В этом уроке мы научимся сравнивать дроби между собой. Это очень полезный навык, который необходим для решения целого класса более сложных задач.
Для начала напомню определение равенства дробей:
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
- 5/8 = 15/24, поскольку 5 · 24 = 8 · 15 = 120;
- 3/2 = 27/18, поскольку 3 · 18 = 2 · 27 = 54.
Во всех остальных случаях дроби являются неравными, и для них справедливо одно из следующих утверждений:
- Дробь a /b больше, чем дробь c /d ;
- Дробь a /b меньше, чем дробь c /d .
Дробь a /b называется большей, чем дробь c /d , если a /b − c /d > 0.
Дробь x /y называется меньшей, чем дробь s /t , если x /y − s /t < 0.
Обозначение:
Таким образом, сравнение дробей сводится к их вычитанию. Вопрос: как не запутаться с обозначениями «больше» (>) и «меньше» (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:
- Расширяющаяся часть галки всегда направлена к большему числу;
- Острый нос галки всегда указывает на меньшее число.
Часто в задачах, где требуется сравнить числа, между ними ставят знак «∨». Это - галка носом вниз, что как бы намекает: большее из чисел пока не определено.
Задача. Сравнить числа:
Следуя определению, вычтем дроби друг из друга:
В каждом сравнении нам потребовалось приводить дроби к общему знаменателю. В частности, используя метод «крест-накрест» и поиск наименьшего общего кратного. Я намеренно не акцентировал внимание на этих моментах, но если что-то непонятно, загляните в урок «Сложение и вычитание дробей » - он совсем легкий.
Сравнение десятичных дробей
В случае с десятичными дробями все намного проще. Здесь не надо ничего вычитать - достаточно просто сравнить разряды. Не лишним будет вспомнить, что такое значащая часть числа. Тем, кто забыл, предлагаю повторить урок «Умножение и деление десятичных дробей » - это также займет буквально пару минут.
Положительная десятичная дробь X больше положительной десятичной дроби Y , если в ней найдется такой десятичный разряд, что:
- Цифра, стоящая в этом разряде в дроби X , больше соответствующей цифры в дроби Y ;
- Все разряды старше данного у дробей X и Y совпадают.
- 12,25 > 12,16. Первые два разряда совпадают (12 = 12), а третий - больше (2 > 1);
- 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).
Другими словами, мы последовательно просматриваем десятичные разряды и ищем различие. При этом большей цифре соответствует и большая дробь.
Однако это определение требует пояснения. Например, как записывать и сравнивать разряды до десятичной точки? Вспомните: к любому числу, записанному в десятичной форме, можно приписывать слева любое количество нулей. Вот еще пара примеров:
- 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
- 2300,5 > 0,0025, т.к. 0,0025 = 0000,0025 - приписали три нуля слева. Теперь видно, что различие начинается в первом же разряде: 2 > 0.
Конечно, в приведенных примерах с нулями был явный перебор, но смысл именно такой: заполнить недостающие разряды слева, а затем сравнить.
Задача. Сравните дроби:
- 0,029 ∨ 0,007;
- 14,045 ∨ 15,5;
- 0,00003 ∨ 0,0000099;
- 1700,1 ∨ 0,99501.
По определению имеем:
- 0,029 > 0,007. Первые два разряда совпадают (00 = 00), дальше начинается различие (2 > 0);
- 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
- 0,00003 > 0,0000099. Здесь надо внимательно считать нули. Первые 5 разрядов в обеих дробях нулевые, но дальше в первой дроби стоит 3, а во второй - 0. Очевидно, 3 > 0;
- 1700,1 > 0,99501. Перепишем вторую дробь в виде 0000,99501, добавив 3 нуля слева. Теперь все очевидно: 1 > 0 - различие обнаружено в первом же разряде.
К сожалению, приведенная схема сравнения десятичных дробей не универсальна. Этим методом можно сравнивать только положительные числа . В общем же случае алгоритм работы следующий:
- Положительная дробь всегда больше отрицательной;
- Две положительные дроби сравниваются по приведенному выше алгоритму;
- Две отрицательные дроби сравниваются так же, но в конце знак неравенства меняется на противоположный.
Ну как, неслабо? Сейчас рассмотрим конкретные примеры - и все станет понятно.
Задача. Сравните дроби:
- 0,0027 ∨ 0,0072;
- −0,192 ∨ −0,39;
- 0,15 ∨ −11,3;
- 19,032 ∨ 0,0919295;
- −750 ∨ −1,45.
- 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
- −0,192 > −0,39. Дроби отрицательные, 2 разряд разный. 1 < 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
- 0,15 > −11,3. Положительное число всегда больше отрицательного;
- 19,032 > 0,091. Достаточно вторую дробь переписать в виде 00,091, чтобы увидеть, что различие возникает уже в 1 разряде;
- −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 > 001,45. Различие - в первом же разряде.
Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.
Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.
Для дробных чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.
Например, вместо 6 * (7 / 10) пишут 6,7.
Такую запись принято называть десятичной дробью .
Как сравнить две десятичные дроби
Разберемся, как сравнить две десятичные дроби. Для этого сначала убедимся в одном вспомогательном факте.
Например, длина некоторого отрезка равна 7 сантиметров или 70 мм. Так же 7 см = 7 / 10 дм или в десятичной записи 0.7 дм.
С другой стороны, 1 мм = 1 / 100 дм, тогда 70 мм = 70 / 100 дм или в десятичной записи 0,70 дм.
Таким образом, получаем, что 0,7 = 0,70.
Из этого делаем вывод, что если в конце десятичной дроби приписать или отбросить нуль, то получится дробь, равная данной. Другими словами значение дроби не изменится.
Дроби с одинаковыми знаменателями
Допустим нам надо сравнить две десятичные дроби 4,345 и 4,36.
Сначала необходимо уравнять число десятичных знаков приписыванием или отбрасыванием справа нулей. Получится 4,345 и 4,360.
Теперь необходимо записать их в виде неправильных дробей:
- 4,345 = 4345 / 1000 ;
- 4,360 = 4360 / 1000 .
У получившихся дробей одинаковые знаменатели. По правилу сравнения дробей знаем, что в таком случае больше та дробь, у которой числитель больше. Значит дробь 4,36 больше чем дробь 4,345.
Таким образом, чтобы сравнить две десятичные дроби, необходимо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом отбросив запятую сравнить, получившиеся натуральные числа.
Десятичные дроби можно изобразить точками на числовой прямой. И поэтому, иногда в случае, когда одно число больше другого, говорят, что это число расположено правее другого, или если меньше то левее.
Если две десятичные дроби равны, то они изображаются на числовой прямой одной и той же точкой.
Цель урока:
- создать условия для вывода правила сравнения десятичных дробей и умения его применять;
- повторить запись обыкновенных дробей в виде десятичных, округление десятичных дробей;
- развивать логическое мышление, способность к обобщению, исследовательские умения, речь.
Ход урока
Ребята давайте вспомним, чем мы занимались с вами на предыдущих уроках?
Ответ: изучали десятичные дроби, записывали обыкновенные дроби в виде десятичных и наоборот, округляли десятичные дроби.
А чем бы вы хотели сегодня заниматься?
(Ученики отвечают.)
А вот все-таки чем мы будем на уроке заниматься, вы узнаете через несколько минут. Откройте тетради, запишите дату. К доске пойдет ученик, который будет работать с обратной стороны доски. Я буду предлагать вам задания, которые вы выполняете устно. Ответы записываете в тетрадь в строчку через точку с запятой. Ученик у доски записывает в столбик.
Я читаю задания, которые заранее записаны на доске:
Проверим. У кого другие ответы? Вспомнить правила.
Получили: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.
Установите закономерность и продолжите полученный ряд еще на 2 числа. Проверим.
Возьмите расшифровку и под каждым числом (отвечающий у доски ставит букву рядом с числом) поставьте соответствующую букву. Прочитайте слово.
Расшифровка:
Итак, чем мы будем заниматься на уроке?
Ответ: сравнением.
Сравнением! Хорошо, я, например, сейчас начну сравнивать свои руки, 2 учебника, 3 линейки. А вы что хотите сравнивать?
Ответ: десятичные дроби.
Какую тему урока запишем?
Я записываю тему урока на доске, а ученики в тетради: «Сравнение десятичных дробей».
Задание: сравните числа (на доске записаны)
| 18,625 и 5,784 | 15,200 и 15,200 | |
| 3,0251 и 21,02 | 7,65 и 7,8 | |
| 23,0521 и 0,0521 | 0,089 и 0,0081 |
Сначала открываем левую часть. Целые части разные. Делаем вывод о сравнении десятичных дробей с разными целыми частями. Открываем правую часть. Целые части – одинаковые числа. Как сравнить?
Предложение: записать десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и сравнить.
Записать сравнение обыкновенных дробей. Если каждую десятичную дробь переводить в обыкновенную и сравнивать 2 дроби, то это займет много времени. Может мы выведем правило сравнения? (Ученики предлагают.) Я выписала правило сравнения десятичных дробей, которое предлагает автор. Давайте сравним.
На листе бумаги напечатаны 2 правила:
- Если целые части десятичных дробей различны, то та дробь больше, у которой больше целая часть.
- Если целые части десятичных дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой больше первый из несовпавших разрядов после запятой.
Мы с вами сделали открытие. И это открытие – правило сравнения десятичных дробей. Оно у нас совпало с правилом, которое предложил автор учебника.
Я вот обратила внимание, что в правилах говорится какая из 2 дробей больше. А вы можете мне сказать какая из 2 десятичных дробей меньше.
Выполнить в тетради № 785(1, 2) на стр. 172. Задание записано на доске. Ученики комментируют, а учитель ставит знаки.
Задание: сравните
3,4208 и 3,4028
Итак, что мы научились сегодня делать? Давайте себя проверим. Работа на листочках с копиркой.
Ученики сравнивают десятичные дроби, ставя знаки >, <, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.
Самостоятельная работа.
(Проверка – ответы на обратной стороне доски.)
Сравните
148,05 и 14,805
6,44806 и 6,44863
35,601 и 35,6010
Первый, кто сделает – получает задание (выполняет с обратной стороны доски) № 786(1, 2):
Найдите закономерность и запишите следующее в последовательности число. В каких последовательностях числа расположены в порядке возрастания, в каких в порядке убывания?
Ответ:
- 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – убывает
- 0,1 ; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – возрастает.
После того, как последний ученик сдаст работу – проверить.
Учащиеся сравнивают свои ответы.
Те, кто все сделал правильно поставит себе отметку “5”, кто допустил 1-2 ошибки –“4”, 3 ошибки – “3”. Выяснить в каких сравнениях допущены ошибки, на какое правило.
Записать домашнее задание: № 813, № 814 (п. 4 стр. 171). Прокомментировать. Если будет время – выполнить № 786(1, 3), № 793(а).
Итог урока.
- Что вы ребята научились делать на уроке?
- Вам понравилось или не понравилось?
- Какие были затруднения?
Возьмите листочки и заполните их, указав степень вашего усвоения материала:
- усвоен полностью, могу выполнять;
- усвоен полностью, но затрудняюсь в применении;
- усвоен частично;
- не усвоен.
Спасибо за урок.
Отрезка АВ равна 6 см, то есть 60 мм. Так как 1 см = дм, то 6 см = дм. Значит, АВ - 0,6 дм. Так как 1 мм = дм, то 60 мм = дм. Значит, АВ = 0,60 дм.
Таким образом, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значит, десятичные дроби 0,6 и 0,60 выражают длину одного и того же отрезка в дециметрах. Эти дроби равны друг другу: 0,6 = 0,60.
Если в конце десятичной дроби приписать нуль или отбросить нуль, то получится дробь
, равная данной.
Например,
0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.
Сравним две десятичные дроби 5,345 и 5,36. Уравняем число десятичных знаков, приписав к числу 5,36 справа нуль. Получаем дроби 5,345 и 5,360.
Запишем их в виде неправильных дробей:
У этих дробей одинаковые знаменатели. Значит, та из них больше, у которой больше числитель.
Так как 5345 < 5360, то 
а значит, 5,345 < 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Чтобы сравнить две десятичные дроби, надо сначала уравнять у них число десятичных знаков, приписав к одной из них справа нули, а потом, отбросив запятую, сравнить получившиеся натуральные числа
.
Десятичные дроби можно изображать на координатном луче так же, как и обыкновенные дроби.
Например, чтобы изобразить на координатном луче десятичную дробь 0,4, сначала представим ее в виде обыкновенной дроби: 0,4 = Затем отложим от начала луча четыре десятых единичного отрезка. Получим точку A(0,4) (рис. 141).
Равные десятичные дроби изображаются на координатном луче одной и той же точкой.
Например, дроби 0,6 и 0,60 изображаются одной точкой В (см. рис. 141).
Меньшая десятичная дробь лежит на координатном луче левее большей, и большая - правее меньшей.
Например, 0,4 < 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).
Изменится ли десятичная дробь, если в конце ее приписать нуль?
А6 нулей?
Сформулируйте правило сравнения десятичных
дробей.
1172. Напишите десятичную дробь:
а) с четырьмя знаками после запятой, равную 0,87;
б) с пятью знаками после запятой, равную 0,541;
в) с тремя знаками после занятой, равную 35;
г) с двумя знаками после запятой, равную 8,40000.
1173. Приписав справа нули, уравняйте число знаков после запятой в десятичных дробях:1,8; 13,54 и 0,789.
1174. Запишите короче дроби:2,5000; 3,02000; 20,010.
85,09 и 67,99; 55,7 и 55,7000; 0,5 и 0,724; 0,908 и 0,918; 7,6431 и 7,6429; 0,0025 и 0,00247.
1176. Расставьте в порядке возрастания числа:
3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.
0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091
расставьте в порядке убывания.
а) 1,41 < х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1 < х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2,7 < х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.
1184. Сравните величины:
а) 98,52 м и 65,39 м; д) 0,605 т и 691,3 кг;
б) 149,63 кг и 150,08 кг; е) 4,572 км и 4671,3 м;
в) 3,55°С и 3,61°С; ж) 3,835 га и 383,7 а;
г) 6,781 ч и 6,718 ч; з) 7,521 л и 7538 см3.
Можно ли сравнить 3,5 кг и 8,12 м? Приведите несколько примеров величин, которые нельзя сравнивать.
1185. Вычислите устно:
1186. Восстановите цепочку вычислений
1187. Можно ли сказать, сколько цифр после запятой в записи десятичной дроби, если ее название заканчивается словом:
а) сотых; б) десятитысячных; в) десятых; г) миллионных?
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки