Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Мы ввели в рассмотрение числовые характеристики одной случайной величины Х - начальные и центральные моменты различных порядков. Из этих характеристик важнейшими являются две: математическое ожидание m x и дисперсия Dx.

Аналогичные числовые характеристики - начальные и центральные моменты различных порядков - можно ввести и для системы двух случайных величин. Начальным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения Х k на Y s :

M[Х k Y s ]

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) назы­вается математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин:

На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин Х и Y, входящих в систему:

m x и m y

Совокупность математических ожиданий m x , m y представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это коор­динаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рас­сеивание точки (X. Y).

Кроме первых начальных моментов, на практике широко при­меняются еще, вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин Х и Y.

D[X] и D [Y], характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох а Оу.

Особую роль как характеристика системы играет второй сме­шанный центральный момент:

μ 1,1 = М ,

т. е. математическое ожидание произведения центрированных величин. Ввиду того, что этот момент играет важную роль в теории систем случайных величин для него введено особое обозначение:

Кху =М[Х 0 Y 0 ]=M[(X-m x )(Y- m y )].

Характеристика Кxy называется корреляционным моментом (иначе - «моментом связи») случайных величин X, Y.

Для дискретных случайных величин корреляционный момент вы­ражается формулой

Кху =Σ Σ(x i -m x )(y j -m y ) p ij

Выясним смысл и назначение этой характеристики. Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин Х и Y, еще и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Таким образом, если корреляциснный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависи­мости между ними.

Из формулы видно, что корреляционный момент характе­ризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Дей­ствительно, если, например, одна из величин (X, Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины (X, Y). Поэтому для характеристики связи между величинами (X, Y) в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике

rху=Кху/σх σу

где σх, σу - средние квадратические отклонения величин X, Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин Х и Y.

Очевидно, коэффициент корреляции обращается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для не­зависимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент (а зна­чит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некорре­лированными (иногда - «несвязанными»).

Эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Известно, что независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Остается выяснить: справедливо ли обрат­ное положение, вытекает ли из некоррели­рованности величин их независимость? Оказывается - нет. Существуют такие случайные величины, которые являются некоррелированными, но зави­симыми. Равенство нулю коэффициента корреляции - необходимое, но не доста­точное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелирован­ность; напротив, из некоррелированности величии еще не следует их независимость. Условие неза­висимости случайных величин-более жесткое, чем условие некор­релированности.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятност­ная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выражен­ной, более или менее приближаться к функциональной, т. е. самой тесной линейной зависимости. Коэффициент корреляции характе­ризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины Х и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью:

У=аХ + в, то rху = ±1, причем знак «плюс» или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а. В общем случае, когда величины Х и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пре­делах:

1 < rху < 1

В случае r > 0 говорят о положительной корреляции вели­чин Х и Y, в случае г<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами озна­чает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Приведем несколько примеров случайных величин с положитель­ной и отрицательной корреляцией.

1.Вес и рост человека связаны положительной корреляцией.

2.Время, потраченное на подготовку к занятиям, и полученная оценка связаны положитель­ной корреляцией (если, разумеется, время потрачено разумно). Наоборот, время, потраченное на подготовку, и количество полученных двоек, связаны отрицательной корреляцией.

3. Производится два выстрела по цели; точка попадания первого выстрела регистрируется, и в прицел вводится поправка, пропорцио­нальная ошибке первого выстрела с обратным знаком. Координаты точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отри­цательной корреляцией.

Если в нашем распоряжении имеются результаты ряда опытов над системой двух случайных величин (X, Y), то о наличии или отсутствии существенной корреляции между ними легко судить в первом при­ближении по графику, на котором изображены в виде точек все полученные из опыта пары значений слу­чайных величин. Например, если наблюденные пары зна­чений величин расположи­лись следующим образом

4 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Фрагмент текста работы

где

для дискретных случайных величин Хи У и

, y)dxdy

для непрерывных случайных величин,

Корреляционный момент служит для характеристики связи между случайными величинами. В частности, для независимых случайных величин Х и У корреляционный момент Сху равен нулю.

По определению корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей величин Х и У. Это значит, что величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. Например, если при измерении величин Х и У в сантиметрах получилось С». 2 см2, то при измерении Х и У в миллиметрах получим Сху = 200 мм2. Такая зависимость корреляционного момента от единиц измерения затрудняет сравнение различных систем случайных величин. Чтобы устранить этот недостаток, вводится безразмерная характеристика rry связи между величинами Х и У, называемая коэффициентом корреляции:

Если случайные величины Х и У независимы, то r», = О. Если же случайные величины Хи У связаны точной линейной зависимостью У = ах + Ь, то rxy= l при а>О и Ъ. = - при а z О. Вообще же справедливо двойное неравенство -1 S rxyS

Свойство независимости двух случайных величин Х и У в общем случае не равносильно их некоррелированности (т.е. равенству rn. = 0). Однако для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины это так.

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин (Х, Л задан следующей таблицей

) законы распределения случайных величин Х и У;

2) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что У = 1;

3) математические ожидания ИХ), Ц У) и центр рассеивания;

4) дисперсии D(X) и ДУЭ;

5) корреляционный момент Сду и коэффициент корреляции Ъ.

1. Сложив вероятности по строкам, получаем вероятности возможных значений случайной величины Х: = 0,4, p(l) = 0,2, р(4) = 0,4. Следовательно, закон распределения величины Х имеет следующий вид

Проверка: 0,4 + 1.

Сложив вероятности по столбцам, получаем вероятности возможных значений случайной величины У: = 0,1, p(l) = 0,3, АЗ) = 0,6. Напишем закон распределения величины У

Проверка: (),l + 0,3 + 0,6 =

2.
Найдем условные вероятности для случайной величины Х при условии, что У = У-2 = 1: p(-l f 1) = -Р12

Так как распределения (Х 1 У = 1) имеет следующую таблицу

З. Исходя из определения, вычисляем математические ожидания:

5. Составим таблицу системы чентривжанных случайных величин

х, У, где У=У-т = У -1,9

Вычислим корреляционный момент:

(-3,9) 0-2,4 (-0,9)

Система двух непрерывных случайных величин (Х, У) имеет равномерное распределение в области D = «х, у) - S х S 3, О S у S х + l} .

) плотность распределения;

2) вероятность Ч Х, У) с попадания в область

3) плотностиЛ(х) и Ку) распределения случайных величин Х и У, а также условные плотности и y(ylx);

4) функции и F20) распределения случайных величин Х и У;

5) математические ожидания М(Х), и центр рассеивания;

6) дисперсии и Ц У);

7) корреляционный момент Сл. и коэффициент корреляции

1. По условию функция плотности имеет вид а, если -lSxS3 и 0SySx+l, О, если (х, у) Е Д

Для нахождения параметра а воспользуемся соотношением f(x, y)dy.dy = , где обл5сть интегрирования D изображена на рис. 7.

Область D ограничена слева и справа прямыми х = -1 и х = 3, а снизу и сверху - прямыми О и У2(х) = х + 1. Переходя к повторному интегралу, имеем:

3

fady= гаур Х +1 Д = fa(x + l)dx =

8а. Так как 8а = 1, ТО а з- и функция ПлОтнОсТи 8

имеет вид

-, если

О, если (х,у) Е).

2. Изобразим область G, которая представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (2, О) (см. рис. 8). Так как функция Ах, у) равна нулю вне

3. Найдем плотностиЛ(х) илу):

поэтому

Следовательно,

Для О S у S 4 аналогично получаем

• Коэффициент корреляции Спирмена: пример решения задачи

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом µ xy случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

µ xy = M { [ X - M(X) ] [ Y - M(Y) ] }

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин - формулу:

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Замечание 1. Приняв во внимание, что отклонения есть центрированные случайные величины, можно дать корреляционному моменту определение, как математическому ожиданию произведения двух центрированных случайных величин:

µ xy = М .

Замечание 2. Не сложно доказать, что корреляционный момент можно записать в виде

µ xy = М (ХY) – М(X) М(У).

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и У- независимые случайные величины, то их отклонения X-М (X) и У-М (У) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

µ xy = М { M} = М M = 0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких еди- ницах были измерены величины. Пусть, например, X и У были измерены в сантиметрах и µxy = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах,
то µxy = 200 мм. Такая особенность корреляционного мо-мента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику-коэффициент корреляции .
Коэффициентом корреляции г ху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих
величин:

r xy = µ xy /σ x σ y

Так как размерность µxy равна произведению размерностей величин X и У, σ x имеет размерность величины X, σ y имеет размерность величины Y, то r xy -безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.
Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как µ xy = 0).

Замечание 3 . Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X", которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

Х" = (Х - М(Х))/σ x .

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

Легко убедиться, что коэффициент корреляции r ху равен корреляционному моменту нормированных величин Х" и Y" :

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину Z 1 = σ y X - σ x Y и найдем ее дисперсию D(Z l) = M 2 . Выполнив выкладки, получим

D(Z 1) = 2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2σ x 2 σ y 2 – 2σ x σ y µ xy ≥0.

µ xy ≤ σ x σ y .

Введя случайную величину Z t = σ y X+ σ x Y, аналогично найдем

µ xy ≥ − σ x σ y .

Объединим два этих неравенства:

σ x σ y ≤ µ xy ≤ σ x σ y или | µ xy | ≤ σ x σ y

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Доказательство: Разделим обе части полученного двойного неравенства на произведение положительных чисел σxσy:

1 ≤ r xy ≤ 1

В главе 5 мы ввели в рассмотрение числовые характеристики одной случайной величины - начальные и центральные моменты различных порядков. Из этих характеристик важнейшими являются две: математическое ожидание и дисперсия .

Аналогичные числовые характеристики - начальные и центральные моменты различных порядков - можно ввести и для системы двух случайных величин.

Начальным моментом порядка , системы называется математическое ожидание произведения на :

. (8.6.1)

Центральным моментом порядка системы называется математическое ожидание произведения -й и -й степени соответствующих центрированных величин:

, (8.6.2)

Выпишем формулы, служащие для непосредственного подсчета моментов. Для прерывных случайных величин

, (8.6.3)

, (8.6.4)

где - вероятность того, что система примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин , .

Для непрерывных случайных величин:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

где - плотность распределения системы.

Помимо и , характеризующих порядок момента по отношению к отдельным величинам, рассматривается еще суммарный порядок момента , равный сумме показателей степеней при и . Соответственно суммарному порядку моменты классифицируются на первые, вторые и т. д. На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин и , входящих в систему:

Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание точки .

Кроме первых начальных моментов, на практике широко применяются еще вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин и :

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей и .

Особую роль как характеристика системы играет второй смешанный центральный момент:

,

т.е. математическое ожидание произведения центрированных величин.

Ввиду того, что этот момент играет важную роль в теории, введем для него особое обозначение:

. (8.6.7)

Характеристика называется корреляционным моментом (иначе - «моментом связи») случайных величин , .

Для прерывных случайных величин корреляционный момент выражается формулой

, (8.6.8)

а для непрерывных - формулой

. (8.6.9)

Выясним смысл и назначение этой характеристики.

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо, рассеивания величин и , еще и связь между ними. Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Доказательство проведем для непрерывных случайных величин. Пусть , - независимые непрерывные величины с плотностью распределения . В 8.5 мы доказали, что для независимых величин

. (8.6.10)

где , - плотности распределения соответственно величин и .

Подставляя выражение (8.6.10) в формулу (8.6.9), видим, что интеграл (8.6.9) превращается в произведение двух интегралов:

.

Интеграл

представляет собой не что иное, как первый центральный момент величины , и, следовательно, равен нулю; по той же причине равен нулю и второй сомножитель; следовательно, для независимых случайных величин .

Таким образам, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависимости между ними.

Из формулы (8.6.7) видно, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины . Поэтому для характеристики связи между величинами в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике

где , - средние квадратические отклонения величин , . Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин и . Очевидно, коэффициент корреляции обращается в ноль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда – «несвязанными»).

Выясним, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Выше мы доказали, что две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Остается выяснить: справедливо ли обратное положение, вытекает ли из некоррелированности величин их независимость? Оказывается - нет. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми. Равенство нулю коэффициента корреляции - необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность; напротив, из некоррелированности величин еще не следует их независимость. Условие независимости случайных величин – более жесткое, чем условие некоррелированности.

Убедимся в этом на примере. Рассмотрим систему случайных величин , распределенную с равномерной плотностью внутри круга радиуса с центром в начале координат (рис.8.6.1).

Плотность распределения величин выражается формулой

Из условия находим .

Нетрудно убедиться, что в данном примере величины являются зависимыми. Действительно, непосредственно ясно, что если величина приняла, например, значение 0, то величина может с равной вероятностью принимать все значения от до ; если же величина приняла значение , то величина может принять только одно-единственное значение, в точности равное нулю; вообще, диапазон возможных значений зависит от того, какое значение приняла .

Посмотрим, являются ли эти величины коррелированными. Вычислим корреляционный момент. Имея в виду, что по соображениям симметрии , получим:

. (8.6.12)

Для вычисления интеграла разобьем область интегрирования (круг ) на четыре сектора , соответствующие четырем координатным углам. В секторах и подынтегральная функция положительна, в секторах и - отрицательна; по абсолютной же величине интегралы по этим секторам равны; следовательно, интеграл (8.6.12) равен нулю, и величины не коррелированы.

Таким образом, мы видим, что из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, более или менее приближаться к функциональной, т. е. самой тесной линейной зависимости. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины и связаны точной линейной функциональной зависимостью:

то , причем знак «плюс» или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент . В общем случае, когда величины и связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах: меняется только диапазон изменения , а его среднее значение не меняется; естественно, величины оказываются некоррелированными.

Рис. 8.6.2 Рис.8.6.3

Приведем несколько примеров случайных величин с положительной и отрицательной корреляцией.

1. Вес и рост человека связаны положительной корреляцией.

2. Время, потраченное на регулировку прибора при подготовке его к работе, и время его безотказной работы связаны положительной корреляцией (если, разумеется, время потрачено разумно). Наоборот, время, потраченное на подготовку, и количество неисправностей, обнаруженное при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией.

3. При стрельбе залпом координаты точек попадания отдельных снарядов связаны положительной корреляцией (так как имеются общие для всех выстрелов ошибки прицеливания, одинаково отклоняющие от цели каждый из них).

4. Производится два выстрела по цели; точка попадания первого выстрела регистрируется, и в прицел вводится поправка, пропорциональная ошибке первого выстрела с обратным знаком. Координаты точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отрицательной корреляцией.

Если в нашем распоряжении имеются результаты ряда опытов над системой случайных величин , то о наличии или отсутствии существенной корреляции между ними легко судить в первом приближении по графику, на котором изображены в виде точек все полученные из опыта пары значений случайных величин. Например, если наблюденные пары значений величин расположились так, как показано на рис. 8.6.2, то это указывает на наличие явно выраженной положительной корреляции между величинами. Еще более ярко выраженную положительную корреляцию, близкую к линейной функциональной зависимости, наблюдаем на рис. 8.6.3. На рис. 8.6.4 показан случай сравнительно слабой отрицательной корреляции. Наконец, на рис. 8.6.5 иллюстрируется случай практически некоррелированных случайных величин. На практике, перед тем, как исследовать корреляцию случайных величин, всегда полезно предварительно построить наблюденные пары значений на графике для первого качественного суждения о типе корреляции.

Определение:

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Напомним, что приведенное выражение является элементом формулы дисперсии суммы двух случайных величин:

Замечание:

Корреляционный момент может быть представлен в виде:

Доказательство:

Теорема:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен 0

Доказательство:

Согласно замечанию:

Но для независимых случайных величин

Тогда для независимых случайных величин и :

Определение:

Безразмерная величина называется коэффициентом корреляции.

Теорема:

Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

Доказательство:

Введем в рассмотрение случайную величину и найдем ее дисперсию:

Так как любая дисперсия неотрицательная

Аналогично введем случайную величину и найдем, что:

Определение:

Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если .

Теорема:

Коэффициент корреляции случайных величин, связанных линейной зависимостью, равен .

Доказательство:

Найдем коэффициент корреляции:

Отметим некоторые свойства коэффициента корреляции.

1. Из примера 1 следует, что если - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.

Заметим, что обратное утверждение неверно.

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции в общем случае не превосходит единицы:

Доказательство следует из доказанной ранее формулы для корреляционного момента:

Разделим обе части неравенства на произведение и получим

3. Коэффициент корреляции характеризует относительную (в долях ) величину отклонения математического ожидания произведения от произведения математических ожиданий величин . Так как такое отклонение имеет место только для зависимых величин, то можно сказать, что коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между и .

Это утверждение следует из доказанного ранее равенства: . Приведем корреляционный момент к коэффициенту корреляции:

Куликов А. А. Форекс для начинающих. Справочник биржевого спекулянта – СПб.: Питер, 2007; Коммерсантъ № 62 от 13.04.2007 – Мировая торговля замедлится.

Bachelier L. Theorie de la speculation. //Annales de l"Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. P. 21-86. Описание идей Л. Бушелье, их судьба и их современная критика содержатся в книгах: Мандельброт Б. Непослушные рынке, фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006; Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008.

Cootner Paul H. The Random Character of Stock Market Prices – Cambridge, MA, MIT Press

Harry M. Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, 7, no 1 (March 1952), pp, 79-81.

В представленном разделе используются материалы следующих книг: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997; Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996; Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007; Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007; Коростелева М. В. Методы анализа рынка капитала – СПб.: Питер, 2003.

Тобин Дж. обратил внимание на недостаточность показателей математических ожиданий и дисперсии для сравнения портфелей (См. Ширяев В. И. Модели финансовых рынков… - стр. 18-19). Тем не менее, их применение оправдано своей конструктивностью.

См. Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 238-241 или Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007, стр. 17.

См. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996, стр. 343. Обсуждение альтернативных мер риска, например, приведение к нормальному типу так называемого логнормального распределения можно найти в книге: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр. 179-181.

См. Бромвич М. Ук. Соч. стр. 342.

Считают, что первым шагом в создании теории полезности было формулирование так называемого Санкт-Петербургского парадокса. Любопытно, что сформулировал этот парадокс Николай Бернулли, а объяснение дал ему Даниил Бернулли - См.: Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия / Д. Бернулли; пер. А. Нардовой // Вехи экономической мысли / сост. и общ. ред. В. М. Гальперина. Спб., 1993. Т. 1: Теория потребительского поведения и спроса. С. 11-27.

Полезные материалы по теории полезности можно найти в книгах, посвященных теории игр, в частности: Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения - Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961; Нейман фон Джон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение - Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

См. Приложение к модели Г. Марковица

См. в книге Ширяева В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – М.: КомКнига, 2007, стр. 25-26.

Аналитическую формулировку модели Марковица можно найти в книгах: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 21-22; Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 288.

Нами использованна формулировка, предложенная в книге: Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 256-257.

См. в книге: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 16-18 (раздел «Модель Марковица»).

См.:Шарп У. Ук. соч. стр. 213-218, 226-228, стр. 271 – о связи и отличиях рыночной модели и модели САРМ; также Аскинадзи В. М. и др. Ук. соч., стр. 278-294; Ширяев В. В. Ук. соч., стр. 47-58

См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции –пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр 316-337.

См.: Оценка бизнеса – под ред. Грязновой А.Г., Федотовой М.А. – М.: Финансы и статистика, 2007, стр. 199

См: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, глава 3.

См. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. Непослушные рынки: фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006, 187 стр.

См. там же, стр. 34-39.

См.: Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008, стр. 19-22.

Это раздел основан, главным образом, на материалах книги: Экономическая теория (New Palgraiv) – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004, стр. 263-273 – глава Гипотеза эффективного рынка, автор - Бертон Мэлкил (Berton G, Malkiel). Ссылки на авторов различных исследований также сделаны по материалам этой статьи. См. также: Бертон Мэлкил «Случайная прогулка по Уолл-Стрит – пер. с англ. - Минск: Попурри, 2006. Последняя книга издается уже 30 лет. Любопытно, что в конце 90-х годов вышла иная книга: Эндрю Лоу. Неслучайная прогулка по Уолл-Стрит. Б. Мелкил является, в целом, сторонником гипотезы эффективного рынка, а Эндрю Лоу – наоборот.

См.: Чеботарев Ю.Н. Случайность и Неслучайность биржевых цен – М.: СмартБук; И-трейд, 2008, 198.

Инвариантность - неизменность какой-либо величины при изменении физических условий или по отношению к некоторым преобразованиям, например, преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (релятивистская инвариантность). Практически строгое описание «случайного блуждания» в наиболее простой версии «винеровского процесса» можно найти в книге: Шаповал А.Б. Инвестиции: математические методы – Учебное пособие – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 42-43.

Случайный процесс называется винеровским, если выполнены следующие условия:

1) Процесс начинается с нуля, то есть;

2) Случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией равной для любого момента времени;

3) Для произвольных непересекающихся интервалов и случайные величины и независимы.

Вообще, пособие Шаповала А.Б. мы рекомендуем для ознакомления с математическими моделями портфельного анализа, оценки опционов. Изложение достаточно строгое для практики и краткое (96 стр.), но вводит в современную теорию финансов. В главе о портфельном анализе мы в значительной мере используем

См. материал из Википедии:

Последовательность случайных величин называется мартингалов с дискретным временем, если:

Пусть дана другая последовательность случайных величин. Тогда последовательность случайных величин называется мартингалом относительно или -мартингалом, если:

Пусть дана последовательность случайных величин. Тогда последовательность случайных величин называется суб(супер) мартингалом относительно, если:

Этот эффект можно объяснить налоговым влиянием. В конце года инвесторы сбрасывают акции, в первую очередь, мелких фирм для имитации убыточности и облегчения налоговых платежей, цены акций падают, а в январе они могут вернуться даже с излишком вверх – См.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 316-317.

Эффект уик-энда, эффект понедельника не имеет однозначного объяснения. Эффект говорит о том, что цены акций в понедельник ниже, чем вечером в пятницу. В книге «Случайная прогулка по Уолл-Стрит» Бертон Мэлкил уточняет эффект: цены акций утром в понедельник немного выше, чем вечером в пятницу, а к вечеру понедельника они понижаются, так что доходность становится относительно отрицательной. Поэтому следует покупать акции в понедельник вечером. Но проверка эффекта, проведенная автором по материалам Нью-Йоркской фондовой биржи с мая по июль 2002 года показала, что эффект проявился лишь в восьми уик-эндах из тринадцати.

Стратегию «купил и держи» реализуют так называемые «индексные фонды», которые держат структуру своих вложений в соответствии с популярными биржевыми индексами. По данным информационного портала «Вложи.ру», в России в 2007 году действовало 11 ПИФов как индексные фонды. Первый российский индексный фонд был образован в 2003 году. В США такие фонды действуют уже 30 лет. Российские фонды ориентируются на индексы ММВБ или РТС (после модификации в 2006 году индекс РТС стал учитывать и ликвидность бумаг, что требуется для правильной работы индексного фонда). Строго следовать индексам индексные фонды, конечно, не могут, так как было бы нерационально вносить изменения во вложения непрерывно. См. материалы об индексных фондах на портале частного инвестора «Вложи.ру»: http://www.vlozhi.ru/

Дробление акций снижает их номинальную стоимость, в результате чего она становится более доступной мелким акционерам. Расширение рынка акций может повысить к ним интерес и, соответственно, увеличить спрос на них, а значит, и рыночную стоимость акций

Эффективность взаимных фондов относительно эффективности индексных акций за 1980-1990 годы см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 238. В 80-е годы взаимные фонды обгоняли индекс S&P 500, в 90-е годы – отставали. Там же и другие современные материалы по эффективности взаимных фондов. Например, по данным с 1968 по 2002 годы проведено сопоставление доли наличности в активах взаимных фондов и индекса S&P 500. Сопоставление показало, что доля наличности в активах фондов была высока именно в те моменты, когда индекс был низок, то есть когда надо было, наоборот, тратить наличные деньги на покупку акций – стр. 244-248.

Результаты расчетов см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 235.

См. номера журнала «Финанс» за 2009-2010 годы.

См. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже: Психология. Технический анализ. Контроль над капиталом – М.: Альпина Бизнес Бук, 2007, стр. 29-35.

См.: Дамодаран А. Инвестиционные байки: разоблачение мифов о безпроигрышных биржевых стратегиях – пер. с англ. СПб.: Питер, 2007, стр. 396-428.

См.: Хэгстром Р. Дж. Инвестирование. Последнее свободное искусство – пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2005.

Сравнение среднегодовой доходности и риска (квадратичного отклонения доходности) акций компаний крупных и мелких за период с 1926-2001 показало, что среднегодовая доходность акций мелких компаний – 17.5%, а крупных – 12.4 при риске 35.3 и 20.8%% соответственно. Среднеожидаемый ежемесячный доход за период 1963-1990 годы также показывает зависимость от размера компании. В то же время в 90-е годы ситуация изменилась, большие доходы стали давать компании с высокой капитализацией. Дело, по-видимому, в том, что выросла доля институциональных инвесторов, работающих с акциями крупных компаний, и акции мелкий компаний потеряли часть ликвидности – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 265, 333-334.

Данные за 80-е годы показывают, что акции с низким коэффициентом доходности (отношение цены акции к чистой прибыли компании) показывали более высокую доходность. Аналогично, акции с низким оотношением цены к стоимости активов фирмы дают обычно большую доходность – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 334-340.

Доказательства приведены по материалам книги: Бромвич Майкл. Анализ экономической эффективности капиталовложений – М.: ИНФРА-М, 1996.

См. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятности – М.: Наука, 1969, стр. 179 (глава 5. Числовые характеристики случайных величин)