Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
,
,.
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. Матричный метод
решения СЛАУ
применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц. Этот способ, другими словами метод обратной матрицы,
называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу. Матричный метод решения
СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем: Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n
неизвестными (над произвольным полем): Значит, её легко перевести в матричную форму: AX=B
, где A
— основная матрица системы, B
и X
— столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на A −1
— обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=E
, значит, X=A −1 B
. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A
. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A
: detA≠0.
Для однородной системы линейных уравнений
, т.е. если вектор B=0
, выполняется обратное правило: у системы AX=0
есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0
. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.
Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле Известно, что у квадратной матрицы А
порядка n
на n
есть обратная матрица A −1
только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю. Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ. Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ. Теперь находим союзную матрицу
, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы. Подставляем переменные в формулу: Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов. Итак, x=2; y=1; z=4.
При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например
: НЕЛЬЗЯ записать как: Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи: Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 ,
x 2 , …, x n
могут оказаться другие буквы. К примеру
: в матричной форме записываем так: Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса. Это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица - таблица элементов. О такой таблице, где m
строк и n
столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m
на n
. Общий вид матрицы: Для решения матриц
необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы: Основные виды матриц: Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а 12 =а 21
, а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1
, то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы. Почти все методы решения матрицы
заключаются в нахождении ее определителя n
-го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы. Для вычисления определителя матрицы А
2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали: Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка. Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц
, можно изобразить таким образом: Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "+"; так же, для 2го определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "-", то есть по такой схеме: При решении матриц правилом Саррюса
, справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком "+"; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком "-": Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой. Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.
При решении матриц
методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали. Теорема Лапласа при решении матриц.
Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ
- это определитель n
-го порядка. Выбираем в нем любые k
строк (либо столбцов), при условии k
≤
n - 1
. В таком случае сумма произведений всех миноров k
-го порядка, содержащихся в выбранных k
строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю. Последовательность действий для решения обратной матрицы
: Для решения систем матриц
наиболее часто используют метод Гаусса. Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы. Метод Гаусса
является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом. Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный - метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных. Инструкция
. Для получения решения методом обратной матрицы необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполнить матрицу A и вектор результатов B .
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Матричный метод позволяет находить решения СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)
любой сложности. Весь процесс решения СЛАУ сводится к двум основным действиям: Определение обратной матрицы на основании главной матрицы: Умножение полученной обратной матрицы на вектор-столбец решений. Допустим, дано СЛАУ следующего вида: \[\left\{\begin{matrix} 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end{matrix}\right.\] Начнем решение данного уравнения с выписывания матрицы системы: Матрица правой части: Определим обратную матрицу. Найти матрицу 2-го порядка можно следующим образом: 1 - сама матрица должна быть
невырожденной; 2 - ее элементы, которые находятся на главной диагонали, меняем местами, а у элементов
побочной диагонали выполняем смену знака на противоположный, после чего выполняем деление полученных
элементов на определитель матрицы. Получим: \[\begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1
\\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -11 \\ 31 \end{pmatrix} \] 2 матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы. В итоге имеем следующий ответ решения
СЛАУ: Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн
решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы
можете задать их в нашей групе Вконтакте.
.
. Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы
A −1
.Пример решения неоднородной СЛАУ.
Методы решения матриц.
Нахождение определителей 2-го порядка.
Методы нахождения определителей 3го порядка.
Решение обратной матрицы.
Решение систем матриц.
Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word
(см. пример оформления).
Алгоритм решения
Пример
. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:
Алгебраические дополнения.
A 1,1 = (-1) 1+1
1
2
0
-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1+2
3
2
1
-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1,3 = (-1) 1+3
3
1
1
0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2,1 = (-1) 2+1
-2
1
0
-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2+2
2
1
1
-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2,3 = (-1) 2+3
2
-2
1
0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3,1 = (-1) 3+1
-2
1
1
2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Где можно решить систему уравнений матричным методом онлайн?