Пусть М, М 0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)
Рис. 7.2. Касательная к кривой
Прямая (ММ 0) называется секущей кривой L.
Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М 0 . Если секущая стремится занять предельное положение (М 0 Т), то прямая (ТМ 0) называется касательной к кривой L в точке М 0 .
Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).
y
На
рис. 7.3: если (М 0 М)
– секущая,
- угловой коэффициент секущей, тогда
;
.
Пусть х стремится к х 0 , тогда точка М стремится по кривой L к М 0 . Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х 0 , то
Таким
образом, производная функции ƒ(х) в
точке х 0
равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции в точке
Уравнение
прямой с угловым коэффициентом
имеет
вид:
y = kx+b или y=ƒ’(х 0)∙x+b.
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М 0 . Подставляем координаты точки М 0 (х 0 ;ƒ(х 0)) в уравнение касательной:
ƒ(х 0) = ƒ′(х 0)∙х 0 +b,
b = ƒ(х 0)- ƒ′(х 0)∙ х 0
Уравнение касательной принимает вид:
y =ƒ′(х 0)∙(x- х 0)+ƒ(х 0) (3.8)
Пример:
7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х 0 =1.
Решение: Имеем ƒ(х 0)=х² 0 ; ƒ(х 0)=1 при х 0 =1; ƒ′(х 0)=2∙ х 0 ; ƒ′(х 0)=2 при х 0 =1.
Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.
Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х 0:
7.25 а) y=x3; х 0 =1;
б)
; х 0 =1;
в)
; х 0 =4
г) y=x²-2x+5; х 0 =0,5
7.10 Применение производной к приближенным вычислениям
По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х 0 имеем:
При достаточно малых ∆x получаем:
,
(7.9)
Представляем приращение функции в виде
С учетом формулы (7.9) или
Пример:
7.26 Вычислить
приближенно
.
Решение: Воспользуемся формулой (3.10)
Рассмотрим
функцию
точку х 0
=27 и приращение аргумента ∆x=0,03
Значение функции в точке х 0:
Производная:
.
Значение производной в точке х 0 =27:
Подставляем полученные значения в (3.10) , получаем приближенное значение функции
.
Упражнения:
7.26 Вычислить приближенные значения функций:
а)
;
б)
;
в) sin30˚30′;
д)
;
е) 
.
7.12 Применение производной к исследованию функций
Функция называется возрастающей на (a ; b ) , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
Функция называется убывающей на (а; b ) , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)
Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).
Доказательство.
Пусть x>
х 0 ,
тогда ƒ(х)>ƒ(х 0).
Поэтому x-
х 0 >0
и
.
Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х 0 , получим
Теорема доказана.
y
y
Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной
Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).
Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).
Пример:
7.27 Найти
интервалы монотонности функции
.
Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:
Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:
ƒ′(х)
>0 при хє
,
следовательно ƒ(х) возрастающая
на этом интервале;
при
или
,
следовательно ƒ(х) убывающая
на этих интервалах. Границы интервалов
могут быть включены в интервалы
монотонности, т. к. функция непрерывна
в этих точках. Можно записать:
;
Т
очка
х
0
называется точкой минимума функции ƒ,
если найдется такая окрестность точки
х
0
, что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
ƒ(х 0) ƒ(х 0)
(х 0) (x х 0)
0 х 0 -ε х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 +ε x
Рис. 7.5 Точки минимума функции
Точка
х
0
называется точкой максимума функции
ƒ, если найдется такая окрестность точки
х
0
,
что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
.
y
y
0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x
Рис. 7.6 Точки максимума функции
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.
Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х 0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х 0)=0
Теорема
(Достаточное условие максимума) Если
функция ƒ непрерывна в точке х 0 ,
а ƒ′(х)>0 на интервале
и ƒ′(x)<0
на интервале
,
то точка х 0
является точкой максимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х 0 – точка максимума функции ƒ.
Теорема
(Достаточное условие минимума). Если
функция ƒ непрерывна в точке х 0 ,
ƒ′(x)
на интервале
и ƒ′(x)>0
на интервале
,
то точка х 0
является точкой минимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка минимума функции ƒ.
Пример:
7.27 Найти
точки экстремума функции
.
Решение.
Найдем производную:
.
Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х 1 =-1;х 2 =+1).
Знак производной:
- +
-
х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+».
х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-».
Упражнения:
7.28 Найти интервалы монотонности функции:
а) ƒ(x)=5x-2;
б)
;
в) ƒ(x)=x²+x-1;
г) ƒ(x)=7x²+14x+1;
д)
;
е)
.
7.29. Найти экстремумы функций:
а) ƒ(x)=1+4x-x²;
б) ƒ(x)=3+x²-6x;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з) ƒ(x)=xlnx;
и)
;
к)
.
Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в заданной пользователем
точке \(a \).
Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
Введите выражение функции \(f(x)\) и число \(a\) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Угловой коэффициент прямой
Напомним, что графиком линейной функции \(y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой , а угол \(\alpha \) - углом между этой прямой и осью Ox
Если \(k>0\), то \(0 Если \(kУравнение касательной к графику функции
Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f"(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f"(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.
С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f"(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \(b = f(a) - ka \).
Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) \) в точке \(x=a \).
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \(y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a \)
2. Вычислить \(f(a) \)
3. Найти \(f"(x) \) и вычислить \(f"(a) \)
4. Подставить найденные числа \(a, f(a), f"(a) \) в формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Начальный уровень
Уравнение касательной к графику функции. Исчерпывающий гид (2019)
Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему . Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном. Справился? Должно получиться. А теперь найди производную функции в точке. Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции:
Выберем на линии графика некую точку. Пусть ее абсцисса, тогда ордината равна. Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой; ее ордината - это:
Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как. Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол - , а минимально возможный - . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с, а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку, чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а - ординат:
По рисунку видно, что, а. Тогда отношение приращений:
(так как, то - прямоугольный).
Давай теперь уменьшать. Тогда точка будет приближаться к точке. Когда станет бесконечно малым, отношение станет равно производной функции в точке. Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке, так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку - это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке - вблизи точки, но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение .
Угол наклона секущей к оси назовем. Тогда получится, что производная
то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.
Поскольку касательная - это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:
За что отвечает коэффициент? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент . Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью! То есть вот что получается:
Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: 
Теперь углы и тупые. А приращение функции - отрицательное. Снова рассмотрим: . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке, и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке. Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:
Это и есть геометрический смысл производной.
Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. 
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной! 
Угол наклона касательной к оси - это. Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна.
Ответ:
. Теперь попробуй сам:
Ответы:
Зная геометрический смысл производной
, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс: 
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:
Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке. Например, в точке. Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая - это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении
Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
В нашем примере будет так:
Теперь остается найти. Это проще простого: ведь - значение при. Графически - это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси):
Проведём (так, что - прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и? По рисунку явно видно, что, а. Тогда получаем:
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
Теперь реши сам:
- Найди уравнение касательной к функции в точке.
- Касательная к параболе пересекает ось под углом. Найди уравнение этой касательной.
- Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.
- Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.
Решения и ответы:
УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:
Уравнение касательной к графику функции в точке:
Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения:
наглядный, частично поисковый.
Цель урока:
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
- Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.
Оборудование:
компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.
План урока
I
Организационный момент.
<слайд 2, 3> Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.
II
Актуализация материала.
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.) <слайд 5>
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.
Примеры.
<слайд 6>
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе <рисунок 1>.
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y
=
cos
x
, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида
(π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика <рисунок 2>.
 Рисунок 1 |  Рисунок 2 |
Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:
<слайд 7> выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.
III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций
2 ученик: вспомни правила дифференцирования
3 ученик: составьте уравнение прямой y =
kx + 4
, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)
4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3
x +
b
, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).
С остальными фронтальная работа. <слайд 8>
- Сформулируйте определение производной.
- Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?
Отгадай фамилию учёного <слайд 9>:
Ключ к ответам
Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам. <слайд 10>
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.
- Начнём с углового коэффициента <слайд 11>
Рисунок 3
Рассмотрим график функции y =
f(x)
дифференцируемой в точке А(x 0 ,
f(x 0))
<рисунок 3>.
Выберем на нём точку M
(x 0 + Δх,
f(x 0 + Δх))
и проведем секущую AM
.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)
Будем приближать по дуге точку M
к точке A
. В этом случае прямая AM
будет поворачиваться вокруг точки A
, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT
. Другими словами < TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT
, обладающую таким свойством, называют касательной
к графику функции y =
f(x)
в точке А(x 0
, f(x 0)).
<слайд 12>
Угловой коэффициент секущей AM
при AM
→ 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f "(x 0)
. Значение производной в точке х 0
примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0
.
Существование производной функции в точке x 0
эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0
, f(x 0
)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f "(x 0)
. В этом состоит геометрический смысл производной
. <слайд 13>
Определение касательной
: <слайд 14> Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0
функции f
- это прямая, проходящая через точку (x 0 ,
f(x 0))
и имеющая угловой коэффициент f "(х 0)
.
Проведем касательные к графику функции y = f(x)
в точках х 1 , х 2 , х 3 , <рисунок 4> и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)
Рисунок 4
Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен. Поэтому f "(х 1)>0 , f "(х 2) = 0 , f "(х 3) < 0 . <слайд 15, 16>
- Выведем теперь уравнение касательной <слайд 17, 18> к графику функцииf в точке А(x 0 , f(x 0) ).
- Найдём угловой коэффициент k = f "(х 0), получим y = f "(х0)∙ x + b, f(x) = f "(х 0)∙ x + b
- Найдём b . b = f(x 0) - f "(х 0)∙ x 0 .
- Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f "(х 0 )∙ x + f( x 0 ) - f "(х 0 )∙ x 0 или y = f( x 0 ) + f "(х 0 )( x - x 0 )
- Обобщение материала лекции. <слайд 19>
Что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.
V Закрепление изученного материала.
1. Устная работа:
1) <слайд 20> В каких точках графика <рисунок 5> касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) <слайд 21> При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком <рисунок 6>
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?
 Рисунок 5 |  Рисунок 6 |
3) <слайд 22> На рисунке изображён график функцииf(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f "(x) в точке x 0 <рисунок 7>.
Рисунок 7
2. Письменная работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)
3. Решение опорных задач.
<слайд 23>
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f
(x) = x 3 – 3x – 1
в точке М с абсциссой –2.
Решение:
- Вычислим значение функции: f (-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
- найдём производную функции: f "(х) = 3х 2 – 3;
- вычислим значение производной: f "(-2) = - 9.;
- подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.
Ответ: y = 9x + 15.
2.
По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика
с ординатой y 0
= 1.
Решение:
Ответ: y = –x + 2 .
3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7
, параллельной прямой у = х
.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x
. Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k
= 1, y
"(х) = 3х2 – 2.
Абсцисса х 0
точек касания удовлетворяет уравнению 3х 2 – 2 = 1
, откуда х 0
= ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5
и y = x + 9
.
Ответ: y = x + 5
, y = x + 9
.
4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b
прямая y = 0,5x + b
является касательной к графику функции f(х) =
?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f "(х) =
= 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.
5. Самостоятельная работа обучающего характера. <слайд 24>
Работа в парах.
Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.
6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.
<слайд 25>
Углом пересечения графика функции y = f(x)
и прямой l
называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.
7. Самостоятельная работа контролирующего характера.
<слайд 26> (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.
2 вариант.
- В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 - 12х + 7 параллельна оси х?
- Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 - 4 в точке с абсциссой х 0 = - 2. Выполните рисунок.
- Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3 .
3 вариант.
VI Подведение итогов урока.
<слайд 27>
1. Ответы на вопросы
- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице <слайд 28>.
Литература <слайд 29>
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2003.
3. Мультимедийный диск фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/