стационарного случайного процесса постоянна, а следовательно постоянно и среднее квадратическое отклонение:

Статистические свойства связи двух случайных процессов X (t ) и G (t ) можно характеризовать взаимной корреляционной функцией R xg (t 1 , t 2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t 1 , t 2 равна

Согласно эргодической теореме, вместо (6.18) можно записать

(6.19)

Где x (t ) и g (t ) - любые реализации стационарных случайных процес-сов X (t ) и G (t ) соответственно.

Взаимная корреляционная функция R xg (  характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов X (t ) и G (t ) в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени т. Значение R xg (0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени.

Из (6.19) следует,что

(6.20)

Если случайные процессы Х(t) и G (t ) статистическине связаны друг с другом и имеют равные нулю средние значения, то их взаимная корреляционная функция для всех т равна нулю. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях (в частности, для процессов с нормальным законом распределения), общей же силы обратный закон не имеет.

Центрированная корреляционная функция R ° x (  для неслучайных функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция R x (  может вычисляться и для неслучайных (регулярных) функций. Заметим, однако, что когда говорят о корреляционной функции регулярной функции x (t ), то под этим понимают просто результат формального применения к регулярной функции x (t ) опе-рации, выражаемой интегралом (6.13).