Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Урок алгебры. 8 класс.
Тема урока: « Функция у=к/х, ее свойства и график».
Цели урока:
Образовательная цель: научить строить график функции у=к/х, исследовать свойства функции, сформировать четкое представление о различиях свойств и расположения графика функции при к 0 и к 0, расширить представление учащихся о функции.
Развивающая цель: продолжить развитие познавательного интереса к изучению алгебры, развивать умение анализировать, наблюдать, сопоставлять, логически мыслить, развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля.
Воспитывающая цель: воспитание навыков коммуникотивности в работе, умение слушать и слышать другого, уважение к мнению товарища, воспитание у учащихся таких нравственных качеств, как настойчивость, аккуратность, инициативность, точность, привычка к системному труду, самостоятельность, активность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный аппарат, раздаточный материал, презентация урока.
Структура урока:
- Постановка цели урока. (2 мин)
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся. (8 мин)
- Подготовка к активному изучению нового материала. (9 мин)
- Усвоение новых знаний. (16 мин)
- Закрепление полученных знаний. (5мин)
- Рефлексия. (3 мин)
- Постановка домашнего задания. (2 мин)
- Резервные задания.
Ход урока.
- Организационный момент . (слайд1) Формулируется тема урока и цель урока. Сегодня мы продолжаем знакомится с функциями и рассмотрим функцию у=к/х ее свойства и график, что показывает нам эта функция и какую роль играет в жизни любого человека.
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- К доске выходят два учащихся и заполняют таблицы, которые приготовлены на доске.
1/х |
1/х |
2. В это время идет фронтальная работа с остальным классом.
Дайте определение: что такое область определения функции. (областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент)
Укажите область определение следующих функций (на экране слайд 2):
У=х²+8, у=1/х-7, у=4х-1/5, у=2/х
На каком рисунке из таблицы (слайд 3) изображен график:
1) график линейной функции, написать формулу,
2) прямой пропорциональности, привести из жизни примеры прямой пропорциональности,
3) квадратичной функции,
4) какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графике на рисунке 9 и10.
Потом все вместе проверяем правильность заполнения таблиц. Особое внимание уделяем тому месту, где х=0.
- Подготовка к активному изучению нового материала.
Нам известно, что каждая из данных функций описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Давайте обратимся к физике и на её примере рассмотрим одно из физических явлений, с которым многие сталкивались в жизни. Ребята смотрят слайд 4, на котором изображена физическая модель и физическое явление. Какое физическое явление происходит (давление твердого тела на поверхность, чем больше площадь, тем меньше давление). Напишите формулу и объясните этот слайд с помощью формулы.
Как вы думаете, как можно назвать такую зависимость переменных? (обратная пропорциональность). (слайд5)
В математике такая зависимость записывается формулой у=к/х, а графиком такой функции является гипербола. Как она выглядит, мы узнаем позже. Я знаю, что вы встречали понятие гиперболы в литературе. И об этом нам расскажет Катя Веденеева. (учащаяся читает доклад)
- Усвоение новых знаний.
Вот и подошел момент, когда мы должны узнать, как строить график функции у=к/х и исследовать ее свойства. Теперь вы поработаете в парах. Перед вами лежат листки с координатной плоскостью и написано, какую функцию надо построить. (приложение 1).Что необходимо для построения графика функции? (заполнить таблицу) . Скажите, а может она у нас уже заполнена? (да, на доске). Ребята строят точки на готовой координатной плоскости, а потом проверяют вместе с учителем. (слайд 6,7).
А как соединить правильно? Смотрите, пожалуйста, как это будет происходить на экране. Линии, которые образуются при соединении точек, не должны слиться с координатными осями, поэтому после крайних точек лучше продлить их еще на миллиметра 2. Линии, которые мы получили, называются ветвями гиперболы. Соедините ваши точки.(слайд 8,9)
Ответе на вопрос: как зависит расположение графика функции у=к/х от знака коэффициента к? Учащиеся убеждаются, что если к>0, то график располагается в 1 и 3 координатных четвертях, а если к
После координатной плоскости у вас написаны свойства, которые надо дописать. Две головы хорошо, а четыре лучше. Поэтому объединяемся в группы по четыре человека. Вы исследуете график функции в своей группе и прямо на этом листочке дописываете свойства. Дальше идет коллективное обсуждение, после чего каждое свойство выводится на экран. Только одно свойство учитель показывает сам и объясняет, что непрерывность функции мы понимаем как сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Поэтому 5 свойство учитель объясняет сама. Функция непрерывна на промежутке от (-∞;0) и (0;+∞) претерпевает разрыв в точке х=0.
Вы хорошо поработали и для дальнейших уроков я раздаю вам опорный конспект этой темы, которые вы вклеите. (слайд 10).(приложение2)
Устали давайте немного отдохнем. Предлагаю посмотреть интересные слайды, на которых вы увидите как пословицы можно изобразить с помощью нашей функции у=к/х. (слайд 11,12,13,14).
- Закрепление полученных знаний.
Отдохнули, давайте вернемся к своим опорным конспектам. Я была не внимательна и допустила ошибку при их наборе. Посмотрите, пожалуйста, и найдите ошибку в них. Исправьте эту ошибку. (слайд15)
- Рефлексия:
Что нового узнали на уроке?
Что использовали для открытия новых знаний?
Какие трудности встретили?
- Домашнее задание (слайд 17)
- §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4,
Придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами, и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.
- Резерв:
Работа в группах.
Задача:
Цену на товар понижают – количество покупаемого товара увеличивается. И наоборот. Придумайте задачу. Напишите формулу и сделайте эскиз.
Подписи к слайдам:
Функция у=к/х, ее свойства и график.
Укажите область определение следующих функций
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
хЄ(-∞;∞)
хЄ(-∞;0)υ(0;+∞)
1. На каком рисунке из таблице график линейной функции? Написать формулу?
2.На каком рисунке из таблице изображен график прямой пропорциональности?
3. Приведите примеры прямой пропорциональности из жизни?
4. На каком рисунке из таблице изображен график квадратичной функции?
5. Какой знак имеет коэффициент к квадратичной функции, которым соответствуют графики на рисунке 9 и10?
1,2,3,4,5,6,7
1,2,3,
y=kx+b
9,10
Функции в мире физики
Физическая модель
Примеры физических явлений
Обратная пропорциональность
Математическая модель обратной пропорциональности:у=к/х, где к коэффициент пропорциональности
График данной функции называется гиперболой
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
у
х
1
2
4
-1
-2
-4
1
2
4
-1
-2
-4
Функция у=1/х
у
х
1
2
4
1
2
4
-1
-2
-4
-1
-2
-4
Функция у=-1/х
y = k / x, k>0
2. y >0 при х>
наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k « Щеголять смолоду, а под старость умирать с голоду»
Богатство, одежда, еда
возраст
«Дожили до того, что не осталось ничего»
время
богатство
« Богатому сладко естся да плохо спится»
сон
богатая жизнь
« Поменьше говори, побольше услышишь»
У Количество услышанного
Х Количество разговора
y = k / x, k>0
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х>0; y 3. Убывающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
Область определения функции х(-∞;0) (0;+∞)
2. y >0 при х 0
3. Возрастающая функция на промежутке (-∞;0) и (0;+∞)
5. Функция имеет точку разрыва х = 0
6. Область значения функции y (-∞;0) (0;+∞)
4. у - не существует у - не существует
наибольшее
наименьшее
y = k / x, k Домашнее задание: §18 стр. 96-100, № 18.3, 18.4, придумать примеры из различных сфер деятельности человека, которые описываются с помощью обратной пропорциональной зависимости между величинами и выразить эту зависимость в виде функции у=к/х, сделать эскиз.
Спасибо за урок
В этом видеоуроке вы познакомитесь с функциейy = k/x, k - коэффициент, который может принимать разные значения, кроме 0. Давайте рассмотрим случай, когда k = 1 => y = 1/x. Для построения графика этой функции вспомним материал, который был в предыдущих видео, а именно: подберем для x несколько произвольных значений и подставим их в формулуy = k/x.
Это даст нам возможность вычислить значения зависимой переменной y. Подбор значений и вычислений y построим в два этапа: сначала придадим аргументу положительные значения, а потом - отрицательные.
- Пользуясь формулой y = k/x, найдем значение y. Если x = 1 , то y = 1. Подберем несколько аргументов самостоятельно.
В случае, когда x = 3, то y = 1/3; х = 5, то у = 1/5; х = 7, то у = 1/7.
И когда х = 1/3, то у = 3; х = 1/5, то у = 5; х = 1/7, то у = 7.
Составим таблицу:
- В случае, когда х =1, то у = -1, х = -3, то у = -1/3; х = -5, то у = -1/5; х = -7, то у = -1/7.
И когда х = -1/3, то у = -3; х = -1/5, то у = 5; х = -1/7, то у = -7.
Составим таблицу:
Построим данные точки на координатной плоскости хОу и соединим их.
Пример с другими координатами и последовательность построения графика вы сможете увидеть в видео.
Также в видеоуроке вы ознакомитесь с основными геометрическими свойствами гиперболы.
- Гипербола, как и парабола, обладает симметрией. Если провести прямую через начало координат 0, то она пересечет гиперболу в двух точках, которые лежат на прямой на противоположных сторонах от точки 0 и на равных от неё расстояниях. Тем самым 0 будет являться центром симметрии гиперболы, и она будет симметрична относительно начала координат.
- Симметричные, относительно начала координат, части гиперболы называются её ветвями.
- Одна ветвь гиперболы расположена вблизи оси абсцисс, другая - вблизи ординат. В таких случаях соответствующие прямые принято называть асимптотами. Это значит, что гипербола имеет две асимптоты - ось х и ось у.
- Помимо центра симметрии гипербола имеет оси симметрии.
Графиком функции y = k/x, при k не равно 0 является гипербола, ветви которой находятся в 1 и 3 координатных плоскостях, в случае, когда k > 0, и во 2 и 4 k > 0, и во 2 и 4 координатных плоскостях, когда k < 0. (0,0) - точка центра симметрии гиперболы, а осями координат являются её асимптоты. Функцию y = k/x называют обратно пропорциональной, в силу того, что её величины - x и у, являются обратно пропорциональными, а число k - это коэффициент обратной пропорциональности.
Примеры и более подробную информацию по теме вы можете получить при просмотре видеоурока.
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.
В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) .
Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью.
b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b .
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х .
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) ,
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) .
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) ,
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) .
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k .
k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует.