У = f(х) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(а). Мы этим уже несколько раз пользовались. Например, в § 33 было установлено, что график функции у = sin х(синусоида) в начале координат образует с осью абсцисс угол 45° (точнее, касательная к графику в начале координат составляет с положительным направлением оси х угол 45°), а в примере 5 § 33 были найдены точки на графике заданной функции , в которых касательная параллельна оси абсцисс. В примере 2 § 33 было составлено уравнение касательной к графику функции у = х 2 в точке х = 1 (точнее, в точке (1; 1), но чаще указывают только значение абсциссы, полагая, что если значение абсциссы известно, то значение ординаты можно найти из уравнения у = f(х)). В этом параграфе мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной.к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(х) и точка М (а; f(а)), а также известно, что существует f"(а). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид у = кх+m, поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов к и m.
С угловым коэффициентом к проблем нет: мы знаем, что к = f"(а). Для вычисления значения т воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(а) = ка+m, откуда находим, что m = f(а) - ка.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов кит в уравнение
прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции у = f(х) в точке х=а.
Если, скажем,
Подставив в уравнение (1) найденные значения а = 1, f(а) = 1 f"(а) = 2, получим: у = 1+2(х-f), т.е. у = 2х-1.
Сравните этот результат с тем, что был получен в примере 2 из § 33. Естественно, получилось то же самое.
Составим уравнение касательной к графику функции у = tg х в начале координат. Имеем: 
значит, соs х f"(0) = 1. Подставив в уравнение (1) найденные значения а= 0, f(а)= 0, f"(а) = 1, получим: у=х.
Именно поэтому мы и провели тангенсоиду в § 15 (см. рис. 62) через начало координат под углом 45° к оси абсцисс.
Решая эти достаточно простые примеры, мы фактически пользовались определенным алгоритмом, который заложен в формуле (1). Сделаем этот алгоритм явным.
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x)
1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить 1 (а).
3) Найти f"(х) и вычислить f"(а).
4) Подставить найденные числа а, f(а), (а) в формулу (1).
Пример 1.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке х = 1.
Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере
На рис. 126 изображена гипербола , построена прямая у= 2-х.
Чертеж подтверждает приведенные выкладки: действительно, прямая у = 2-х касается гиперболы в точке(1; 1).
Ответ:
у =2- х.
Пример 2.
К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у =4х - 5.
Уточним формулировку задачи. Требование «провести касательную» обычно означает «составить уравнение касательной». Это логично, ибо если человек смог составить уравнение касательной, то вряд ли он будет испытывать затруднения с построением на координатной плоскости прямой по ее уравнению.
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Но в отличие от предыдущего примера здесь имеется неясность: не указана явно абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = 4х-5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: 
Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f"(а)= 4.
Имеем: 
Из уравнения Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.
Пример 3.
Из точки (0; 1) провести касательную к графику функции
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее действуем по алгоритму.
По условию касательная проходит через точку (0; 1). Подставив в уравнение (2) значения х = 0, у = 1, получим: 
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение а =4 в уравнение (2), получим:
На рис. 127 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции
В § 32 мы отметили, что для функции у = f(х), имеющей производную в фиксированной точке х, справедливо приближенное равенство:
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения: вместо х будем писать а, вместо будем писать х и соответственно вместо будем писать х-а. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:
А теперь взгляните на рис. 128. К графику функции у = f(х) проведена касательная в точке М (а; f (а)). Отмечена точка х на оси абсцисс близко от а. Ясно, что f(х) - ордината графика функции в указанной точке х. А что такое f(а) + f"(а) (х-а)? Это ордината касательной, соответствующая той же точке х - см. формулу (1). В чем же смысл приближенного равенства (3)? В том, что для вычисления приближенного значения функции берут значение ординаты касательной.
Пример 4.
Найти приближенное значение числового выражения 1,02 7 .
Речь идет об отыскании значения функции у = х 7 в точке х = 1,02. Воспользуемся формулой (3), учтя, что в данном примере
В итоге получаем:
Если мы воспользуемся калькулятором, то получим: 1,02 7 = 1,148685667...
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
Ответ:
1,02 7 =1,14.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиКасательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.
Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.
Основные моменты
Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.
Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.
Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f
’(x
) = (x
3)’ = 3x
2 ;
Подставляем в производную x
0 = 2: f
’(x
0) = f
’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y
= 12 · (x
− 2) + 8 = 12x
− 24 + 8 = 12x
− 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f
’(x
) = (2sin x
+ 5)’ = 2cos x
;
f
’(x
0) = f
’(π
/2) = 2cos (π
/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.
Рассмотрим следующий рисунок:
На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.
Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.
При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).
Уравнение касательной
Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.
Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.
Ответ: y = 4*x - 7.
Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Определить х0.
2. Вычислить f(x0).
3. Вычислить f’(x)