Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система из трех уравнений с тремя неизвестными не во всех случаях имеет решение, несмотря на большое количество уравнений. Как правило, данного рода системы решаются с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Второй метод дает возможность определить на первых этапах, имеет ли система решение.
Допустим, нам дана следующая система из трех уравнений с тремя неизвестными:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end{matrix}\right.\]
Можно решить данную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера:
\[\Delta _A\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}=2\]
Определитель системы \ не равен нулю. Найдем вспомогательные определители \ если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
\[\Delta _1\begin{vmatrix} 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end{vmatrix}=6\]
\[\Delta _2\begin{vmatrix} 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end{vmatrix}=2\]
\[\Delta _3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end{vmatrix}=-2\]
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение
\[\left\{\begin{matrix} X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end{matrix}\right.\]
Где можно решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Для системы составляем главный определитель
и вычисляем его.
Затем составляем дополнительные определители
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам
; 
;
,если
1)
Вычислим:
По формулам Крамера находим:
Ответ: (1; 2; 3)
2)
Вычислим:
Так как главный
определитель
,
а хотя бы один дополнительный не равен
нулю (в нашем случае
),
то решения у системы нет.
3)
Вычислим:
Так как все
определители равны нулю, то система
имеет бесконечное множество решений,
которое можно найти так
Решите самостоятельно системы:
а)
б)
Ответ: а) (1; 2; 5)
б)
;
;
Практическое занятие № 3 на тему:
Скалярное произведение двух векторов и его приложение
1. Если дан
и
,
то скалярное произведение находим по
формуле:
∙
2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле
1. Даны два вектора
и
Их скалярное произведение находим так:
.
2. Даны два вектора:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
скалярное произведение находят так:
3.
,
3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.
Дано:
Решение:
2) Дано: 
Решение:
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим
вектор перемещения
Находим модуль вектора перемещения:
По формуле
находим работу:
3.2 Определение ортогональности двух векторов
Два вектора
ортогональны, если
,
то есть
так как
1) 
–не ортогональны
2) 
–ортогональны
3) Определить, при
каком
векторы
и
взаимно-ортогональны.
Так как
,
то
,
значит
Решите самостоятельно:
а)
.
Найти их скалярное произведение.
б) Вычислить, какую
работу производит сила
,
если точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, переместилась из точки
M
(5; -6; 1) в точку N
(1; -2; 3)
в) Определить,
ортогональны ли вектора
и
Ответы: а) 1 б) 16 в) да
3.3.Нахождение угла между векторами
1)
.
Найти
.
Находим 
подставляем в формулу:
.
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.
Подставим в формулу:
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ: 90 о
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:
|
|
|
|
|
имеет вид |
||
1) Найти модуль векторного произведения:
Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.
2) Найти модуль векторного произведения:
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
2). Найти векторное произведение и его модуль
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
Найдем их векторное произведение
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Если вектора
и
коллинеарны, то
, т. е. координаты
векторов должны быть пропорциональны.
а) Даны вектора::
,
.
Они коллинеарны
потому, что
и
после сокращения
каждой дроби получается соотношение
б) Даны вектора:
.
Они не коллинеарны,
потому, что
или
Решите самостоятельно:
а) При каких
значениях m
и n
вектора
коллинеарны?
Ответ:
;
б) Найти векторное
произведение и его модуль
,
.
Ответ:
,
.
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача № 1. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точку А(-2; 3) параллельно прямой
1. Найдем угловой
коэффициент прямой
.
- это уравнение
прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой (
).
Поэтому
.
2. Так как прямые
MN
и АС
параллельны, то их угловые коэффициенты
равны, т.е.
.
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки А(-2; 3), вместо
подставим
– 3. В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
Это общее уравнение прямой, которое в
общем виде задается формулой
.
Сравнивая уравнения
и
находим, что А
= 2, В = –3. Угловой
коэффициент прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле
.
Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3,
получим угловой коэффициент прямой MN.
Итак,
.
2. Так как прямые
MN
и КС параллельны, то их угловые коэффициенты
равны:
.
3. Для нахождения
уравнения прямой КС воспользуемся
формулой уравнения прямой, проходящей
через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–2; 3),
вместо
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .
1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .
и находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент
прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле:
.
Подставив в эту формулу А
= 3 и В = 4, получим
угловой коэффициент прямой MN:
.
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
.
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–1;
–3), вместо
подставим
.
В результате подстановки получим:
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–4; 1)
параллельно прямой
.
Ответ:
.
2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(5; –2)
параллельно прямой
.
3. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–2; –6)
перпендикулярно прямой
.
4. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(7; –2)
перпендикулярно прямой
.
Ответ:
.
5. Найти уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки
К(–6; 7) на прямую
.
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать линейное диофантово уравнение с двумя переменными , возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги.
Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными.
Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть:)
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид
где целые числа
Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так
Подставим наше общее решение в уравнение
Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим
Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d
Значит, от t (она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит
Логично предположить что и от z оно не зависит а значит
а вот от постоянных значений A 3 и B 3 оно зависит напрямую, то есть
Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными , которые решать мы можем легко и непринужденно.
Попробуем решить?
В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение
Первое уравнение будет вот такое
корни его
Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. (Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет.
Решаем второе уравнение
и его корни
здесь пусть k=0 (так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях)
И последнее третье уравнение
Корни тут такие
Подставим теперь все найденные значения в общий вид
Вот и все!
Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел.
Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение
Как пример
При попытке решить уравнение
в нашем случае
мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное.
Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так
и получаем ответ