Касательная к графику функции. Калькулятор онлайн

Инструкция

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f"(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.

Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.

Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».

Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f "(a). В результате будет найдено решение графика и касательной.

Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.

Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)

Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x ) = (x 3)’ = 3x 2 ;
Подставляем в производную x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x ) = (2sin x + 5)’ = 2cos x ;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.

Ответ: y = 4*x - 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции $f(x) $ в заданной пользователем точке $a $.

Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.

Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.

Введите выражение функции $f(x)$ и число $a$ Найти уравнение касательной

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Угловой коэффициент прямой

Напомним, что графиком линейной функции $y=kx+b$ является прямая. Число $k=tg \alpha $ называют угловым коэффициентом прямой , а угол $\alpha $ - углом между этой прямой и осью Ox

Если $k>0$, то \(0 Если \(kУравнение касательной к графику функции

Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f"(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f"(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.

С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f"(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: $f(a)=ka+b $, т.е. $b = f(a) - ka $.

Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a)(x-a) $$

Нами получено уравнение касательной к графику функции $y = f(x) $ в точке $x=a $.

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции $y=f(x) $
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой $a $
2. Вычислить $f(a) $
3. Найти $f"(x) $ и вычислить $f"(a) $
4. Подставить найденные числа $a, f(a), f"(a) $ в формулу $y=f(a)+ f"(a)(x-a) $

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов)

Пусть М, М 0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)

Рис. 7.2. Касательная к кривой

Прямая (ММ 0) называется секущей кривой L.

Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М 0 . Если секущая стремится занять предельное положение (М 0 Т), то прямая (ТМ 0) называется касательной к кривой L в точке М 0 .

Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).

На рис. 7.3: если (М 0 М) – секущая,
- угловой коэффициент секущей, тогда

;
.

Пусть х стремится к х 0 , тогда точка М стремится по кривой L к М 0 . Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х 0 , то

Таким образом, производная функции ƒ(х) в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
имеет вид:

y = kx+b или y=ƒ’(х 0)∙x+b.

Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М 0 . Подставляем координаты точки М 0 (х 0 ;ƒ(х 0)) в уравнение касательной:

ƒ(х 0) = ƒ′(х 0)∙х 0 +b,

b = ƒ(х 0)- ƒ′(х 0)∙ х 0

Уравнение касательной принимает вид:

y =ƒ′(х 0)∙(x- х 0)+ƒ(х 0) (3.8)

Пример:

7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х 0 =1.

Решение: Имеем ƒ(х 0)=х² 0 ; ƒ(х 0)=1 при х 0 =1; ƒ′(х 0)=2∙ х 0 ; ƒ′(х 0)=2 при х 0 =1.

Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.

Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х 0:

7.25 а) y=x3; х 0 =1;

б)
; х 0 =1;

в)
; х 0 =4

г) y=x²-2x+5; х 0 =0,5

7.10 Применение производной к приближенным вычислениям

По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х 0 имеем:

При достаточно малых ∆x получаем:

(7.9)

Представляем приращение функции в виде

С учетом формулы (7.9) или

Пример:

7.26 Вычислить приближенно
.

Решение: Воспользуемся формулой (3.10)

Рассмотрим функцию
точку х 0 =27 и приращение аргумента ∆x=0,03

Значение функции в точке х 0:

Производная:

Значение производной в точке х 0 =27:

Подставляем полученные значения в (3.10) , получаем приближенное значение функции

Упражнения:

7.26 Вычислить приближенные значения функций:

а)
;

б)
;

в) sin30˚30′;

д)
;

е)
.

7.12 Применение производной к исследованию функций

Функция называется возрастающей на (a ; b ) , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Функция называется убывающей на (а; b ) , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).

Доказательство. Пусть x> х 0 , тогда ƒ(х)>ƒ(х 0). Поэтому x- х 0 >0 и
.

Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х 0 , получим

Теорема доказана.

Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной

Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).

Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).

Пример:

7.27 Найти интервалы монотонности функции
.

Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:

Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:

ƒ′(х) >0 при хє
, следовательно ƒ(х) возрастающая
на этом интервале;
при
или
, следовательно ƒ(х) убывающая
на этих интервалах. Границы интервалов могут быть включены в интервалы монотонности, т. к. функция непрерывна в этих точках. Можно записать:

;

Точка х 0 называется точкой минимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х 0 , что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство

ƒ(х 0) ƒ(х 0)

(х 0) (x х 0)

0 х 0 -ε х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 +ε x

Рис. 7.5 Точки минимума функции

Точка х 0 называется точкой максимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х 0 , что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство
.

y y

0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x

Рис. 7.6 Точки максимума функции

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х 0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х 0)=0

Теорема (Достаточное условие максимума) Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 , а ƒ′(х)>0 на интервале
и ƒ′(x)<0 на интервале
, то точка х 0 является точкой максимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х 0 – точка максимума функции ƒ.

Теорема (Достаточное условие минимума). Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 , ƒ′(x) на интервале
и ƒ′(x)>0 на интервале
, то точка х 0 является точкой минимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка минимума функции ƒ.

Пример:

7.27 Найти точки экстремума функции
.